TD n 1: Hydrostatique!

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1 TD n 1: Hydrostatique Anne Petrenko Année 2015/2016 Mickaël Bosco Exercice 1: Réservoir sans surface libre Soit le réservoir ci-dessous. 1) Déterminer la pression au point M en fonction de HM et de HA. 2) Si A est remplacé par A, déterminer al nouvelle pression au point M Exercice 2: Pression dans la conduite Le but est de calculer la pression absolue à l intérieur d un conduite. Dans cette conduite circule un fluide de poids volumique θ1 = 10 4 N.m -3. Pour cela, on utilise un baromètre et un manomètre, tous deux remplis de mercure de poids volumique θhg = 13, N.m -3. Calculer la pression atmosphérique et la pression dans la conduite en Pascals avec H0 = 0.5 m, H1 = 0.3 m et H2 = 0.2 m.

2 Exercice 3: Manomètre incliné Pour mesurer une faible surpression entre deux réservoirs, on utilise un manomètre en U, incliné d'un angle α (α = arcsin(1/20)) par rapport à l'horizontale, contenant de l alcool. 1) On lit sur la graduation h = 45 cm. Calculer cette surpression. 2) Comparer h avec la hauteur que l'on aurait eue en utilisant un manomètre à eau vertical. Donnée: alcool = 780kg.m 3 Exercice 4: Mesure de la pression dans l eau Exercice 5: Mesure de la pression dans l air

3 Supplément TD 1

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5 TD n 2: Hydrostatique & Forces A. Petrenko Année M. Bosco Exercie 1 : Action de l eau sur un barrage La figure ci-dessous représente une section de l ensemble sol-barrage, eau et atmosphère dans le plan de symétrie de l unité de largeur du barrage. On note P le centre de poussée, h la hauteur totale (h=30m) et pa, la pression atmosphérique (pa=10 5 Pa) 1. Exprimer la résultante F des forces de pression exercée par l eau sur le barrage par unité de largeur 2. Déterminer la position du centre de poussée P après en avoir donné la définition 3. Calculer le module de F et la position de P z atmosphère barrage h eau P x Exercice 2 : Paroi cylindrique (facultatif - cours) Déterminer la force sur la paroi gauche avec H1=1m, r=3m et de largeur b=1m. Exercice 3 : Paroi de réservoir Soit la paroi suivante de largeur b=2m et de rayon =0.2m. 1) Préciser les trois forces dues à la pression de l eau sur la paroi dont on néglige le poids 2) Déterminer les composantes verticale et horizontale de la résultante ainsi que son intensité et inclinaison. 3) Faire l AN O x eau r=0.2m O z sol r F2 F1 F3 z H1 H=1.2m eau x γ=9.81kn/m 3

6 Exercice 4 : Cloche hémisphérique Une cloche hémisphèrique (rayon R, épaisseur e<< R, masse m) repose sur un plan horizontal. Elle contient de l eau jusqu à une hauteur h. Un orifice pratiqué au sommet permet de maintenir la pression atmosphèrique à l interface eau/air. L épaisseur de paroi e est suffisamment faible pour considérer comme identiques les surfaces intérieure et extérieure de la cloche. Montrer qu il existe une hauteur critique he au delà de laquelle l équilibre est rompu (la cloche se soulève) Application numérique : cloche en verre de densité d = 2,5 telle que e/r = 0,02 Exercice 5 : Etude d un barrage-poids Le barrage-poids est représenté en coupe sur la figure ci-contre, la longueur suivant la direction y sera prise unitaire. Le matériau constituant le barrage a pour masse volumique Ro d où d est la densité du matériau par rapport à l eau de masse volumique Ro. La composante verticale de la force exercée par le sol sur le barrage est de la forme: 1) En exprimant les conditions d équilibre du barrage, calculer les valeurs de a et b en fonction de Ro, d, e, h et g. 2) Pourquoi convient-il que "? En déduire une condition entre h, e et d. 3) Quelle doit être la valeur de la composante horizontale exercée par le sol sur le barrage.

