Devoir d informatique : tronc commun. 1 E3A 2015 : Déterminer le candidat élu lors d une élection

Transcription

1 Devoir d informatique : tronc commun Durée : trois heures. Le sujet comporte deux petits problèmes, issus des concours E3A et Polytechnique PC. Chacun traite d un sujet déjà étudié l an dernier, mais par une méthode différente. 1 E3A 015 : Déterminer le candidat élu lors d une élection On désire écrire une fonction pour calculer un éventuel vainqueur au premier tour d une élection. On note k le nombre de candidats et N le nombre d électeurs. L élection est uninominale : chaque électeur vote pour un seul candidat. En pratique, les candidats sont numérotés de 0 à k 1, et chaque électeur fournit le numéro de son candidat préféré. On récupère alors le tableau T de ces numéros. Un candidat est élu au premier tour s il a strictement plus que la moitié des voix. 1. méthode naïve : (a) Écrire une fonction nb telle que si a est un entier naturel et tab un tableau de taille N issu d une telle élection, nb(tab,a) est le nombre de cases du tableau tab qui contiennent a. (b) Évaluer la complexité de l appel de nb(tab,a) en fonction de N et de k. (c) En déduire une fonction elu1 telle que elu1(tab) est l entier donné élu par le tableau tab si celui-ci existe et -1 sinon. (d) Évaluer la complexité de votre algorithme en fonction de N et de k. On appelle la fonction nb k fois, et sa complexité est O(n), la complexité finale est donc O(nk).. En triant le tableau : On suppose connue une fonction tri qui implémente la méthode du tri rapide. On suppose que tri modifie le tableau passé en argument par effet de bord. Écrire une seconde fonction elu calculant le même résultat que elu1 mais en commençant par trier le tableau. Estimer sa complexité. Dans quel cas elu sera-t-elle plus efficace que elu1? Une fois le tableau trié, un seul parcours suffit à déterminer s il y a un élu. La complexité du tri étant de O(n log(n)) en moyenne, la complexité finale de elu sera en O(n log(n)) + O(n) = O(n log(n)). Par contre, la complexité au pire sera O(n ). Ainsi, cette méthode sera plus efficace que la méthode naïve si k > log(n). Remarque: En France, pour une élection présidentielle, le nombre de candidats est comparable au logarithme du nombre d électeurs, les deux méthodes se valent donc Méthode diviser pour régner pas optimale : On va diviser le tableau en deux sous-parties, l une de longueur N N et l autre de longueur N. N + 1 (a) Vérifier que N N/ =. Laquelle des deux parties est la plus grande? Le plus simple est de distinguer les cas où N est pair ou impair. (b) Soit tab un tableau de longueur N. Démontrer que si tab donne a comme élu alors celui-ci est aussi donné élu par le tableau tab[0:n//] ou par tab[n//:n]. On prouve la contraposée : supposons que a n est élu ni dans tab[0,n//] ni dans tab[n//:n]. Notons n g le nombre de voix pour a dans tab[0,n//], et n d le nombre de voix dans tab[n//:n]. Alors n g 1 N et n d 1 N + 1. # Soyez précis ici! La définition du fait que a est élu ne fait pas intervenir de partie entière, par contre, la longueur des sous-tableaux si. 1

2 Donc le nombre total de voix pour a est : et donc a n est pas élu. n g + n d 1 ( N ) N = 1 N (c) Supposons que tab[0:n//] donne un élu a avec n g voix, que tab[n// : N] donne un élu b avec n d voix, et que n g < n d. Prouver que a ne peut être donné élu par tab. Que dire si n g < n d? N + 1 Le nombre de voix obtenu par a dans la partie droite est inférieur à n d. Donc son nombre total de voix est N + 1 N + 1 N + 1 inférieur à n g + n d <. Ainsi le nombre de voix obtenues par a est 1 (on utilise la propriété (p, q) Z, p < q p q 1), et donc N/, et a ne peut être élu. Si n g > n d, on prouve de même que b ne peut être élu. (d) Proposer une fonction elu3, utilisant la stratégie diviser pour régner, telle que si tab est un tableau, elu(tab) est le couple (a,n) si a est donné élu par tab et apparait dans n cases exactement de tab, et (-1,0) si tab ne donne pas d élu. On pourra utiliser la fonction nb définie en 1a. (e) complexité : On comptera le nombre de comparaison avec un élément du tableau. Écrire une relation de récurrence vérifiée par la complexité au pire. En comparant avec les relations de récurrence d algorithmes vus en cours, en déduire l ordre de grandeur de la complexité de cette méthode. Pour tout n N, notons C n le nombre de comparaisons au pire pour un tableau de longueur n. Déjà, C 0 = 0 = C 1 vus les cas de base du programme. Soit n N tel que n. Lors de l appel de la fonction avec un tableau de longueur n, on a moins de C( n/ n + 1 comparaisons pour l appel récursif sur la partie gauche, et moins de C( comparaisons pour l appel récursif sur la partie droite. n + 1 S ensuit au pire Ainsi : comparaison pour le calcul du nombre de voix supplémentaires sur l autre partie du tableau. n + 1 n + 1 C(n) C( n/ + C( +. n + 1 Pour comparaison, la relation de récurrence pour le tri fusion était C(n) C( n/ +C( ici une complexité moindre que celle du tri fusion, donc en O(n log(n)). + n, nous avons donc Remarque: On n a pas prouvé que la complexité est en Θ(n log(n)), elle pourrait par exemple être en O(n)... Remarque: On constate au passage que cette méthode sera plus efficace que celle en triant le tableau, même si l ordre de grandeur est le même. 4. Algorithme en temps linéaire : Soit T un tableau de longueur N. On dit que l entier a est un postulant pour la valeur n du tableau T si les trois conditions suivantes sont remplies : n > N a apparaît au plus (au sens large) n fois dans T tout entier b distinct de a, apparaît au plus (au sens large) N - n fois dans T. Par exemple, 3 est un postulant pour n = 5 du tableau [1,,3,4,3,,3,3]. On dit que le nombre entier a est un postulant du tableau T s il existe un nombre entier n > N/ tel que a est un postulant pour la valeur n du tableau T. (a) Démontrer que si le tableau T donne a élu alors a est un postulant de T pour la valeur n égal au nombre de voix qu il a reçues. Notons n le nombre de voix obtenues par a. Ainsi n > N/. Et tous les autres candidats ont au plus N n voix. Donc a est un postulant pour la valeur n.

