Suites et récurrence

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Agnès Sévigny
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1 Suites et récurrence 1 Suites arithmétiques et géométriques 1.1 Définitions * On dit que la suite (u n ) est arithmétique s il existe un réel r appelé raison tel que, pour tout n dans N, on ait : u n+1 = u n + r. * On dit que la suite (u n ) est géométrique s il existe un réel q appelé raison tel que, pour tout n dans N, on ait : u n+1 = u n q. Si (u n ) est une suite géométrique de raison q = 0, alors tous les termes de la suite à partir de u 1 sont nuls. Nous supposerons donc q Terme général de la suite * Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, on a, pour tout n dans N : u n = u 0 + nr. Plus généralement, pour p n : u n = u p + (n p)r. * Si (u n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0, on a, pour tout n dans N : u n = u 0 q n. Plus généralement, pour p n : 1.3 Somme des premiers termes On pose : S n = u n = u p q n p. n u k = u 0 + u u n. k=0 * Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, on a, pour tout n dans N : S n = (n + 1) u 0 + u n. (n + 1) est le nombre de termes de la somme, u 0 est le premier terme, u n est le dernier terme de la somme. * Si (u n ) est une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0, on a, pour tout n dans N : 1 q n+1 S n = u 0 1 q. (n + 1) est le nombre de termes de la somme. 1

2 1.4 Somme de termes consécutifs * Si (u n ) est une suite arithmétique, on a, pour tout p et tout n dans N tels que p n : n k=p u k = u p + u p u n = (n p + 1) u p + u n. * Si (u n ) est une suite géométrique de raison q 1, on a, pour tout p et tout n dans N tels que p n : n 1 q n p+1 u k = u p + u p u n = u p. 1 q k=p Suites définies par une relation de récurrence Une suite est généralement définie soit par une formule explicite donnant l expression de u n en fonction de n, soit par la donnée de son premier terme (généralement u 0 ) et d une relation de récurrence du type u n+1 = f(u n ) donnant l expression d un terme en fonction du terme précédent. Représentation graphique Exemple Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 1 et, pour tout n dans N : u n+1 = 4u n + 5. Ici, la fonction f telle que u n+1 = f(u n ) est : f : x On trace la courbe représentative C de la fonction f et la droite d équation y = x. On place u 0 sur l axe des abscisses ; on place le point de C d abscisse u 0 ; il a comme ordonnée f(u 0 ), c est-à-dire u 1. On place le point de d ordonnée u 1 ; il a comme abscisse u 1. On a ainsi u 1 sur l axe des abscisses. On recommence. On place le point de C d abscisse u 1 ; il a comme ordonnée f(u 1 ), c est-à-dire u. On place le point de d ordonnée u ; il a comme abscisse u. On a ainsi u sur l axe des abscisses. On place le point de C d abscisse u ; il a comme ordonnée f(u ), c est-à-dire u 3. On place le point de d ordonnée u 3 ; il a comme abscisse u 3. On a ainsi u 3 sur l axe des abscisses... D après la représentation graphique :

3 3

4 3 Théorèmes de convergence Théorème 1 (rappel) Une suite croissante non majorée tend vers +. Une suite décroissante non minorée tend vers. Théorème (admis) Une suite croissante et majorée est convergente. Une suite décroissante et minorée est convergente. Ce théorème prouve l existence d une limite finie, mais ne permet pas de la calculer. On peut seulement dire que : - si (u n ) est croissante et majorée par M, alors elle converge vers un nombre l tel que l M. - si (u n ) est décroissante et minorée par m, alors elle converge vers un nombre l tel que l m. Théorème 3 Si (u n ) est une suite qui vérifie une relation de récurrence u n+1 = f(u n ) et qui converge vers un nombre l, et si f est continue en l, alors f(l) = l. s On dit alors que l est un point fixe de f. Si l est un point fixe de f, alors (u n ) ne converge pas nécessairement vers l. Mais la limite de (u n ), si elle existe, est nécessairement un point fixe de f. Exemple : Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 1 et, pour tout n dans N : u n+1 = 4u n + 5. Cherchons les points fixes de f : 4

5 4 Raisonnement par récurrence Exemple Pour tout entier naturel n, on pose u n = 7 n 1. u 0 = 0 ; u 1 = 6 ; u = 48 ; u 3 = 34 ; u 4 = 400. On constate que tous ces nombres sont divisibles par 6. La propriété est-elle vraie pour tout n dans N? Les u n sont-ils tous divisibles par 6? Principe du raisonnement par récurrence Ce raisonnement peut être utilisé pour montrer qu une propriété est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un certain entier naturel n 0. Soit P (n) une propriété dépendant d un certain entier naturel n (par exemple u n est divisible par 6) et n 0 un entier naturel donné. Pour montrer que la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n tel que n n 0, il suffit de : - vérifier que la propriété P (n 0 ) est vraie ; - montrer que, si P (n) est vraie (hypothèse de récurrence), alors P (n + 1) est vraie (on dit quelquefois que la propriété est héréditaire). Retour sur l exemple Montrons par récurrence que, pour tout n dans N, u n est divisible par 6. Ici n 0 = 0. - on a vérifié que P (0) est vraie (et même aussi P (1), P (), P (3)...), car u 0 est divisible par 6 ; - Supposons P (n) vraie pour un certain entier naturel n, c est-à-dire que u n est divisible par 6. Alors : u n+1 = 7 n+1 1 = 7 7 n 1 = 7 7 n = 7(7 n 1) + 6 = 7u n + 6. Comme u n est supposé divisible par 6, alors u n+1 est divisible par 6. Conclusion Pour tout entier naturel n (n 0), 7 n 1 est divisible par 6. Autres exemples 1. Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 3 et, pour tout n dans N, u n+1 = 5u n 4. Montrer par récurrence que, pour tout n dans N, u n = 5 n Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 1 et, pour tout n dans N, u n+1 = 1 + un. Montrer par récurrence que, pour tout n dans N, 0 u n 1. 5

6 5 Suites adjacentes 5.1 Définition Deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes si et seulement si elles vérifient les deux propriétés suivantes : - l une est croissante, l autre est décroissante ; - la suite de terme général v n u n converge vers 0 ( lim n + (v n u n ) = 0). Exemple 1 : Montrer que les suites u et v de terme général u n = 1 1 n et v n = n sont adjacentes. 5. Propriété Si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) soit croissante et (v n ) décroissante, alors, pour tout n N : u n v n. Démonstration : 5.3 Convergence Théorème Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Démonstration : Exemple : (u n ) et (v n ) sont les deux suites définies par : { u0 = 1 u n+1 = 1 et, pour tout entier naturel n : 3 (u n + v n ) v 0 = 1 v n+1 = 1 4 (u n + 3v n ) 1. Montrer que la suite w de terme général v n u n est géométrique. Quelle est sa limite?. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 3. Soit t la suite de terme général t n = 3u n + 8v n. Montrer que cette suite est constante. 4. Déterminer les limites des suites (u n ) et (v n ). 6

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