EVALUATION D ACTIFS. Rappels d analyse. I. Fonctions convexes et concaves ( ) ( ) ( ) ( ) () () ()

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1 EVAUATIN D ACTIFS Esegat : Carole Gresse, Proesseur Tpe de cours : Esegemet théorque (30h) Rappels d aalse Ces rappels sot, pour la plupart, etrats de RGER Patrck, 99, es outls de la modélsato acère, PUF, Collecto Face I Foctos covees et cocaves Sot D u domae covee de R et ue octo dée sur D à valeurs réelles est strctemet cocave s ] [, D, ; ;, 0 + > + Proposto Sot ue octo dée sur u domae D de R ote H la matrce hessee de, de dmesos,,,, H est strctemet cocave s et seulemet s 0 a H a' 0,a R a < r, c est-à-dre s et seulemet s H est dée égatve

2 II Développemet e sére de Talor Formule de Talor-agrage Sot ue octo dée sur u tervalle [ a ;b] admettat des dérvées cotues usqu à l ordre + sur ] a ; b [, l este c ] a ; b [ tel que + ( b a) ( b a) ( b a) '' a a ( + b a + b a ' a ) c!! +! Corollare Sot ue octo dée sur [ 0 h; 0 + h] l ordre + sur ] 0 h; 0 + h[, l este ] 0;[ tel que [ 0 h; 0 + h] + ( 0 ) ( 0 ) ( + ) ' 0 + '' ( 0 + ( 0 ))! ( + )! S est de classe e, et admettat des dérvées cotues usqu à + ( 0 ) ( k ) ( ) 0 k! k 0 III Foctos mplctes Théorème Sot ue octo de deu varables réelles aat des dérvées partelles cotues sur u domae D de ; de la courbe de veau c assocée à, R Pour les élémets ( ; ) D ( ; ) c ( ; ) { } C, est ue octo mplcte de telle que d d d d c c ( ; ), + 3 IV ptmsato d ue octo réelle Détos Sot ue octo dée sur u domae ouvert D de R a est u mamum (mmum) local de s l este u ombre post ε tel que ( a) ma (m) où D ( a) ] a ε ; a + ε [ D( a)

3 a est u mamum (mmum) global de, dée sur D ouvert de a ma (m) D R s IV ptmsato sas cotrate IV Focto d ue varable réelle es octos cosdérées serot supposées dées sur u domae D de R et possèdet des dérvées d ordre ptmalté locale S a est u optmum local de alors ' ( a) 0 Ue codto susate pour que possède u mamum (mmum) local e a est que a ' ( a) 0 ; b '' ( a) < 0 ( '' ( a) 0) > 3 Ue codto écessare et susate pour que a sot u mamum (mmum) local de est que a ' ( a) 0 ; b la premère dérvée o ulle au pot a est pare et égatve (postve) au pot a ptmalté globale S est ue octo cocave (covee) dée sur u domae D de R, ue codto écessare et susate pour que a sot u mamum (mmum) global de est que ' a 0 Remarque a strcte cocavté (coveté) de mplque l ucté de l optmum sous la codto de ullté de ' IV Focto de deu varables réelles es octos cosdérées sot dées sur u domae D de R, à valeurs réelles et sot supposées posséder des dérvées partelles cotues usqu à l ordre ptmalté locale S ( a ; b) est u optmum local de alors ( a; b) ( a; b) ou ecore le gradet de au pot ( a ; b) est ul, G ( a; b) ( a;b) 0, 0 r 0 ( a;b) 0 3

4 Ue codto susate pour que ( a ; b) sot u mamum (mmum) local de est que : r ; a G ( a; b) 0 b ( a; b) ( a;b) < 0 Det H a; b > c ( ) 0 > 0 ; ptmalté globale S est ue octo cocave (covee) dée sur u domae D de mamum (mmum) global de s G ( a : b) 0 ( ( a; b) ( a; b) 0 ) R, le pot ( ; b) a est u IV3 Focto de varables réelles Nous cosdéros ue octo dée sur u domae D de R, possédat des dérvées partelles usqu à l ordre e gradet de, vecteur des dérvées partelles premères, est G et la matrce hessee de, de dmesos H oté H,,,, est otée ptmalté locale S est u optmum local, alors G 0 est u mamum local s G ; 0 les meurs prcpau de H alteret e sge, le premer état égat est u mmum local s G ; 0 les meurs prcpau de H sot tous posts ptmalté globale Sot ue octo cocave (covee) dée sur u domae D de (mmum) global de s et seulemet s G 0 R, est mamum 4

5 IV ptmsato sous cotrates IV ptmsato d ue octo à deu varables réelles sous cotrate Soet et g, octos dées sur u domae D de cotues usqu à l ordre R, possédat des dérvées partelles e problème gééral d optmsato de est ma (m) ; {, D} sc g( ; ) c S la orme de g est telle que peut s eprmer aclemet e octo de à partr de la ; h, le problème est alors équvalet à cotrate g 0, par eemple sous la orme ma (m) ( ; h ) { D} qu est u problème d optmsato sas cotrate S tel est pas le cas, l aut trodure la oto de agrage, e agrage appelle agrage du problème de mamsato ( P ), la octo à valeurs réelles dée sur R D par λ est le multplcateur de agrage ( ; ; ) ( ; ) λ( g( ; ) c) λ Proposto Il est équvalet de résoudre le problème cotrate : ma (m) { λ R;, D } P sous cotrate et d optmser la octo sas ( λ; ; ) ( ; ) λ( g( ; ) c) Proposto S est ue octo cocave (covee), ( ; b) D G ( ; a; b) 0 a est u mamum (mmum) global de s λ IV ptmsato d ue octo à varables réelles sous m cotrates Soet et g,,, m des octos dées sur u domae D de R, possédat des dérvées partelles cotues usqu à l ordre Sot ( P ) le problème d optmsato suvat ma (m) { } sc g c,,m Proposto Il est équvalet de résoudre le problème cotrate : ma m { λ } { } (m) P sous cotrate et d optmser la octo sas m ( c ) λ g 5

6 Proposto S est ue octo cocave (covee), a D est u mamum (mmum) global de s G ( λ ; a ),, 0,,m 6