Pompiers Combien mesure chacune des trois échelles? Expliquez votre raisonnement. ANALYSE A PRIORI Domaine de connaissances Analyse de la tâche

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1 1. Pompiers (Cat. 3) Les pompiers de Transalpie ont trois échelles : - une courte, - une moyenne, qui mesure deux fois la courte, - une longue, qui mesure quatre fois la courte. Les pompiers peuvent les accrocher les trois à la suite l'une de l'autre, pour former une très grande échelle de 42 mètres de longueur. Combien mesure chacune des trois échelles? Expliquez votre raisonnement. - Logique et raisonnement : analyse et organisation de données - Arithmétique : les quatre opérations - Procéder par essais organisés (additifs ou multiplicatifs) en vérifiant la longueur totale : comprendre, par exemple, que si l'échelle courte mesurait 10 m, la longue aurait 40 m et le total des trois serait supérieur à 42 m, qu'il en irait de même avec 9 m, ou 8 m; montrer que, avec 7 m: = 49 c'est encore trop long et constater qu'on atteint les 42 m avec une échelle courte de 6 m: = 42; ou diviser 42 par 3 (pour trouver une longueur d'échelle "moyenne" puis faire les vérifications et les ajustements nécessaires ou se rendre compte qu'il y a en tout 7 ( ) échelles courtes dans le total et effectuer une division par 7. - Calculer ensuite les longueurs des autres échelles. 4 Réponse correcte et complète (6 m, 12 m, 24 m) avec procédure claire (qui fait office de justification) 3 Réponse correcte mais avec une procédure peu claire ou mal explicitée ou réponse incomplète (deux des longueurs justes) avec procédure claire 2 Réponse correcte sans explication ou sans justification ou réponse avec une erreur de calcul mais avec des explications claires ou réponse incomplète (une seule des longueurs juste) et explications confuses 1 Début de raisonnement correct ou réponse qui ne tient compte que de la dernière des informations (42 m) 0 Incompréhension du problème

2 2. Petites et grandes (Cat. 3) Cinq amies comparent leurs tailles. - Hélène est plus grande que Marina mais plus petite que Françoise. - Valérie est plus petite que Françoise et que Marina. - Camille est plus grande que Valérie. - Françoise n est pas la plus grande. Rangez les cinq amies, de la plus petite à la plus grande et expliquez comment vous avez trouvé. - Logique : sériation - Interpréter correctement les quatre phrases et déterminer les relations correspondantes en trouvant un mode de représentation adéquat pour exprimer le contenu des phrases. - Analyser les possibilités : 1ère phrase: F>H>M, 2e phrase : F>H>M>V. Comprendre que la 3 e phrase ne permet pas de déterminer avec certitude la position de Camille qui pourrait se trouver n importe où parmi les enfants plus grands que Valérie. Tenir comte de l information de la dernière phrase : C>F>H>M>V. 4 Réponse correcte (C>F>E>M>V ou C, F, E, M, V ou dessin ou texte) avec l indication des étapes effectuées 3 Réponse exacte sans indiquer la procédure suivie ou ordre inverse avec explications 2 Réponse avec une des conditions non respectée ou ordre inverse sans explications 1 Réponse avec deux conditions qui ne sont pas respectées 0 Incompréhension du problème

3 3. Combien de 9 (Cat. 3) Rachid écrit tous les nombres à partir de 1 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 Quand il utilise le chiffre 9 pour la 25 e fois, quel nombre est-il en train d écrire? - numération - écriture de toute la bande numérique, entourer les 9 - écrire la suite des nombres contenant 9 - raisonner : 1) 9 en position d unité : un 9 par dizaine (1 à 99 : 10 ) 9 en position de dizaines : la famille des 90 (10) 2) par tranches de nombres :1 à 89 (9), 90 à 99 (11), 100 à 189 (9) 4- réponse correcte avec justifications (55 : 295, 25 :149) 3- réponse correcte sans justifications ou à 1 ou 2 près mais bonne démarche. 2- erreurs sur le résultat : 549 (oubli des 9 en dizaine) ou 99 compté pour un seul 9 1- début de démarche correcte sans aller au bout. 0- incompréhension.

