La science des fusées 1

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1 Mth TD - Application 9 : optimisation avec contraintes, multiplicateurs de Lagrange La science des fusées 1 Introduction Une fusée comporte plusieurs étages composés d un moteur et de son carburant. Chacun produit une certaine poussée et est largué lorsque que son carburant est épuisé. Le rôle de ces moteurs est d amener la fusée à une vitesse prédéterminée qui dépend de l usage de la fusée (mise en orbite d un satellite, envoi d une sonde dans l espace, etc.). Dans ce TD nous allons examiner un modèle pour une telle fusée à trois étages et optimiser le poids des étages en fonction de la vitesse finale requise. Le modèle Pour chaque étage, le modèle pour la variation de vitesse dćoulant de l accélération de la fusée est ( V = c ln 1 (1 S)M ) r (1) A + M r où V est la variation de la vitesse de la fusée entre le moment où est allumé le moteur et le moment où le carburant est épuisé. Les constantes dans ce modèle sont M r = la masse de la fusée moteur, incluant le carburant P = la charge utile transportée par la fusée S = le rapport entre la masse de la fusée à vide et sa masse avec carburant et charge utile c = la vitesse (constante) des gaz de combustion par rapport à la fusée. Les constantes S et c sont supposées connues. Pour une fusée à trois étages, on cherche à minimiser la masse de chaque étage tout en s assurant d atteindre la vitesse finale v f requise. Soit A la masse de la charge utile à transporter (c est-à-dire la masse du satellite, de la sonde, etc.) et soit M i, i = 1, 2, 3, la masse du i e étage, incluant le carburant. La fonction à minimiser est F(M 1, M 2, M 3 ) = M 1 + M 2 + M 3. (2) Pour déterminer la contrainte liée à la vitesse finale v f, calculons celle-ci comme suit. D abord, considérons que dans le modèle pour le premier étage, la charge utile est P = A+M 2 +M 3, c est-àdire la masse A à emporter plus la masse des deux autres étages. Ensuite, pour le deuxième étage la charge utile est P = A + M 3. Enfin pour le troisième elle est P = A. Ensuite, puisque la fusée est initialement au repos, sa vitesse finale est la somme des variations de vitesse correspondant 1 Tiré de Stewart [1] section

2 à chacun des étages. Substituant dans le modèle (1) on trouve (voir exercice 1) que M 1, M 2, M 3 doivent satisfaire [ ( ) ( ) ( )] M1 + M 2 + M 3 + A M2 + M 3 + A M3 + A c ln + ln + ln = v f. (3) SM 1 + M 2 + M 3 + A SM 2 + M 3 + A SM 3 + A On a donc une fonction (2) à minimiser avec une contrainte d égalité (3) et on peut utiliser ici la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Cependant, les dérivées de la fonction définissant la contrainte étant très compliquées, le système d équations à résoudre est difficile. Nous allons maintenant simplifier le problème. Simplification du problème d optimisation Définissons de nouvelles variables N i, i = 1, 2, 3, de façon à ce que la contrainte (3) devienne c(ln(n 1 ) + ln(n 2 ) + ln(n 3 )) = v f. (4) On a alors (1 S)N 1 = (1 S) M 1 + M 2 + M 3 + A SM 1 + M 2 + M 3 + A 1 SN 1 = 1 S M 1 + M 2 + M 3 + A SM 1 + M 2 + M 3 + A (1 S)N 1 1 SN 1 = (1 S)(M 1 + M 2 + M 3 + A) SM 1 + M 2 + M 3 + A S(M 1 + M 2 + M 3 + A) (5) = M 1 + M 2 + M 3 + A M 2 + M 3 + A. De même on a et (1 S)N 2 = M 2 + M 3 + A 1 SN 2 M 3 + A (1 S)N 3 1 SN 3 = M 3 + A A. (7) (6) En prenant le produit des termes ainsi obtenus on trouve après simplifications M + A A = (1 S) 3 N 1 N 2 N 3 (1 SN 1 )(1 SN 2 )(1 SN 3 ) (8) où M = M 1 + M 2 + M 3 = F(M 1, M 2, M 3 ). L intérêt de cette formule est que le logarithme du membre de gauche est une fonction dont le minimum est le même que celui de F. En effet, le logarithme étant une fonction strictement croissante, son minimum est atteint lorsque M est le plus petit possible sur le domaine de définition, autrement dit lorsque que F est minimum. Le 2

