EXERCICES SUR L INTEGRATION

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1 EXERCICES SUR L INTEGRATION. Soit f ue foctio cotiue de R ds R. Clculer F () ds les cs suivts : ) F() = c) F() = f(t)dt b) F() = f(t)dt d) F() = ( f(t)) dt ( +f(t)) dt. Soit f ue foctio cotiue de R ds R, et u ue foctio dérivble de R ds R. Clculer l dérivée de l foctio F défiie pr F() = u() f(t)dt. 3. Soit u ue foctio cotiue de R ds R. O pose, pour tout réel v() = u(t)dt. + ) Motrer que v s ule e u mois deu poits de R. b) Doer u eemple d ue foctio u telle que v s ule e ectemet deu poits de R. c) Clculer v () pour tout de R. 4. A l ide des sommes de Riem d ue foctio coveble, clculer l limite des suites dot le terme géérl est doé ci-dessous. = si kπ k=, b = k= α+k (α > ), c = k= ( + k ) / 5. A l ide des sommes de Riem d ue foctio coveble, clculer l limite des suites dot le terme géérl est doé ci-dessous. = cos kπ k=, b = k= (α > ) (α+k)

2 6. A l ide des sommes de Riem d ue foctio coveble, clculer l limite des suites dot le terme géérl est doé ci-dessous. = k= k, b = k= ksi kπ, c = k= ( kep k ) 7. Clculer l limite des suites dot le terme géérl est doé ci-dessous. = k= k +k+, b =, c = k+ k= k= k k + 8. Soit α >. Trouver u équivlet simple de u = k α. 9. Soit f ue pplictio cotiue de [, + [ ds R telle que lim f() = l. Clculer l + limite de l suite (u ) ds les cs suivts : ) u = +π k= f()d, b) u = + f() d. (O chercher tout d bord l limite λ de l suite (U ) obteue lorsque f est costte, puis o mjorer u U ds le cs géérl).. Clculer les limites suivtes ) lim + e t t dt, b) lim + + rct t t dt, c) lim + π/ si d.. Etblir les propriétés suivtes à l ide de chgemets de vrible simples. ) Si f est ue foctio cotiue de [, b] ds R, b f()d = b b) Si f est ue foctio cotiue de [, ] ds R, f(+b )d. π/ f(cos)d = π/ f(si)d.

3 c) Si f est ue foctio cotiue de [, ] ds R, Applictio. Clculer π π f(si)d = π si +cos d. π f(si)d = π π/ f(si)d.. ) Soit f ue foctio cotiue impire de R ds R et u ombre réel. Motrer que l foctio F défiie pr F() = f(t)dt est pire. b) Motrer que si de plus f est T périodique, il e est de même de F. 3. Soit f ue foctio cotiue de [, b] ds R +. Motrer que l o b f()d b et que l églité lieu si et seulemet si f est costte. f() d (b ), 4. Soit f ue foctio cotiue de [, b] ds R +. Motrer que l o b f()d (b ) et que l églité lieu si et seulemet si f est costte. b f()d, 5. ) Démotrer l iéglité +t 3 dt < (+t 3 )dt. b) Motrer que l équtio 5 (+t 3 )dt = possède ue solutio uique et que cette solutio est strictemet plus grde que. 3

4 6. Clculer les itégrles I suivtes ) e d e + b) π/4 cos(+t )d si+cos c) π si 5 cos,d d) π cos d +si 3 e) ( ) + 3 d f) + π π/ si cos d g) / / d rccos h) rct + d 7. Clculer les itégrles I suivtes ) e d (e +) b) π/4 d cos(si+cos) c) π si 3 cos 4,d d) π cos 79 d +si 5 e) ( ) +3 3 d f) + π/ cos d g) +si / d rcsi h) (rct) d. 8. ) Soit >. Clculer b) Soit < <. Clculer 9. Soit I = π/ π/ α α / lt t sitcostl(tt)dt. O poser = π/ t. dt. O poser = /t. si d (Itégrles de Wllis). Pour étblir, e itégrt pr prties, ue reltio de récurrece etre I et I. E déduire l vleur de I.. Soit f ue foctio de [, b] ds R de clsse C. E itégrt pr prties l itégrle de droite, étblir l reltio b f()d = b (f()+f(b))+ b ( )( b)f ()d. E déduire que lorsque l o remplce, sur u itervlle [, b] ue foctio f pr l foctio liéire ffie g vérifit f() = g() et f(b) = g(b), l erreur commise sur l itégrle est mjorée pr f () (b ) 3 /. sup [,b]. O pose pour tout etier u = d. 4

5 ) Motrer que l suite (u ) est mootoe. b) Etblir que, pour tout de [, ], o les iéglités. c) E itégrt les iéglités ci-dessus etre et, e déduire que l suite ((u )) est borée.. Soit f ue pplictio cotiue positive de [, b] ds R. O pose A = b ) Motrer que A M(b ) /. (f()) d / et M = sup f(). b b) E utilist l cotiuité de f, motrer que pour tout ε >, il eiste δ > tel que, pour tout etier, A (M ε)δ /. c) E déduire l limite de l suite (A ). 3. ) Motrer que pour tout etier k > o k+ k d k. et que, pour tout etier k >, k k d. b) E déduire que l suite (u ) défiie pr u = est covergete, et que s limite l vérifie k= k k, l. 4. Soit f ue pplictio cotiue de [, ] ds R. ) Soit α [, [. Motrer que lim + α f( )d = αf(). 5

6 b) E déduire lim f( )d ) Soit α [, π/[. A l ide d u clcul de primitive, clculer les limites suivtes : lim + α cossi d et lim + π/ cossi d. b) Soit f ue pplictio cotiue de [, π/] ds C. A l ide de l questio précédete, clculer l limite π/ l = lim cossi f()d Soit F l foctio défiie sur R pr F() = ) Motrer que F est ue foctio impire. dt t 4 +t +4. b) Motrer que l foctio F est dérivble puis clculer F () pour réel et détermier le sige de F. c) Motrer que pour tout >, o les iéglités F() d) Déduire de ce qui précède que l foctio F est borée sur R et doer u mjort irrtioel de F. Trcer pproimtivemet le grphe de F. 7. Pour tout réel o pose f() = e t dt. ) Motrer que f est impire et détermier le sige de f. b) Motrer que pour tout, o f() e. E déduire l limite de f() lorsque ted vers +. c) Doer l llure de l courbe représettive de f. 6

7 8. Pour tout réel o pose f() = dt 4+t 4. ) Motrer que f est impire et détermier le sige de f. b) Motrer que pour tout, o f() E déduire l limite de f() lorsque ted vers +. c) Doer l llure de l courbe représettive de f O défiit ue foctio Φ sur R e post Φ() = 3 dt t +7. ) Pour R, clculer Φ () et détermier le sige de Φ. b) Pour >, clculer 3 dt. E déduire le clcul de lim t Φ(). + c) L foctio Φ est-elle pire ou impire? Que vut Φ ()? d) Trcer pproimtivemet le grphe de Φ. e) Détermier eplicitemet Φ. 3. Soit f l foctio défiie sur R pr ) Motrer que f est impire. 3 f() = rct(t )dt. b) Clculer f et motrer que f est positive. c) E utilist l première formule de l moyee motrer que à +, f() π. d) Motrer que si >, 3 π f() = rct t dt. 7

