Annexe I. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur un exemple.

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1 Théorie des tests : Rappel très simplifié sur u exemple. Aexe I Test de l efficacité d u remède sur des malades atteit d u rhume. p 0 : probabilité de guérir das les huit jours avec u placebo p 1 : probabilité de guérir das les huit jours avec le remède. Deux hypothèses possibles : H 0 hypothèse ulle : p 0 = p 1 (pas d effet du remède. H 1 hypothèse alterative : p 0 p 1 (effet du remède Suite à ue expérimetatio où 0 serot traités avec le placebo et 1 avec le remède, observer le ombre de malades guéris : 0 avec le placebo et 1 avec le remède. A partir de cette observatio, deux décisios serot possibles : D 0 : H 0 est vraie ou ecore pas d effet du remède, D 1 : H 1 est vraie ou ecore effet du remède. Démarche à utiliser : Costruire ue foctio qui déped des observatios et pour laquelle, quad l hypothèse ulle est vraie, il est possible de calculer la loi de probabilité et ceci sas coaître les paramètres icous. Cette foctio appelée statistique de test sera otée ϕ ; Fixer α = risque de se tromper e décidat D 1 (c.a.d. alors que H 0 est vraie. C est le risque dit de première espèce ; Détermier ue zoe critique otée C α telle que, lorsque l hypothèse ulle est vraie, alors : P(ϕ C α α ; Etablir la règle de décisio suivate : rejet de H 0 (décisio D 1 si et seulemet si ϕ C α ; Effectuer l expériece et, suivat la valeur prise par ϕ, éocer la décisio. a costructio du test garatit que la probabilité de se tromper e rejetat l hypothèse ulle est iférieure à α. Evaluer le risque dit de deuxième espèce. C est le risque de se tromper e e rejetat pas l hypothèse ulle (décisio D 0, c est-à-dire P(ϕ / C α. Il est oté β. Avat d utiliser l exemple, rappelos les otatios suivates : Z désige ue variable aléatoire suivat ue loi ormale cetrée réduite. O ote Z N (0, 1. F Z désige la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite (souvet otée Π c est-à-dire : F Z (z = P(Z z avec Z N (0, 1. z α est le ombre réel tel que : P( z α Z z α = 1 α ou ecore P( Z z α = α. Remarque : F Z (z α = 1 α. ou Φ, Utilisatio de la démarche : O pose : f 0 = 0 0, f 1 = 1 1 et d = f 0 f 1 ; f = , s d = f (1 f et ϕ = d s d O peut motrer que si p 0 = p 1, alors ϕ suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite Z N (0, 1. es coditios 0 30, 1 30, 0 p 0 5, 0 (1 p 0 5, 1 p 1 5 et 1 (1 p 1 5 permettet ue boe approximatio. 1

2 O pred α = 0,05 c est-à-dire 5% de chace de se tromper e disat que le remède fait de l effet. O sait que P( Z > z α = α doc e preat comme zoe critique, C α =], z α [ ]z α, + [, o a bie P(ϕ C α α. D après les tables, z 0,05 = 1,96, doc dire que la statistique appartiet à la zoe critique sigifie que d > 1,96 ou ecore que d > l avec l = 1,96s d. O rejette l hypothèse s d ulle si et seulemet si d > l. Exécutio du test. 0 = 00, 0 = 140, f 0 = 0,70, 1 = 10, 1 = 164, f 1 = 0, d = 0,08095, s d = 0, , l = 1,96 0, = 0,08478 d = 0,08095 < 0,08478 = l Décisio : D 0 c est-à-dire o-rejet de H 0. O e coclut pas à u effet du remède. e risque de se tromper vaut β = P(ϕ / C α = P( z α ϕ z α. Ici β = P( 1,96 ϕ 1,96. Das le cas où o supposait p 0 = p 1 (hypothèse H 0, ϕ suivait loi ormale cetrée réduite, o avait alors P( 1,96 ϕ 1,96 = 1 0,05 = 0,95. Pour calculer le risque de deuxième espèce, il faut se placer das le cas où o se trompe e décidat p 0 = p 1, doc (puisqu o se trompe das le cas où p 0 p 1 (hypothèse H 1. Mais alors das ce cas, ϕ suit ue loi de probabilité qui déped de 0, 1, p 0, p 1 et cette loi est pas la loi ormale cetrée réduite. Pour u risque de première espèce doé α, le risque de deuxième espèce β déped de 0, 1, p 0, p 1 et de α. Il est pas égal à α. Il peut être grad et même proche de 1 α (et ici proche de 0,95!. Pour cette raiso, lorsque la décisio D 0 est prise, il faut, quad c est possible, assortir cette décisio de l évaluatio du risque de deuxième espèce, et sio, il est alors préférable de dire qu o e rejette pas l hypothèse ulle. Das le cas de ce test de comparaiso etre deux probabilités, l expressio exacte de ce risque de deuxième espèce est pas doée das cette aexe car trop complexe mais il existe des tests (voir Activités où elle peut être exprimée aisémet.

