Intégration. J.-P. Labesse. I. Préliminaires

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1 L ntégration J.-P. Labesse.1 Fonctions caractéristiques. Préliminaires Soit un ensemble, et soit A un sous ensemble. On appelle fonction caractéristique de A la fonction sur à valeurs réelles, souvent notée χ A, définie par On observera que χ A (x) = 1 si x A et χ A (x) = 0 si x / A. χ A + χ B = χ A B + χ A B, χ A χ B = χ A B et que 1 χ A = χ A où A = A le complémentaire de A dans..2 La droite achevée On appelle droite réelle achevée notée R la droite réelle à laquelle on a ajouté une borne supérieure noté ω (ou ) et une borne inférieure ω. C est un ensemble ordonné dans lequel tout sous-ensemble non vide possède une borne supérieure et une borne inférieure. En tant qu ensemble ordonné R est isomorphe à [ 1, +1]. On note R + le sous-ensemble de R formé des éléments positifs : c est l ensemble des nombres réel positifs auquel on ajoute le symbole ω, représentant un plus grand élément : R + = R + {ω} = [0, ω] On dispose d opérations associatives et commutatives sur cet ensemble qui prolongent addition et multiplication sur les réels positifs : on peut additionner et multiplier les éléments de R +. On pose a + ω = ω, aω = ω si a > 0 et 0ω = 0 Le produit est encore distributif par rapport à l addition. Mais on ne peut pas en général simplifier : a + ω = b + ω ou aω = bω n impliquent pas a = b. Fichier integration-l3-4, compilation le

2 2 J.-P. Labesse. ntégrale de Riemann.1 ntégrale de Riemann des fonctions continues Soit = [a, b] un segment de R. On appelle partition de un sous-ensemble fini P de. On dit que P 1 est plus fine que P 0 si P 0 P 1. l est clair qu étant donné deux partitions leur union fournit une partition plus fine qu elles. Soit E un espace de Banach (réel ou complexe) et soit f une fonction continue sur à valeurs dans E. On considère une partition P de : a = x 0 x 1 x n x n+1 = b et un ensemble V = {ξ 0,..., ξ n } de points de. On pose i=n S(P, V, f) = (x i+1 x i )f(ξ i ). On dira que V est subordonné à P si ξ i [x i, x i+1 ] pour tout i. i=0 Lemme.1.1. Pour tout ε > 0 il existe une partition P ε telle que pour tout ensemble V ε de points subordonné à P ε, toute partition P (resp Q) plus fine que P ε et tout ensemble V (resp. W) de points subordonné à P, (resp. Q) on ait S(P, V, f) S(P ε, V ε, f) E < ε/2 et S(P, V, f) S(Q, W, f) E < ε Preuve : La fonction f est continue et le segment est un compact, la fonction f est donc uniformément continue sur. C est dire que pour tout α > 0 il existe un η > 0 tel que x y < η implique f(x) f(y) E < α. Maintenant choisissons une partition P ε de sorte que x i+1 x i < η pour tout i et choisissons arbitrairement un ensemble V ε subordonné à P ε. Soit P une partition plus fine et soit V subordonné à P on voit que S(P, V, f) S(P ε, V ε, f) E (b a)α et il en est de même en remplaçant P par Q. α(b a) < ε/2. l suffit donc de choisir α de sorte que

3 ntégration 3 Le lemme montre que les sommes de Darboux S(P, V, f) forment une famille de Cauchy. Comme E est complet par hypothèse, cette famille de Cauchy a une limite appelée intégrale de Riemann de f sur notée b a f(x) dx ou encore f(x) dx C est la limite des S(P, V, f) où V est subordonné à P et où P devient de plus en plus fine. De façon plus précise on a le Théoreme.1.2. Soit f une fonction continue sur un segment = [a, b] à valeurs dans un espace de Banach E. l existe un unique élément de E noté f(x) dx tel que pour tout ε > 0 il existe une partition P ε telle que pour toute partition P plus fine que P ε et tout ensemble V de points subordonné à P on ait f(x) dx S(P, V, f) ε. E Preuve : Choisissons une suite de nombres ε n tendant vers zero, par exemple ε n = 1/n, et considérons la partition P εn du lemme.1.1ci-dessus. Notons Q n la partition union des P εn et supposons W n subordonnée à Q n alors la suite des S(Q n, W n, f) est une suite de Cauchy dans E. On note f(x) dx sa limite. Le même lemme montre que pour toute partition Q plus fine que P ε et tout ensemble W de points subordonné à Q on a S(P ε, V ε, f) S(Q, W, f) < ε/2 mais l intégrale est la limite des S(Q n, W n, f) et donc la différence f(x) dx S(Q n, W n, f) peut être rendue est aussi petite que l on veut. On a donc à la limite E f(x) dx S(P ε, V ε, f) ε/2 E Supposons maintenant que P est plus fine que P ε on a alors f(x) dx S(P, V, f) E f(x) dx S(P ε, V ε, f) + S(P ε, V ε, f) S(P, V, f) E < ε. E L unicité résulte immédiatement de cette propriété.