7 A. Petrenko Année M. Bosco TD n 3 Hydrostatique & Pression Exercice 1 : Pression sur les parois d une bouteille Une bouteille de rayon R contient une hauteur H de liquide. Le fond est une ½ sphère. 1) Déterminer la direction et l intensité de la résultante des forces de pression qu exerce le fluide sur les parois de cette bouteille. 2) Comparer ce résultat avec celui qui aurait été obtenu avec une bouteille à fond plat. Conclure. 3) AN Bouteille remplie d eau avec H = 25 cm, R = 3,5 cm

8 Exercice 5 : Sphères :

9 Exercice 6 : Corps Immergés : 1) Glace : 2) Cube en acier :

10 TD n 4 Mécanique des Fluides M. Bosco A. Petrenko Année 2015/ Exercice 1 : Accélération uniforme On considère un fluide placé dans un récipient, dans un wagon animé d un mouvement rectiligne, horizontal et uniformément décélèré. 1. Déterminer la pression au sein du fluide. 2. Déterminer la forme de la surface libre. 3. Dessiner la surface libre de l eau dans le récipient et la force de volume par unité de masse qui s exerce sur le fluide et préciser son orientation par rapport à la surface libre 2 Exercice 2 : Réservoir de voiture On cherche pendant l accélération : Soit le réservoir d une voiture rempli d huile. Un petit orifice en A assure la pression atmosphérique en ce point tout en empêchant l huile de s échapper. Lors d une accélération uniforme, la vitesse de la voiture (et du réservoir) passe de 0 à 100 km.h 1 en 5.6s. 1. La pression en B et C 2. l accélération a x nécessaire afin que la pression en B devienne nulle.

11 3 Exercice 3 : Bassine d eau tournante Soit la bassine d eau ci-contre, tournant à la vitesse angulaire constante =2rad.s Calculer P a et P b en fonction de P atm. 2. Pour quelle vitesse angulaire aurait-on la pression relative en B égale au double de la pression relative en A? 3. Pour quelle vitesse angulaire la bassine d eau déborde? 4. Déterminer la forme de la surface libre A.N. : h =1m, d =6m et H =2.5m 4 Exercice supplémentaire : Gaz en rotation Un vase cylindrique, contenant de l air, tourne autour de son axe vertical Oz avec une vitesse de rotation angulaire constante. Données : D =40cm et h =1m T =290K et g =9.81 m.s 2 M =29g et R =8.32 J.mole 1.K 1 1. Etablir le champ de pression p(r, z) de l air du récipient en tout point de cote z et à la distance r de l axe de rotation ; on désignera P O la pression en O. 2. Déterminer la forme de l isobare P = P O. Quelle doit être la vitesse de rotation O (en rad.s 1 et en trs.min 1) pour que la pression sur le bord supérieur du vase soit la même qu en O.

12 A. Petrenko Année TD M. Fraysse 5: Notion de fonction de courant & Potentiel de vitesse M. Bosco A. Petrenko TD n 5 Mécanique des fluides Année 2015/ 2016 Exercice 1 : Champs de vitesse Pour les écoulements plan (xy), permanent et incompressibles suivants : 1. u=x 2 y 2 et v= 2xy 2. u=x et v= y 3. u= y et v=x Déterminer : a) si un tel écoulement existe b) si l'écoulement est irrotationnel c) le potentiel de vitesse et la fonction de courant quand c'est possible d) faire un dessin du champ des vitesses Exercice 2 : Écoulements permanents? Déterminer si les fonctions suivantes peuvent être des potentiels de vitesses d'écoulements permanents et plan en(xy) : 1. x, y =sin x y 2. x, y = Kx 3 3. x, y =sin x 2 y 2 4. x, y =Ux 5. x, y =Ux Vy 6. x, y = Kx Lyavec O K L Si oui, déterminer : a) les composantes de la vitesse b) les lignes de courant c) les lignes équipotentielles d) faire un dessin du champ des vitesses