3 Aexe II Itervalle de cofiace. Rappel très simplifié sur u exemple. p proportio icoue de patiets ayat eu u effet secodaire suite à l absorptio d u remède. U échatillo de patiets sera observé. Sur ces patiets, ot eu u effet secodaire. Démarche à effectuer : Détermier le iveau de cofiace 1 α avec 0 < α < 1. Trouver deux foctios ϕ 1 et ϕ de (doc pour lesquelles le résultat sera aléatoire telles que P(ϕ 1 p ϕ 1 α. A la suite de l expériece, appliquer les deux foctios à. itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p sera [ϕ 1 (, ϕ (]. O pose : ϕ( = p (1, O peut démotrer que, si les coditios suivates sot réalisées : 30, p 5 et (1 p 5, alors ϕ suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite otée N (0, 1. Si Z suit ue loi ormale cetrée réduite, les tables permettet de calculer z α vérifiat : P( z α Z z α = 1 α. Doc P( z α ϕ z α = 1 α. E remplaçat ϕ par so expressio, o trouve : P(f e p f + e = 1 α avec f = et e = z α (1 O aura ici ϕ 1 ( = f e et ϕ ( = f + e. itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p sera [f e, f + e]. f(1 f = z α. Das u échatillo de = 1100 patiets ayat absorbé le remède, 583 ot eu u effet secodaire. O cherche u itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. Ici z 0,95 = 1,96 f(1 f f = 0,53 et e = 1,96 = 0,094 Ici l itervalle de cofiace est : [0,5006 ; 0,5594] Programme B.T.S. : [f 1, f + 1 ] itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. Ici [0,49985 ; 0,56015] itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. 3

4 Aexe III Ue démostratio actuelle est la suivate : Soit p la probabilité de réalisatio de E et f la fréquece observée de l évéemet E à la suite de expérieces idépedates. O pose : Y = f p, T = p(1 p f p Y T = f (1 f Z ue variable aléatoire de loi ormale N (0, 1 D après le théorème de Moivre-aplace : Z (covergece e loi vers la loi ormale. Y p(1 p, U = 1 variable aléatoire costate. f (1 f Mais : f p (covergece presque sûre d après la loi forte des grads ombres Doc T U Puisque U est ue variable aléatoire costate : Y T ZU doc Z Z. Ceci etraîe : ( f p P z α z α P( z α Z z α = 1 α f (1 f Ou ecore : P ( f z α f (1 f f (1 f p f + z α 1 α Il est alors facile de voir que ce résultat est aussi celui de Gavarret. Posos : α = e t dt π u e chagemet de variable t = x doe : α = 1 + e x π u dx = 1 FZ (u où F Z est la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite. Doc u = F 1 Z (1 α = z α.m. Gavarret pose : s = u, ce qui lui doe l itervalle de cofiace de iveau P pour B de la forme : µ 3 [ m s, m + s]. µ µ Puisque m = f µ, = 1 f f (1 f µ et o a bie s = z α. E preat α = 0,0047 (doc P = 0,9953, z α, l itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p (ici égal à B est bie le même que celui aocé par Gavarret. 4

5 i=1 Aexe IV Ue démostratio actuelle possible utilise ue gééralisatio du théorème cetral limite. O pose X (1 i B(p 1 pour 1 i 1 (resp. X ( B(p pour 1 la variable qui vaut 1 si E est arrivé das la première série (resp. das la deuxième série Soit f 1 = 1 1 X (1 i (resp. f = 1 X ( la fréquece d apparitio de E das la première série 1 (resp. la deuxième série. Soit Y j = 1 1 X (1 j si 1 j 1 et Y j = 1 X ( j 1 si j 1 +. O pose ecore : =1 W (1, = Y Y 1 + Y Y 1 + E(Y Y 1 + Y Y 1 + var(y1 + + Y 1 + Y Y 1 + es variables Y j ot pas toutes la même loi mais sous des coditios dites de iapouov qui sot ici vérifiées, o a ecore : où Z est ue variable aléatoire de loi N (0, 1. Mais : Si o pose : W (1, Z W (1, = (f 1 f (p 1 p p1 (1 p p (1 p p1 (1 p 1 + p (1 p T (1, = 1 f1 (1 f 1 + f (1 f 1 D après la loi forte des grads ombres : où U est la variable aléatoire costate égale à 1. Alors : T (1, U et doc : W (1, T (1, Z.U = Z (f 1 f (p 1 p Z (1, = f1 (1 f 1 + f (1 f 1 Sous l hypothèse ulle, p 1 = p et par coséquet : P ( f 1 f 1 z α Z f 1 (1 f 1 + f (1 f 1 α 1 E repreat α = 0,0047, o retrouve la formule de Gavarret. 5

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