Mathématiques M1205. Harmonisation des connaissances et des outils pour le signal. Hugues GARNIER
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- Renaud Charbonneau
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1 Mahémaiques M25 Harmonisaion des connaissances e des ouils pour le signal Hugues GARNIER Déparemen Réseaux & Télécommunicaions IUT Nancy-Brabois
2 Conenu indicaif Harmonisaion des connaissances e des ouils pour le signal I Définiions II Modélisaion mahémaique de signaux III Foncions usuelles Rappels IV Transformaions de signaux V Propriéés de cerains signaux VI Signaux périodiques usuels VII VIII Signaux non périodiques usuels Energie e puissance de signaux
3 Signaux à emps coninu Classificaion en foncion de leur caracère périodique Signaux à emps coninu Périodiques Non périodiques Sinusoïdaux Périodiques composies Pseudo aléaoires Non ransioires Transioires M25
4 Signal périodique esseniel : signal sinusoïdal Très employé, c es le signal périodique par excellence! C'es une sinusoïde éernelle qui es donc non causale Sa loi d évoluion s exprime à l aide de la foncion sinus (ou cosinus) : ϕ() =ω ο + ϕ représene la phase insananée (phase à l insan ) ω ο es la pulsaion en rad/s e vérifie : T o es la période du signal en s f o la fréquence en Hz s() = A sin( ω o +ϕ ) = A sin( ω o (+τ )) τ = ϕ o ω o A représene l ampliude maximale (minimale si A<) du signal ω o = 2π = 2πf T o o ϕ =ω ο τ la phase à l origine (ϕ() pour =) du signal en rad τ = ϕ o ω o τ : le décalage en s (reard si τ< ; avance si τ>) de s() par rappor à M25
5 Signal sinusoïdal! v( ) = Asin 2π $ # " T & o % A s () T o! s() = A sin 2π $ # (+τ ) " T & o % τ -A Méhode pour racer le signal :! s() = A sin 2π $ # (+τ ) " T & o % On race le signal sans déphasage v() e on opère la ranslaion de τ Les variables T o e τ son en sec e peuven êre indiquées sur le racé M25
6 Exemple concre d uilisaion de signaux sinusoïdaux onalié d'inviaion à numéroer sur un éléphone analogique.5 "LA" parfai : sinus de fréquence 44 Hz T o =2.3 ms emps (ms) M25
7 Aures exemples concres d uilisaion de signaux sinusoïdaux onalié de sonnerie sinus de fréquence 44 Hz d'une durée de 2s, suivie d'un silence de 3s onalié d'occupaion sinus de fréquence 44 Hz d'une durée de.5s, suivie d'un silence de.5s Signal enendu lors d un appel éléphonique à un numéro correspondan à celui d un Fax : e sur un Fax sinus de fréquence 2 Hz e 24 Hz M25
8 Signaux non périodiques usuels L'échelon unié " u() = # pour $ pour < u () La rampe uniaire " r() = # pour $ pour < r() M25
9 Signaux exponeniels à valeurs réelles s( ) = Ae / τ ou s( ) = Ae / τ M25
10 Réponses de forme exponenielle couranes en praique M25
11 Enveloppes : Signaux de ype sinusoïdal amori ±Ae / τ u( ) s( ) = Ae / τ cos(2πf o )u( ) v( ) = Ae / τ u( ) s( ) = Ae / τ cos(2πf o )u( ) v( ) = Ae / τ u( ) M25
12 Inérê de bien maîriser le racé des foncions e signaux usuels Exemple : réponse d un filre RC à un échelon e() R C s() # s( ) = % e % $ RC & ( ( u( ) ' Sep Response RC ds( ) d + s( ) = e( ) e( ) =u( ) e s( ) = s( )? Ampliude Time (sec.)