13 Exercice 3 : Circulation dans un coin Soit un écoulement permanent plan (x,y) d'un fluide incompressible avec un champ de vitesse tel que u=2ax et v= 2Ay. a) Vérifier que l 'écoulement existe et qu'il existe un potentiel de vitesse et le calculer. b) Trouver la fonction de courant et dessiner le réseau des lignes et. c) On remplace les lignes de courant x=0 et y 0 et y=0 et x 0 par une frontière fermée. Décrire où à lieu l'écoulement. d) On remplace une autre ligne de courant par une deuxième frontière. Cette ligne passe par le point P x p, y p. Entre ces deux lignes, le débit par mètre de profondeur est q en m 3. s 1. Pour A positif, trouver les composantes de la vitesse en P et calculer A (grandeur et unité). A.N. : q=10m 3. s 1, x p =2 et y p = 5 2 Exercice 4 : Dans un repère cartésien plan (Oxy), un écoulement a pour vitesse : u= q 2 π v= q 2 π x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 Chaque question est indépendante et peut être faite sans que la précédente ait été résolue. note : La dérivée de Arc tg x a est égale à Arc tg ' x a = a x 2 + a 2. a) Vérifiez que l'écoulement existe b) Quelles sont les conditions pour qu'il existe une fonction de courant? Si les conditions sont vérifiées, calculez-la. c) Définissez le vecteur tourbillon d un écoulement quelconque et développez ses composantes dans le référentiel (Oxyz) pour un vecteur vitesse (u,v,w). Le calculez dans le cas de l écoulement de cet exercice. Qu en déduisez-vous? d) Calculez le potentiel des vitesses de l écoulement. e) Énoncez les équations de Cauchy-Riemann en général. f) Montrez qu elles sont vérifiées pour le présent écoulement. g) A quoi correspond un tel écoulement?

14 TD n 6: Cinématique des Fluides Année Exercice 1: Exercice 2: Exercice 3: Exercice 4: Anne Petrenko Mickaël Bosco

15 Exercice 5: Exercice 6: Exercice 7: Tuyau poreux

16 Exercice 8: Etude d une tornade

17 Exercice 1 : TD 7: Bernoulli et ses applications La conduite forcée ci-contre est alimentée par un réservoir à un niveau d eau constant. Déterminer : 1) la vitesse de sortie U3 2) la vitesse dans la conduite U2 Section 1 Section 2= D2 Section 3= D3 turbine On ne tient pas compte des pertes de charge ni dans la conduite, ni dans la turbine. L écoulement est turbulent. H= 100m, D2=1m, D3=2m Exercice 2 : Le jet d eau de l installation ci-après a une hauteur de 30m et un débit Q=0.5m 3 /s. La pompe permettant le refoulement de l eau a une puissance mécanique de PT=400kW et un rendement de η=80%. La perte de charge est de 5cm par mètre courant de la conduite de refoulement et de 1m de colonne d eau à la buse du jet (on néglige les frottements dans l air). Déterminer : 1) la longueur de la conduite de refoulement L, 2) la pression juste avant la buse, 3) dessiner la ligne de charge et la ligne piézométrique pour l installation. g=9.81m/s 2, Dconduite= 18.3cm, γeau=9.81kn/m 3, α1=α2=1. H=30m θ=30 L

18 Exercice 3 : Un jet de liquide parfait incompressible de masse volumique ρ heurte, avec une vitesse v et sous une incidence normale, une paroi plane : il se divise en deux parties (1) et (2) comme l indique la figure sur la page suivante. On appelle S0 la section du jet incident, S1 la section de la partie (1) du jet et S2 la section de la partie (2). On suppose que l écoulement est stationnaire et que les forces volumiques telles que la pesanteur sont négligeables. Les vitesses et les pressions sont supposées uniformes dans toute section du jet éloignée du point O. Enfin, le jet est infini dans une direction perpendiculaire au plan de la figure et on raisonnera par unité de largeur du jet. 1) Déterminer la relation entre les sections S0, S1 et S2 en utilisant l équation de continuité puis la résultante des forces subies par la paroi. 2) Comment les résultats précédents doivent-ils être modifiés si l on suppose maintenant que le jet heurte la plaque sous une incidence α par rapport à la plaque? S0 air V SL S1 S2 V1 S V2 O air x paroi Exercice 4 : On considère l écoulement stationnaire dans une conduite d un fluide newtonien incompressible non pesant. On mesure la différence de pression (ΔP) en deux points espacés d une longueur L. P +ΔP P L