4 4. Combien de 9 (Cat. 4) Rachid écrit tous les nombres à partir de 1 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 Quand il utilise le chiffre 9 pour la 55 e fois, quel nombre est-il en train d écrire? - numération - écriture de toute la bande numérique, entourer les 9 - écrire la suite des nombres contenant 9 - raisonner : 1) 9 en position d unité : un 9 par dizaine (1 à 99 : 10 ) 9 en position de dizaines : la famille des 90 (10) 2) par tranches de nombres :1 à 89 (9), 90 à 99 (11), 100 à 189 (9) 4- réponse correcte avec justifications (55 : 295, 25 :149) 3- réponse correcte sans justifications ou à 1 ou 2 près mais bonne démarche. 2- erreurs sur le résultat : 549 (oubli des 9 en dizaine) ou 99 compté pour un seul 9 1- début de démarche correcte sans aller au bout. 0- incompréhension.

5 5. Partage d une feuille (Cat. 3, 4, 5) En traçant une ligne droite qui partage une feuille, on obtient 2 parties. 1 2 En traçant 4 droites, quel est le plus petit nombre de parties que vous pouvez obtenir? En traçant 4 droites, quel est le plus grand nombre de parties que vous pouvez obtenir? - Géométrie - Tâtonnement - Raisonnement : Le moins : réponse 5 parties (aucune droite ne se croise sur la feuille). Ou réponse 2 parties (4 droites confondues). Le plus : Réponse 11 parties (Chaque droite croise les 3 autres). 4. Bonnes réponses + dessins 3. N ont trouvé que le plus grand nombre de parties Ou Dessin correct pour le plus grand nombre de parties mais erreur de dénombrement ET réponse correcte pour le plus petit nombre 2. Dessin correct pour le plus grand nombre de parties mais erreur de dénombrement 1. N ont trouvé que le plus petit nombre de parts. 0. Incompréhension

6 6. QUI A PRIS LE PLUS DE CHOCOLATS? (cat. 3, 4, 5) Hugo et Mario ont reçu une boite qui contient six rangées égales de chocolats. Mario en prend : 2 dans la première rangée, 4 dans la deuxième rangée, 6 dans la troisième rangée, et ainsi de suite, deux de plus dans chaque rangée qui suit. A la fin, il ne reste plus qu'un seul chocolat dans la dernière rangée. Combien Mario a-t-il pris de chocolats? Combien en reste-t-il pour Hugo? Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses. - Arithmétique : suites, addition - Rangée par rangée, déterminer le nombre de chocolats pris par Mario : 2, 4, 6, 8, 10, 12 - En déduire que les lignes ont 13 chocolats - Calculer le nombre de chocolats de Mario ( = 42) - Calculer le nombre de chocolats de Ugo : par la somme des termes de la suite "complémentaire" = 36 ou par différence : (13 x 6) - 42 = 36 ou par le dessin de la boîte et de ses six rangées 4 Les deux réponses justes (42 et 36) avec explications complètes, par le dessin de la boîte ou par le détail des calculs 3 Les deux réponses justes, avec explications incomplètes ou raisonnement correct bien expliqué, mais avec une seule faute de calcul 2 La réponse 42 (Mario) juste et, pour la deuxième partie, une erreur de calcul ou une suite irrégulière, ou un oubli du chocolat restant, ou un dessin insuffisant ou, une erreur pour Mario mais une deuxième partie correcte, compte tenu de la première erreur 1 La réponse 42 (Mario) seulement, avec les détails du calcul ou le dessin 0 Incompréhension du problème Niveau : Origine : Cagliari

7 7. Le journal (Cat. 4, 5) Popi a trouvé cette feuille de journal. Combien de pages avait ce journal? - Arithmétique : compter, décompter. - Déduire. - Compréhension de la fabrication d un journal (idée d empilement) - Prise de conscience de la pagination : en particulier début et fin et faire les correspondances correctes. - Compter, décompter : etc La page 0 n existe pas : s arrêter à 1. - Raisonnement ou calcul : 13 pages avant la page 14 donc 13 pages après la page 43. Barème: 4 Réponse exacte, 56 pages, avec justification. 3 Réponse 57 pages (prise en compte de la page 0) ou 55 pages (on s arrête au correspondant de 2) avec comptage et décomptage. 2 Comptage et décomptage simultanés et corrects mais inaboutis, inversés (ex: obtention de la page du milieu). 1 Inversion dans les correspondances à effectuer : incompréhension du problème etc 1 30