8 E déduire que cette différece ted vers lorsque ted vers + et que l courbe représettive de f dmet ue symptote. e) Doer l llure de l courbe représettive de f. 3. Soit f ue pplictio cotiue de R ds R. Motrer que les pplictios F défiies ci-dessous sot de clsse C et clculer F (). ) F() = b f(+t)costdt, b) F() = b f( t)(+t +sit)dt. 3. Clculer l dérivée des foctios F défiies sur R pr + ) F() = e (t ) dt, b) F() = e (t+) dt. 33. O pose, pour tout réel, F() = sit t ) Motrer que F() est défiie pour tout réel. b) Motrer que F est dérivble et clculer F (). 34. Pour tout de l itervlle ] π/, π/[, o pose F() = ) Motrer que F() est défiie pour tout réel de ] π/, π/[. b) Motrer que F est dérivble sur cet itervlle et clculer F (). dt. tt t dt. 35. Clculer les limites suivtes à l ide de l première formule de l moyee. 3 ) lim + dt te t, b) lim rctt t dt, c) lim + cos(πt) lt dt. 36. Clculer les limites suivtes à l ide de l première formule de l moyee ) lim + 3 si πt tlt dt, b) lim + dt lt, c) lim θ + +θ+θ +θ dt (lt). 8

9 37. Clculer l limite des suites défiies ci-dessous. ) u = 4 +e t dt, b) v = t + +e t dt. t 38. Clculer l limite des suites défiies ci-dessous. ) u = rct d, b) v = 4 rct l d. 39. Soit f ue foctio cotiue de [, + [ ds R telle que lim f() = l. Clculer l limite + de l suite (u ) ds les cs suivts : ) u = + f()d ( > ) b) u = + f() d c) u = f() d d) u = 4. Soit f ue bijectio strictemet croisste de [α, β] sur [, b]. ) Si f est de clsse C, pr le chgemet de vrible = f(t), clculer A = β α b f(t)dt+ f (t)dt. f()d. b) Motrer géométriquemet que le résultt obteu ds ) est ecore vri si o suppose seulemet f cotiue. (O pourr se limiter u cs où < < b). 4. Clculer ) d i, b) d +i. 4. Méthode des trpèzes ) Soit f ue foctio de clsse C de [, b] ds R. O défiit l foctio F sur [, b] pr F() = f(t)dt (f()+f()) K ( )3 9

10 où l costte K est choisie pour que F(b) =. Motrer qu il eiste d ds ], b[ tel que F (d) =, et e déduire l églité b f(t)dt = (b ) f()+f(b) (b )3 f (d). b) Soit M telle que, pour tout de [, b], o it f () M et soit u etier supérieur ou égl à. Pour k o pose k = +k b. O cosidère l itégrle Motrer que où c) Clculer l = I = b I = b f()d. [ f(b)+f() + f k= R M (b )3. ( +k b ) ] +R, d + pr l méthode des trpèzes vec ue erreur iférieure à. 43. ) Soit ϕ ue foctio de clsse C de [, b] ds R telle que ϕ() = ϕ(b) =, et soit M telle que, pour tout de [, b], o it ϕ () M. Motrer, pr ue méthode différete de l eercice précédet, qu il eiste ue costte A (idépedte de ϕ, et b telle que l o it b) Clculer l itégrle b ϕ() d AM(b )3. I = b ( )(b )d. c) Pourquoi l costte A = / obteue ds l eercice précédet est-elle l plus petite possible? 44. Méthode des rectgles ) Soit ϕ ue foctio de clsse C de [, b] ds R telle que ϕ() =, et soit M telle que, pour tout de [, b], o it ϕ () M. Motrer que b ϕ() d M(b ).

11 b) Soit f ue pplictio de clsse C de [, b] ds R et soit M telle que, pour tout de [, b], o it f () M. Soit u etier supérieur ou égl à. Pour k o pose O cosidère l itégrle Motrer que où c) Clculer l = k = +k b. I = I = b b f()d. f( k )+R. k= R M (b ) d + pr l méthode des rectgles vec ue erreur iférieure à. 45. ) Soit f et g deu foctios umériques de [, b] ds R vérifit les propriétés suivtes : l foctio f est cotiue et il eiste M tel que, quels que soiet X et Y ds [, b], Y X f(t)dt M, l foctio g est positive décroisste et de clsse C. Motrer que, si X Y b, o Y f()g()d Mg(X). X. Qu obtiet-o si f() = cos, ou f() = si? b) Soit u ue pplictio cotiue de R ds C, telle que, pour tout réel u(). Motrer qu il eiste ue costte A > telle que l o it, si X Y, l iéglité Y e i +u() d A X. X

12 Corrigé. ) Soit G ue primitive de f. Alors F() = G( +) G( ), et, puisque G = f, o obtiet pr dérivtio des foctios composées F () = G ( +) G ( ) = f( +) f( ). b) O doc Alors F() = ( 4 f(t)+f(t) )dt = 4 dt f(t)dt+ f(t) dt = 5 f(t)dt+ f(t) dt. F () = 5 4 f() 4 f(t)dt+f(). c) Soit G ue primitive de f. Alors F() = G( +) G(3+), et, puisque G = f, o obtiet pr dérivtio des foctios composées F () = (+)G ( +) 3G (3+) = (+)f( +) 3f(3+). d) O doc Alors F() = ( 4 +4 f(t)+4f(t) )dt = 4 dt+4 f(t)dt+4 f(t) dt = 5 +4 f(t)dt+4 f(t) dt. F () = f()+8 f(t)dt+4f().

13 . Soit G ue primitive de f. Alors F() = G(u()) G(), et, pr dérivtio des foctios composées, F () = G (u())u () = f u()u (). 3. ) L itégrle est ulle e prticulier si l itervlle d itégrtio est réduit à u poit, c està-dire lorsque = +. Cette équtio deu solutios ± 5, pour lesquelles v s ule. b) C est le cs pour ue foctio costte. E effet, si u = C, o v() = C( ) qui s ule pour les deu vleurs obteues ds ) ectemet. c) Soit G ue primitive de u. Alors v() = G( ) G(+), et e dérivt v () = G ( ) G (+) = u( ) u(+). 4. Si l o pose f() = si(π) pour [, ], o ecore = f k= ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc lim = + si(π)d = π [ ] cos(π) = π. b O écrit b = k= α+ k + α. Si l o pose f() = α+ pour [, ] o ecore b = f k= 3 ( ) k + α.