4 4 J.-P. Labesse Nous verrons plus loin que cette construction est un cas particulier d une notion plus générale : celle d intégrale d une fonction réglée..2 ntégrales et primitives Soit F une fonction continue et dérivable sur un intervalle à valeurs dans un espace de Banach E. Lemme.2.1. Si F a une dérivée nulle sur alors F est constante sur. Preuve : Montrons d abord que si F est dérivable avec dérivée nulle alors F : x F (x) est dérivable avec dérivée nulle : pour cela on observe que F (x + h) F (x) h F (x + h) F (x) h Maintenant il résulte du théorème des accroissements finis que F (x) est constante. Mais, quitte à translater F par une constante on peut supposer que F est nulle en un point de il en résulte que sa norme est nulle sur tout. Remarque On prendra garde qu en général une fonction du type x F (x) n est pas dérivable même si F l est ; par exemple x x n est pas dérivable en 0. Soit f une fonction continue sur un intervalle à valeurs dans un espace de Banach E. On dit que F est une primitive de f si F est continue et dérivable sur avec pour dérivée f. Théoreme.2.2. Toute fonction continue f admet une primitive. Si F est une primitive de f on a F (x) = F (a) + x a f(t) dt Preuve : Soient a et x deux points de, on considère la fonction Rappelons que, par convention x a G(x) = x a f(t) dt. a f(t) dt = f(t) dt x

5 ntégration 5 si x < a. On voit que et donc G(x + h) G(x) h f(x) = 1 0 (f(x + th) f(x)) dt G(x + h) G(x) f(x) h sup f(x + th) f(x) E E et comme f est continue les expressions ci-dessus ont une limite nulle lorsque h tend vers 0 et donc G est dérivable au point x avec f(x) pour dérivée. Ceci montre que la fonction G est une primitive de f avec G(a) = 0. Le lemme.2.1 ci-dessus montre que comme F et G sont deux primitives de f elles diffèrent d une constante. Le théorème en résulte. t 1.3 ntégrale des fonction réglées Nous allons donner une seconde construction de l intégrale de Riemann pour classe de fonctions plus large que précédemment. Soit un segment. On dit qu une fonction s sur à valeurs dans E est une fonction en escalier si il existe une partition P de : a = x 0 x 1 x n x n+1 = b et des éléments α i E pour 0 i n avec s(x) = α i pour x ]x i, x i+1 [. La valeur de s aux bornes des intervalles ]x i, x i+1 [ est arbitraire. On peut aussi dire qu une fonction en escalier à valeurs dans E est une somme s = χ i α i de produits de fonctions caractéristiques χ i d intervalles bornés i par des vecteurs α i de E ; autrement dit c est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d intervalles bornés. On définit l intégrale de s sur comme la somme i=n s(x) dx = (x i+1 x i )α i i=0 On dit que f sur à valeurs dans E est réglée si elle est limite uniforme de fonction en escalier. Par exemple, une fonction continue est une fonction réglée ; ceci résulte de ce que f est uniformément continue sur car est un segment (et donc un compact). Mais l espace des fonction réglées est plus gros que celui des fonctions continues. l contient en particulier les fonctions continues par morceaux (ayant en chaque point une limite à droite et à gauche). C est un espace de Banach pour la norme uniforme f = sup f(x) E. x