8 8. Le voleur de poules (Cat. 4, 5) En secret, monsieur Cocorico élève 30 grosses poules de race dans son poulailler. Il en possède 10 noires, 10 blanches et 10 rousses. Son voisin, monsieur Jaloux décide une nuit de lui voler 3 poules identiques, en se chargeant le moins possible. Dans le noir complet, il met dans son sac autant de poules qu'il faut pour être sûr d'avoir volé au moins 3 poules d'une même couleur. Combien de poules a-t-il emportées? Expliquer votre raisonnement. : - Logique : - Comprendre les deux conditions : Voler le moins de poules possible. Emporter au final 3 poules identiques. - Travailler avec logique ou tâtonnement, organisation. - Constater que le tirage de 7 poules satisfait les deux conditions. : 4 Réponse «7 poules», avec explications. 3 Réponse «7 poules», sans explications. 2 Réponse «3 poules» ou «4 poules» ou «5 poules» ou «6»poules», avec explications. 1 Réponse «3 poules» ou «4 poules» ou «5 poules» ou «6»poules», sans explications. 0 Autres réponses ou incompréhension de problème.

9 9. Un gros cube, un petit cube (Cat. 4, 5) Léo a construit ce cube en empilant des petits cubes. Il décide d en peindre toutes les faces. Une fois sec, il démonte son gros cube. Selon vous, combien de faces de petits cubes ne sont pas peintes? Expliquez votre raisonnement. : Géométrie : agencement de cubes Arithmétique : dénombrement : Comprendre que : Le gros cube est formé de 27 petits cubes. 6 faces du gros cube sont peintes, soit 54 faces des petits cubes. Les petits cubes n ont pas le même nombre de faces peintes, cela dépend du positionnement dans le gros cube. Démarches : 1. dénombrement tranche par tranche 2. résolution réfléchie (27 x 6) - (9 x 6) 3. manipulation 4. dénombrement par type de cubes (ceux qui ont 3 faces coloriées, 2 faces coloriées ) Evaluation : 4 réponse exacte, 108, avec justification. 3 réponse exacte, 108, sans justification. 2 compréhension du nombre total de faces 27 x 6 ou 16, mais résultat faux ou travail inachevé ou erreur de dénombrement dans l une des 2 autres démarches. 1 démarche inaboutie 0 incompréhension du problème

10 10. Des chiffres mais des lettres (Cat. 5) x En utilisant tous ces cartons, une seule fois, on peut calculer un résultat qu on écrit ensuite en lettres. Quel est le plus grand résultat que vous pouvez écrire en lettres sans utiliser la même lettre? Exemple : = = 5 5 x 10 = 50 Avec des lettres ce nombre s écrit cinquante. Il contient deux fois la lettre n. Il ne convient donc pas. - Logique - Arithmétique - Comprendre les deux conditions - Dresser la liste de toutes les écritures - Vérifier son résultat en tenant compte des deux paramètres 4 Réponse juste avec explication de la procédure 3 Réponse juste sans explication 2 Réponse juste par rapport à l écriture mais nombre erroné 1 Essai de calculs avec utilisation des 4 chiffres et des 4 signes, mais pas de solution. 0 Incompréhension du problème. Pas de réponse donnée.

11 11. La route de Siena (Cat. 5) Arezzo, Firenze, Pisa et Siena sont quatre belles cités de Toscane. Lorsqu'on arrive au carrefour par la route désignée par la flèche, on peut se rendre à chacune de ces quatre villes par l'une des routes A, B, C ou D. On sait que : - la route A conduit à une ville dont le nom a plus de quatre lettres, - le nom de la ville qu'on rejoint par la route B n'utilise que deux voyelles différentes, - la route C conduit à une ville dont le nom s'écrit avec moins de six lettres, - le nom de la ville où conduit la route D a plus de deux consonnes différentes. Où mène chaque route? Expliquez votre raisonnement. : - arithmétique et logique : - décodage des données, route par route (A: Arezo, Firenze, Siena; B: Pisa, Firenze; C: Pisa, Siena, D: Firenze) - en déduire que D est déterminée, que par conséquent, B l'est à son tour, etc. Barème : 4 Les réponses justes (C pour Siena - A pour Arezzo, B pour Pisa et D pour Firenze), avec traces du raisonnement utilisé 3 Réponses exactes avec une explication seulement pour la route qui mène à Siena 2 Réponses justes, sans explications 1 Réponse avec une interversion de deux villes 0 Incompréhension du problème