14 Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc c O écrit lim b d [ ] = + α+ = α+ l(α+) = l α. lc = Si l o pose f() = l(+), o ecore lc = k= ( l + k ). f k= ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc Pr suite lim lc = + l(+)d = [ ] (+)l(+) = l. lim c = e l = 4 + e. 5. Si l o pose f() = cos(π) pour [, ], o ecore = f k= ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc lim = + cos(π)d = π [ ] si(π) =. b O écrit b = k= ( α+ k ) + α. Si l o pose f() = pour [, ] o ecore (α+) b = ( ) k f + α. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc k= lim b d [ ] = + (α+) = α+ = α(α+). 4

15 6. Si l o pose f() = pour [, ], o ecore = f k= ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc b Si l o pose f() = si π lim = + d = [ 3/] 3 = 3. pour [, ], o ecore b = f k= ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc O itègre pr prties. E post o obtiet d où c [ lim b = + π lim b = + si π d. u() = et v () = si π, u () = et v() = π π ] cos + π Si l o pose f() = e pour [, ], o ecore c = f k= cos π, π [ 4 cos d = π ] si π = 4 π. ( ) k. Cette suite coverge vers l vleur moyee de f sur [, ], doc E itègrt pr prties o trouve lim c = + e d. e d = [ e ] + e d = [ e e ] = e, 5

16 doc lim c = + e. 7. E écrivt = k + k = + k= o obtiet ue somme de Riem et ( ) k, + k= lim d [ = + (+) = ] + =. b E écrivt b = k= + k, o obtiet ue somme de Riem et c E écrivt o obtiet ue somme de Riem et lim b d [ + ] = = = ( ). + + c = k= k + k lim c d = + + = [ ] l( +) = l., 8. O u α+ = doc o obtiet ue somme de Rem et O e déduit que lim + u α+ = k= u α+ α+. 6 ( ) k α, α d = α+.

17 9. ) Notos (U ) l suite obteue si f = l, o U = +π ld = πl. L suite (U ) est costte et coverge vers λ = πl. Ds le cs géérl, o peut écrire doc, u U = u λ = u λ +π +π f()d f() l]d. +π ld, Soit ε >. Puisque f dmet l comme limite à l ifii, il eiste N, tel que, si N, Alors, si N, f() l < ε π. u λ < Ceci motre que l suite (u ) coverge vers πl. b) Notos (U ) l suite obteue si f = l, o +π ε d = ε. π doc U = + l d = l [ ] +, U = l( + ) = l = + + l + +. L suite (U ) coverge vers l. Alors u U = + f() l d. Soit ε >. Puisque f dmet l comme limite à l ifii, il eiste N, tel que, si N, Alors, si N, o ecore, f() l < ε. u U < + ε d = ε + + < ε. 7

18 Ceci motre que l suite (u U ) coverge vers, et, puisque l suite (u ) coverge vers l. u = (u U )+U,. ) L foctio e / est ps cotiue e. Pr cotre (e )/ se prologe pr cotiuité e, puisque s limite vut. Notos F() = e t t C est ue primitive d ue foctio cotiue. Elle est, elle ussi, cotiue e et de plus F() =. Alors O e déduit que e t t dt = e t t dt+ lim + e t t t dt. dt = F() F()+l. dt = l. b) L limite de rct à l ifii vut π/. E utilist, si u >, l reltio o peut écrire + rct t t rctu+rct u = π, dt = = π + rctt π t l + + dt+ + π t dt t rct t dt. Notos u l itégrle de droite. O sit que, si u >, o l iéglité doc u = + rctu u, t rct t dt + t dt = +, et il résulte du théorème d ecdremet que l suite (u ) coverge vers. Alors + rct t t dt = π l + u, 8

19 et lim + c) Si ε est compris etre et π, o écrit + rct t t = πl. π/ si d = π/ ε/ si d+ π/ π/ ε/ si d. Comme l foctio sius est croisste, o sur [, π/ ε/], ( π si si ) ε, et doc π/ ε/ si d Comme l foctio sius est mjorée pr, O ussi ( π ) ε si ( π ε ). π/ si d π/ d = ε. π/ ε/ π/ ε/ Filemet π/ si d ( π ) ε si ( π ε ) + ε. (( π Mis l suite ) ε si ( π ε )) coverge vers, doc il eiste N tel que, N implique ( π ) ε si ( π ε ) ε, et ds ce cs Alors π/ lim + π/ si d < ε, si d =.. ) O effectue le chgemet de vrible u = ϕ() = +b. O ϕ() = b et ϕ(b) =, isi que du = d. Alors b f()d = b f(+b u)du = 9 b f(+b )d.

20 b) O pplique ), vec = et b = π/. Alors π/ f(cos)d = π/ f ( ( π )) cos d = π/ f(si)d. c) Toujours e ppliqut ), vec = et b = π cette fois, o obtiet π O e déduit que f(si)d = Cosidéros l itégrle π π π/ (π )f(si(π ))d = π π et ϕ(π) =, vec du = d. Alors f(si)d = π π π π f(si)d f(si)d. f(si)d. f(si)d. Si l o pose u = ϕ() = π, o obtiet ϕ(π/) = π/ π π/ f(si)d = π/ f(si(π ))d = π/ f(si)d, doc Applictio. Si l o pred o e prticulier π f(si)d = π/ f() =, f(si)d. π et d près ce qui précède, π f(si)d = π si si d = π π/ si π si d = si si d = π Cette deriére itégrle se clcule fcilemet et vut π π/ si [ +cos d = π rctcos ] π/ si +cos d, π/ si +cos d. = πrct = π 4.

21 . ) Comme F = f, e dérivt l foctio G défiie pr o obtiet, puisque f est impire, L foctio G est doc costte et O e déduit que F est pire. G() = F( ) F() G () = f( ) f() =. G() = F( ) F() = G() = F( ) F() =. b) Si f est T périodique, e dérivt l foctio H défiie pr o obtiet, puisque f est T périodique, L foctio H est doc costte et H() = F(+T) F() = H H() = F(+T) F() H () = f(+t) f() =. ( T ) ( ) ( T = F F T ). Comme F est pire, o e déduit que H est ulle, c est-à-dire que F est T périodique. 3. O pplique l iéglité de Schwrz u foctios f et / f. Alors (b ) = b f() d f() b f()d b f() d, et l églité lieu si et seulemet si f et / f sot proportioelles. Puisque les foctios e sot ps ulles, cel reviet à dire qu il eiste µ réel tel que f = µ/ f soit f = µ. L églité doc lieu ds l formule si et seulemet si f est costte. 4. O pplique l iéglité de Schwrz u foctios f et. Alors c est-à-dire b f()d b f()d b f()d (b ) b b f()d, d, et l églité lieu si et seulemet si f et sot proportioelles, c est-à-dire si et seulemet si f est costte.

22 5. ) L iéglité de Schwrz ppliquée u foctios f et g défiies pr doe imméditemet f(t) = +t 3 et g(t) =, +t 3 dt (+t 3 )dt. De plus, comme les foctios f et g e sot ps proportioelles, l iéglité est stricte. b) Posos Il résulte de ) que doc F(X) = F() < X +t 3 dt. [ ] t+ t4 = F() < Comme F ue dérivée strictemet positive sur R +, elle est strictemet croisste. D utre prt F() est ul et F(X) X 5. t 3/ dt = 5 X5/, doc, puisque le membre de droite ted vers + qud X ted vers +, il e est de même de F(X). L foctio F est ue bijectio de [, + [ sur lui-même. Alors il eiste ue vleur uique telle que 5 F( ) =. Efi, comme o écessiremet F() < >. 5, 6. ) Si l o pose u = e, o du = e d. Pour =, o u = et pour =, o u = e, doc I = e du e = u + udu e u+ = ( ) [ ] e du = u l(u+) u+ = e l(+e)+l.