6 6 J.-P. Labesse Le sous-espace des fonctions continues en est un sous-espace fermé. L intégrale des fonctions réglées est définie par continuité : si f est limite uniforme d une suite de fonction en escalier s n on pose f(x) dx = lim n s n (x) dx On retrouve ainsi l intégrale de Riemann des fonctions continues par morceaux. Donnons les propriétés principales de cette intégrale : 1 - L intégrale est une application linéaire de l espace des fonction réglées dans E : si f et g sont deux fonctions réglées et si λ et µ sont des scalaires on a (λf(x) + µg(x)) dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx 2 - L intégrale est continue pour la norme uniforme, en effet si = [a, b] f(x) dx E f(x) E dx (b a) f 3 - Lorsque E = R ou C, on voit en outre que l intégrale est une forme linéaire positive : si f est positive sur, c est-à-dire que f(x) 0 pour tout x, alors f(x) dx 0

7 ntégration 7. ntégrale de Lebesgue pour une mesure abstraite.1 Mesures abstraites Soit un ensemble. On appelle tribu (ou σ-algèbre) sur une famille T de sous-ensembles de (c est-à-dire que T une partie de P() l ensemble des sous-ensembles de ) qui contient l ensemble vide et qui est stable par les opérations suivantes : 1 - Union dénombrable 2 - Passage au complémentaire Les éléments de T sont dits mesurables (relativement à cette tribu). Un exemple est donné par la tribu de tous les ensembles. C est la tribu triviale. Si on dispose d une partie S P() alors la plus petite tribu contenant S est appelée la tribu engendrée par S. Si est un espace topologique on appelle tribu des boréliens de la tribu engendrée par les ouverts de. Soit un ensemble et T une tribu sur. On appelle mesure (ou mesure abstraite) pour cette tribu une fonction µ : T R + qui est σ-additive : si E est une union disjointe et dénombrable d ensembles E n alors µ(e) = n µ(e n ) l en résulte en particulier que µ( ) = 0 s il existe un E tel que µ(e) < ω c est-à-dire sauf dans le cas trivial ou on pose µ(e) = ω pour tout E. La propriété de σ-additivité peut se reformuler ainsi : Proposition.1.1. Soit A n une suite emboitée de sous-ensembles mesurables d union A : = A 0 A 1 A 2 A n A = A n n alors µ(a) = sup µ(a n ) Preuve : On pose B n = A n A n 1 et on voit alors que A est l union disjointe des B n et donc n µ(a n ) = µ(b p ) et µ(a) = µ(b n ) n=1 n=1

8 8 J.-P. Labesse On dit que µ est σ-finie si est union dénombrable de sous ensembles de mesure finie. Les mesures qui ne sont pas σ-finies ont parfois un comportement désagréable et nous nous limiterons aux mesures σ-finies. Un exemple de mesure abstraite est la mesure de comptage sur un ensemble dénombrable muni de la tribu triviale. On pose µ(e) = #E le nombre d éléments de E lorsque ce nombre est fini et on pose µ(e) = ω s il est infini. Remarque On peut aussi définir la mesure de comptage sur un ensemble non dénombrable mais une telle mesure est pathologique : elle n est pas σ-finie. La construction de mesures σ-finies sur un ensemble non dénombrable (par exemple R) pour une tribu contenant la tribu des boréliens est en général non triviale. On montrera en.3.1 l existence de la mesure la plus intéressante à savoir la mesure de Lebesgue sur R. Elle est définie comme la seule mesure sur R telle que µ([a, b]) = (b a)..2 Ensembles µ-négligeables Soit E un sous ensemble de. On dit que E est µ-négligeable si il existe un ensemble mesurable A contenant E avec µ(a) = 0. Une propriéte est dite vraie presque partout si elle est vraie en dehors d un ensemble négligeable. La tribu T peut être complétée en une tribu T µ qui est la tribu engendrée par T et les ensembles µ-négligeables. Les ensembles mesurables pour la tribu complétée T µ sont les E tels qu il existe A E B avec A et B dans T et tels que µ(b A) = 0. La mesure µ se prolonge en une mesure, encore notée µ par abus de notation, sur T µ en posant µ(e) = µ(a) = µ(b) si A E B avec µ(b A) = 0. Les ensembles négligeables sont les ensembles de mesure nulle pour la mesure prolongée à la tribu complétée. La σ-additivité a le corollaire suivant. Soit {E n } n N une famille dénombrable d ensembles de mesures nulle, alors E = E n n est de mesure nulle. En particulier, pour la mesure de Lebesgue sur R les points sont de mesure nulle. l en résulte par exemple que l ensemble des nombre rationnels Q, quoique partout dense dans R, est de mesure nulle..3 La mesure de Lebesgue sur R Nous allons contruire la mesure de Lebesgue sur R. Le théorème.3.1 ci-dessous est un

