1 Propriétés - Suites monotones

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1 Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles sot borées Vérifier que la suite quotiet (u /v ) est pas borée Exercice Écrire avec les quatificateurs la défiitio d ue suite divergete Exercice 3 Motrer qu ue suite d etiers covergete est statioaire à partir d u certai rag Exercice 4 Motrer que toute suite covergete est borée Exercice 5 Motrer que si (u ) est ue suite arithmétique de premier terme a et de raiso r, alors Ṇ, u = a + r Exercice 6 Motrer que si (u ) est ue suite géométrique de premier terme a et de raiso r, alors Ṇ, u = ar Exercice 7 Soit (u ) ue suite géométrique de premier terme a et de raiso r O suppose que a et r sot strictemet positifs Motrer que u > 0, Ṇ Motrer que la suite ( l(u ) ) est ue suite arithmétique de premier terme l(u ) et de raiso l(a) Exercice 8 Motrer que la suite (u ) N défiie par u = ( ) + est pas covergete Exercice 9 Ecrire avec les quatificateurs que la suite (u ) vérifie lim u = + E déduire que si (u ) est ue suite réelle qui ted vers + et (v ) est ue suite borée, alors leur somme est ue suite qui ted vers + Exercice 0 Motrer que si ue suite (u ) est covergete alors la suite ( u ) est covergete La réciproque est-elle vraie? Exercice Motrer que la somme d ue suite covergete et d ue suite divergete est divergete Exercice Motrer que lim cette défiitio! = 0 e appliquat la défiitio de la covergece et e précisat N ε qui iterviet das Exercice 3 Les suites suivates, sot-elles mootoes? borées? covergetes? (i) a = ( ), (ii) b = cos π, (iii) c = si π, (iv) d = cos π, (v) e = + +, (vi) f = 3, (vii) g =!, (viii) h =! Exercice 4 A partir de la défiitio de la limite d ue suite, démotrer les égalités suivates : (i) ( ) + lim = 0, (ii) lim =, (iii) lim l(l ) = + +

2 PROPRIÉTÉS - SUITES MONOTONES PLANCHE Exercice 5 Les suites suivates sot-elles covergetes? (i) a = ( ), (ii) b = + + si ( π ) (, (iii) c = + ) ( ) Exercice 6 Motrer que si la suite (a ) est borée et si la suite (b ) vérifie lim b = 0, alors lim a b = 0 Calculer les limites suivates : (i) lim si(3 + ), (ii) lim + 3 cos(!), (iii) lim + (si + si ) Exercice 7 Motrer que si lim a = l, alors lim a = l Motrer que si a 0 et lim a = +, alors lim a = 0 Exercice 8 Soit (a ) ue suite à termes o uls et telle que lim a+ a = q Motrer que si q <, alors lim a = 0 Calculer les limites des suites suivates : Pour la (ii), o pourra admettre que l iégalité est vraie pour tout x [0, /3] Exercice 9 Pour tout N o pose (i) a =!, (ii) b =!, (iii) c = (!) ()! u = x (,) x Démotrer que pour tout N o a + u + E déduire la covergece de la suite (u ) Exercice 0 Pour tout N o pose u = si() + si() + si(3) E ecadrat u, démotrer que la suite (u ) coverge Exercice (La costate d Apéry) Soit, pour tout N, Détermier la mootoie de la suite (u ) Motrer que pour tout N o a u u = si() 3 Justifier que la suite (u ) coverge Que peut-o dire de sa limite? Exercice Soiet (u ) et (v ) les suites défiies tout N par u = +! + 3! + +! et v = u +! Démotrer que (u ) et (v ) sot adjacetes E déduire que (u ) et (v ) coverget vers ue même limite 3 E calculat u 0 et v 0 doer u ecadremet de la limite commue de ces deux suites