23 b) Si l o pose u = t, o du = (+t )d. Si =, lors u =, et si = π/4, lors u =, doc I = π/4 (+t )d +t = du [ ] +u = l(+u) = l. c) Si l o pose u = cos, o du = sid. Si =, o u = et si = π, o u =, doc π I = si( cos ) cos d = ( u ) u du. E développt I = [ u (u u 4 +u 6 3 )du = 3 u5 5 + u7 7 ] + = 6 5. d) Si l o pose u = si, o du = cosd. Si =, o u = et si = π, o u =, doc I = π ( si ) cosd +si 3 = ( u ) du +u 3 =. e) E effectut le chgemet de vrible u = +, o du = d. Pour =, o u = et pour =, o u =, doc o obtiet ce qui doe I = I = (u+) 3 u 3 du = (+ 3u + 3u + u ) 3 du, [ u+3lu 3 u ] u = l. f) O utilise le chgemet de vrible u = cos, qui est ue bijectio de [, π] sur [, ]. O doc = rccosu, d où d = du/ u. Pour = π/, o u = et pour = π, o u =, doc I = g) O imméditemet h) O écrit u u I = du = u +udu = [ 3 (+u)3/ ] [ ] +/ lrccos = l π / 3 +l π 3 = l. I = L première itégrle se clcule pr prties : rctd 3 rct + d. = 3.

24 rctd = Pour l secode itégrle, o, [ ] [ rct + d = rct ] l(+ ) = π 4 l. Filemet [ ] rct + d = (rct) = π 3. I = π 4 π 3 l. 7. ) Si l o pose u = e, o du = e d. Pour =, o u = et pour =, o u = e, doc e du e u I = ( ) = u + (u+) du. O décompose fcilemet l frctio rtioelle e élémets simples d où I = u (u+) = + (u+) u+, [ u ] e u+ l(u+) = e +e 3 l(+e)+l. (e+) b) Si l o pose u = t, o du = d/cos. Si =, lors u =, et si = π/4, lors u =, doc π/4 d I = cos (+t) = du [ ] +u = l(+u) = l. c) Si l o pose u = cos, o du = sid. Si =, o u = et si = π, o u =, doc π I = si( cos )cos 4 d = ( u )u 4 du. E développt I = [ u (u 4 u 6 5 )du = 5 u7 7 ] + = d) Si l o pose u = si, o du = cosd. Si =, o u = et si = π, o u =, doc I = π ( si ) 39 cosd +si 5 = ( u ) 39 du +u 5 =. 4

25 e) E effectut le chgemet de vrible u = +, o du = d. Pour =, o u = et pour =, o u = 3, doc o obtiet ce qui doe I = I = 3 (u+) 3 u 3 du = 3 (+ 3u + 3u + u ) 3 du, [ u+3lu 3 u ] 3 u = l3 3l. f) O utilise le chgemet de vrible u = si, qui est ue bijectio de [ π/, π/] sur [, ]. O doc = rcsiu, d où d = du/ u. Pour = π/, o u = et pour =, o u =, doc I = g) O imméditemet u +u I = h) E itégrt pr prties, o [ I = (rct)] O écrit ecore du = u udu = [ 3 ( u)3/ ] = 3. [ ] lrcsi = l π / l π 6 = l3. I = π 3 π rctd = rctd. rctd+ L première itégrle se clcule de ouveu pr prties : rct + d. rctd = Pour l secode itégrle, o, Filemet [ ] [ rct + d = rct ] l(+ ) [ ] rct + d = (rct) = π 3. I = π 3 π 4 + π 3 + π l = 6 π 4 + l. = π 4 l. 5

26 8. ) Si l o effectue le chgemet de vrible = π/ t, o d = dt, et l itervlle [α, π/ α] se trsforme e lui même. Pr illeurs ( π ) ( π ) ( π ) sitcostltt = si cos lt doc et il e résulte que π/ α α = cossil sitcostl(tt)dt = π/ α α t = sicoslt, π/ α sitcostl(tt)dt =. α sicosl(tt)d, b) Si l o effectue le chgemet de vrible = /t, o d/ = dt/t, et l itervlle [/, ] se trsforme e lui même. Alors / lt t dt = / l d, et il e résulte que / lt t dt =. 9. Posos Alors doc u() = si et v () = si. u () = ( )cossi () et v() = cos, et l o e déduit que I = [ ] π/ π/ cossi +( ) cos si d π/ = ( ) ( si )si d = ( )I ( )I, I = ( )I. Cel permet de clculer l vleur de I. Il y deu epressios différetes suivt l prité du ombre. 6

27 O tout d bord I = π/ d = π et I = π/ sid = [ ] π/ cos =. E prtt de I = I o obtiet lors I = et e prtt de I + = + I o obtiet 3 I = 3 π, I + = + 3 I = + 3. b. Itégros pr prties ( )( b)f ()d. E pret u() = ( )( b) et v () = f (), o d où u () = (+b) et v() = f (), b ( )( b)f ()d = [ ] b ( )( b)f () Puis de ouveu, e itégrt pr prties l itégrle obteue b ( (+b))f ()d = Alors b [ ] b b ( (+b))f() b ( (+b))f ()d = b ( (+b))f ()d. b f()d = (b )f(b)+(b )f() b ( )( b)f ()d = [(b )f(b)+(b )f()]+ O e déduit imméditemet l églité proposée. f()d. O pplique l formule précédete à g. Comme g est liéire ffie, elle est de l forme g() = α+β f()d. et doc g =. Pr illeurs g() = f() et g(b) = f(b). 7

28 Alors (Aire du trpèze). b g()d = f(b)+f() (b ). O e déduit b b f()d g()d = d où b b f()d Or, e itégrt pr prties, doc b (b )( )d = b b ( )( b)f ()d g()d sup f () [,b] b [(b ) ( ) ] b b + ( ) d = b f()d g()d sup [,b] b ( )(b ) f () d, (b )( )d. [ ( ) 3 f () (b )3 6. ] b = (b )3 6,. ) Si pprtiet à [, ], o pour tout etier positif +, puis et filemet +, +. Alors, e itégrt, ce qui motre que l suite (u ) est croisste. u u +, b) Comme pprtiet à l itervlle [, ], o, et doc, e multiplit pr,. Pr illeurs + 4 = ) (, 8

29 doc. c) E itégrt les iéglités de b) o obtiet ce qui doe ( )d ce qui permet d ecdrer ( u ). O trouve d + u (+), (+) ( u ) +, ) ( d, doc et l suite (( u )) est borée. ( u ),. ) Puisque f() est mjorée pr M o puis e itégrt et filemet b f() M, f() dt (b )M, A M(b ) /. b) L iéglité que l o veut démotrer est évidete si ε M. Soit doc ε ds ], M [. L foctio f étt cotiue sur [, b], il eiste c ds [, b] tel que M = f(c). Comme f est cotiue e c, il eiste α > tel que l iéglité c < α implique f() f(c) < ε et doc églemet puis Si c < b, soit δ = mi(b c,α). Alors f() > M ε, f() > (M ε). b f() dt c+δ c f() d δ(m ε), 9