3 (b) Démontrer que si a est un postulant de T, alors aucun autre élément de T ne pourrait être élu. Soit n tel que a est un postulant pour la valeur n. Donc n > N/. Et tout candidat autre que a a au plus N n voix. Mais N n < N N = N. Ainsi cet autre candidat ne peut être élu. (c) Donner un exemple de tableau qui contient un postulant mais aucun élu et un exemple de tableau n ayant aucun postulant. Remarque: Un postulant peut très bien n avoir aucune voix! En gros, il suffit que les autres aient moins de la moitié des voix. Par exemple dans [1,,3], la candidat 1 (ou le candidat 4!) est postulant pour la valeur n =. Mais il n y a aucun élu. Pour le deuxième exemple : [0,0,1,1]. Ici le plus petit entier n > N/ serait 3. Mais chaque candidat a plus que 4 3 voix. Il n y a donc pas de postulant. (d) Soit T un tableau de longueur un entier pair N. On note TG le tableau de longueur N/ formé par les N/ premières cases de T et TD le tableau de longueur N/ formé par les N/ dernières cases de T. i. Soient a un postulant pour la valeur l du tableau TG et b un postulant pour la valeur m du tableau TD. A. On suppose que a = b. Démontrer que a est un postulant de T. On explicitera un entier n tel que n > N/ et a est un postulant pour la valeur n du tableau T en fonction de l et m. Montrons que a est postulant pour la valeur l + m : a apparaît au plus l fois à gauche et m fois à droite, donc l + m fois au total. Tout candidat b différent de a apparaît au plus N l fois à gauche et N m fois à droite, donc N (l + m) fois au total. Enfin, l > N 4 et m > N 4, donc l + m > N. B. On suppose que a b et m > l. Démontrer que b est un postulant pour la valeur N/ + m l de T. C. On suppose que a b et m = l. Démontrer que T ne donne pas d élu. ii. On suppose que le tableau TD ne donne pas d élu. Soit a un postulant pour la valeur l 1 du tableau TG. Démontrer que a est un postulant de T. On explicitera un entier n tel que n > N / et a est un postulant pour la valeur n du tableau T en fonction de l et N. l > N 4 Le fait que a est postulant dans TG pour la valeur l donne : a apparaît au plus l fois dans TG Tout b a apparaît au plus N l fois dans TG Soit b a. Comme il n y a pas de gagnant dans TD, b y apparaît au plus N 4 fois. Alors b apparaît dans T au plus N l + N 4 fois, ce qui fait 3N 4 l ou encore N ( N 4 + l ) fois. Par ailleurs, a apparaît au plus l + N 4 fois dans T. Enfin, l + N 4 > N 4 + N 4 = N. Ceci nous permet de dire que a est postulant dans T pour la valeur l + N 4. (e) En déduire une fonction postulant telle que, si tab est un tableau d entiers naturels de longueur N, postulant(tab) est un couple (a,n) tel que : lorsque postulant(tab) renvoie le couple (-1,0), le tableau tab n a pas d élu ; lorsque postulant(tab) renvoie un couple (a,n) tel que n > N /, a est un postulant pour la valeur n du tableau tab. On supposera pour simplifier que la taille du tableau est une puissance de. La fonction utilisera la stratégie diviser pour régner et aura une complexité linéaire, ce qu on justifiera précisément. 1. Ceci est la lettre l, et pas le chiffre 1. 3

