TS Feuille de révision n 1 novembre 2017

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1 TS Feuille de révision n 1 novembre 017 Exercice 1 Dans un pays de population constante égale à 10 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : en 010, la population compte 90 millions de ruraux et 0 millions de citadins ; chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale. Pour tout entier naturel n, on note : u n la population en zone rurale, en l année 010 n, exprimée en millions d habitants ; v n la population en ville, en l année 010 n, exprimée en millions d habitants. On a donc u 0 90 et v 0 0. Partie A 1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant u n et v n.. On utilise un tableur pour visualiser l évolution des suites u n et v n. Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B et C qui, recopiées vers le bas, permettent d obtenir la feuille de calcul ci-dessous :. a. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation des suites u n et v n? b. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite des suites u n et v n? Partie B On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, u n1 0, 85u n a. Démontrer par récurrence que la suite u n est décroissante. b. On admet que u n est positif pour tout entier naturel n. Que peut-on en déduire quant à la suite u n?. On considère la suite w n, définie par : w n u n 40, pour tout n 0. a. Démontrer que w n est une suite géométrique de raison 0, 85. b. En déduire l expression de w n puis de u n en fonction de n. c. Déterminer l expression de v n en fonction de n.. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question. de la partie A. 4. On considère l algorithme suivant : 1

2 a. Que fait cet algorithme? b. Quelle valeur affiche-t-il? Exercice L entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination "compote allégée ". La législation impose alors que la teneur en sucre, c est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L entreprise possède deux chaînes de fabrication F 1 et F. Partie A La chaîne de production F semble plus fiable que la chaîne de production F 1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F 1 et 0 % de la chaîne F. La chaîne F 1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F en produit 1 %. On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : E : "Le petit pot provient de la chaîne F " C : "Le petit pot est conforme. " 1) Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. ) Calculer la probabilité de l évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F 1. " ) Déterminer la probabilité de l évènement C. 4) Déterminer, à 10 près, la probabilité de l évènement E sachant que l évènement C est réalisé. Partie B On choisit successivement 10 petits pots pris au hasard dans la production totale, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de petits pots conformes parmi ces 10 petits pots. 1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. ) a) Donner la probabilité qu il y ait exactement 8 pots conformes dans le prélèvement. b) Calculer la probabilité qu il y ait au moins un petit pot non conforme parmi les 10. Exercice Soit u n la suite définie par u 0 1 et, pour tout entier naturel n, u n1 u n 1 u n 1) Sur l annexe 1, on a tracé la courbe d équation y x 1 x a) Représenter graphiquement sur l axe des abscisses les 5 premiers termes de la suite. b) Conjecturer la limite de la suite u n On cherche à déterminer la limite de la suite u n. ) Méthode 1. a) Soit f la fonction définie sur 0 ; par fx x. Dresser le tableau des variations complet 1 x de f.

3 b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 u n1 u n. c) En déduire que la suite u n converge et déterminer sa limite. ) Méthode On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par v n 1 u n 1 a) Démontrer que la suite v n est arithmétique. On précisera son premier terme et sa raison. b) Exprimer v n puis u n en fonction de n. c) En déduire la limite de la suite u n Annexe 1 y 0, 0,1-0,1 0 0,1 0, 0, 0,4 0,5 x -0,1 Exercice 4 Soit f la fonction définie sur \ par fx et h la fonction définie par hx fx. x 5 x 1. a) Donner le tableau de signes de la fonction f. b) Justifier que le domaine de définition de h est ; 5 ;.. Etudier les variations de f sur \.. En déduire les variations de h sur ; 5 ;. On justifiera avec soin. Exercice 5 0, A partir d un secteur angulaire AOB de mesure On forme un cône ne joignant les segments OA et OB. Le but de l exercice est de chercher quelle mesure d el angle donne au cône son volume maximal. 1) Exprimer le rayon r et la hauteur h du cône en fonction de OA et.