30 et Si c = b, soit δ = mi(b,α). Alors et de ouveu b f() dt A (M ε)δ /. b b δ f() d δ(m ε), A (M ε)δ /. c) Soit ε >. Il eiste δ > tel que, pour tout etier, ( M ε ) δ / A M(b ) /. Mis les suites (M(b ) / ) et (( M ) ε δ / ) coverget respectivemet vers M et M ε/. Il eiste doc u etier N tel que, si N ( M(b ) / < M +ε et M ε ) ε ( < M ε ) δ /. Alors L suite (A ) coverge vers M. ε+m < A < ε+m. 3. ) Soit k. Si pprtiet à l itervlle [k, k+], o k, et doc k+ d k+ d k = k. Soit k. Si pprtiet à l itervlle [k, k], o k k, k et doc k d k d k = k. k k b) Etudios si l suite (u ) est mootoe. O u + u = = + k= k + ( k= + ( + ) ) k = = ( ++ ). 3

31 Comme l différece est égtive, il e résulte que l suite (u ) est décroisste. E sommt des iéglités obteues ds ), o obtiet c est-à-dire et doc Alors Mis k= k+ k + d d k= k= ( + ) k, k, k= k. ( + ) u. ( + ) = +( + ). L suite (u ) est miorée pr. Comme elle est décroisste elle coverge vers ue limite l, et l. E sommt les utres iéglités obteues ds ), o obtiet c est-à-dire et doc Alors k= k + k= k= k k= k d, d +, k k +( ). u. 4. ) O utilise l première formule de l moyee. L foctio f est cotiue sur [, ], doc l foctio f( ) églemet, et l foctio costte égle à est positive. Alors il eiste c ds [, α] tel que α α f( )d = f(c ) d = αf(c ). Comme c α, o ussi c α, 3

32 et puisque < α <, l suite (α ) pour limite, doc, pr le théorème d ecdremet, l suite (c ) coverge et pour limite, et, comme f est cotiue e, b) Evluos l différece O peut écrire D = α α lim + D = f( )d αf()+ f( )d = αf(). f( )d f(). α f( )d+f()(α ). L foctio f est cotiue sur le ségmet [, b]. Elle est doc borée, et il eiste ue costte M > qui mjore f. Alors f( )d f( ) d M( α). α O ussi f() M, et l o obtiet α D f( )d αf() +M( α). Soit ε >. Preos α ds [, [ vérifit Alors Pour ce ombre α l suite de terme géérl α α > ε 4M. M( α) < ε/. u etier N, tel que N implique α f( )d αf() < ε. α f( )d αf() coverge vers. Il eiste doc Alors ds ces coditios Il e résulte que D < ε. lim f( )d = f(). + 3

33 5. ) Soit α [, π/]. Notos u (α) = α cossi d. Cette itégrle se clcule et l o u (α) = [ ] α si + + = + si+ α, et doc π/ cossi d = +. Alors, si α vut π/ l suite (u (α)) coverge vers. Ds le cs cotrire, o et l suite (u (α)) coverge vers. b) Voici deu démostrtios possibles. Première démostrtio. Evluos l différece siα <, D = π/ cossi ( ( π f() f d. )) L foctio f est cotiue sur u segmet doc borée. Il eiste ue costte M qui mjore f, et doc f() f(π/) f() + f(π/) M. D utre prt f est cotiue e π/, doc, pour tout ε >, il eiste β > tel que, π/ < β implique f() f(π/) < ε. Cette iéglité lieu e prticulier si π β < π. Posos α = π/ β. Alors π/ ( ( π D = cossi f() f d )) doc π/ ( cossi π ) f() f d, 33

34 D α M ( cossi π ) π/ ( f() f d+ cossi π ) f() f d α cossi d+ ε π/ Mis, puisque l o itègre ue foctio positive, doc π/ L suite de terme géérl M implique Alors, ds ces coditios, α cossi d D < M α α π/ α α cossi d. cossi d = + <, cossi d+ ε. cossi d coverge vers. Il eiste N tel que N M α cossi d ε. D [< ε, et l suite (D ) coverge vers. Pour termier o remrque que π/ ( π cossi f()d = D +f ) π/ et il e résulte que l limite de cette suite vut l = f(π/). Deuième démostrtio. Soit (α ) ue suite tedt vers zéro. O écrit cossi d, π/ cossi f()d = π/ π/ α cossi f()d+ π/ α cossi f()d. O, comme ds l première méthode, π/ α cossi f()d M π/ α cossi d. 34

35 Le membre de droite se clcule et vut M + si+( π ) α = M + cos+ α. D utre prt, e utilist l première formule de l moyee, il eiste c ds l itervlle [π/ α, π/], tel que π/ π/ α cossi f()d = f(c ) π/ π/ α cossi d, Là ussi le membre de droite se clcule et vut [ f(c ) si +( π )] + α = f(c ) + Effectuos u développemet limité de cos α. Tout d bord [ cos + α ]. Puis et efi cosα = α + (α ). ( ) lcosα = l α + (α ) = α + (α ), cos + α = e (+)lcosα = e (+)α (+ ()). Si l o choisit α pour que cette epressio tede vers zéro, pr eemple, e pret o lors doc isi que lim M + lim + lim + α = /4, π/ α π/ α π/ cossi d =, cossi f()d =, π/ α cossi d =. Et puisque c ted vers π/, et que f est cotiue e π/, o lim f(c ) + π/ ( π cossi d = f. ) π/ α 35

36 O retrouve bie que 6. ) O lim + π/ ( π cossi f()d = f. ) F( ) = dt t 4 +t +4. E effectut le chgemet de vrible u = t, doc du = dt, o obtiet L foctio F est doc impire. F( ) = du u 4 +u +4 = F(). b) L foctio f défiie pr f() = est ue foctio cotiue sur R. Elle dmet doc des primitives. Si l o ote G ue primitive de f, o F() = G() G(). Alors l foctio qui à ssocie G() est dérivble comme composée de foctios dérivbles, et F est dérivble comme somme de foctios dérivbles. De plus F () = G () G () = f() f() = , d où F () = E réduist u même déomiteur et e multiplit esuite pr l qutité cojuguée du umérteur F () = = 3( 4 ) ( ) , et cette epressio est du sige du umérteur 3( 4 ) = 3( + )( ) et doc du sige de. Les zéros de F sot et et F est positive sur ], [ et égtive sur ], [ ], + [. c) L foctio f est décroisste sur [, + [. Il e résulte que si < t, o f(t) f(), et doc F() f()dt = f(). 36

37 d) Sur [, ], o F (), et l foctio F est croisste sur cet itervlle, doc, si pprtiet à [, ], o F() F(). Sur [, [, o F (), et l foctio F est décroisste. Alors, sur [, [, o de ouveu F() F(). Il e résulte que F est mjorée pr F() sur [, [, et comme F est impire, o pour tout réel F() F(). Mis d près c) Filemet F() 6. F() 6. D près l questio c) o, e mettt 4 e fcteur u déomiteur, F() Comme le membre de droite ted vers à l ifii, il résulte du théorème d ecdremet que F ted vers à l ifii. O lors le dessi suivt. 7. ) E effectut le chgemet de vrible t = u, soit dt = du, o obtiet doc f est impire. f( ) = e t dt = e u du = f(), b) Soit g l foctio défiie pr g(t) = e t, 37

