Interprétation graphique ] [ + tous les termes de la suite à partir d un certain rang appartiennent à cet intervalle ]a;b[ b) Limite infinie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Interprétation graphique ] [ + tous les termes de la suite à partir d un certain rang appartiennent à cet intervalle ]a;b[ b) Limite infinie"

Transcription

1 SUITES NUMERIQUES 2 ème partie I- Limite d une suite a) Limite finie Définition Soit (U n ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (U n ) admet pour limite, si tout intervalle ]a ;b[ contenant contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que la suite est convergente Interprétation graphique ] [ + tous les termes de la suite à partir d un certain rang appartiennent à cet intervalle ]a;b[ b) Limite infinie Définition Soit (U n ) une suite de nombres réels et a un réel. On dit que la suite (U n ) admet pour limite +, si tout intervalle de la forme ] a ;+ [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang On dit que la suite (U n ) admet pour limite, si tout intervalle de la forme ] ;a [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang Interprétation graphique : ] Tous les termes de la suite à partir d un certain rang appartiennent à cet intervalle Remarque : Une suite qui ne converge pas est dite divergente et sa limite est +, ou pas de limite II- Des limites à connaître Compléter les limites suivantes qui utilise votre bon sens : 1 lim n = lim 1 n 2 = lim n = lim 1 n = Opérations sur les limites a) Limites d une somme Les suites u n et v n ayant une limite ( finie ou infinie ), la suite u n v n admet une limite dans chacun des cas décrits dans le tableau ci-dessous : + l' + b) Limite d un produit

2 Les suites u n et v n ayant une limite ( finie ou infinie ), la suite u n v n admet une limite dans chacun des cas décrits dans le tableau ci-dessous : l' c) Limite d un quotient Les suites u n et v n ayant une limite ( finie ou infinie ), la suite u n v n admet une limite dans chacun des cas décrits dans le tableau ci-dessous : l' II) Propriétés sur les limites Généralités Théorème : Si une suite (U n ) converge, sa limite est unique Démonstration : Un raisonnement par l absurde permet de démontrer ce résultat. On suppose que la suite admet deux limites distinctes en choisissant correctement les deux intervalles : et ' avec < '. On utilise alors la définition d une limite finie = donc tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang c est à dire : pour tout n > N, U n ] ; + [ = ' donc tout intervalle ouvert contenant d un certain rang c est à dire : pour tout n > P, U n ] ' ; ' contient tous les termes de la suite à partir ' + [ On choisit alors pour obtenir des intervalles disjoints. Par exemple : = ( ' )/4 > 0. Si on note alors n 0 le plus grand des deux entiers N et P, on doit donc avoir : pour tout n > n 0, U n ] ; + [ et U n ] ' ; ' + [ ce qui est contradictoire car ces deux intervalles sont disjoints d où l hypothèse de départ est fausse et = ' M. Philippe 24/09/12 Page 2 / 5

3 Théorème ( BAC ) : Soit u n une suite croissante Si (U n ) converge vers un réel l alors elle est majorée par l Démonstration : Raisonnons par l'absurde Supposons qu'il existe un rang n 0 tel que u n0 > l L'intervalle I = ]l 1 ; u n0 [ est un intervalle contenant l. D'où comme la suite converge vers l, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans I mais la suite u n est croissante donc pour n n 0, u n u n0 d'où u n I Il est donc impossible que I contienne tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. L'hypothèse de départ est donc fausse et la suite est majorée par l Théorème : Si une suite (U n ) converge, elle est bornée Démonstration Soit u n une suite qui CV vers l alors tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Prenons l'intervalle ] l 1 ; l + 1 [ Donc pour tout n n 0 u n ] l 1 ; l + 1 [. Ainsi pour n n 0, u n est bornée par l 1 et par l + 1 Pour n n 0, nous avons alors affaire à un nombre limitée de termes de l'ensemble { u 0, u 1,..., u n 0 } Il y a donc un plus grand et un plus petit terme dans cet ensemble d'où la suite est aussi bornée. Donc pour tout n N, u n est bornée Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. Contre exemple avec la suite U n = ( 1) n bornée mais non convergente La contraposée de ce théorème nous permet d affirmer qu une suite non bornée est divergente IV- Les théorèmes de comparaisons Le Théorème des Gendarmes (admis): Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites numériques vérifiant à partir d un certain rang, u n v n w n Si les suites (un) et (wn) sont des suites convergentes de même limite alors la suite (vn) est convergente et a pour limite Un théorème très utile pour déterminer une limite car il est fréquent d'encadrer une suite par deux autres qui sont convergentes Exemples : 2 1 n u n = n M. Philippe 24/09/12 Page 3 / 5