3 CALCULS DE LIMITES PLANCHE 3 Calculs de limites Exercice 3 Posos u = et pour tout etier 3, u = ( ) ( 3 ) ( ) Calculer u E déduire que l o a lim u = Exercice 4 Détermier les limites lorsque ted vers l ifii des suites ci-dessous ; pour chacue, préciser e quelques mots la méthode employée ; ; 3 ; ; ( ) ; 3/ ; 6/4 ; 9/7 ; ; 3/(3 ) ; 3 0,3 ; 0,3 ; ; 0,3 ; ( + 3)( + 4) ( + )( + )( + 3) 6 [ ( + ) 7 + ( ) 8 + ( ) ] ( + / + /4 + /8 + + / ) puis ; ; ; ( ) ( ) 3 ( + ) 3 si(e ) Démotrer la formule = ( + )( + ) ; e déduire lim 6 Exercice 5 Calculer les limites suivates : (i) (v) ( + ) lim, (ii) lim lim ( + ) ( ) + ( + ), (iii) lim, (iv) lim + ( ) cos 3 + si, , (vi) lim (3 ), (vii) lim , (viii) lim Exercice 6 Calculer les limites des suites suivates : , (ix) lim (i) a = + 5, (ii) b = +, (iii) c = 4 + 4, + 5 (iv) d = +, (v) e + + =, (vi) f = 3 ( + ) 3 ( ), + (vii) g = 3 83, (viii) h = ( ) 3

4 3 SUITES EXTRAITES VALEURS D ADHÉRENCE LIMITE SUP, LIMITE INF PLANCHE 4 Exercice 7 Calculer les limites des suites suivates e appliquat le théorème des gedarmes : (i) a = , (ii) b = 3 + si, (iii) c = + ( ), (iv) d 3 + = 5 + 4, (v) e = , (vi) f = + + +, (vii) g = k + k + + k 3 Suites extraites Valeurs d adhérece Limite sup, limite if Exercice 8 Soit (u ) N ue suite de R Que pesez-vous des propositios suivates : Si (u ) coverge vers u réel l alors (u ) et (u + ) coverget vers l Si (u ) et (u + ) sot covergetes, il e est de même de (u ) 3 Si (u ) et (u + ) sot covergetes, de même limite l, il e est de même de (u ) Exercice 9 Soit q u etier supérieur ou égal à Pour tout N, o pose u = cos π q Motrer que N, u +q = u Calculer u q et u q+ E déduire que la suite u a pas de limite Exercice 30 (Calcul des valeurs d adhérece d ue suite) Calculer les valeurs d adhérece, la limite if et la limite sup de la suite (u ) défiie par (a) u = 5 + si() + ( ) + (b) u = ( ) ( + ) (c) u = cos( π 3 ) Comparer l esemble des termes (valeurs) de cette suite avec l esemble de ses valeurs d adhérece (d) u = 7 7 E( ) Comparer l esemble des termes (valeurs) de cette suite avec l esemble de ses valeurs d adhérece Itroduire la otio de valeur d adhérece pour ue suite das C Détermier les valeurs d adhérece de la suite complexe (z ) défiie par (a) z = i + ( ) +i ( + +i ) 3+ (b) z = ( +i 3 ) + ( + i ) + Exercice 3 Soit (u ) est ue suite réelle croissate qui admet ue suite extraite majorée Motrer que (u ) est majorée (doc covergete) Exercice 3 E utilisat des suites extraites, établir la divergece des suites suivates : u = +( ), v = cos(π ), w = E( ) Exercice 33 Motrer qu ue suite de ombres réels (u ) est o majorée si et seulemet si (u ) admet ue suite extraite qui diverge vers + Exercice 34 Soit (u ) ue suite de ombres réels telle que les suites extraites (u ), (u + ) et (u 3 ) coverget Motrer que la suite (u ) coverge Exercice 35 Soiet (u ) et (v ) les suites défiies par u = + π cos( ) et v = π si( ) Calculer les limites supérieures et iférieures des suites (u ), (v ) et (u + v ) Exercice 36 Détermier les limites supérieures et iférieures des suites (u ) et (v ) défiies par u = ( ) + { ( + +( ) ) p p v = p si = p ( + p )p si = p + + et 4

