On considère qu une suite admet une limite l, ou converge vers l, lorsque :
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- Marie-Françoise Rochon
- il y a 6 ans
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1 I. Gééralités sr les limites de sites. Site covergete O cosidère q e site admet e limite l, o coverge vers l, lorsqe : tot itervalle overt coteat l cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag. E termes pls formels : Qelqe soiet a, b tels qe l ] a, b[ Iterprétatio graphiqe :, il existe rag N tel qe por tot idice, o ait : ], [ > N a b a l b A partir d certai rag, tos les poits de la site sot à l itérier de la «bade» délimitée par a et b. Page sr
2 Exemples : ² lim + ² La site coverge vers. (,) + (,) La site de terme coverge vers doc la site de terme coverge vers.. Sites de référece de limite lle Les sites de terme gééral,,,,, q avec < q < sot des sites qi coverget vers. Exemples : lim + 7 lim + 8 car < < 7. Sites de limite ifiie Certaies sites ot e limite ifiie. Soit la site de terme gééral. S il existe rag N à partir dqel est spérier à importe qel ombre positif, alors lim + + Exemples : Soit la site de terme gééral 4. Page sr
3 lim + + Soit la site de terme gééral lim + +. Les sites de terme gééral,,,, q avec q > tedet vers Sites divergetes Ue site est divergete si elle est pas covergete. Doc e site est divergete si : - Elle a e limite ifiie : o + - Elle a pas de limite. Exemples : 6, o a lim + + doc la site est divergete. ( ) : o a,,, doc la site est divergete. II. Calcl de limites de sites. Cas où la site est doée sos la forme g( ) Soit e site de terme gééral g( ). Si lim g( x) l, alors lim l x + + Exemple : Soit la site de terme gééral x + O pose g( x) x Page sr
4 Calclos la limite de g( x) qad x + : x + + x + lim g( x) lim lim x lim x x + x + x + 4 x + x + 4 x x x Comme 4 lim lim, o a x + x x + x lim g( x) x + Doc lim. La site coverge vers. +. Théorèmes des gedarmes Théorème des gedarmes por e limite fiie : Soiet ( ), ( v ) et ( w ) trois sites telles qe à partir d certai rag, o ait : v w Si ( ) et ( w ) coverget vers l ( l R ), alors ( v ) coverge assi vers l. Démostratio : Soit e site ( v ). O sppose q'il existe dex sites ( ) et ( w ) telles qe : à partir d certai rag, o ait v w ( ) et ( w ) coverget vers l. Pisqe ( ) coverge vers l, tot itervalle overt coteat l cotiet tos les termes de ( ) à partir d' certai rag. De même ( w ) coverge vers l, doc tot itervalle overt coteat l cotiet tos les termes de ( w ) à partir d' certai rag. Comme à partir d certai rag, o a v w, v, o pet e dédire qe tot itervalle overt coteat l cotiet tos les termes de ( v ) à partir de d certai rag. Doc ( v ) coverge assi vers l. Page 4 sr
5 Théorème des gedarmes por e limite ifiie : Soiet ( ) et ( v ) dex sites. - Si, à partir d certai rag, o a : v et ( v ) ted vers +, alors la site ( ) ted égalemet vers +. - Si, à partir d certai rag, o a : v et ( v ) ted vers, alors la site ( ) ted égalemet vers.. Opératios sr les limites de sites Les théorèmes sot les mêmes qe por les opératios sr les limites de foctios : Limite d e somme de sites Si lim + l et lim v l ' alors : + lim ( + v ) l + l ' + Limite d prodit par ombre Si lim + l alors lim k k l ( k R ) + Limite d prodit de sites Si lim + l et lim v l ' alors : + lim ( v ) l l ' + Limite d qotiet de sites Si lim + l et lim v l ' alors : + l lim + v l ' 4. Cas particlier des limites de sites géométriqes Page sr
6 Soit e site géométriqe de terme gééral q. Coditios sr q Limite Exemple q q a pas de limite (,) a pas de limite < q < lim q lim + + q lim q ( est costate) lim + + q > lim q + + lim (,) + +. Exemples de limite de somme des termes coséctifs d e site géométriqe Exemple : S , somme des termes coséctifs de la site géométriqe de terme gééral O pose S avec N O a S lim S + Or S + Doc S lim S car lim S + doc S Exemple : S , Page 6 sr
7 S S ( (,) ) lim S + doc 9 S Cas particlier des limites de sites arithmétiqes Soit e site arithmétiqe de terme gééral + r. - Si r >, lim + - Si r <, lim Exemple : Soit la site de terme gééral, avec. O a lim +. III. Problème d applicatio de calcl de limite. Premier problème Soit la site de terme gééral défiie par : et + + Calcler les premiers termes de la site. Motrer qe la site de terme gééral v est e site géométriqe. E dédire e expressio de v, pis de e foctio de. Page 7 sr
8 4 Motrer qe la site ( ) est décroissate et miorée. Détermier lim. + 6 Exprimer, e foctio de, la somme S La site ( S ) est-elle covergete? Soltios : Calcler les premiers termes de la site Motrer qe la site de terme gééral v est e site géométriqe. v doc v+ + + ( ) ( ) v+ v La site ( v ) est doc géométriqe de raiso. E dédire e expressio de v, pis de e foctio de. ( v ) est doc de la forme vq. v et q (raiso) doc : v v Page 8 sr
9 Or v doc v Motrer qe la site ( ) est décroissate et miorée. + Por tot N, o a > doc + > doc >. La site est miorée par. Cherchos le ses de variatio de ( ). Por cela, cherchos le sige de Por tot, o a + >, doc <. Doc por tot, o a < +. + La site ( ) est décroissate. Détermier lim Or lim + car < <, doc lim. + S Exprimer, e foctio de, la somme... S S ( + ) ( ) Or Page 9 sr
10 Doc S ( + ) La site ( S ) est-elle covergete? + lim + car < <, doc + lim. + lim ( + ) + + Doc lim S + +. Dexième problème Soit la site de terme gééral défiie par : + et + Calcler les premiers termes de la site. Motrer qe la site de terme gééral v est e site géométriqe. E dédire e expressio de v, pis de 4 Motrer qe la site ( ) est croissate et majorée. e foctio de. Motrer qe la site ( ) est covergete et détermier sa limite. 6 Exprimer, e foctio de, la somme S La site ( S ) est-elle covergete? Soltios : Calcler les premiers termes de la site Page sr
11 Motrer qe la site de terme gééral v v + doc v+ + v + v v + est e site géométriqe. La site ( v ) est doc géométriqe de raiso, so premier terme est v E dédire e expressio de v, pis de e foctio de. ( v ) est doc de la forme vq : O ecore : v v v doc v + v 4 Motrer qe la site ( ) est croissate et majorée. Calclos + : Por tot N, 4 > doc > + La site ( ) est doc croissate. De pls, avec > por tot N, doc < por tot N. est majorée par. La site ( ) Motrer qe la site ( ) est covergete et détermier sa limite. Page sr
12 Or lim car < <, doc lim. + + coverge vers. La site ( ) S Exprimer, e foctio de, la somme... S S S S 4 7 La site ( S ) est-elle covergete? lim + lim + + car < <, doc lim. + Doc lim S Page sr
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