9 ntégration 9 cas particulier du théorème V.2.9. Nous en donnons une démonstration directe compte tenu de son importance dans les applications. On commence par observer que tout ouvert U de R est une union dénombrable disjointe d intervalles ouverts : U = ]a i, b i [ On pose λ(u) = i (b i a i ) l en résulte facilement que si U est inclus dans une union dénombrable d ouverts U n alors λ(u) n λ(u n ) Soit maintenant K un compact ; on pose λ(k) = inf K U λ(u) En particulier λ([a, b]) = b a. On vérifie aussi facilement que si K est une union finie de compacts disjoints K n alors λ(k) = λ(k n ). n Pour tout E R on définit la mesure extérieure λ (E) et la mesure intérieure λ (E) par λ (E) = inf λ(u) et λ (E) = sup λ(k) E U K E On a λ (E) λ (E) pour tout E et λ (E) = λ (E) si E est ouvert ou compact. Considérons E n = E [ n, +n] on note L l ensemble des E tels que pour tout n on a λ (E n ) = λ (E n ). Pour E L on pose λ(e) = λ (E) = λ (E) Théoreme.3.1. L ensemble L est une tribu et λ est une mesure pour cette tribu. C est l unique mesure borélienne sur R pour laquelle les intervalles ]a, b[ sont de mesure (b a). Preuve : L unicité est claire. σ-additive. Soit Nous devons montrer que L est une tribu et que λ est E = F n

10 10 J.-P. Labesse avec des F n deux à deux disjoints dans L. Nous devons montrer que λ (E) = λ (E) = λ(f n ) l suffit de considérer le cas où les F n sont tous de mesure finie. Fixons un ε > 0. Pour chaque F n il existe un ouvert U n et un compact K n tels que λ(u n ) λ(k n ) ε/2 n. Dans le cas où la somme des mesures des K n diverge l assertion est vraie. On peut donc se restreindre au cas où la somme des λ(f n ) est finie. Compte tenu des remarques ci-dessus sur les unions de compacts et d ouverts on a λ(kn ) λ (E) λ (E) λ(u n ) et il en résulte que λ (E) λ (E) 2ε. l reste à voir que la famille des mesurables est stable par passage au complémentaire et intersection finie. l suffit de montrer que si E L est borné E = [α, β] =]a, b[ alors E L. Mais si K et U sont un compact et un ouvert avec K E U on pose U = K, E = E et K = U. On a K E U et, si λ(u K) ε, on peut choisir de sorte que λ(u K ) 2ε. La preuve de la stabilité par intersection finie est similaire et laissée en exercice au lecteur. On a ainsi montré que la famille L est une tribu contenant les ouverts et donc contenant la tribu des boréliens et que λ est une mesure borélienne pour laquelle les intervalles ]a, b[ sont de mesure (b a). On dit que la mesure λ est la mesure de Lebesgue sur R. La tribu L est la tribu des ensembles mesurables de Lebesgue. Elle est λ-complète..4 Fonctions mesurables Soit un espace muni d une tribu et d une mesure µ pour cette tribu. Une fonction f sur à valeurs dans un espace topologique Y est dite mesurable (relativement à la tribu T ) si l image réciproque f 1 (A) de tout borélien A de Y est T - mesurable (*). Pour que f : Y soit mesurable il est nécessaire et suffisant que l image réciproque f 1 (U) de tout ouvert U de Y soit mesurable. (*) Cette définition est celle donnée par exemple dans le livre de Rudin. Elle ne coïncide pas avec celle de Bourbaki (ntégration, Chap.V 5). Toutefois, pour les mesure boréliennes sur un espace localement compact, les deux définition sont équivalentes pour les fonction à valeurs réelles.