5 3 SUITES EXTRAITES VALEURS D ADHÉRENCE LIMITE SUP, LIMITE INF PLANCHE 5 Exercice 37 Motrer que pour toutes suites réelles borées (u ) et (v ) o a lim sup(u + v ) lim sup(u ) + lim sup(v ) Est-ce que cette iégalité reste vraie pour les suites o-borées? Attetio au cas lim sup(u ) =, lim sup v = Exercice 38 Soit (u ) ue suite covergete de R et soit l sa limite (a) Motrer que si { N u < l} est ifii, alors (u ) admet ue suite extraite strictemet croissate (b) Motrer que si { N u > l} est ifii, alors (u ) admet ue suite extraite strictemet décroissate (c) Que peut-o dire de la suite (u ) si les deux esembles { N u < l} et { N u > l} sot fiis? Motrer que toute suite das R admet ue suite extraite mootoe 3 Soit (u ) ue suite das R Motrer que toute valeur d adhérece de (u ) est la limite d ue suite extraite mootoe Exercice 39 Détermier les limites iférieures et supérieures de la suite (u ) défiie pour tout N par u = 0, u = u et u + = + u Exercice 40 (L esemble des valeurs d adhérece d ue suite borée) Soit (u ) ue suite borée et (v ) ue suite covergete dot tous les termes sot des valeurs d adhérece de (u ) Motrer que lim v est aussi ue valeur d adhérece de (u ) Exercice 4 Soiet (u ), (v ) deux suites das K (où K désige l u des corps R ou C) Notos par A (respectivemet B) l esemble des valeurs d adhérece de (u ), respectivemet (v ) E utilisat les suites (u ), (v ) costruire ue suite (w ) dot l esemble des valeurs d adhérece soit A B Exercice 4 (Suites borées deses das u itervalle) Soit a ]0, [ Pour x R posos ϕ a (x) := mi{x ka k Z, ka x} [0, a[ Remarquer que pour ϕ (x) = x E(x), puis ϕ a (x) = a( x a E( x a )) Supposos que a Q (a) Motrer que l esemble V des valeurs de l applicatio N [0, a[ défiie par ϕ a () est fii Préciser le cardial de cet esemble (b) Motrer que l esemble des valeurs d adhérece de la suite (ϕ a ()) est l esemble fii V (c) Doer u exemple de suite borée das R qui a exactemet 04 valeurs d adhérece 3 Supposos que a R \ Q (a) Motrer que l applicatio N [0, a[ défiie par ϕ a () est ijective (b) Motrer que la suite (ϕ a ()) admet ue suite extraite covergete das [0, a] (c) Motrer que pour tout ε > 0 il existe m, N tels que 0 < ϕ a (m) ϕ a () < ε (d) l esemble des valeurs d adhérece de la suite (ϕ a ()) est [0, a] 4 Préciser l esemble des valeurs d adhérece de la suite (u ) défiie par u = si() 5 Préciser l esemble des valeurs d adhérece de la suite (v ) défiie par v = ta() Exercice 43 (Suite borée telle que lim (u + u ) = 0) Soit (u ) ue suite borée de R telle que lim [ (u + u ) = 0 Motrer que l esemble des valeurs d adhérece de (u ) coïcide avec l itervalle lim if u, lim sup u ] Doer u exemple d ue suite suite borée et divergete (u ) de R telle que lim (u + u ) = 0 5