13 Aure exemple : réponse en fréquence d un filre RC R G( jω ) = e() C s() + RC jω = + j ω ω c jarg G( jω ) G( jω ) = G( jω ) e ( ) G(dB) = log G( jω ) = log ϕ( jω ) = Arg ( G( jω ))! + # ω " ω c! = arcan ω $ # " ω & c % $ & % 2 Magniude Phase (degrees) Frequency (radians) - Frequency (radians)
14 Signaux pariculiers La fenêre recangulaire rec( ) = 2 rec () Aire = > Signal rès uilisé en raiemen du signal, noammen au ravers des noions de filrage e de fenêrage Reconsiuion à l aide de signaux échelon rec () u(+/2)! rec( ) = u + $ # " 2 % & u! $ # " 2 & % u (-/2) M25
15 Signaux pariculiers La fenêre recangulaire cas général " τ % rec $ ' = # T & < τ T 2 τ T 2 τ + T 2 > τ + T 2 " τ % rec $ ' # T & τ T 2 τ T τ + T 2 T : durée de la fenêre recangulaire τ : localisaion du cenre de la fenêre Reconsiuion à l aide de signaux échelon " τ % rec $ # T & ' = u " " $ $ τ T # # 2 %% " " '' u τ + T %% $ $ '' && # # 2 && M25
16 Fenêre recangulaire Exemple rec = 2 < si 2 > 2 " % rec $ ' # 2 & T=2 : durée de la fenêre recangulaire τ = : localisaion du cenre de la fenêre τ = 2 T = 2 Reconsiuion à l aide de signaux échelon rec = u 2 ( ) u ( 2) M25
17 La fenêre riangulaire Signaux pariculiers ri( ) = 2 2 ri () Aire = 2 > Reconsiuion à l aide de signaux de ype rampe! ri( ) = 2r + $ # & 4r " 2 %! ( ) + 2r # 2 " $ & % M25
18 Signal esseniel : l'impulsion de Dirac Définiion praique : considérons la limie de la fenêre recangulaire ci-dessous lorsque T end vers T T rec (/T) Aire= lim T T r ec $ $ T " # % ' ' & ' = δ( ) δ () + δ( )d = - T 2 T 2 δ() n es pas une foncion. C es un êre à valeur infinie en un poin e à valeur nulle parou ailleurs qui n es pas représenable graphiquemen. Par convenion, la représenaion graphique d une impulsion de Dirac δ() es une flèche vericale placée en = de longueur proporionnelle à la consane de pondéraion ici égale à. M25
19 L'impulsion de Dirac reardée δ(-τ) τ M25
20 Signal esseniel : l'impulsion de Dirac Mahémaiquemen, l impulsion de Dirac n es pas une foncion e se défini rigoureusemen grâce à la héorie des disribuions qui perme d éendre le calcul inégral ordinaire aux impulsions en conservan les noaions employées habiuellemen pour les foncions. L applicaion aveugle du calcul différeniel ou inégral ordinaire à des impulsions de Dirac peu donc conduire à des résulas erronés. Il fau dans ce cas considérer la héorie générale des disribuions don les résulas esseniels son résumés ici. + s()δ()d = s() L impulsion de Dirac es un opéraeur qui exrai la valeur s() d une foncion s() coninue en. M25
21 Propriéés d échanillonnage de l impulsion de Dirac Pour ou signal s() coninu en = o, on a : s() + s()δ ( o )d = s( ) o δ( ) En pariculier + δ()d = (si s() = e = ) o + s() δ ( ) = s( ) Illusraion de la propriéé d échanillonnage M25
22 Aures propriéés de l impulsion de Dirac Produi d un signal par une impulsion de Dirac s() s( )δ( o ) = s( o )δ( o ) s( )δ( ) = s( )δ( ) ( o = ) δ( o ) Changemen d échelle s( )δ( o ) δ(a ) = a δ( ) δ ( a( o )) = a δ ( o) s( o ) M25
23 Propriéés de l impulsion de Dirac - Exemple Calculer : δ ( a( o )) = a δ ( o) + s()δ ( o )d = s( ) o M25