11 ntégration 11 La fonction caractéristique d un ensemble A est mesurable si et seulement si A est mesurable. Si est un espace topologique et si T est une tribu qui contient la tribu des boréliens, alors une fonction sur à valeurs dans un espace topologique Y et qui est continue est mesurable. Proposition.4.1. Soit f n une suite de fonctions mesurables à valeurs dans R. Les fonctions g = sup f n, h = inf f n et k = lim inf f n sont mesurables. Preuve : l suffit de remarquer que g 1 (]a, ω]) = fn 1 (]a, ω]) Corollaire.4.2. suppose que alors f est mesurable. Soit f n une suite de fonctions mesurables à valeurs dans R. On f(x) = lim f n (x) pour tout x Preuve : C est une conséquence de.4.1 en observant que lim f n (x) = lim inf f n (x) Définition.4.3. On appelle fonction étagée une combinaison linéaire finie à coefficients réels positifs de fonctions caractéristiques d ensembles mesurables : i=n s = a i χ Ei i=1 avec a i R + et A i T On pose i=n s dµ = a i µ(e i ) i=1 que l on appelle intégrale de la fonction s. C est un élément de R +. On laisse au lecteur le soin de vérifier que l intégrale est indépendante de l écriture de s comme combinaison linéaire de fonctions caractéristiques. On écrira aussi s dµ = s(x) dµ(x) = µ(s)

12 12 J.-P. Labesse ces notations sont équivalentes. Proposition.4.4. fonctions étagées s n avec (a) 0 s 1 s n f (b) Pour tout x on a lim n s n (x) = f(x) Soit f une fonction mesurable positive. l existe une suite de Preuve : On commence par découper R + en l union disjointe des intervalles i = [ i 2 n, i n [ avec 0 i n2n 1 et n2 n = [n, ω] et on considère leurs images réciproques A p = f 1 ( p ). On associe à cette partition la fonction étagée s n = 2 n p χ Ap On a clairement s n f. La proposition en résulte. Remarque On observera que si f est bornée la suite construite ci-dessus converge uniformément..5 ntégrales des fonctions numériques positives Nous allons d abord définir l intégrale des fonction à valeurs positives. Pour une fonction f : [0, ω] mesurable on pose f dµ = sup s f le sup étant pris sur les fonctions s étagées avec s f. l est clair que f f dµ est une fonction croissante. Si E est un ensemble mesurable on pose E f dµ = s dµ fχ E dµ. Le théorème suivant s appelle le théorème de convergence monotone ou théorème de Beppo-Levi. Théoreme.5.1. [Convergence monotone] Soit f 0 f 1 f n

13 une suite croissante de fonctions mesurables positives. On a sup f n dµ = sup f n dµ. ntégration 13 Preuve : On pose f = sup f n. Comme l intégrale est une fonction croissante on sait que f dµ sup f n dµ Établissons l inégalité dans l autre sens. Soit s étagée avec s f et posons F n = {x f n (x) c s(x)} avec 0 < c < 1. On a donc f n dµ f n dµ c F n s dµ F n ce qui implique sup f n dµ c sup s dµ. F n La suite des F n est croissante et leur union est. Compte tenu de.1.1 on a c sup s dµ = c s dµ n F n et donc sup f n dµ c s dµ pour tout c < 1 et toute s étagée avec s f et donc sup f n dµ f dµ d ou la conclusion. Lemme.5.2. Soient f et g deux fonctions mesurables positives alors (f + g) dµ = f dµ + g dµ Preuve : On observe que d après la proposition.4.4, il existe une suite croissante de fonctions étagées s n qui converge partout vers f ; on a donc gâce à.5.1 f dµ = sup s n dµ. n On a un résultat similaire pour g. Le lemme en résulte immediatement.

14 14 J.-P. Labesse Proposition.5.3. [Lemme de Fatou] Soit f n une suite de fonctions mesurables positives. On a lim inf f n dµ lim inf f n dµ Preuve : Par définition et donc d après.5.1 lim inf f n = sup g n avec g n = inf p n f p lim inf f n dµ = sup g n dµ = sup g n dµ Mais, si p n et donc soit encore g n dµ f p dµ g n dµ inf f p dµ lim inf f p dµ p n sup g n dµ lim inf f p dµ.6 Fonctions à valeurs dans R intégrables Soit maintenant f une fonction numérique c est-à-dire une fonction à valeurs dans R (la droite réelle achevée). On peut écrire f = f + f avec f ± à valeurs dans R +. Définition.6.1. On dit que f est intégrable si 1 - f est mesurable 2 - f = f + + f est d intégrale finie Dans ce cas, l intégrale de f est définie par f dµ = f + dµ f dµ