19 1) Déterminer les champs de vitesse et de pression dans la conduite dans le cas où l écoulement est unidirectionnel 2) En déduire le débit, la vitesse moyenne de l écoulement Vm ainsi que la vitesse maximale Vmax 3) On définit un coefficient de pertes de charge (*) linéaire représentant la chute de pression par unité de longueur : " ΔP # % 2 1 2ρV & m Λ = ' ( " L # % D & ' ( Etablir la loi de Poiseuille donnant Λ en fonction du nombre de Reynolds pour les écoulements laminaires dans les conduites. (*) «charge»= énergie volumique exprimée en métre : Exercice 5 : Pression sur le nez d un sous-marin 2 P V H = + z + ρg 2g Déterminer la pression sur le nez du sous marin avançant à une vitesse U = 15 m/s. Exercice 6 : Relation de Bernoulli

20 Exercice 7 : Réservoir

21 Exercice 8 : Vidange d une cuve

22 Exercice 9: Tube de Venturi

23 Exercice 10: Tube de Pitot

24 Exercice 11: Jet d eau sur une plaque inclinée Exercice 12: Réaction d un jet d eau

25 Exercice 13 : Jet d eau

26 Exercice 14 : Pompe

27 Exercice 15 : Phénomène de cavitation

28 Supplément TD 7: Entonnoir conique Exercice 16: On considère l entonnoir conique ci-dessous. 1) On cherche à déterminer le temps de vidange du bassin conique. Pour cela, on justifiera le fait de se placer dans el cas d un problème non permanent. 2) Retrouver la formule de Torricelli reliant la vitesse v d écoulement d un fluide à son altitude z. 3) A l aide de considérations géométriques, déterminer le temps de vidange du bassin cidessous.

29 Supplément TD 8: Equation de Navier Stokes Exercice 1: Un fluide incompressible s écoule dans un conduit contenu entre les plans z=0 et z=a. La paroi supérieure est en translation à la vitesse v0 selon l axe (Ox), alors que celle du bas est immobile. On considère un écoulement stationnaire de la forme: ~v = v(z) ~u x p = p(x, z) 1) Ecrire l équation fondamentale de la dynamique pour une particule de fluide. On expliquera la provenance du terme de viscosité. 2) Montrer que la pression dépend linéairement de x à z fixé. Déterminer complètement le champ de pression p(x,z). Qualifier la répartition de pression dans les plans d abscisse x.on note: p 1 = p(0, 0) p 2 = p(l, 0) 4p = p 2 p 1 3) Etablir l expression de la vitesse v(z). Commenter le résultat concernant son sens. 4) Que se passerait-il pour un écoulement parfait? Montrer notamment que v est uniforme.

30 UNIVERSITÉ DECAEN UFR des Sciences Master Mathématiques et Applications, Hydrodynamique/ Ingénierie Mathématiques Equation et Mécanique de Navier-Stokes (M1) Dynamique des Fluides Réels Examen partiel- Durée : 3 heurs Examen Partiel : Date : 18/11/2009 Documents et calculatrices non autorisés. Éteindre tout appareil de phone mobile. Chaque candidat doit, en début d épreuve, porter son nom dans le coin de la copie qu il M.Bosco A.Petrenko TD 8: Mécanique des Fluides cachera par collage après avoir été pointé. Il devra en outre, porter son numéro de place sur chacune de ses copies, intercalaires ou pièces annexées. Exercice 1 On considère un chariot sur lequel est monté un réservoir d eau (de diamètre D) munied une tuyère d éjection à travers duquel un jet de section constante est éjecté au milieu ambiant et dévié par un déflecteur comme illustré ci-dessous. Le chariot est maintenuenplaceparuncâblecomme schématisé sur la figure. Année 2015/2016 D y g d h V j α x Câble Déflecteur (1) Déterminer le débit du jet. (2) Calculer la force F exercée par le jet sur le déflecteur. (3) En admettant qu il n y a pas de frottement entre le sol et le chariot,déterminerlatension dans le câble. (4) Qu st passe-t-il si α > 1 2 π?quefaut-ilfairealorspourmaintenirlechariotenplace? Exercice 2 Un système de tapis roulants est conçu pour transférer un produit chimique liquide d un réservoir vers un autre destiné à une application industrielle. Le mouvement de tapis entraîne alors un écoulement unidirectionnel, laminaire et permanent sous la forme d un film liquide d épaisseur h comme illustré dans la figure. 1