4 Les théorèmes de comparaisons ( BAC ) : Soit (u n ) et (v n ) deux suites numériques telles que u n v n à partir d un certain rang Démonstration du 1) 1) Si = + alors = + 2) Si = alors = Par hypothèse, la suite u n tend vers + donc pour a R, l'intervalle ]a;+ [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang n 0 cad pour tout n n 0, u n a On sait aussi que v n u n à partir d'un certain rang n 1 Notons alors N le plus grand des entiers n 0 et n 1. On a alors : Pour n N, v n u n a d'où l'intervalle ]a;+ [ contient tous les termes de la suite à partir du rang N. Comme ce raisonnement s'applique pour tous réel a R, la suite u n tend vers + V- Théorèmes de convergence monotone Théorème (admis) Si (U n ) est une suite croissante et majorée alors elle converge Si (U n ) est une suite décroissante et minorée alors elle converge Un théorème très utile pour assurer la convergence d une suite. Cependant, il a ses limites car il ne nous renseigne pas sur la valeur de cette limite Théorème ( BAC ) Si (U n ) est une suite croissante et non majorée alors = + Si (U n ) est une suite décroissante et non minorée alors = n Démonstration : Démontrons le premier théorème Soit (U n ) une suite croissante et non majorée. Si une suite est majorée, il existe un réel M R, tel pour tout n N, U n M Ainsi la suite n étant pas majorée, pour tout M R, il existe n N tel que U n > M A noter : Le contraire de «il existe» est «quelque soit» et vice versa Cependant, la suite étant croissante, pour tout p > n, on a U p > U n ainsi U p > M On a donc prouvé tous les termes de la suite sont dans l intervalle ]M ;+ [ à partir d un certain rang d où le résultat M. Philippe 24/09/12 Page 4 / 5

5 VI- Comportement à l'infini de la suite q n, q étant un nombre réel Théorème ( BAC ) Soit la suite q n définie sur N,avec q R. Si q > 1 alors lim q n = + Si q = 1 alors lim q n = 1 Si 1 < q < 1 alors lim q n = 0 Si q 1 alors la suite q n n'a pas de limite Démonstration ( BAC ): Dans le cas q > 1. Comme q > 1 on peut écrire q = 1 + a pour tout n N. D'après l'inégalité de Bernoulli démontrée en DM, on a donc q n 1 na pour tout n N. D'où comme lim na = + car q > 0 d'après les théorèmes de comparaisons, on en déduit que lim q n =+ Application Ce théorème est utile pour déterminer la limite d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 car on a alors u n =u 0 q n d'où selon le signe de u 0 et la valeur de q on peut en déduire la limite de la suite u n M. Philippe 24/09/12 Page 5 / 5

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k =

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k = Analyse : Chapitre 4 I Généralités sur les séries Définitions Séries numériques Définition Soit u une suite réelle. On appelle série de terme général u n, et on note u n, la suite (S n ) n N définie par

Plus en détail

Cours 5: Une introduction aux suites numériques

Cours 5: Une introduction aux suites numériques Cours 5: Une introduction aux suites numériques Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012-2013 1 Généralités sur les suites

Plus en détail

Chapitre 2. Séries Numériques. Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda

Chapitre 2. Séries Numériques. Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda Année 2007-2008 ENSA - Analyse II Enseignant : I.Elmahi Chapitre 2 Séries Numériques Table des matières Généralités. Dénition d'une série...................................2

Plus en détail

Les séries numériques

Les séries numériques Les séries numériques Généralités. Séries à termes réels ou complexes.. Notion de série numérique Étant donnée une suite (u n ) n n0 de nombres réels ou complexes, on appelle série des u n et on note u