15 On observe que, compte tenu de.5.2, on a ntégration 15 f dµ f dµ Lemme.6.2. Les fonctions numériques intégrables forment un espace vectoriel et l application f f dµ est linéaire. Preuve : C est une variante de.5.2 laissée au lecteur. La proposition suivante nous sera utile. Proposition.6.3. Soit f une fonction à valeurs dans R, intégrable. L ensemble E des x tels que f(x) = ±ω est négligeable. Preuve : Considérons la fonction caractéristique χ E de E. Comme χ E f on a µ(e)ω = χ E dµ f dµ = M < ω et donc µ(e)ω M < ω ce qui impose µ(e) = 0..7 ntégrale des fonctions à valeurs vectorielles Soit f une fonction sur à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie F. On dit que f est intégrable si pour toute forme linéaire φ F (le dual de F ) la fonction numérique φ f est intégrable. Compte tenu de.6.2 on voit que l application φ φ f dµ est linéaire ; comme F est de dimension finie il existe donc un unique vecteur dans F noté f dµ tel que φ( f dµ) = φ f dµ l en résulte encore de.6.2 que l intégrale dépend linéairement de f.

16 16 J.-P. Labesse Munissons F d une norme (on sait qu elles sont toutes équivalentes). On voit alors qu une fonction f à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie est intégrable si et seulement si : 1 f est mesurable 2 l intégrale de sa norme est finie : f F dµ < ω Nous allons maintenant considérer les fonctions à valeurs dans un espace de Banach. Rappelons que c est un espace vectoriel normé complet. Définition.7.1. Soit E un espace de Banach et soit f une fonction sur à valeurs dans E. On dit que f est intégrable si (a) f E est intégrable (b) pour tout ε > 0 il existe une fonction g à valeurs dans un sous-espace de dimension finie F E (dépendant de g) intégrable, telle que f g E soit intégrable avec f g E dµ < ε. Autrement dit f est intégrable si f E est intégrable et si il existe une suite de sousespaces de dimension finie F 1 F n E et des fonction f n à valeurs dans F n intégrables avec lim f f n n E dµ = 0 En particulier la suite des vecteurs f n dµ est une suite de Cauchy dans E ; elle converge puisque E est complet et on observe que cette limite est indépendante de la suite f n choisie. On peut donc poser f dµ = lim f n dµ Comme plus haut on voit que l intégrale est une forme linéaire et que f dµ E f E dµ. On notera L 1 (, µ, E) ou simplement L 1 l espace vectoriel des fonction intégrables muni de la semi-norme f L 1 = f E dµ

17 ntégration 17 L inégalité ci-dessus revient à dire que l intégrale est une forme linéaire continue sur l espace vectoriel L 1. Remarque Comme dit plus haut la notion de mesurabilité utilisée ici diffère de celle donnée dans Bourbaki. Cette dernière n a de sens que lorsque est localement compact et que µ est borélienne. Dans ce cadre, avec celle plus tricte de Bourbaki on aurait le critère suivant : une fonction f à valeurs dans E est intégrable si f est mesurable (au sens de Bourbaki) pour la tribu complétée et si f est d intégrale finie. Avec la définition donnée ici de la mesurabilité, cette assertion est encore vraie si E est séparable c est-à-dire si E possède un sous ensemble dénombrable dense. Ce sera le cas dans la plupart des exemples naturels et en particulier si E est de dimension finie. Nous l admettrons. Théoreme.7.2. L espace L 1 (, µ, E) est complet. Preuve : Soit f n une suite de Cauchy pour la semi-norme sur L 1 ; nous devons montrer que cette suite a une limite dans L 1. Une suite extraite est une suite g n = f ϕ(n) où ϕ est une fonction croissante de N dans N. Pour toute suite de Cauchy f n il existe suite extraite g n telle que g n+1 g n L 1 2 n. l en résulte que la fonction à valeurs positives h(x) = n g n+1 (x) g n (x) E est mesurable, compte tenu de.4.2, et intégrable ; elle est donc finie presque partout d après.6.3. Ceci implique que pour presque tout x la série (g n+1 (x) g n (x)) n=0 converge absolument. Pour x tel que cette série converge posons k(x) = g 0 (x) + (g n+1 (x) g n (x)) = lim g n (x) n n=0 et définissons k(x) arbitrairement pour les autres valeurs de x (qui forment un ensemble de mesure nulle). La suite des g n converge presque partout vers k. Compte tenu de.4.2 on voit que les fonctions numériques k E et k g n E sont mesurables. Mais maintenant k(x) g n (x) E p n g p+1 (x) g p (x) E implique que k g n L n. On en déduit que k est une limite dans L 1 de la suite des g n et donc aussi de la suite des f n.