3 logarithme du membre de droite de (8) se simplifie, de sorte que l on a une nouvelle fonction à minimiser ( ) M + A G(N 1, N 2, N 3 ) = ln A ( ) (1 S) 3 N 1 N 2 N 3 = ln (1 SN 1 )(1 SN 2 )(1 SN 3 ) = 3 ln(1 S) + ln(n 1 ) + ln(n 2 ) + ln(n 3 ) ln(1 SN 1 ) ln(1 SN 2 ) ln(1 SN 3 ). Il s agit maintenant de minimiser la fonction G sous la contrainte (4). Dénotons par H(N 1, N 2, N 3 ) la fonction définissant cette contrainte. Pour trouver le minimum, la méthode des multiplicateurs de Lagrange demande la solution du système { G = λ H H = v f (9) ce qui donne explicitement 1 S + = cλ N 1 1 SN 1 N 1 1 S + = cλ N 2 1 SN 2 N 2 1 S + = cλ N 3 1 SN 3 N 3 c(ln(n 1 ) + ln(n 2 ) + ln(n 3 )) = v f. (10) Les trois premières lignes du système (10) forment, après simplification (voir exercice 4), un système de trois équations linéaires en N 1, N 2, N 3. Sa solution, en fonction de λ, est N 1 = N 2 = N 3 = cλ 1 cλs. Substituant ces valeurs dans la quatrième équation on obtient N 1 = N 2 = N 3 = e v f 3c. Pour obtenir la masse minimale M cherchée, on substitue ces valeurs dans l expression (8). On trouve M + A = (1 S)3 e vf c A (1 Se v f 3c ) 3 M = A(1 S)3 e vf c (1 Se v f 3c ) 3 A. 3 (11)

4 On peut obtenir les masses optimales M 1, M 2, M 3 en fonction de v f, A et S en résolvant les équations (5), (6), (7) pour les M i. Nous allons le faire dans un cas concret. Application Pour qu une fusée à trois étages mette une charge utile A en orbite à une altitude de 160 km il faut que sa vitesse finale soit de km/h. Supposons que pour les trois étages S = 0.2 et c = 9600 km/h. Quelle est la masse totale minimale de la fusée en fonction de A, et quelle est la masse optimale de chaque étage? D abord, en substituant ces valeurs de S et c dans l expression (11) on trouve que la masse minimale est M = A(1 0.2)3 e (1 0.2e3 9600) A A Ensuite, en utilisant la définition des N i on trouve successivement puis et enfin N 3 = M 3 + A SM 3 + A e = M 3 + A 0.2M 3 + A M A N 2 = M 2 + M 3 + A SM 2 + M 3 + A e = M 2 + (3.5215A) + A 0.2M2 + (3.5215A) + A M A N 1 = M 1 + M 2 + M 3 + A SM 1 + M 2 + M 3 + A e = M 1 + ( A) + (3.5215A) + A 0.2M 1 + ( A) + (3.5215A) + A M A. 4

5 Exercices : 1. En utilisant le modèle (1) et les propriétés du logarithme, montrez que la vitesse finale de la fusée est bien donnée par la formule (3). 2. Faites les calculs nécessaires pour obtenir les formules (6), (7) et (8). 3. Faites les simplifications nécessaires pour obtenir la dernière ligne de (9). 4. Écrivez les trois premières équations de (10) comme un système linéaire en N 1, N 2, N 3 et trouvez sa solution. 5. Soit f une fonction de n variables définie sur un domaine D et g : R R une fonction strictement croissante sur R. Montrez rigoureusement que f et g f : R n R ont le même minimum sur D. 6. Faites les calculs nécessaires pour obtenir la formule (11) pour la masse minimimale de la fusée. 7. La vitesse finale nécessaire pour échapper à l attraction terrestre est de km/h. Trouvez la masse minimale de la fusée à trois étages de même que la masse optimale de chaque étage qui permet de lancer dans l espace une sonde de 240 kg. On suppose comme avant que S = 0.2 et c = Si on veut mettre en orbite une charge utile de 240 kg à une altitude un peu plus grande que dans l exemple du TD, la vitesse finale de la fusée doit être de km/h. a) Calculez d abord la masse minimale de la fusée requise pour placer la charge à une altitude de 160 km. b) Utilisez la formule (11) pour calculer directement la masse minimale de la fusée pour atteindre la nouvelle vitesse. c) On a vu au cours que le multiplicateur de Lagrange permet d estimer la variation de la valeur minimale de la masse en fonction de la vitesse finale. (i) Calculez le multiplicateur λ du système (10) avec A = 240. (ii) Utilisez la valeur trouvée en (i) pour estimer la nouvelle valeur optimale de G lorsque la vitesse finale passe de v f = km/h à v f = km/h. (iii) Utilisez le résultat de (ii) pour estimer la valeur minimale de la masse de la fusée pour la nouvelle vitesse. (iv) Comparez la valeur trouvée en (i) avec l estimation de (iii). 5

6 Pour les concepts de base concernant l optimisation et les multiplicateurs de Lagrange, votre livre Stewart [1] est une bonne référence. L application proposée dans ce TD se retrouve dans votre livre à la section 11.8 (p.829). Pour les cotes des documents ci-dessous : UdeM signifie Bibliothèque de Mathématiques et Informatique de l Université de Montréal et POLY signifie Bibliothèque de Polytechnique. Références [1] Stewart, J. Analyse : concepts et contextes, volume 2. De Boeck, Bruxelles, POLY : QA 303 S8314 v Auteur : J. Guérin. Svp me faire parvenir vos commentaires/suggestions/corrections à 6

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