Plus en détail

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés Chapitre I Suites Exercices 8, 9, 0, 3, 4, 6, 3, 3, 34 page 34 pour revoir les notions de première sur les suites (récurrence, sens de variation...) Suite géométrique. Définition Définition Une suite u

Plus en détail

Des outils pour les suites

Des outils pour les suites Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : ppelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers

Plus en détail

Étude de fonctions Limites et continuité

Étude de fonctions Limites et continuité Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un

Plus en détail

Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions I. Suites de fonctions : Soient l un des corps ou et une partie non vide de. Une suite de fonctions de dans K est une application de dans l ensemble des fonctions

Plus en détail

Nombre dérivé. Fonction dérivée.

Nombre dérivé. Fonction dérivée. Nombre dérivé. Fonction dérivée. 1. Nombre dérivé. 1.1. Introduction Activité 1 : D'après IREM Clermont Ferrand Activité 1 1.2.Taux d'accroissement. Limite en 0. Définition : Soit f une fonction définie

Plus en détail

Cours de mathématiques 2A S2

Cours de mathématiques 2A S2 Cours de mathématiques 2A S2 2010 2011 Cours de mathématiques du 2nd semestre de 2ème année Esstin. Professeur : Valein Julie. Amélie Caissial Quentin Grandemange Si vous trouvez des erreurs dans ce cours,

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Chap 1 Suites géométriques

Chap 1 Suites géométriques Chap 1 Suites géométriques Terminale ES Chap 1 - Suites géométriques I Notion de suite géométrique (TES110, TES111, TES112)4 1) Définition4 2) Relation entre les termes4 II Monotonie d'une suite géométriques

Plus en détail

1 RECURRENCE - SUITES BORNEES

1 RECURRENCE - SUITES BORNEES I - Rappels - Généralités 1. Définitions 1 RECURRENCE - SUITES BORNEES Une suite est une application de IN dans IR qui associe à tout entier n un unique réel. On note (u n ) la suite et u n le terme de

Plus en détail

Epsilon. Analyse 1. 8 novembre 2013

Epsilon. Analyse 1. 8 novembre 2013 Epsilon Analyse 1 8 novembre 2013 En bref But du jeu : voir les raisonnements les plus simples avec ε (epsilon) Justification de quelques propriétés des limites de suites en utilisant ces raisonnements

Plus en détail

Cours de Terminale S / Suites. E. Dostal

Cours de Terminale S / Suites. E. Dostal Cours de Terminale S / Suites E. Dostal juillet 204 Table des matières Suites 2. Notion de Suites......................................... 2.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

LES SUITES NUMERIQUES

LES SUITES NUMERIQUES LES SUITES NUMERIQUES I Définition Une suite est une fonction qui a tout entier naturel n associe, au plus, un réel noté U(n) ou encore U n. Remarque C est une fonction particulière car définie dans É.

Plus en détail

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire F.Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions 2 2 Propriétés de la somme 4 1 1 Définitions On se donne

Plus en détail

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1.

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1. Chapitre III Séries III.a. Introduction Définition 31 (série) Soit (u n ) une suite de N dans un K-espace vectoriel normé E. La somme partielle S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n (1) définit une nouvelle suite,

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions DERNIÈRE IMPRESSIN LE 9 octobre 204 à 9:32 Limites de fonctions Table des matières Limite finie ou infinie à l infini 2. Limite finie à l infini........................... 2.2 Limite infinie à l infini..........................

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

Corrigé du baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014 orrigé du baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 014 A. P. M. E. P. Exercice 1 ommun à tous les candidats 6 points Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. ette

Plus en détail

L ensemble des nombres réels

L ensemble des nombres réels Université Pierre et Marie Curie 1M001 L ensemble des nombres réels 1 Entiers, rationnels et réels N = {0, 1,...} est l ensemble des entiers naturels. Z = {...,, 1, 0, 1,,...} est l ensemble des entiers

Plus en détail

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES

Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES Algèbre - chap 1 1/8 Algèbre 1 RAISONNEMENT ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES 1. ELEMENTS DE LOGIQUE 1.1 Propositions Règles logiques Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation

