Semaines 6 & 7 : Série d exercices sur les signaux

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1 Iformatio, calcul et commuicatio EPFL MA/PH Autome 017 Semaies 6 & 7 : Série d exercices sur les sigaux Orgaisatio du travail E raiso de l exame e semaie 6, ous étalos les exercices des semaies 6 et 7 sur les semaies 7 et 8. J ai cepedat gardé le regroupemet des exercices par thématique de semaie de cours : vous trouverez doc ici les deux semaies réuies. Orgaisez votre travail sur ces deux semaies (semaies 7 et 8) comme cela vous coviet le mieux. Vous avez e tout 11 exercices (4+3+4) sur les sujets des semaies 6, 7 et 8, à faire e semaies 7 et 8. 1 Voici trois exemples d orgaisatio possibles : Exemple 1 : Semaie 7 (aujourd hui) : 4 exercices de la semaie 6 et moitié des exercices de la semaie 7 (1 ou exercices) ; Semaie 8 : e moitié des exercices de la semaie 7 (1 ou exercices) et 4 exercices de la semaie 8. Exemple : Semaie 7 (aujourd hui) : exercices faciles des semaies 6 et 7 (au choix suivat ce que vous trouvez facile, mais par exemple 6.1, 6., 7.1 et 7.3) ; Semaie 9 : le reste des exercices des semaies 6 et 7 (par exemple 6.3, 6.4 et 7.) et 4 exercices de la semaie 8. Exemple 3 : Semaie 7 (aujourd hui) : tous les exercices des semaies 6 et 7 (7 exercices au total) ; Semaie 8 : 4 exercices de la semaie 8. Rappels de trigoométrie Soiet a, b, u, v des ombres réels. O a alors les relatios suivates : cos(b) cos(a) = si ( ) ( a+b si a b ) si(b) si(a) = cos ( ) ( a+b si b a ) ou de maière équivalete : si(u) si(v) = cos(u v) cos(u + v) cos(u) si(v) = si(u + v) si(u v) O rappelle égalemet que cos( a) = cos(a) et si( a) = si(a). 1. Et, pour iformatio, il y aura 3 exercices e semaie 9. 1

2 Iformatio, calcul et commuicatio EPFL MA/PH Autome 017 Semaie 6 : Série d exercices sur les sigaux 1 [N1 puis N3] Bades passates a) [N1] Soit X(t) = a i si(πf i t + δ i ) u sigal de bade passate B. Quelle est la bade i=1 passate des sigaux suivats? 1. X(t). X(t π ) 3. X(3t) 4. X(t) + si(πft), avec f f 1, f,..., f 5. X (t), la dérivée de la foctio X(t) b) [N3, e restez pas bloqués mais reveez y plus tard si écessaire] Soiet maiteat X(t) et Y (t) deux sigaux de la forme ci-dessus, avec bades passates B X et B Y, respectivemet. Que pouvez-vous dire de la bade passate des sigaux suivats? 1. X(t) + Y (t). X(t) Y (t) [N] Sigaux périodiques et apériodiques U sigal X(t) est dit périodique de période T s il existe u ombre T > 0 tel que X(t) = X(t + T ) pour tout t R (exemple : ue siusoïde pure de fréquece f = 1/T est périodique de période T ). Remarquer qu o a alors égalemet X(t + kt ) = X(t) pour tout k Z et t R. a) Soiet X 1 (t) et X (t) deux sigaux périodiques de même période T. Est-ce que le sigal X 1 (t) + X (t) est périodique? Si oui, avec quelles périodes? b) Soiet ecore X 1 (t) et X (t) deux sigaux périodiques, mais cette fois avec deux périodes différetes T 1 et T, respectivemet. La somme X 1 (t) + X (t) est-elle périodique? (aucue justificatio formelle e vous est demadée ici). Idicatio : Pour avoir ue meilleure idée de ce qui peut se passer, o peut chercher la répose de maière umérique e représetat différets sigaux sur votre calculatrice, votre ordiateur (ou sur ; ça se fait «tout seul» : etrez simplemet la formule comme par exemple «si( pi t) + cos(4 pi t)»). Essayez par exemple avec : si( π t) + cos(4 π t) et si( π t) + cos(4 t) NB : Cette idicatio est égalemet valable pour les deux questios suivates! c) U cas particulier : si T 1 et T sot des ombres etiers, est-ce que le sigal X 1 (t) + X (t) est périodique? Si oui, avec quelles périodes? 1