6 4 SUITES RÉCURRENTES PLANCHE 6 4 Suites récurretes Exercice 44 Soit la suite (u ) défiie par récurrece par : u 0 >, u + = u Motrer que u > pour tout N O suppose que la suite (u ) coverge Quelle est sa limite l? 3 Motrer que la suite (u ) est croissate 4 E déduire la ature de la suite (u ) (covergete ou pas) Exercice 45 Soit f : R R l applicatio défiie par f(x) = arcta x Motrer que f a u seul poit fixe x 0 et préciser ce poit Est-ce que f est ue cotractio? 3 Motrer que pour tout x R la suite récurrete (u ) das R défiie par u 0 = x, u + = f(u ) coverge vers x 0 Exercice 46 Soiet a, b R avec a < b et f : [a, b] [a, b] cotiue et croissate Motrer que la suite récurrete défiie par u 0 = b et u + = f(u ), est décroissate E déduire que la suite (u ) est covergete Exercice 47 (Méthode de Héro) Soit a > 0 O défiit la suite (u ) 0 par u 0 u réel vérifiat u 0 > 0 et par la relatio u + = ( u + a ) u O se propose de motrer que (u ) ted vers a Motrer que u + a = (u a) 4u Motrer que si alors u a puis que la suite (u ) est décroissate 3 E déduire que la suite (u ) coverge vers a 4 E utilisat la relatio u + a = (u + a)(u + + a) doer ue majoratio de u + a e foctio de u a 5 Si u a k et pour motrer que u a ( ) k a a 6 Applicatio : Calculer 0 avec ue précisio de 8 chiffres après la virgule, e preat u 0 = 3 Exercice 48 (Variate de la méthode de Héro) Soit a > 0 O défiit la suite (v ) 0 par v 0 u réel vérifiat u 0 > a et par la relatio v + = ( v + a ) 3 v Motrer que v + a = ( v )( a v 3v E déduire que v > a pour tout 0 3 Motrer que (v ) est décroissate 4 E déduire que la suite (v ) coverge vers a 5 Soit 0 Doer ue majoratio de v + a e foctio de v a 6 E déduire que v a (v 0 ( ) a) 3 7 Applicatio avec la calculatrice : calculer 8 avec ue précisio de 5 chiffres après la virgule, e preat v 0 = 3 Exercice 49 Soit f : R R défiie par f(x) = x + si(x) a ) 6

7 4 SUITES RÉCURRENTES PLANCHE 7 Faites le graphe de f, Motrer que f([0, π]) = [0, π] 3 Préciser l esemble des poits fixes de f 4 Soit k Z Motrer que pour tout x [kπ, (k + )π] o a x f(x) [kπ, (k + )π] et pour tout x [(k + )π, (k + )π] o a x f(x) [(k + )π, (k + )π] 5 Motrer que pour tout x R la suite récurrete (u (x)) associée à f de terme iitial u 0 (x) = x est covergete 6 Étudier l applicatio F : R R doée par F (x) := lim u (x) Exercice 50 Soit a et b deux ombres réels strictemet positifs O défiit les suites (u ) et (v ) par u 0 = a, v 0 = b, et pour tout etier 0 les relatios u + = (u + v ), v + = (u + + v ) Motrer que pour tout N, les ombres u et v sot positifs et iférieurs au max(a, b) Établir ue relatio simple etre u + v + et u v, et e déduire l expressio de u v e foctio de 3 Motrer que les suites (u ) et (v ) ot ue limite commue l 4 Étudier la suite (u + v ) et e déduire la valeur de l Exercice 5 Soiet a, b R tels que 0 < a < b Posos a 0 = a, b 0 = b et pour 0 a + = a b a + b, b + = (a + b ) Motrer que les suites (a ) et (b ) coverget et ot la même limite l que l o calculera e foctio de a et de b Motrer que pour tout N o a b + a + = (b a ) (a + b ) E déduire que pour tout 0 o a 0 (b + a + ) (b a) 4a 3 Applicatio : trouver ue valeur approchée de à 0 4 près et (b a ) 4a ( ) b a 4a 4 Pour a 0 = 3, b 0 = 5 calculer les valeurs exactes de a et b et e déduire u ecadremet de 5 par deux ratioels Exercice 5 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 0, 5 et pour tout N u + = + Motrer par récurrece eu que pour tout N o a 0 < u E déduire que pour tout N o a u + (+), puis la covergece de (u ) Exercice 53 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 5 et pour tout N u + = e u Démotrer par récurrece que (u ) est positive et décroissate Coclure Exercice 54 (Récurreces d ordre ) Soiet a R, b R \ {0} et (u ) ue suite das R satisfaisat la relatio de récurrece u + = au + + bu L équatio caractéristique associée à cette relatio de récurrece est r ar b = 0 Motrer que : (a) La suite (u ) est détermiée par les deux premiers termes u 0, u (b) Si l équatio caractéristique a deux racies réelles distictes r, r, alors le terme gééral de la suite (u ) est doé par u = λr + µr, où λ, µ sot des costates réelles (c) Si r 0 est ue racie double de l équatio caractéristique, alors le terme gééral de la suite (u ) est doé par u = (λ + µ)r 0, où λ, µ sot des costates réelles (d) Si l équatio caractéristique a deux racies complexes r = ρe iθ, r = ρe iθ alors le terme gééral de la suite (u ) est doé par u = ρ (λ cos(θ) + µ si(θ)), où λ, µ sot des costates réelles 7