Plus en détail

Le calcul propositionnel

Le calcul propositionnel MTA - ch2 Page 1/8 Éléments de logique - Raisonnements I Le calcul propositionnel Dénition 1 Une assertion est un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s'il est Vrai ou Faux. Cette convention permet

Plus en détail

SUITES. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction) Exercice 03 (voir réponses et correction)

SUITES. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction) Exercice 03 (voir réponses et correction) SUITES Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère un carré ABCD de coté c = 4. On appelle A 1, B 1, C 1 et D 1, les points situés respectivement sur [AB], [BC], [CD], [DA] à la distance 1 de

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Développements limités Relation de prépondérance Si I est un intervalle réel, l ensemble des points adhérents de I, dans R est l ensemble Ī, réunion des points de I et des points de la frontière de I.

Plus en détail

Introduction. 1 Rappel sur les suites de Cauchy. Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Introduction. 1 Rappel sur les suites de Cauchy. Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr 1 le 30 Septembre 2010 UTBM MT26 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Séries numériques Introduction. Une série est la somme des termes d une suite. Mais la théorie des séries n est pas qu une simple

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

Exercices de mathématiques sur les suites numériques en terminale : Guesmi.B

Exercices de mathématiques sur les suites numériques en terminale : Guesmi.B le Baccalauréat S. les suites Exercices de maths en terminale Exercices de mathématiques sur les suites numériques en terminale : Guesmi.B les suites numériques : exercices de maths en terminale S. La

Plus en détail

2 Plus grand commun diviseur

2 Plus grand commun diviseur 2 Plus grand commun diviseur PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS Définition Soit deux nombres entiers naturels a et b non nuls. Un nombre entier naturel δ qui divise chacun de ces nombres est appelé diviseur

Plus en détail

Différents types de raisonnement en mathématiques

Différents types de raisonnement en mathématiques Différents types de raisonnement en mathématiques I) Symboles logiques 1) Les quantificateurs Les quantificateurs permettent de connaitre le domaine de validité d une propriété. a) Pour une propriété universelle

Plus en détail

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Aix-Marseille Université 2012-2013 Analyse I PLANCHE 1 : LIMITES, CONTINUITÉ Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Exercice 1 Soit a, b R. Montrer les implications suivantes :

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections - somme de termes, limite de suites arithmétique et

Plus en détail

ENSEMBLES DE NOMBRES. I - Les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté N *

ENSEMBLES DE NOMBRES. I - Les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté N * ENSEMBLES DE NOMBRES Ne pas confondre «nombre» et «chiffre» Les nombres servent à dénombrer, calculer.les chiffres servent à écrire les nombres. Numération de position : Principe selon lequel la signification

Plus en détail

Terminale ES Rappels sur les suites I Qu est-ce qu une suite? Définition : liste ordonnée de nombres réels,

Terminale ES Rappels sur les suites I Qu est-ce qu une suite? Définition : liste ordonnée de nombres réels, I Qu est-ce qu une suite? Définition : Rappels sur les suites Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie. On note ( ) la suite u 0, u 1, u 2,..,, +1, Le nombre

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016 Table des matières 1 Les suites infinies Les séries

Plus en détail

Chapitre 4. Suites réelles

Chapitre 4. Suites réelles Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 4 Suites réelles Emmanuel Royer emmanuel.royer@math.univ-bpclermont.fr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

MATRICES. Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012)

MATRICES. Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012) MATRICES Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012) Les carrés «latins», ancêtres des Sudoku, sont connus depuis longtemps (on en trouve dans une légende chinoise

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

I. Divisibilité dans Z

I. Divisibilité dans Z 1 I. Divisibilité dans Z Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a,

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES. Chapitre 6

SERIES NUMERIQUES. Chapitre 6 MA 20 SERIES NUMERIQUES I GENERALITES ) Définitions 2) Condition nécessaire de convergence d une série 3) Une évidence fondamentale 4) Somme de série convergente 5) Equivalence Suite/série 6) Reste d ordre

Plus en détail

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION TS - Maths - DS3 - CORRECTION Samedi 4 Novembre 20-2h Exercice Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne On donnera une valeur approchée à 0 2 près des résultats

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Définition d un ensemble Définition 1. Un ensemble est une collection d objets mathématiques. Les objets qui

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés...