38 et G ue primitive de g. O doc G = g, et E dérivt f() = G() G(). f () = G () G () = e 4 e = e 4 ( e 3 ). L foctio logrithme est croisste, doc f () est du sige de l 3. L dérivée s ule l pour α = 3 et pour α. Elle est positive si et égtive ds le cs cotrire. l 3 b) Comme l foctio g est décroisste sur [, + [, o, pour t ds [, ] d où g() e t e, e dt = e. Comme e ted vers à l ifii, il résulte du théorème d ecdremet que f() ted vers à l ifii. c) L courbe est logue à celle de l eercice précédet. 8. ) E effectut le chgemet de vrible t = u, soit dt = du, o obtiet doc f est impire. Soit g l foctio défiie pr f( ) = dt 4+t 4 = et G ue primitive de g. O doc G = g, et E dérivt f () = G () G () = g(t) = dt 4+t 4, f() = G() G(). du 4+u 4 = f(), = 4( )(+ ) (4+ 4 )(4+6 4 ), doc f () est du sige de. L dérivée s ule e et. Elle est positive si 38

39 et égtive ds le cs cotrire. b) Comme l foctio g est décroisste sur [, + [, o, pour t ds [, ] d où f() 4+t , dt 4+ 4 = Comme / 3 ted vers à l ifii, il résulte du théorème d ecdremet que f() ted vers à l ifii. c) L courbe est logue à celle des deu eercices précédets. 9. ) Soit f défiie pr f(t) = t +7. Si F est ue primitive de f, o doc e dérivt les foctios composées. Φ() = F(3) F(), Φ () = 3F (3) F () = 3f(3) f() = , et filemet Φ () = Puisque l foctio rcie crrée est croisste, Φ () est du sige de 9( +7) (9 +7) = 56. L foctio Φ e s ule ps. Elle est strictemet positive et doc Φ est croisste. b) O O peut écrire, si >, 3 dt [ ] 3 t = lt = l3 l = l3. Φ() = 3 t t +7 Si l o pplique l première formule de l moyee, il eiste c() ds [, 3] tel que Φ() = c() c() dt t. dt t = l3 c() c() +7.

40 Mis, puisque c(), o e déduit que c() ted vers + vec. Alors, puisque o e déduit que lim + c() c() +7 = lim + lim Φ() = l c() =, L courbe représettive de Φ doc ue symptote horizotle à +. c) Clculos Φ( ) e effectut le chgemet de vrible u = t. O dt = du et t = u, d où 3 3 dt Φ( ) = t +7 = du u +7 = Φ(). L foctio Φ est doc impire et s courbe représettive est symétrique pr rpport à l origie. O Φ() = et Φ () = = 7. d) O l courbe suivte. l3 l3 e) E effectut le chgemet de vrible u = t/ 7, o obtiet Φ() = 3/ 7 du u +, / 7 doc Φ() = rgsh 3 7 rgsh 7, 4

41 ou ecore, e remplçt rgsh pr s vleur l(+ +), Φ() = l ) E effectut le chgemet de vrible t = u, soit dt = du, o obtiet doc f est impire. f( ) = 3 b) Soit g l foctio défiie pr rct(t )dt = et G ue primitive de g. O doc G = g, et E dérivt 3 g(t) = rct(t ), f() = G(3) G(). rct(u )du = f(), f () = 3G (3) G () = 3rct(9 ) rct( ). L foctio rctgete est croisste. Alors puisque o e déduit et doc 9, rct( ) rct(9 ), f () = rct(9 )+(rct(9 ) rct( )). L foctio f est positive, doc f est croisste. c) D près l premiére formule de l moyee, il eiste c ds l itervlle [, 3] tel que 3 f() = rct(c ) dt = rct(c ). Comme c est supérieur à, il e résulte que c ted vers l ifii lorsque ted vers l ifii. Alors rct(c ) ted vers π/, doc f() π = π d) O 3 π dt = π, 4

42 doc π f() = 3 ( π )) rct(t dt = 3 rct t dt. Alors, e utilist l premiére formule de l moyee, lorsque est positif, il eiste c ds [, 3] tel que π f() = rct c 3 dt = rct c. Mis rct c rct, doc lim (π f()) =, ce qui motre que, à +, l courbe dmet comme symptote l droite d équtio y = π, et, e riso de l prité, églemet à. Comme de plus f () = f() = l courbe est tgete à l e des à l origie, et puisque π f() est positif sur [, + ], l courbe est e dessus de l symptote pour positif et u-dessous pour égtif. e) O l courbe suivte. 4

43 3. ) Si l o effectue le chgemet de vrible u = +t, doc du = dt. O obtiet et doc, Filemet F() = b F() = F() = cos f(+t)costdt = +b + +b + +b + f(u)cos(u )du, f(u)(cosucos+siusi)du. f(u)cosudu+si +b + f(u)siudu. L foctio qui à u ssocie f(u)cosu est cotiue sur R comme produit de foctios cotiues. Notos G ue primitive. C est ue foctio de clsse C. De même, l foctio qui à u ssocie f(u)siu est cotiue sur R comme produit de foctios cotiues. Notos G ue primitive. C est ue foctio de clsse C. Alors F() = cos(g (+b) G (+))+si(g (+b) G (+)). L foctio F est lors obteue comme sommes, produits et composées de foctios de clsse C. Elle est ussi de clsse C, et o peut clculer s dérivée c est-à-dire F () = cos(g (+b) G (+))+si(g (+b) G (+)) si(g (+b) G (+))+cos(g (+b) G (+)), F () = cos(f(+b)cos(+b) f(+)cos(+))+si(f(+b)si(+b) et filemet f(+)si(+)) si(g (+b) G (+))+cos(g (+b) G (+)), F () = f(+b)cosb f(+)cos si = f(+b)cosb f(+)cos+ +b + b = f(+b)cosb f(+)cos+ +b + f(u)cosudu+cos f(u)si(u )d f(+t)sitdt. +b + f(u)siudu Remrque : si f est de clsse C, o peut itégrer pr prtie l itégrle du membre de droite, et l o obtiet F () = b f (+t)costdt. 43

44 b) Le ombre étt fié, o effectue tout d bord le chgemet de vrible u = t. Doc puis o développe F() = b F() = (+ ) si f(u)(+( u) +si( u))du, b b f(u)du+ b f(u)cosudu+cos Si h est ue foctio cotiue de primitive H, o b uf(u)du b h(u)du = H( b) H( ). Ue telle foctio est doc dérivble et s dérivée vut Il e résulte que F est dérivble et l o b u f(u)du f(u)siudu. H ( b) H ( ) = h( b) h( ). F () = (+ )(f( b) f( )) b f(u)du +(( b)f( b) ( )f( ))+ b uf(u)du (( b) f( b) ( ) f( )) si(f( b)cos( b) f( )cos( )) cos +cos(f( b)si( b) f( )si( )) si b b f(u)cosudu f(u)siudu. 3. ) Posos u = t. O doc du = dt. Lorsque t = +, lors u = +, et lorsque t = 3, lors u =, doc F() = + e u du. Si l o ote g l foctio défiie pr g(u) = e u, 44