18 18 J.-P. Labesse On prendra garde que l espace L 1 n est pas séparé. La limite obtenue n est pas unique en général. L espace séparé associé L 1 sera construit ci après..8 Fonctions négligeables et espace L 1 Soit f une fonction sur à valeurs dans E. On dit que f est négligeable si f est mesurable et si f dµ = 0. Les fonction négligeables forment un espace vectoriel. Lemme.8.1. Une fonction négligeable est nulle en dehors d un ensemble négligeable. Preuve : Soit On a A n = {x ; f(x) > 1/n}. µ(a n ) µ( f ) = 0 et l ensemble A des points où f est non nul est l union des A n on en déduit que A est de mesure nulle. Autrement dit une fonction négligeable est nulle presque partout, c est-à-dire en dehors d un ensemble de mesure nulle. Deux fonctions sont dites égales presque partout si elles diffèrent d une fonction négligeable. Le quotient de L 1 par le sous-espace des fonction négligeables, sera noté L 1. La relation d équivalence est l égalité presque partout. La semi-norme de L 1 induit une norme sur L 1. C est un espace séparé et complet..9 Convergence en moyenne et convergence presque partout On dit qu une suite de fonctions f n converge presque partout vers une fonction f s il existe un ensemble négligeable E tel que pour tout x E on ait lim f n (x) = f(x). On dit qu une suite de fonctions intégrables f n converge en moyenne vers une fonction f, intégrable, si lim f f n E dµ = 0

19 C est la convergence pour la semi-norme f L 1 = ntégration 19 f E dµ. Une variante du théorème.7.2 est aussi très utile. Théoreme.9.1. Soit f n une suite de fonctions intégrables qui converge en moyenne vers une fonction f, alors on peut extraire une sous-suite qui converge presque partout. Preuve : La suite des f n est une suite de Cauchy pour la semi-norme L 1. Comme dans la preuve de.7.2 on en déduit qu il existe une suite extraite g n de fonctions intégrables telle que g n+1 g n L 1 2 n Une telle sous-suite converge encore en moyenne vers f. Posons, comme dans la preuve de.7.2, k(x) = g 0 (x) + (g n+1 (x) g n (x)) n=0 La suite g n converge presque partout vers k. Mais on a f k L 1 f g n L n et donc f k L 1 = 0. On en déduit que f(x) = k(x) presque partout et donc g n converge vers f presque partout..10 Théorème de convergence dominée et applications Théoreme [Convergence dominée de Lebesgue] Soit f n une suite de fonctions à valeurs dans E, intégrables, et f une fonction telle que f(x) = lim f n (x) pour presque tout x On suppose qu il existe une fonction positive intégrable g avec f n (x) E g(x) pour presque tout x Alors f est intégrable ; de plus (1) lim f f n E dµ = 0

20 20 J.-P. Labesse et (2) lim f n dµ = f dµ. Preuve : Observons d abord que de façon évidente lim inf (2g f f n E ) dµ = 2g dµ lim sup f f n E dµ 2g dµ Mais, d après.5.3 2g dµ lim inf (2g f f n E ) dµ et donc lim sup f f n E dµ = 0 ce qui donne (1) et montre que f est intégrable. Pour obtenir (2) on utilise que f dµ f n dµ E f f n E dµ. Les applications principales du théorème de convergence dominée sont d une part un théorème de continuité des intégrales dépendant d un paramètre et d autre part un théorème de dérivabilité sous le signe somme. On fixe (, T, µ) un espace mesuré et E un espace de Banach. Théoreme Soit un espace métrique et soit f(x, t) une fonction sur à valeurs dans E telle que pour tout t la fonction f t : x f(x, t) est dans L 1 (µ, E) c est-à-dire que f t est intégrable et on pose F (t) = f(x, t) dµ(x) On suppose qu il existe une fonction h à valeurs dans R + intégrable telle que f t E h c est-à-dire que pour tout x et tout t on a f(x, t) E h(x)