31 2 h Tapis roulant U g y L air ambiant, au repos p atm =constante x α Réservoir de produit chimique (1) Quel est le système d équations et conditions aux limites qui représente l écoulement du film? Justifiez votre réponse. (2) Déterminer la distribution de vitesse. (3) Déterminer la répartition de contrainte de cisaillement, τ yx,dansladirectionx. (4) Calculer le décharge ainsi obtenu par unité de largeur de tapis, Q, enfonctiondeu, h, g, ρ et µ. Exercice 3 Écoulement stratifié de deux liquides visqueux Deux liquides newtoniens non miscibles et y U visqueux s écoulent entre deux plaques planes parallèles, horizontales de longueur L et de x largeur d, séparéesparunedistance2h, petite par rapport aux autres dimensions des plaques (h L, eth d). Les deux masses L 2h Liquide 2 Liquide 1 volumiques et les viscosité de chacun des liquides sont dénotées respectivement ρ 1, µ 1 pour liquide 1etρ 2, µ 2 pour liquide 2. Le liquide 1, plus dense (ρ 1 > ρ 2 )estplacéau-dessousduliquide2,et chacun occupe la moitié de l espace entre les deux plaques. L écoulement est stationnaire et est produit uniquement par le mouvement de la plaque supérieure àlavitesseu, laplaqueinférieure reste immobile. On se place suffisamment loin des bords latéraux des plaques pour que l écoulement puisse ê t r e c o n s i d é r é c o m m e é t a b l i e t u n i d i r e c t i o n n e l : v = u x.

32 (1) Écrire les équations du mouvement dans chaque liquide. (2) Écrire les conditions aux limites à l interface. (3) Calculer le champ de vitesse dans chacun des fluides. Qu obtient-on quand µ 1 = µ 2.? (4) Les configurations d écoulement montrées sur les figures ci-dessous (a), (b), (c) sont-elles toutes possibles? À quelles valeurs relatives des paramètres correspondent-elles? 3 (a) (b) (c) Exercice 4 Dans plusieurs processus industriels un courant de liquide est passé sur un film des sphères solides au fond d un tube comme illustré à la figure. On peut observer lors de l écoulement d un fluide incompressible le long d un tube qu à une certaine vitesse critique les particules se mettent en mouvement le long du tube. On désire d étudier la valeur de cette vitesse critique V c.onadmet que V c est une fonction du diamètre du tube D, dudiamètreduparticuled p,lamassevolumique du liquide ρ, laviscositédynamiqueduliquideµ, ladensitédeparticulesρ p et l accélération de la pesanteur g. V (1) En utilisant ρ,d et g comme grandeurs fondamentales, déterminer les paramètres sans dimensions de ce problème. (2) Répéter la question (1) en utilisant ρ,d et µ en tant que grandeurs fondamentales. (3) Dans une expérience au laboratoire on utilise le même liquide et particules que pour le prototype mais en réduisant les dimensions géométriques au moitié. Si les mesures au laboratoire indiquent une vitesse critique de 1 m/s, calculer la vitesse critique du prototype pour les deux cas (1) et (2). Que passe-t-il? (4) Revenons aux principes de similitudes et les paramètres sansdimensionsduproblème. Quels sont ces principes et comment doit-on les appliquer pour résoudre ce problème de similitude? Calculer la vitesse critique du prototype pour obtenir une vitesse critique de 1 m/s pour la maquette. Quelles sont dans ce cas les propriétés du liquide à utiliser au laboratoire?