45 et si G est ue primitive de g, o F() = G( +) G( ). Alors F () = ( )G ( +) G ( ) = ( )e ( +) e ( ). b) Posos u = t+. O doc du = dt. Lorsque t = +, lors u = ++, et lorsque t = +, lors u = 3+, doc Si l o ote g l foctio défiie pr et si G est ue primitive de g, o Alors F() = g(u) = e u, e u du. F() = G( ++) G(3+). F () = (+)G ( ++) 3G (3+) = (+)e ( ++) 3e (3+). 33. ) Soit u ombre réel fié. L foctio f défiie pr { sit si t f (t) = t si t = est cotiue sur R comme quotiet de foctios cotiues. Pr illeurs u voisige de, et doc sit t. f (t). Il e résulte que f dmet comme limite f () = e. Elle est doc cotiue e. Alors pour tout réel, est l itégrle d ue foctio cotiue. F() = f (t)dt b) Supposos et fisos le chgemet de vrible u = ϕ(t) = t. O du = dt, et ϕ() =, ϕ() =, doc siu F() = u du = f (u)du. 45

46 Cel est ecore vri si =, puisque F() = ds ce cs. L foctio F est ue primitive de f. Il e résulte que F est dérivble et que F = f. 34. ) Soit u ombre réel fié ds ] π/, π/[. L foctio f défiie pr { tt si t ], ] f (t) = t si t = est cotiue sur ], ] comme quotiet de foctios cotiues. Pr illeurs u voisige de, et doc tt t. f (t). Il e résulte que f dmet comme limite f () = e. Elle est doc cotiue e. Alors pour tout de ] π/, π/[, est l itégrle d ue foctio cotiue. F() = f (t)dt b) Supposos et fisos le chgemet de vrible u = ϕ(t) = t. O du = dt, et ϕ() =, ϕ() =, doc tu F() = u du = f (u)du. Cel est ecore vri si =, puisque F() = ds ce cs. L foctio F est ue primitive de f. Il e résulte que F est dérivble et que F = f. 35. ) Si >, l foctio t /t est cotiue et positive sur [, 3], et l foctio t e t est cotiue sur [, 3]. Il eiste c ds [, 3] tel que 3 e t t dt = e c 3 dt t = e c l3. Comme c 3, il résulte du théorème d ecdremet que c ted vers lorsque ted vers. Alors e c ted vers e = et lim + 3 e t t dt = l3. b) L foctio t / t est cotiue et positive sur [ +, ++], et l foctio t rctt est cotiue sur [ +, ++]. Il eiste c ds [ +, ++], tel que ++ rctt t dt = rctc ++ t dt = ( ++ +)rctc,

47 ou ecore ++ rctt t dt = rctc. + Comme + c, l suite (c ) dmet + pour limite et (rctc ) dmet π/ comme limite. Pr illeurs = , et cette epressio coverge vers, doc lim rctt t dt = π. c) L foctio t /(tlt) est cotiue et positive sur [, ] et c est l dérivée de llt. L foctio t tcos(πt) est cotiue sur [, ]. Il eiste c ds [, ], tel que tcos(πt) tlt dt dt = c cos(πc ) tlt = c cos(πc )(ll( ) ll). Mis c, doc lorsque ted vers, il résulte du théorème d ecdremet que c ted vers, et c cos(πc ) ted vers. Pr illeurs ll( ) ll = l(l) ll = l, et o e déduit, lim tcos(πt) tlt dt = l. 36. ) Remrquos que tlt est l dérivée de llt, et que 3 dt tlt = ll3 ll = l3. Si > l foctio t tlt est positive et cotiue sur [, 3 ], et l foctio t si(πt/) est cotiue sur [, 3 ], doc il eiste c [, 3 ] tel que Alors 3 si(πt/) tlt 3 si(πt/) tlt dt = si πc 3 tlt dt. dt = si πc l3. 47

48 Comme c 3, il résulte du théorème d ecdremet que c ted vers lorsque ted vers +, d où l o déduit 3 dt lim + tlt = l3. b) Si >, l foctio t tlt est positive et cotiue sur [, ], et l foctio t t est cotiue sur [, ]. Il eiste c ds [, ] tel que doc t tlt dt = c tlt dt, t tlt dt = c l. Comme c, si ted vers + il résulte du théorème d ecdremet que c ted vers, d où l o déduit dt lim + lt = l. c) Le chgemet de vrible t = e u doe +θ+θ +θ dt (lt) = l(+θ+θ ) l(+θ) e u u du. Si θ >, l foctio u e u est positive et cotiue sur [l(+θ), l(+θ+θ )], et l foctio u /u est cotiue sur [l(+θ), l(+θ +θ )]. Il eiste c θ ds l itervlle [l(+θ), l(+θ+θ )] tel que Mis et doc l(+θ+θ ) l(+θ) e u u du = c θ l(+θ+θ ) l(+θ) e u du = θ c. θ < l(+θ) c θ l(+θ+θ ), Puisque u voisige de, θ l(+θ) θ c θ θ l(+θ+θ ). l(+θ) l(+θ+θ ) θ, o obtiet pr ecdremet que θ/c θ ted vers, doc lim θ + +θ+θ +θ dt (logt) = lim θ + 48 ( ) θ =. c θ

49 37. ) L foctio t t est cotiue et positive sur [, 4]. L foctio t + e t est cotiue. Alors il eiste c ds [, 4] tel que u = (+e c ) 4 Comme c, l suite (c ) ted vers +, doc b) Il eiste d ds [, +] tel que dt t = l4(+e c ). limu = l4. v = (+e d ) + dt t = l + (+e d ). Comme d, l suite (d ) ted vers +, et puisque (+)/ ted vers, il e résulte que limv =. 38. ) L foctio t t est cotiue et positive sur [, ]. L foctio t rct est cotiue. Alors il eiste c ds [, ] tel que u = rct c dt t = l rct c. Mis o c, et puisque l foctio rctgete est croisste, rct rct c rct(). Alors pr ecdremet, l suite (rct c ) coverge vers π/, d où limu = πl b) L foctio t tlt est cotiue et positive sur [, 4 ]. L foctio t rct est cotiue. Alors il eiste c ds [, 4 ] tel que u = rct c 4. dt tlt = l rct c. Mis o c 3, 49

50 et puisque l foctio rctgete est croisste, rct rct c rct(3 ). Alors pr ecdremet, l suite (rct c ) coverge vers π/, d où limu = πl. 39. ) L foctio est cotiue positive sur [, + ], et l foctio f est cotiue sur [, +]. Il eiste c ds [, +] tel que u = f(c ) + d = f(c ). Comme c, l suite (c ) dmet + pour limite et(f(c )) coverge versl, doc (u ) coverge vers l. b) L foctio / est cotiue positive sur [, +], et l foctio f est cotiue sur [, +]. Il eiste c ds [, +] tel que u = f(c ) + d = f(c )( + ) = f(c ) ++. O e déduit que l suite (u ) coverge vers l. c) L foctio / est cotiue positive sur [, ], et l foctio f est cotiue sur [, ]. Il eiste c ds [, ] tel que u = f(c ) O e déduit que l suite (u ) coverge vers l l. d = f(c )(l() l). d) L premiére formule de l moyee e doe ps de résultt ds ce cs. O peut écrire doc u l = u l (f() l)d, f() l d. Soit ε >. Puisque f dmet l comme limite à l ifii, il eiste N, tel que, si N, f() l < ε, 5