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés... 1. Espaces métriques 1 Distance, boules, ouverts, fermés... Définition 1.1. Soit E un ensemble (non vide). On appelle distance sur E une application d de E E dans [0, + [ vérifiant les trois propriétés

Plus en détail

T ES/L CORRECTION DU BAC BLANC DU 15 FEVRIER 2013

T ES/L CORRECTION DU BAC BLANC DU 15 FEVRIER 2013 T ES/L CORRECTION DU BAC BLANC DU 15 FEVRIER 2013 Exercice 1-3 points - Polynésie juin 2010 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont

Plus en détail

Bornes supérieures et inférieures

Bornes supérieures et inférieures Bornes supérieures et inférieures Exercice :. Montrer que pour tout n N, m N 0 < (m + n) 2 4 2. En déduire que A = { (m + n) 2, n N, m N } Admet une borne inférieure et une borne supérieure que l on déterminera.

Plus en détail

Chapitre 5. Applications

Chapitre 5. Applications Chapitre 5 Applications 1. Définitions et exemples Définition 5.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Leçon 69 : Les différents types de raisonnement en mathématiques

Leçon 69 : Les différents types de raisonnement en mathématiques Leçon 69 : Les différents types de raisonnement en mathématiques 1 er avril 01 En mathématiques, pour démontrer divers propriétés ou théorèmes, nous avons besoin d appliquer rigoureusement un raisonnement

Plus en détail

Suites logistiques Algorithme

Suites logistiques Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 octobre 2015 à 10:11 Suites logistiques Algorithme 1 Définition et propriétés Définition 1 : Une suite logistique (u n ) est une suite définie sur N par : u 0 [0 ; 1] et u n+1

Plus en détail

Étude de fonctions I) Fonctions de référence :

Étude de fonctions I) Fonctions de référence : Étude de fonctions I) Fonctions de référence : a) fonctions affines, fonction carré, fonction inverse (rappels) : fonctions affines : de formule algébrique () = a + b avec a et b Elles sont définies sur

Plus en détail

Dérivées et continuité

Dérivées et continuité Dérivées et continuité TS Exercice 1 [Côté exercices Réactivation de notions de la classe de Première? ] QCM p 90 Déclic I Rappels sur les dérivées A Les principale idées vues en Première 1 Les dérivées,

Plus en détail

Séries entières - Rayon de convergence - Propriétés de la somme

Séries entières - Rayon de convergence - Propriétés de la somme 1 Définition et premières propriétés 1.1 Notion de série entière Définition 1 On appelle série entière toute série d applications f n telle qu il existe une suite ( ) n N d éléments de C telle que : n

Plus en détail

RELATION BINAIRE [ [ ( ) Est bien définie et que c est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 :

RELATION BINAIRE [ [ ( ) Est bien définie et que c est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 : RELATION BINAIRE Exercice 1 : Soit { } et la relation binaire sur dont le graphe est { } 1. Vérifier que la relation est une relation d équivalence. 2. Faire la liste des classes d équivalences distinctes

Plus en détail

T ES DEVOIR SURVEILLE 3 20 DECEMBRE 2013

T ES DEVOIR SURVEILLE 3 20 DECEMBRE 2013 T ES DEVOIR SURVEILLE 3 20 DECEMBRE 2013 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES RÉELS 1 Approximations d un réel 1.1 Ensembles de nombres Notation 1.1 On note R l ensemble des nombres réels. On note Q l ensemble des nombres rationnels i.e. l ensemble des nombres de la forme

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

CAPES externe 2008 de Mathématiques Première composition : CORRIGÉ

CAPES externe 2008 de Mathématiques Première composition : CORRIGÉ ............................................................................................................. CAPES externe 2008 de Mathématiques Première composition : CORRIGÉ Alexis GONZÁLEZ & Martial

Plus en détail

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. 1 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. I) RAPPELS DE COURS : Caractérisation par une relation de récurrence Caractérisation par une formule explicite Représentation graphique sur un axe Suites

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Espaces vectoriels de dimension finie 1.1) Famille génératrice (rappel) Exemple 1 On considère par exemple l'espace vectoriel R² et les vecteurs 1,1, 1, et,3. Soit un élément quelconque de R²,,. Peut-on

Plus en détail

Généralités sur les fonctions - corrigé

Généralités sur les fonctions - corrigé Généralités sur les fonctions - corrigé Exercice 1 : La courbe ci-contre représente une fonction f. En utilisant le graphique, répondre aux questions. 1. Donner l'ensemble de définition de f. d f = [ 5;7]

Plus en détail

Variables aléatoires : loi et espérance.