4 ) Prouver que le volume du cône en fonction de est V OA 4 4 ) a) Etudier les variations de V sur 0;. b) En déduire que V admet un maximum et répondre au problème posé. Exercice 6 Dans chaque cas, déterminer une primitive de f sur l intervalle I donné. a) fx 5x x 10 I b) fx x 5 x I c ) fx 5 I 4 5x ; d) fx x I ; 0 x x 4

5 Correction FR1 automne 017 Exercice 1 Dans un pays de population constante égale à 10 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : en 010, la population compte 90 millions de ruraux et 0 millions de citadins ; chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale. Pour tout entier naturel n, on note : u n la population en zone rurale, en l année 010 n, exprimée en millions d habitants ; v n la population en ville, en l année 010 n, exprimée en millions d habitants. On a donc u 0 90 et v 0 0. Partie A 1) La population totale est constante et égale à 10 millions donc, pour tout entier naturel n, on peut dire que u n v n 10. ) On utilise un tableur pour visualiser l évolution des suites u n et v n. Dans B on entre la formule 0,9*B0,05*C. Dans C on entre la formule 0,1*B0,95*C. ) D après les données du tableur, la suite u n (donc le nombre de ruraux) semble décroitre et tendre vers 40 millions, et la suite v n (donc le nombre de citadins) semble être croissante et tendre vers 80 millions. Partie B On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, u n1 0, 85u n 6. 1) a) On considère la proposition Pn : «u n1 u n» pour n entier naturel. Initialisation : u Mais u u , on a P0 est donc vérifiée. Hérédité : On suppose Pn vraie pour un entier n fixé et quelconque tel que n entier naturel. D après l hypothèse de récurrence, on a u n1 u n On a donc 0. 85u n u n et 0. 85u n u n 6 donc u n u n1 Ainsi Pn 1 est vraie. Conclusion : La propriété P n est vraie au rang 0 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel donc la suite u n est décroissante. b) On admet que u n est positif pour tout entier naturel n, donc la suite u n est minorée par 0. On a vu que la suite était décroissante, elle converge donc, par le théorème de la limite monotonie, vers une limite L supérieure ou égale à 0 ) On considère la suite w n, définie par : w n u n 40, pour tout n 0, donc u n w n 40. a) n, w n1 u n u n u n u n w n w 0 u Donc la suite w n est géométrique de raison q 0, 85 et de premier terme w b) d après la question précédente, n, : w n w 0 q n 50 0, 85 n Comme pour tout n, u n w n 40, on peut dire que u n 50 0, 85 n 40 c) Pour tout n, u n v n 10 u n 50 0, 85 n 40 donc v n 10 u n , 85 n ) Montrons que la suite u n est décroissante et converge. n, u n1 u n n n n n donc n n 0 donc la suite u n est décroissante donc lim n 0 donc lim n n n 5

6 La suite u n converge vers 40. Comme u n v n 10 on a v n converge vers 80. 4) On considère l algorithme suivant : a) La variable u représente u n, on u 0 90, 10 u représente donc v n. La boucle s arrête dès que u 10 u, soit dès que u n v n ; l algorithme affiche donc la plus petite valeur n pour laquelle u n v n. C est la plus petite valeur de n pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins. b) D après le tableur, u 5 v 5 et u 6 v 6 donc la valeur affichée sera 6. Exercice Partie A 1) 0, 7 E C C C 0. E C ) P E C P E P E C La probabilité de l évènement "le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F 1 " est 0, 665. ) E et E forment une partition de l univers donc, d après la formule des probabilités totales, PC PE C P E C PC PE P E C P E P E C PC PC PE C 4) P C E PC La probabilité de l évènement E sachant que l évènement C est réalisé est 0, 09. Partie B 1) On répète n 10 fois l épreuve : "choisir un petit pot". Cette épreuve n a que deux issues possibles : Le succès C : "le petit pot est conforme" de probabilité p et l échec C : "le petit pot n est pas conforme" de probabilité 1 p Les épreuves sont identiques et indépendantes. La variable aléatoire X qu compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres n 10 et p Pour tout entier naturel k 0; 1;... ; 10, px k k k. k.a) A l aide de la calculatrice, px La probabilité qu il y ait exactement 8 petits pots conformes dans le prélèvement est b) Il faut calculer px 9. A l aide de la calculatrice, px La probabilité qu il y ait au moins un petit pot non conforme dans le prélèvement est