3 d) U autre cas particulier : ue ote produite par u istrumet de musique est composée d ue siusoïde avec ue fréquece fodametale f 0 et d autres siusoïdes, appelées les harmoiques, dot les fréqueces sot des multiples de f 0. La ote est doc u sigal de la forme (a 1 o ul) : N(t) = 1 a si(πf 0 t), où le coefficiet a > 0 est l amplitude de la e harmoique (ce sot ces coefficiets qui détermiet le timbre de l istrumet). Est-ce que ce sigal est périodique? Si oui, avec quelle plus petite période? 3 [N1] Iterlude musical Durat ue heure, o eregistre u cocert de musique à l aide d u micro qui échatilloe le so à ue fréquece de 44 khz, et chaque échatillo est quatifié sur 3 bits. Quelle est la taille du fichier audio résultat (si o igore ici toute forme de compressio)? 4 [N3] Filtre à moyee mobile a) Commet les sigaux suivats sot-ils trasformés après u passage à travers u filtre à moyee mobile de durée d itégratio T c = T? O cosidère que les sigaux sot périodiques et défiis pour t R. X 1 (t) X (t) X 3 (t) X 4 (t) Pas besoi ici de formules mathématiques pour répodre : des dessis suffirot! b) Qu arrive-t-il à u sigal périodique de période T (cf. exercice 1) après u passage à travers u filtre à moyee mobile de même durée d itégratio T c = T? c) Soit X(t) = si(πf t), ue siusoïde pure de fréquece f. Motrer qu après u passage à travers u filtre à moyee mobile de durée d itégratio T c, l amplitude du sigal sortat X(t) satisfait l iégalité X(t) sic(f T c ) pour tout t R, où o rappelle que sic(x) = si(πx) πx par défiitio.

4 Pour aller plus loi 5 [N3] Accordage d ue guitare et phéomèe dit de «battemet» Cet exercice illustre ue famille spéciale de sigaux obteus e faisat la somme de deux siusoïdes pures. Pour accorder ue guitare, o joue e même temps sur deux cordes voisies deux otes qui sot cesées être idetiques e théorie. Si la guitare est mal accordée, o eted ue vibratio caractéristique (u «battemet»), qui disparaît lorsque la guitare est bie accordée. Das cet exercice, o se propose de compredre ce phéomèe du poit de vue mathématique. Supposos pour simplifier que les otes qui sortet d ue guitare soiet des siusoïdes pures. L ode émise par la première corde est doc X 1 (t) = si(πf 1 t), tadis que celle émise par la deuxième est X (t) = si(πf t), avec f 1 et f proches l ue de l autre 1. Quelle est la forme de l ode résultate X 1 (t) + X (t). a) lorsque f 1 et f sot très proches? Approche à suivre : remplacer f par f 1 + ε et trasformer la somme des deux siusoïdes e u produit de deux termes à l aides des formules de trigoométrie. Quelles sot les fréqueces apparaissat das ces deux termes? b) lorsque f 1 = f? Idicatio. Là aussi, vous pouvez vous aider de votre calculatrice, ordiateur ou com pour visualiser le résultat pour, par exemple, f 1 et f valat respectivemet 16 Hz et 17 Hz. Lies ICC Programmatio E cours (de prog.), ous allos voir commet calculer la moyee mobile «discrète» (i.e. approximatio par somme de Riema) d u sigal échatilloé : X(t) = 1 T t t T X(s) ds 1 T t (t T ) 1 X k=0 1 1 ( X t T + k T ) k=0 }{{} moyee usuelle de échatillos ( (t T ) + k t (t T ) ) 1. E pratique, il se peut bie sûr qu il y ait u déphasage etre les deux odes, et aussi que les amplitudes e soiet pas rigoureusemet les mêmes, mais là aussi, o simplifie. 3

5 Iformatio, calcul et commuicatio EPFL MA/PH Autome 017 Semaie 7 : Série d exercices sur les sigaux 1 [N1] Fréquece d échatilloage Soiet f 1 > f > 0 deux fréqueces doées. Pour chacu des sigaux suivats, à quelle fréquece f e miimum doit-o échatilloer le sigal de maière à garatir ue recostructio parfaite au moye de la formule d iterpolatio? a) X 1 (t) = si(πf 1 t) + si(πf t) b) X (t) = cos(πf 1 t) si(πf t + π/4) c) X 3 (t) = si(4πf 1 t) + si(π(f 1 + f ) t) d) X 4 (t) = si(πf 1 t) si(πf t) [N] Questios-test Pour les questios ci-dessous, plusieurs réposes sot parfois possibles. 1. U filtre passe-haut (idéal) est u filtre qui supprime toutes les fréqueces plus basses qu ue certaie fréquece de coupure f c das u sigal. O applique successivemet à u sigal X(t) u filtre passe-haut avec fréquece de coupure f 1, puis u filtre passe-bas avec fréquece de coupure f. Laquelle ou lesquelles des affirmatios suivates sot-elles vraies? a) Si f 1 < f, alors le sigal sortat est ul. b) Si f < f 1, alors le sigal sortat est ul. c) Si la plus haute fréquece coteue das le sigal est plus petite que f 1, alors le sigal sortat est ul, quelle que soit la valeur de f. d) Si la plus haute fréquece coteue das le sigal est plus petite que f, alors le sigal sortat est ul, quelle que soit la valeur de f 1.. O rappelle ici la formule d iterpolatio : X I (t) = m Z X(mT e) sic ( t mte T e ). Laquelle ou lesquelles des affirmatios suivates sot-elles vraies? a) X I (t) = X(t) pour tout t R lorsque la fréquece d échatilloage f e = 1/T e est supérieure à deux fois la plus haute fréquece présete das le sigal X(t). b) X I (t) est la «courbe» qui relie les poits du sigal échatilloé (X(T e ), Z) par des droites. c) Das tous les cas, X I (T e ) = X(T e ) pour tout Z. d) La bade passate du sigal X I (t) est plus petite ou égale à f e /, quel que soit le sigal X(t). 3. Si o désire éviter l effet stroboscopique lorsqu o échatilloe u sigal dot la bade passate est ifiie, o doit 1