33 4 Exercice 5 Question du cours On considère l écoulement visqueux laminaire et incompressible sur une plaque plane semi-infinie. On dénote dans ce qui suit par L une longueur caractéristique le long de la plaque, δ l épaisseur de la couche limite, U e la vitesse du courant libre suffisamment loin de la plaque, ρ la masse volumique du fluide et µ la viscosité dynamique. U e y U e δ V = u x + v y x (1) Donner les définitions de grandeurs suivantes : (a) L épaisseur de déplacement, δ 1. (b) L épaisseur de la quantité de mouvement, δ 2. (c) L épaisseur de l énergie, δ 3. L (2) En commençant par les équations de continuité et Navier-Stokes bi-dimensionnelles, u x + v y ( ρ u u x + v u ) y ( ρ u v x + v v ) y = 0, = p ( 2 x + µ u = p y + µ ), x u y 2 ( 2 ) v x v y 2 estimer les ordrer de grandeurs de chaque terme et les utiliser pour simplifier ce système d équations afin de déterminer les équations de la couche limite de Prandtl.

34 Interro n 1 (15 min) Statique des fluides Exercice 1 : Questions de Cours : 1) Rappeler l expression du PFSF et le projeter sur l axe z dans le cas ascendant puis descendant. Etablir dans chaque cas l expression reliant la pression P àlamassevolumique pour un fluide supposé incompressible. Les schémas sont les bienvenus 2) Cas du fluide compressible : a) Quelle principale différence existe entre un fluide compressible et un fluide incompressible? Citez des exemples de fluides dans chaque cas. b) En utilisant la loi des gaz parfait, établir la relation reliant la masse volumique (z) àlapressionp (z) c) En utilisant le PFSF intégré entre 2 positions bien choisies, établir la nouvelle expression de P (z) en supposant que le fluide est isotherme. Exercice 2 : Equilibre de trois liquides non miscibles : Un système de trois liquides non miscibles (eau, mercure, alcool) est en équilibre dans un tube en U overt à l air libre. Les hauteurs respectives d eau et d alcool ainsi que la distance entre les niveaux de mercure sont indiquées sur la figure ci-dessous. On note respectivement 1, 2 et 3 les masses volumiques de l eau, du mercure et de l alcool. Exprimer 3 en fonction de 1, 2, h 1, h 2 et h 3. BONUS : Reprendre la question 2)c) de l exercice 1 dans le cas où cette fois-ci T (z) =T 0 + az et établir la nouvelle expression de P (z) Good luck 1

35 Interro n 2 (20 min) Statique des fluides & Forces de Pression Exercice 1 : Questions de Cours : 1) Toujours la même question à savoir faire en quelques secondes : Rappeler l expression du PFSF et le projeter sur l axe z dans le cas ascendant puis descendant. Etablir dans chaque cas l expression reliant la pression P àlamasse volumique pour un fluide supposé incompressible. Les schémas sont les bienvenus 2) Rappeler les 4 principaux instruments permettant de mesurer la pression et détailler le principe du baromètre à mercure. 3) Donner une méthode permettant de déterminer les coordonnées du centre de Poussée. A quoi correspond ce point physiquement? Où se situe le centre de pression par rapport au centre de gravité? 4) Définir le moment d inertie par rapport à un axe (0x) Exercice 2 : Force de Pression : Un nettoyeur vapeur est constitué d?une cuve, contenant de l?eau que l?on chauffe pourlatransformerenvapeur. Pendant l?utilisation, la pression à l?intérieur de la cuve est P = 4 bars. Déterminer la valeur de la force de pression F p s appliquant sur le bouchon cylindrique de la cuve qui une surface S = 3, 14 cm 2 et ne pas oublier d utiliser les bonnes unités. Exercice 3 : Centre de Poussée : Considérons une plaque rectangulaire représenté sur le schéma ci-dessous. 1) Déterminer l intensité de la force hydrostatique. 2) Déterminer les coordonnées du centre de poussée en utilisant le moment d inertie. Good luck 1