8 5 SUITES DE CAUCHY PLANCHE 8 Das chaque cas détermier les costates λ, µ e foctio de u 0, u Idicatio : Si l équatio caractéristique a deux racies complexes et ρ =, utiliser l exercice?? 3 Das chaque cas étudier la covergece de la suite (u ) 4 Applicatio : Soit (u ) ue suite de Fiboacci, doc ue suite qui satisfait la relatio récurrece u + = u + +u Doer la formule du terme gééral e foctio des termes iitiaux u 0, u Pour quelles paires (u 0, u ) R la suite de Fiboacci associée est covergete? Exercice 55 O cosidère la suite récurrete défiie par u + = f(u ) où f(x) = x et u 0 0 Étudier f et le sige de f(x) x Quelles sot les limites possibles de (u )? O suppose de plus que u 0 0, 5 Motrer que u [0; 0, 5] pour tout N, puis que (u ) est croissate Coclure 3 O suppose cette fois que u 0 [0, 5; 0, 75] Motrer que (u ) est décroissate et miorée Coclure 4 O suppose cette fois que u 0 > 0, 75 Motrer que (u ) est croissate Coclure Exercice 56 Soit f : R + R + défiie par f(x) = + x O cosidère la suite récurrete défiie par u + = f(u ) et u 0 = Motrer que l itervalle [, 3] est stable par f Que peut-o e déduire pour la suite (u )? Quel est le ses de variatio de f sur l itervalle [, 3]? Motrer que la suite (u ) est croissate et que la suite (u + ) est décroissate 3 E déduire que (u ) et (u + ) sot covergetes et détermier leur limite respective 4 Quelle est la ature de la suite (u )? Exercice 57 (suite arithmético-géométrique) Soit la suite (u ) défiie par u + = au + b où a R \ {0, } et b R Quelle est la seule limite possible l de la suite (u )? Soit (v ) la suite défiie par v = u l Démotrer que (v ) est géométrique E déduire la covergece de la suite (u ) Exercice 58 Soiet a et b deux réels, a < b O cosidère la foctio f : [a, b] [a, b], supposée cotiue et mootoe, et ue suite récurrete (u ) défiie par : u 0 [a, b] et N, u + = f(u ) O suppose que f est croissate Motrer que (u ) est mootoe et e déduire sa covergece vers ue solutio de l équatio f(x) = x Applicatio : u 0 = 4 et N, u + = 4u + 5 u O suppose que f est décroissate Motrer que les suites (u ) et (u + ) sot mootoes et covergetes 4 Applicatio : u 0 = et N, u + = ( u ) Calculer les limites des suites (u ) et (u + ) 5 Suites de Cauchy Exercice 59 Soit (u ) ue suite das R telle que la suite (v ) de terme gééral v = u k+ u k est borée Motrer que (v ) et (u ) sot covergetes Exercice 60 Motrer e utilisat le critère de Cauchy que la suite u = k=0 est divergete Exercice 6 O cosidère ue suite de ombres réels (u ) tels que pour tout N o a u + u k u u Motrer à l aide du critère de Cauchy que (u ) est covergete lorsque k [0, [ Exercice 6 8