51 doc, si N, u l Mis, puisque N est fié, l suite N, tel que N implique Alors, si m(n,n ) o N N N N N Ceci motre que l suite (u ) coverge vers l. N f() l d+ f() l d+ N N f() l d+ N f() l d+ ε. f() l d ε d ε f() l d dmet pour limite zéro, doc il eiste f() l d < ε. u l < ε. 4. ) E utilist le chgemet de vrible = f(t), qui est tel que f () = α et f (b) = β, vec d = f (t)dt, o et, e itégrt pr prties, b b f (t)dt = f (t)dt = β α tf (t)dt, [ ] β β tf(t) α α f(t)dt. Il e résulte que A = [ ] β tf(t) = βf(β) αf(α) = bβ α. α β b) E es orthoormés, l itégrle I = f(t) dt est l ire du domie D limité pr γ, courbe représettive de f, les es, et les droites verticles d équtio = α et = β. α 5

52 b L itégrle I = f(t)dt est l ire du domie D limité pr γ, courbe représettive de f, les es, et les droites verticles d équtio = et = b. Mis γ est symétrique de γ pr rpport à l première bissectrice. Il e résulte que I est ecore l ire du domie D symétrique de D pr rpport à l première bissectrice, c est-à-dire du domie limité pr γ, les es et les droites d équtio y = et y = b. Alors, A = I +I est l ire du rectgle dot les côtés ot pour logeur b et β, à lquelle o retiré l ire du rectgle dot les côtés ot pour logeur et α. O doc bie de ouveu A = bβ α. b α β 4. ) O écrit doc b) De même doc i = +i + = + +i +, [ ] d i = l( +)+irct = l + iπ 4. d +i = +i = i +, d + i d +. 5

53 L première itégrle est ulle (itégrle d ue foctio impire). Alors d +i = i(rct rct( )) = iπ. 4. ) L foctio F vérifie F() = F(b) =. Il eiste doc c ds ], b[ tel que F (c) =. O ussi F () = f() f()+f() f () K ( ) 4 doc F () = F (c) =. Alors il eiste d ds ], c[ tel que F (d) =. Mis doc d où Filemet = F(b) = F () = F (d) = = d b d où l o déduit l formule demdée. f () K ( ), K = f (d). f (d) K (d ), f(t)dt (b ) f()+f(b) + (b )3, f (d), b) Soit k u etier tel que k. O peut ppliquer le résultt précédet ds l itervlle [ k, k+ ] et doc, puisque k k = (b )/, k+ k f()d = b f( k )+f( k+ ) ( ) b 3 f (d k ). E sommt ces églités, o obtiet I = b f(t)dt = k= k+ k f(t)dt = b k= f( k )+f( k+ ) ( b ) 3 f (d k ). k= Mis d où où f (d k ) f (d k ) M = M, k= I = b k= [ f(b)+f() + f k= k= R M (b )3. ( +k b ) ] +R, 53

54 c) Si f() =, =, et b =, o + et doc E prticulier (l vleur = 4 e suffit ps). Alors b [ f(b)+f() + f k= f () = (+) 3, R 6. R 5 5. ( +k b ) ] = [ ( + ) ] 9 = = cel doe ue vleur pprochée, de l à près. (O l =,693...). 43. ) Remrquos tout d bord que, puisque ϕ() = ϕ(b) =, d près le théorème de Rolle, il eiste c ds [, b] tel que ϕ (c) =. Alors d près le théorème des ccroissemets fiis ppliqué à ϕ, o ϕ () = ϕ () ϕ (c) M c M(b ). Appliquos lors l formule de Tylor-Lgrge à l foctio F qui à ssocie eiste d ds [, b] tel que ϕ(t)dt. Il soit Alors F(b) = F()+(b )F ()+ (b ) F(b) = (b ) F ()+ (b )3 F (3) (d), 6 ϕ ()+ (b )3 ϕ (d). 6 F(b) (b ) (b ) 3 M(b )3. ϕ () + (b )3 ) ϕ (d) 6 M(b )+ (b )3 6 M O doc b ϕ() d AM(b )3, 54

55 vec A = /3. b) E itégrt pr prties I = = 4 [ ( ) [ ( ) 3 3 ] b ] b b ( ) (b ) + = (b )3. d c) Pr illeurs, si Φ() = ( )(b ) = b+(+b) o successivemet Φ () = +b et Φ () =, doc, pour cette foctio Φ, o M = et l églité b Φ() d = M(b )3. L questio ) de l eercice précédet, permet d obteir directemet b ϕ() d M(b )3. Si l o ue costte A telle que, pour tout ϕ vérifit les coditios de ), o it lors e utilist l foctio Φ, o obtiet b ϕ() d AM(b )3, M(b )3 AM(b ) 3, et doc A. Il e résulte que l costte / est l plus petite possible., 44. ) Appliquos l formule de Tylor-Lgrge à l foctio F qui à ssocie eiste c ds [, b] tel que F(b) = F()+(b )F ()+ (b ) F (c), 55 ϕ(t)dt. Il

56 soit Alors b F(b) = (b ) ϕ (c), ϕ(t) dt M(b ). b) Soit k u etier tel que k. Si, pour ds [ k, k+ ], l o pose ϕ k () = f() f( k ), lors cette foctio répod u coditios du ), et doc, puisque o obtiet Alors ce qui doe Si l o pose I k+ k= k o obtiet le résultt demdé. k k = b, k+ (f(t) f( k ))dt M(b ). k f(t)dt = k+ (f(t) f( k ))dt k= k I k+ k= k R = I f(t)dt M(b ). k+ k= k f(t)dt. k= M(b ). c) E pret f() =, o obtiet + Alors M = sup f () = sup [,] [,] R. (+) =. et il fut predre = 5, pour être sûr d obteir ue vleur de l à près pr l méthode des rectgles. L vleur pprochée est lors I 5 = 5 49 k= + k 5 = 49 k= 99 5+k = k. 5 56

57 O trouve ue vleur pprochée, ) Si b, posos F() = X f(t)dt. Si X Y b, o obtiet, e itégrt pr prties, Y X Y f()g()d = g(y)f(y)+ X F(t)( g (t))dt. Pr hypothèse, les foctios g et g sot positives, et F est mjorée pr M. Alors Y Y f()g()d g(y) F(Y) + F(t)( g (t))dt X O e déduit bie que Y X Y Mg(Y)+ X Mg(Y)+M M g(y)+ X F(t) ( g (t))dt Y X Y X f()g()d Mg(X). ( g (t))dt ( g (t))dt. E prticulier, si f et l foctio cosius, Y f()d = siy six siy + six, X et si f est l foctio sius, Y f()d = cosy cosx cosy + cosx, X ds les deu cs o peut predre M =. b) Notos I = Y X e i Y d et J = +u() X e i d. 57

58 Si, otos g() =. L foctio g est décroisste positive et de clsse C sur [, + [, doc, si X Y, o d près ), Y g()cosd Y et X g()sid X. Alors X J = Y X f()cosd Etudios J I. O obtiet, si X Y, Or doc J I = Y X + Y X X f()cosd (+u())e i (+u())( ) d. X. < u() +u() et u()+ u() +, J I Cette derière itégrle se clcule et l o Alors puis Y X Y X (+u())e i Y (+u())( ) d X ( ) d. ( ) d = X Y X. J I X, I J I + J + X. Efi, sur l itervlle [, + [, l foctio f qui à t ssocie pr f() =. doc, si X, Filemet Y X X = X X X X. e i +u() d 4(+ ). X Ce qui doe l mjortio voulue vec A = 4(+ ). t t est décroisste et mjorée 58