Variables aléatoires : loi et espérance. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 4 Variables aléatoires : loi et espérance. 1. Dans une population de n oiseaux, on en capture m que l'on bague puis

Plus en détail

Soit (a k ) k N une suite d éléments de R. Toute. a k = a 0 + a 1 + a (3.1)

Soit (a k ) k N une suite d éléments de R. Toute. a k = a 0 + a 1 + a (3.1) Chapitre 3 Séries numériques Nous appliquons les résultats du Chapitre 2 au calcul des séries numériques. Nous démontrons que le nombre d Euler peut être représenté par une série et définissons la série

Plus en détail

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites 3. Nombres réels, suites numériques 3.1. Le corps des nombres réels 3.1.1. Le groupe (IR, +) 3.1.2. L anneau (IR, +, ) 3.1.3. Le corps (IR, +, ) 3.1.4. Nombres rationnels ou irrationnels 3.1.5. Relation

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 octobre 205 à 9:20 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Table des matières Raisonnement par récurrence 2. Effet domino................................ 2.2 Intérêt du

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie //0 Corrigé. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats Soit f la fonction dérivable, définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f (x)=e x + x.. Étude d une fonction

Plus en détail

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES 1 DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I. Divisibilité dans! Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de

Plus en détail

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 : Principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence 1 I Exemple introductif On considère les suites de terme général : n (n + 1) u n = 0 + 1 + + (n

Plus en détail

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques Ecole Polytechnique, 009-00 EV- Mathématiques Appliquées Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements ités, Équivalents, Séries Numériques Fonctions usuelles. Quelques rappels Théorème. (Fonctions

Plus en détail

a p a [p] " e: Montrez que p est premier si et seulement si pour tout r {1 ; 2 ;... ; p - 1}, on a r p-1 1 [p]

a p a [p]  e: Montrez que p est premier si et seulement si pour tout r {1 ; 2 ;... ; p - 1}, on a r p-1 1 [p] EXERCICES D ARITHMETIQUE EXERCICE1 Guesmi.B Nombres de Mersenne: a: Montrez que pour tout n entier naturel > 2, si 2 n - 1 est premier alors n est premier b: Montrez que 2 11-1 n'est pas premier EXERCICE2

Plus en détail

Université de Poitiers. UFR Sciences Fondamentales et Appliquées. Licence 1 SPIC. Analyse Elémentaire. Larbi Belkhchicha

Université de Poitiers. UFR Sciences Fondamentales et Appliquées. Licence 1 SPIC. Analyse Elémentaire. Larbi Belkhchicha Université de Poitiers UFR Sciences Fondamentales et Appliquées Licence 1 SPIC Analyse Elémentaire Larbi Belkhchicha Poitiers, le 19 janvier 011 Table des matières CHAPITRE 1 FONDEMENTS Du vrai suit

Plus en détail

Proposition de corrigé

Proposition de corrigé Externat Notre Dame Bac Blanc n 2 (Tle S) Lundi 27 Avril 2015 durée : 4 h calculatrice autorisée Dans tout ce devoir, la qualité de la rédaction et le soin seront pris en compte dans la notation. Les exercices

Plus en détail

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A 7 points Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P 1 et P 2 de corpulences différentes la concentration C d alcool dans le sang (taux

Plus en détail

Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.

Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître l identité et le théorème de Bézout. savoir calculer les coefficients de Bézout par «descente» ou par remontée de l algorithme d Euclide.