9 6 EXERCICES COMPLÉMENTAIRES PLANCHE 9 Démotrer par récurrece sur p que pour tout p N et pour tout N o a Motrer que la suite (u ) doée par u = Exercice 63 Motrer, e utilisat la défitio, que ( + ) + ( + ) + + ( + p) + p k= la suite (u ) défiie par u = ( ) + est pas de Cauchy la suite (u ) défiie par u = +( ) est de Cauchy est ue suite de Cauchy k Exercice 64 Soit x R fixé Motrer que la suite (u ) défiie par u = E(0 x) 0 à valeurs ratioelles coverge vers x E déduire que tout ombre réel (e particulier tout ombre irratioel) est la limite d ue suite de Cauchy à valeurs das Q Qu est-ce qu o peut dire de la suite (u ) lorsque x est u ombre décimal (doc u ombre possédat u développemet décimal limité)? x Q? Exercice 65 Motrer que la suite (u ) défiie par est de Cauchy 6 Exercices complémetaires N, u = Exercice 66 Soit (u ) ue suite de ombres réels qui vérifie : k= ( + k )k, p N, 0 u +p + p p Motrer que (u ) coverge vers 0 Exercice 67 Calculer, suivat les valeurs de x, la limite des suites (u ), u = (cos(x)), x R, et (v ), v = cos(!πx), x Q Exercice 68 Soit (u ) ue suite de ombres réels Ue telle suite possède la propriété P (resp P) s il existe u idice h (resp k) tel que u h = sup N u (resp u k = if N u ) Motrer que si la suite (u ) est covergete, elle possède au mois l ue des propriétés P ou P Doer u exemple de suite covergete qui possède les deux propriétés P et P Exercice 69 (Le ombre e comme limite d ue suite) Soit (x ) N la suite das R défiie par x = ( + ) Motrer que : x = +! + ( ) ( ) ( ) [ (! + 3! + +! La suite (x ) est croissate, 3 Pour tout N o a x +! +! +! = k=0 k! 4 La suite (x ) est borée par 3 ) ( 5 La suite (x ) est covergete Soit l la limite de cette suite 6 Pour tout N o a l k=0 k! 7 La suite (s ) de terme gééral s = k=0 k! est covergete et l = lim s 8 l = lim u 0 ( + u) u au ses des limites de foctios 9 ) ( ) ]

10 6 EXERCICES COMPLÉMENTAIRES PLANCHE 0 9 l = e ( 0 Calculer lim ) Exercice 70 Soit (u ) ue suite de réels positifs telle que pour tout N o a u + (u + u + ) Motrer que (u ) coverge Idicatio : O pourra commecer par étudier la mootoie de la suite de terme gééral v := max(u +, u ) Exercice 7 Soit (u ) ue suite borée telle que, pour tout etier, u (u + u + ) Motrer que la suite (u ) coverge Idicatio : étudier d abord la suite (v ) défiie par v = u u Exercice 7 (Théorème de Cesaro) Motrer que si ue suite (u ) N coverge vers l, elle coverge aussi e moyee arithmétique vers l, c est-à-dire que la suite (x ) de terme gééral x = u+u+ +u coverge aussi vers l Idicatio : Traiter d abord le cas l = 0 puis s y rameer e cosidérat la suite (v ) de terme gééral v = u l La réciproque est-elle vraie? Doer u exemple 3 Motrer que si lim u = + (où lim u = ), alors la suite (x ) de terme gééral x = a la même propriété u +u + +u 4 Soit (u ) ue suite mootoe Motrer que (u ) coverge vers l si et seulemet si la suite (x ) de terme gééral x = u+u+ +u coverge vers l Exercice 73 Soit (u ) N ue suite de R + qui coverge vers l Motrer que lim u u u = l Idicatio : Réduire le problème au théorème de Cesaro e utilisat la foctio l Attetio au cas l = 0 Est-ce que le résultat reste vrai si lim = +? Exercice 74 (Théorème des itervalles emboités) Soit (I ) ue suite d itervalles fermés I = [a, b ] telle que pour tout N o a I + I Motrer que N I Quelle coditio doivet satisfaire les suites (a ), (b ) pour que l itersectio N I ait u seul élémet? 3 Est-ce que le théorème similaire est vrai das Q (doc si o remplace les itervalles fermés de ombres réels par des itervalles fermés de ombres ratioels)? 0

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