24 Le peigne de Dirac Un peigne de Dirac es une suie périodique d impulsions de Dirac se répéan sur l axe des emps avec une période donnée Exemple δ T e () + δ Te ( ) = δ( kt e ) k= k Z T e Signal rès uilisé, noammen au ravers des noions d échanillonnage, M25
25 Signal esseniel : le sinus cardinal Le signal obenu en effecuan le rappor d un signal sinusoïdal e de sa phase insananée joue un rôle rès imporan en héorie du signal. Il pore le nom de sinus cardinal e es défini par : Propriéés : sinc( ) = sinπ π sinc() sinc( ) = (par définiion) Il es pair sinc( ) = si = k Z * + + sinc( )d =; sinc 2 ( )d = -7-7 M25
26 M25
27 Valeurs moyenne e efficace d un signal Valeur moyenne signal non périodique s = lim T T T 2 T 2 s( )d signal périodique de période T o T o s = s( ) d T o Valeur efficace Le carré de la valeur efficace ou valeur RMS (Roo Mean Squares) d un signal s() es défini par : T signal non périodique S 2 eff = lim 2 s 2 ( )d T T T 2 signal périodique de période T o 2 = s 2 ( ) d T o S eff T o M25
28 Exemple Soi un signal sinusoïdal de période T o el que :! s( ) = sin 2π $ # & " T o % Calculer la valeur moyenne e efficace de ce signal s () s = T o S eff = 2 = 2 2 =,77 - M25
29 Puissance e énergie Moyenne (valeur moyenne) sur un inervalle T= 2 - d un signal s() : s ( T ) = T 2 s( )d Energie (valeur quadraique) sur un inervalle T= 2 - d un signal s() : E s T 2 ( ) = s( ) 2 d Puissance moyenne (valeur quadraique moyenne) sur un inervalle T= 2 - d un signal s() : P s ( T ) = T 2 s( ) 2 d M25
30 Classificaion énergéique Energie oale : E s = Puissance moyenne oale : On disingue : s( ) 2 d P s = lim T T P s = T o T o T / 2 T / 2 s( ) 2 d s( ) 2 2 d = S eff s() non périodique s() périodique les signaux à énergie finie ou à puissance moyenne nulle E s = s( ) 2 d < les signaux à puissance moyenne finie non nulle (énergie infinie) < P s = lim T T T / 2 T / 2 s( ) 2 d < les signaux à puissance moyenne infinie (énergie infinie) P s = lim T T T / 2 T / 2 s( ) 2 d + M25
31 Classificaion énergéique des signaux à emps coninu Signaux à emps coninu Energie finie Energie infinie Puissance moyenne nulle Puissance moyenne finie (non nulle) Puissance moyenne infinie Signaux physiquemen mesurés ou ransioires Echelon, consane, Signaux périodiques,... Signaux divergens dans le emps M25
32 Energie e Puissance moyenne : Exemple Soi le signal x () Donner une descripion mahémaique de x () Calculer l énergie e la puissance moyenne de ce signal E s = s( ) 2 d M25
33 Energie e Puissance moyenne : Exemple Le signal es à énergie finie. Sa puissance moyenne es donc nulle. M25
34 Energie e Puissance moyenne : Exemple! Soi un signal sinusoïdal de période T o el que : s( ) = sin 2π $ # & " T Calculer l énergie e la puissance moyenne de ce signal o % E s = s( ) 2 d P s = T s( ) 2 o 2 d = S T eff o s () s() 2 2 Ps = Seff =,5 T o T o - s = S eff = 2 = 2 2 =,77 E s = P s = S 2 eff =,5 M25
35 Classificaion énergéique des signaux Exemples Ces signaux son-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, infinie? rec (/T) Aire = T u () T - 2 T 2 s () r() T o - M25
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