4 (f) En déduire une fonction elu3, qui prend en argument un tableau tab et retourne l entier élu de tab si celui-ci existe et -1 sinon, de complexité linéaire. Polytechnique 015 : algorithme du papier cadeau.1 Présentation du problème Ce sujet a pour objectif de calculer des enveloppes convexes de nuages de points dans le plan, un grand classique en géométrie algorithmique. On rappelle qu un ensemble C R est convexe si et seulement si pour tout (p, q) C, le segment [p, q] est inclus dans C. L enveloppe convexe d un ensemble P R, notée Conv(P), est le plus petit ensemble convexe contenant P. Dans le cas où P est un ensemble fini (on dira que P est un "nuage de points"), le bord de Conv(P) est un polygone convexe dont les sommets appartiennent à P, comme illustré dans la figure 1 Figure 1 Un nuage de points, numérotés de 0 à 11, et le bord de son enveloppe convexe. En pratique, nous voulons calculer les sommets du bord de Conv(P), sur cet exemple il s agit des points d indice 0, 7, 11, 10, 5,. Dans la suite, on fixe un nuage de points P, on note n = Card(P), et p 0,..., p n 1 les éléments de P. On suppose que n 3, et que les points de P sont en position générale, c est-à-dire que P ne contient pas trois points distincts alignés. Ces hypothèses permettent de simplifier les calculs en ignorant les cas pathologiques, comme la présence de trois points alignés sur le bord de l enveloppe convexe. Nos programmes prendront en entrée un tableau tab de format n tel que pour tout i 0, n 1, les coordonnées de p i sont (tab[0][i], tab[1][i]). Voici par exemple la matrice contenant les coordonnées du nuage de point de la figure 1 :. Orientation i j Définition.1. Soient A, B, C trois points du plan non alignés. On dit que le triplet (A, B, C) est orienté positivement lorsque det( AB, AC) > 0, on que ce triplet est orienté négativement lorsque det( AB, AC) < 0. (On rappelle que (A, B, C) sont alignés si et seulement si det( AB, AC) = 0, de sorte que dans le cas où A, B, C ne sont pas alignés, le triplet (A, B, C) est soit orienté positivement, soit orienté négativement.) 4

5 1. Écrire une fonction orient tab i j k qui prend en paramètres la matrice tab et trois indices de colonnes i, j, k et qui renvoie 1 si (p i, p j, k ) est orienté positivement, 1 si (p i, p j, k ) est orienté négativement, et 0 si ces trois points sont alignés. Le résultat de cette fonction est illustré sur la figure. Figure Test d orientation sur le triplet (p i, p j, p k ) : 1 à gauche, 0 au centre, -1 à droite.3 L algorithme du papier cadeau Dans ce sujet, nous allons décrire l algorithme dit "du papier cadeau", proposé par R. Jarvis en Il consiste à envelopper peu à peu le nuage de points P dans une sorte de paquet cadeau, qui à la fin du processus est exactement le bord de Conv(P). On commence par insérer le point de plus petite ordonnée (celui d indice 7 dans l exemple de la figure 1) dans le paquet cadeau, puis à chaque étape de la procédure on sélectionne le prochain point du nuage P à insérer. 1. Écrire une fonction plusbas qui prend en paramètre le tableau tab et qui renvoie l indice j du point le plus bas (c est-à-dire de plus petite ordonnée) parmi les points du nuage P. En cas d égalité, votre fonction devra renvoyer l indice du point de plus petite abscisse parmi les points les plus bas. La procédure de sélection fonctionne comme suit. Soit p i le dernier point inséré dans le paquet cadeau à cet instant. Par exemple, i = 10 dans l exemple de la figure 3. Considérons la relation binaire définie sur P \ {p i } par : k 1, n \ {i}, p j p k orient(tab,i,j,k) 0.. Justifier rapidement que est une relation d ordre. Ainsi, le prochain point à insérer (le point d indice 5 dans la figure 3) est l élément maximum pour la relation d ordre. Figure 3 prochain point à insérer 5

6 3. Écrire une fonction prochainpoint prenant en argument le tableau tab, l entier i qui indique l indice du dernier point inséré et qui renvoie l indice du prochain point à insérer. La complexité de votre fonction doit être linéaire. 4. Décrire à la main le déroulement de la procédure prochainpoint sur l exemple de la figure 3. Plus précisément, indiquer la séquence des points de P \ {p 10 } considérés et la valeur de l indice du maximum courant à chaque itération. On peut maintenant combiner la fonction prochainpoint avec la fonction plusbas de la question 1 pour calculer le bord de l enveloppe convexe de P. On commence par insérer le point p i d ordonnée la plus basse, puis on itère le processus de mise à jour du paquet cadeau jusqu à ce que le prochain point à insérer soit de nouveau p i. À ce moment-là on renvoie le paquet cadeau comme résultat sans insérer p i une seconde fois. 5. Écrire une fonction convjarvis qui prend en paramètre le tableau tab de taille n représentant le nuage P, et qui renvoie une liste contenant les indices des sommets du bord de l enveloppe convexe de P, sans doublon. Le temps d exécution de votre fonction doit être en O(nm), où m est le nombre de points de P situés sur le bord de Conv(P). 6. Justifier brièvement le temps d exécution de l algorithme du paquet cadeau. 6