7 Exercice 1) a) b) La suite u n semble converger vers 0. ) a) f est dérivable sur son ensemble de définition 0 ; comme fonction rationnelle. x 0 ;, f 11 x x x 1 1 x x 1 x 0 ;, f x 0 donc f est strictement croissante sur 0 ;. lim fx lim x x x x 1 (limite à l infini d une fonction rationnelle). x 0 1 variations de f 0 b) Démontrons par récurrence que la propriété R n : "0 u n1 u n " est vraie pour tout entier naturel n. Initialisation : u et u Donc 0 u 1 u 0 donc R 0 est vraie. Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque fixé. Supposons que R n est vraie c est à dire 0 u n1 u n (hypothèse de récurrence). Démontrons, sous cette hypothèse que R n1 est vraie c est à dire 0 u n u n1. En effet, 0 u n1 u n. Or f est strictement croissante sur 0 ; donc f0 fu n1 fu n c est à dire 0 u n u n1. Conclusion : La propriété R n est vraie au rang 0 et est héréditaire donc, elle est vraie pour tout entier naturel n. c) La suite u n est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L avec L 0. n, u n1 u n. 1 u n D une part, n lim u n1 L, d autre part, par limite de somme et quotient, n lim u n L 1 u n 1 L (car 1 L 0 car L 0) donc, par unicité de la limite L L 1 L LLL 0 1 L 1 L L 0 7

8 L 0 car 1 L 0 L 0 Donc la suite u n converge vers 0. ) a) n : v n1 1 u n1 1 1 u n u n 1 1 u n 1 v n Ainsi v n est une suite arithmétique de raison r et de premier terme v 0 b) n : v n n u n 1 v n 1 donc u n 1 n c) lim n donc par limite d inverse lim n u n n 0 Exercice 4 Soit f la fonction définie sur \ par fx et h la fonction définie par hx fx. x 5 x 0, 1. a) Tableau de signes de la fonction f. x 5 signe de x 5 0 signe de x 0 signe de fx 0 b) La fonction x x est définie sur 0; donc la fonction h est définie sur l ensemble des x pour lesquels on a fx 0 soit ; 5 ;.. f est dérivable sur \ comme fonction rationnelle et on a f x x 5 x 14 0 donc f est décroissante sur ; et sur ; x x. La fonction x x est dérivable sur 0; donc la fonction h est dérivable sur ; 5 ; et on a 14 h x f x x 14 fx x 5 x x x 5 x ; 5 et sur ;. On peut aussi utiliser le théorème de première qui dit u et intervalles où elles sont définies. Exercice 5 0 donc la fonction h est décroissante sur u ont le même sens de variations sur les A partir d un secteur angulaire AOB de mesure On forme un cône ne joignant les segments OA et OB. Le but d el exercice est de chercher quelle mesure d el angle donne au cône son volume maximal. 1) Exprimer le rayon r et la hauteur h du cône en fonction de OA et r est le rayon du cercle de la base du cône qui a pour périmètre la longueur du grand arc de cercle du secteur angulaire de rayon OA. 8

9 on a donc r OA d où r OA D après le théorème de Pythagore on a h r OA donc h OA OA 4 OA 1 4 OA 4 4 et h OA 4 ) Le volume du cône de rayon de base r et de hauteur h est donné par la formule : 1 r h on a donc V 1 OA OA 4 ) a) Etudier les variations de V sur 0;. V est définie et dérivable sur 0; et on a : d où V OA 4 4 V x OA 4 4 V x OA soit V x OA 4 4 d où V x OA donc V x est du signe de ou 6 6 signe de V 0 (signe de a variations de V V 6 b) Le tableau de variation montre que V admet un maximum et et il est atteint pour 6. Exercice 6 Réponse : a) fx 5x x 10 I Fx 5 4 x4 x 10x primitive d une fonction polynôme b) fx x 5 x x5 x on reconnaît 1 6 u u n avec ux x 6 1 donc Fx 1 48 x6 1 8 c ) fx 5 I 4 5x ; on reconnaît u u n avec ux 5x 4 n 5 Fx 1 45x 4 4 d) fx x I ; 0 on reconnaît u x x u avec ux x x donc Fx xx 9

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