1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes

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1 Suites covergetes p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7

2 1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que la suite (u ) admet pour limite + si et seulemet si, pour tout ombre réel A, tous les termes de la suite sot supérieur à A à partir d'u certai rag. Il existe doc u etier 0 tel que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à 0, o ait u > A (u ] A;+ [). u =+ O ote lim O dit que la suite (u ) admet pour limite - si et seulemet si, pour tout ombre réel A, tous les termes de la suite sot iférieur à A à partir d'u certai rag. Il existe doc u etier 0 tel que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à 0, o ait u < A (u ] ; A[). u = O ote lim b) Exemples u = +2. O veut démotrer que lim u =+ Soit A u ombre réel. u > A +2>A > est u ombre réel doc compris etre 2 etiers cosécutifs. E <E +1 E est la partie etière de. +1 O choisit 0=E u =+. Si, 0 alors u > A et doc lim ( ) ( ) ( ) ( ) Page 2

3 u = u = 2. O veut démotrer que lim Soit A u ombre réel. 2 <A Si A 0, il suffit de choisir 0=1. Si, 0 alors u < A Si A<0 alors A= B avec B>0 (B= A ) u < A ²< A ²< B 2>B > B car la foctio carrée est strictemet croissate sur [0 ;+ [ E ( A) B= A E ( A)+1 O choisit 0=E ( A)+1 Si 0 alors u < A Doc, lim u = c) Algorithmes u = +2. lim u =+ Pour u réel A, o souhaite détermier le rag à partir duquel u A ; O costruit u algorithme permettat de résoudre ce programme. Programmer, puis détermier le rag à partir duquel u Avec Algobox : Page

4 Avec ue calculatrice TI : u = 2. lim u = Pour u réel A, o souhaite détermier le rag à partir duquel u A ; O costruit u algorithme permettat de résoudre ce programme. Programmer, puis détermier le rag à partir duquel u 100. Avec Algobox : Avec ue calculatrice TI : 1.2. Suites covergetes a) Défiitios l est u ombre réel. O dit que la suite (u ) admet pour limite l si et seulemet si, pour tout itervalle ouvert I, coteat l, cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. Page 4

5 u =l O ote lim O dit alors que la suite (u ) coverge vers l et que la suite (u ) est ue suite covergete. O omme suite divergete toute suite o covergete. b) Iterprétatio graphique sur u exemple 1.. Propositio Si ue suite admet ue limite alors celle-ci est uique. Ce résultat est admis Remarques a) Il existe des suites 'admettat pas de limite. Par exemple : u =( 1). Les termes de rags pairs sot égaux à 1 et les termes de rags impairs sot égaux à -1. Coséquece : Ue suite divergete est ue suite admettat ue limite ifiie ou 'admettat pas de limite. b) Si u = f () (pour tout etier aturel )et si f admet l pour limite e + alors la suite (u ) coverge vers l. Page 5

6 Exemple : u = 1 +1 f ( x )= 1. x+1 f ( x)= f est défiie sur [0 ;+ [ et xlim + Doc, la suite (u ) coverge vers. u =+ Si u = f () (pour tout etier aturel )et si f admet + ou pour limite e + alors lim ou lim u = Exemple : u = f (x )=4 x 2 f ( x)=+ doc lim u =+ f est défiie sur [0 ;+ [ et xlim + Attetio, si f 'admet pas de limite e + alors o e peut pas coclure pour la limite de la suite (u ). Exemple : f ( x )=si(π x) f est défiie sur [0 ;+ [ et f 'admet pas de limite e +. u = f ()=si(π )=0 (u ) est la suite costate ulle : lim u =0 2. Limite et comparaiso 2.1. Premier théorème de comparaiso (u ) et (v ) deux suites. u =+ alors lim v =+. Si à partir d'u certai rag v u et si lim Démostratio : La démostratio peut être l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. A partir d'u certai rag v u, c'est à dire qu'il existe u etier aturel N tel que si N alors v u. u =0, doc il existe u etier tel que : Soit A u ombre réel. O sait que lim 0 Page 6