Plus en détail

x 1 0 et que, sur l intervalle ; 2 4

x 1 0 et que, sur l intervalle ; 2 4 Polynésie septembre 015 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. On rappelle que la partie réelle d un nombre complexe z est notée

Plus en détail

http://oral.bac.free.fr Pour préparer efficacement l oral de rattrapage du Baccalauréat SERIE S REPONSES AUX QUESTIONS LES PLUS FREQUENTES Après l oral, on conserve la meilleure des deux notes. L oral

Plus en détail

ROC (Restitution organisée des connaissances)

ROC (Restitution organisée des connaissances) TS 2015/2016 Les Suites ROC (Restitution organisée des connaissances) ROC N 1:Théorèmes de comparaison Théorèmes de comparaison Soit trois suites, et. L désigne un nombre réel. Si à partir d un certain

Plus en détail

Suites et séries numériques.

Suites et séries numériques. Licence MIEE, Module AN2 Suites et séries numériques. L - 200-20 - S2/S4 Résumé de cours Chapitre Premières propriétés des nombres réels.. Introduction Vous avez déjà rencontré des ensembles de nombres

Plus en détail

Les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques,

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

LEÇON N 52 : 52.1 Suites monotones

LEÇON N 52 : 52.1 Suites monotones LEÇON N 52 : Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d un nombre réel, développement décimal. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice.

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

Terminale ES L'essentiel sur les suites pour traiter les problèmes.

Terminale ES L'essentiel sur les suites pour traiter les problèmes. Terminale ES L'essentiel sur les suites pour traiter les problèmes. Sens de variations d'une suite : ) est strictement croissante, on prouve que : n, u n+1 >u n ou que n, u n+1 >0. ) est strictement décroissante,

Plus en détail

Calcul des limites de Suites numériques

Calcul des limites de Suites numériques Fiche BAC 02 Calcul des ites de Suites numériques Exercice n 1 Calculer les ites des suites suivantes lorsqu'elles existent. Justifier votre réponse. Pour tout entier n : 1 ) u n =n 2 n+5 2 ) v n = 2n2

Plus en détail

Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones

Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones Université Bordeaux 1 INF569 Master d informatique Logique et Langages (2 - partie 2) Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones Anne Dicky 7 novembre 2009 Table des matières 1 Exemples de points fixes

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 9 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement de Spécialité Centres étrangers EXERCICE 1 1) Restitution organisée de connaissances a) Les événements B A et B A constituent

Plus en détail

Suites : Calcul et comportement asymptotique.

Suites : Calcul et comportement asymptotique. 4 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Cours d Analyse Mathématiques II. Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales

Cours d Analyse Mathématiques II. Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Cours d Analyse Mathématiques II A. Ezziani M. Laaraj Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Aïn Sebâa aezziani@gmail.com mohamed.laaraj@gmail.com Sciences

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Filière SMA Module de topologie

Filière SMA Module de topologie Université Mohammed V-Rabat Faculté des sciences Département de mathématiques Filière SMA Module de topologie Semestre 5 Hamza BOUJEMAA 1 Introduction Le contenu du module de topologie enseigné en semestre

Plus en détail

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base.

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. 1 Axiome du choix Definition 1.1. Etant donnée une famille (A i ) i I de parties d un ensemble E (c est à dire une application de

Plus en détail

Inégalités Valeur absolue

Inégalités Valeur absolue Inégalités Valeur absolue Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Intervalles de R 2 2 Comparaison de deux réels. 3 2.1 Inégalités.................................................

Plus en détail

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 7 points Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée

Plus en détail

Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés

Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : conjecture de la limite d une suite définie par une formule explicite

Plus en détail

Figures itératives avec GéoPlan

Figures itératives avec GéoPlan Sommaire. Problème des quatre chiens. Figures itératives : carrésgigognes 3. Étude d'une suite tendant vers 0. Figures itératives : polygones réguliers a. triangles b. pentagones 5. Retour sur les carrés

Plus en détail

Correction des exercices du TD1

Correction des exercices du TD1 Correction des exercices du TD1 Rappel : des aides vous sont fournies sur le site «www4.utc.fr /~mt21/» à la fin des fichiers consacrés aux chapitre de cours. N hésitez pas à les consulter pour refaire

Plus en détail