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43 Interro 7: Bernoulli et ses applications Question de cours: Préciser les hypothèses du théorème de Bernoulli et l énoncer. Une démonstration pourra être appréciée pour les plus courageux. Exercice 1: La conduite forcée ci-contre est alimentée par un réservoir à un niveau d eau constant. Déterminer : 1) la vitesse de sortie U3 2) la vitesse dans la conduite U2 Section 1 On ne tient pas compte des pertes de charge ni dans la conduite, ni dans la turbine. L écoulement est turbulent. H= 100m, D2=1m, D3=2m Exercice 2: Section 2= D2 Section 3= D3 turbine

44 Interro 8: Petit partiel Mécanique des Fluides (45 min) Question de cours: (5pts) Définir les notions de ligne de courant et ligne équipotentielle et les relier à leurs fonctions associés. On pourra prendre un exemple d application en considérant un écoulement plan unidirectionnel et tracer ces lignes. Problème: Ecoulement dans une rivière (15 pts) L eau est considérée comme un fluide parfait incompressible et l écoulement est permanent. Soit un canal horizontal à section rectangulaire de côté L = 4 m, parcouru par de l eau de masse volumique eeau avec une vitesse v uniforme et constante sur une section droite du canal. La hauteur de l eau est notée h, supposée constante. 1) Définir les mots en gras dans l énoncé ci-dessus. 2) a) Rappeler sans démonstration l équation locale de la conservation de la masse pour un fluide quelconque. b) Que peut-on en déduire pour le champ des vitesses de l eau? Que dire du débit volumique Q et rappeler l expression intégrale puis simplifiée pour ce problème. 3) On place un tube de verre coudé dans l eau comme sur la figure suivante. On appelle z la hauteur de la colonne d eau dans le tube par rapport à la surface libre du canal. a) Rappeler l énoncé du théorème de Bernoulli avec les hypothèses nécessaires. b) Exprimer alors la vitesse v du courant en fonction de z et g. c) On mesure une hauteur z = 10 cm. La hauteur d eau vaut 3 m, calculer numériquement le débit de ce canal. On prendra g = 9.81 SI. 4) La hauteur h de l eau circulant dans le canal n est plus constante désormais. a) Que dire de la quantité K = gh +v 2 /2 sur tout le long du canal? b) Quelle est la signification physique de K? La calculer avec les valeurs précédentes. c) Exprimer le débit Q(h) en fonction de la profondeur h et des paramètres suivants: la largeur du canal L, K et g. d) Représenter l allure de la courbe du débit Q(h) en fonction de h et montrer que pour un débit donné, il y a 2 profondeurs h1 et h2 possibles sauf pour une valeur critique hc correspondant au débit maximal que l on déterminera à la question suivante. e) Calculer la hauteur critique hc du canal correspondant à un débit maximal. Pou cela on pourra notamment s intéresser à la quantité dq/dh. On exprimera cette hauteur critique en fonction de K et g. Faire l application numérique et déterminer ainsi la vitesse critique vc.

45 Exercice 1: Question de cours Interro 9: The Last but not Least Rappeler l équation d Euler dans un premier temps. Par la suite, donner l équation de Navier-Stokes et notamment sa forme «utile». Identifier l origine de chaque terme. Enfin à l aide d hypothèses simplificatrices, démontrer que l on peut arriver à obtenir l équation de Bernoulli. Exercice 2: Vidange d une cuve On considère une cuve parallélépipédique de 10 m de longueur, 5 m de largeur et 2 m de profondeur représentée ci-dessous. Cette cuve est représentée d un liquide qui se vide par un orifice percé au fond, débouchant à l air libre dont la section vaut s = 0.5 dm2. On supposera que l écoulement du liquide est incompressible et stationnaire et q uil s agit d un fluide parfait. 1) On cherche à déterminer le temps de vidange du bassin conique. Pour cela, on justifiera le fait de se placer dans le cas d un problème non permanent. 2) Retrouver la formule de Torricelli reliant la vitesse v d écoulement d un fluide à son altitude z. 3) A l aide de considérations géométriques, déterminer le temps de vidange du bassin cidessous.