7 Si 0 alors u > A. O pose N 0 le plus grad des etiers aturels N0=max(N;0) et 0 (o ote : N 0=max( N ; 0 ) ou N 0=Sup (N ; 0) ) v =0. Si, N 0 alors v u et u > A doc v >A et lim 2.2. Deuxième théorème de comparaiso (u ) et (v ) deux suites. u = alors lim v =. Si à partir d'u certai rag v u et si lim La démostratio est aalogue à la précédete. 2.. Théorème des gedarmes (u ); (v );(w ) sot trois suites. l est u ombre réel. u = lim w =l alors (v ) est ue Si à partir d'u certai rag, u v w et si lim + suite covergete et coverge vers l. Démostratio : A partir d'u certai rag u v w, c'est à dire qu'il existe u etier aturel N tel que si N alors u v w. Soit I u itervalle ouvert coteat l. lim u =l doc il existe u etier aturel 0 tel que : si 0 alors u I lim w =l doc il existe u etier aturel ' 0 tel que : si ' 0 alors w I O pose N 0 le plus grad des etiers aturels N ; 0 ; ' 0 Si, N 0 alors et u v w ; u I ; w I doc [u ;w ] I. v =l. Et v I doc lim. Opératios sur les limites Les règles opératoires sur les limites de suites sot les mêmes que celles pour les limites de foctios..1. Limite d'ue somme de suites Page 7

8 .2. Limite d'u produit de suites.. Limite de l'iverse d'ue suite.. Limite du quotiet de deux suites Page 8

9 4. Cas particuliers 4.1. Suites arithmétiques a) Rappel (u ) est la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r doc pour tout etier : u +1=u +r et u =u0 +r b) Limite d'ue suite arithmétique u =+ Si r>0 alors lim u = Si r<0 alors lim u =u0 Si r=0 alors lim Remarque : Pour r =0, (u ) est la suite costate égale à u 0. Les seules suites arithmétiques covergetes sot les suites costates (de raiso 0) Suites géométriques a) Rappel (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q doc pour tout etier : u +1=q u et u =u0 q b) Théorème q =+ Si q>1 alors lim Démostratio : La démostratio peut être l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. Page 9

10 O pose a=q 1>0 q=a+1 avec a>0 Nous avos démotré das la leço 1 (par u raisoemet par récurrece) que pour tout etier aturel, (1+a) 1+a (1+a )=+ Or, lim (1+a) =+ soit lim q =+. E utilisat le théorème de comparaiso, o peut coclure que lim b) Coséquece q =0 Si 0<q<1 alors lim q =1 Si q=1 alors lim q =0 Si q=0 alors lim q =0 Si -1<q<0 alors lim Si q=-1 alors (q ) 'admet pas de limite. Si q<-1 alors (q ) 'admet pas de limite. Démostratio Si 0<q<1 1 O pose q ' = >1. q lim q ' =+ et q = 1 doc lim q =0 q' Si 1<q<0 q= q ' avec q ' >0 q =( q ') =( 1) q ' et q ' q q ' q ' =0 Or, 0<q ' <1 doc lim q =0 Le théorème des gedarmes permet de coclure que lim Si q< 1 q= q ' avec q ' >1 Si est pair alors q =q ' Si est impair alors q = q ' Doc, (q ) 'admet pas de limite. Page 10

11 d) Limite d'ue suite géométrique u =u0 q (o suppose u 0 0 ) u =+ Si q>1 et u 0>0 alors lim u = Si q>1 et u 0<0 alors lim u =u0 Si q=1 alors lim u =0 Si -1<q<1 alors lim Si -q -1 alors la suite (u ) 'admet pas de limite. e) Remarque 1<q<1 S =u 0+ +u 1 1 q S =u 0 1 q q =0 doc lim S = u0 Or, lim 1 q 5. Suites mootoes 5.1. Théorèmes Toute suite croissate et majorée est covergete. Toute suite décroissate et miorée est covergete. O admet ces résultats Propositios Si (u ) est ue suite croissate et o majorée alors lim u =+. Démostratio : Soit A u ombre réel. (u ) 'est pas majorée doc il existe u etier aturel 0 tel que u > A. 0 (u ) est croissate doc pour tout etier aturel ou égal à 0, o a u u >A. 0 Page 11

12 Doc, lim u =+. Si (u ) est ue suite décroissate et o miorée alors lim u =. Démostratio : La démostratio est aalogue. Si (u ) est ue suite croissate et majorée doc covergete alors sa limite l est u majorat de la suite, c'est à dire pour tout etier aturel : u l Démostratio : O effectue u raisoemet par l'absurde. O suppose qu'il existe u etier aturel N tel que u N >l. (u ) est croissate, doc pour tout etier aturel supérieur ou égal à N, o a u u N >l. O cosidère l'itervalle ouvert I =]l 1 ;u N [ coteat l. O 'a pas tous les termes de (u ) apparteat à I à partir d'u certai rag puisque tous les termes de la suite de rag supérieur ou égal à N sot à l'extérieur de I. Doc, si o suppose l'existece de N, o démotre que la suite e coverge pas vers l. Il 'existe pas d'etier aturel N et l est doc u majorat de (u ). Si (u ) est ue suite décroissate et miorée doc covergete alors sa limite l est u miorat de la suite, c'est à dire pour tout etier aturel : u l Démostratio : La démostratio est aalogue. Page 12

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