6 a) e rie faire e particulier. b) filtrer les hautes fréqueces du sigal avat de l échatilloer. c) filtrer les basses fréqueces du sigal avat de l échatilloer. d) échatilloer le sigal à plus de deux fois la fréquece maximum qui ous itéresse das le sigal. 4. O représete deux sigaux : X 1 (t) X (t) Pour passer de X 1 (t) à X (t), o a : a) doublé l amplitude du sigal et itroduit u déphasage de π/. b) divisé par l amplitude du sigal et doublé sa fréquece. c) doublé la fréquece du sigal et itroduit u déphasage de π/. d) divisé par la fréquece du sigal et itroduit u déphasage de π/. 3 [N3] U peu de radio Cet exercice motre l applicatio du filtrage à travers u exemple du mode réel. O s itéresse à la modulatio e amplitude (AM). U sigal modulé e amplitude est formé par le produit de deux sigaux disticts : le sigal coteat l iformatio que l o désire trasmettre S(t) (du so e gééral) et l ode porteuse P (t). Das cet exercice, o désire trasmettre ue siusoïde à 1 khz e utilisat ue ode radio porteuse à 300 khz. S(t) = si(πf s t) f s = 1 khz P (t) = si(πf p t) f p = 300 khz Le sigal émis par l émetteur radio est fialemet doé par A(t) = S(t) P (t). La figure 1 doe ue illustratio coceptuelle de ce à quoi peut ressembler A(t) ; les fréqueces e sot pas correctes mais leur grade diffférece produit ce type de sigal qui d ailleurs a été recotré das u exercice précédet. a) Das u premier temps, u petit rappel de Physique est écessaire pour justifier l emploi de l ode porteuse. E effet pourquoi est-il pas possible de simplemet trasmettre le sigal S(t) directemet e émettat ue ode radio à 1 khz?

7 Figure 1 L ode porteuse est la siusoïde de haute fréquece tadis que le sigal S(t) est redu visible par l eveloppe de l amplitude de la porteuse. E pratique, la logueur d ue atee pour u récepteur radio doit au mois être de l ordre du quart de la logueur d ode du sigal à recevoir. La relatio etre la fréquece f et la logueur d ode λ d ue ode électromagétique est c = λf, où c = m/s est la vitesse de la lumière. Sachat cela calculer et comparer la logueur d atee écessaire pour les deux valeurs de fréqueces fouries (sigal et porteuse). b) Esuite, du coté de la réceptio, o obtiet A(t) et o cherche à récupérer le sigal S(t). O suppose pour ça qu o coaît la fréquece f p, mais pas forcémet la fréquece f s (seulemet qu elle est bie plus petite que f p ). Que se passe-t-il si o filtre le sigal reçu A(t) avec u filtre à moyee mobile ayat ue durée d itégratio égale à 4 fois la période de l ode porteuse? Faire ue ébauche du résultat e appliquat le filtre sur le dessi coceptuel de droite et e déduire ce qui se passerait sur le cas réel. Quelle est la cause pricipale de cet effet? c) Il s agit maiteat de trasformer A(t) pour 1) coserver l eveloppe de l amplitude de S(t), mais ) tout e supprimat l effet d alterace de sige de l amplitude causée par P (t). L idée est la suivate : pour supprimer la variatio de sige de l amplitude causée par P (t), il faut redre ce terme toujours positif au lieu d alterer etre positif et égatif. Cela se fait facilemet e multipliat A(t) ue ouvelle fois par P (t). O a alors : A (t) = S(t) P (t) P (t). Utiliser les formules trigoométriques pour trasformer A (t) e ue somme de siusoïdes. E déduire commet récupérer S(t) à partir de A (t). Lies ICC Programmatio L exercice 7 de la série 7 vous propose de coder u sigal, so échatilloage et la recostructio de celui-ci pour voir l effet de la fréquece d échatilloage sur le résultat et «jouer» avec les résultats du théorème d échatilloage. 3