21 ntégration 21 On suppose enfin que pour tout x la fonction t f(x, t) est continue de dans E. Alors, la fonction F est continue sur. Preuve : Soit t et soit t n une suite de points de qui converge vers t. g n (x) = f(x, t n ) et g(x) = f(x, t) on a F (t n ) = g n (x) dµ(x) On pose Comme g n E h le théorème de convergence dominée implique que F (t n ) a pour limite F (t). l en résulte que F est continue Théoreme Soit un intervalle de R et soit f(x, t) une fonction sur à valeurs dans E telle que pour une valeur t 0 la fonction x f(x, t 0 ) est intégrable. On suppose de plus que pour tout x la fonction t f(x, t) est une fonction dérivable sur à valeurs dans E. On notera g(x, t) sa dérivée. On suppose qu il existe une fonction k à valeurs dans R + intégrable telle que g(x, t) E k(x) et que pour tout t la fonction x g(x, t) est intégrable. On pose G(t) = g(x, t) dµ Alors, 1 La fonction x f(x, t) est intégrable pour tout t. On pose alors F (t) = f(x, t) dµ(x) 2 La fonction F est dérivable sur et sa dérivée est G. Preuve : On a f(x, t) = f(x, t 0 ) + t t 0 g(x, u) du

22 22 J.-P. Labesse Or, par construction de l intégrale de Riemann, l intégrale t t 0 g(x, u) du est la limite de la suite des sommes de Darboux S n (x) attachés à la partition de [t 0, t] en n intervalles de longueur α n = (t t 0 )/n : t t 0 g(x, u) du = lim n α n p=n 1 p=0 g(x, t 0 + pα n ) Les fonctions S n sont intégrables puisque les g(x, t i ) le sont. Le théorème de convergence dominée montre alors que f(x, t) est intégrable. Mais on voit que F (t + h) F (t) = ( ) t+h g(x, u) du dµ(x) t Mais et donc t+h t F (t + h) F (t) h l résulte maintenant de.10.2 que 1 g(x, u) du = h g(x, t + hv) dv 0 = ( 1 F (t) = lim h 0 F (t + h) F (t) h 0 ) g(x, t + hv) dv dµ(x) = g(x, t) dµ(x) = G(t) Remarque l en résulte que sous nos hypothèses ( ) b g(x, u) du dµ(x) = a b a ( ) g(x, u) dµ(x) du On a ainsi prouvé un cas particulier du théorème de Fubini. Le cas général fera l objet de la section suivante

23 V.1 Mesures produit ntégration 23 V. Mesures produit et Théorème de Fubini Soient (, T, µ) et (Y, U, ν) deux espaces mesurés. On suppose les mesures σ-finies. On appelle tribu produit, notée V, la tribu sur Y engendrée par les rectangles mesurables c est-à-dire les ensembles A B avec A T et B U. On appelle ensembles élémentaires les unions finies de rectangles mesurables. Pour E Y on note E x l ensemble des y Y avec (x, y) E. On appelle classe monotone une famille de sous-ensembles stable par union dénombrable croissante et intersection dénombrable décroissante. Une tribu est une classe monotone. Lemme V.1.1. V est la classe monotone engendrée par les ensembles élémentaires. Preuve : Soit M la classe monotone engendrée par les ensembles élémentaires on a donc M V. Mais il est facile de voir que M contient les intersections finies et différences d ensembles élémentaires. Pour E M on note Ω(E) la famille des F tels que E F, F E et E F soient dans M. l est clair que Ω(E) est une famille monotone. Maintenant les remarques ci-dessus prouvent que si E est élémentaire tous les ensembles élémentaires sont dans Ω(E) et donc Ω(E) contient M. On en déduit que pour F M alors E Ω(F ) pour tout E élémentaire et donc encore Ω(F ) contient M. Ceci montre que M est stable par intersection finie et donc est une tribu. Ceci implique M = V. Lemme V.1.2. Considérons Q Y dans la tribu produit ; alors Q x U c està-dire est ν-mesurable pour tout x la fonction ϕ Q (x) = ν(q x ) est µ-mesurable. Preuve : Considérons la famille Ω des ensembles E Y tels que E x U c est-à-dire est ν-mesurable pour tout x et tels que la fonction ϕ E (x) = ν(e x ) est µ-mesurable. La famille Ω contient les rectangles mesurables. Elle est stable par union dénombrable d ensembles disjoints et par union d une suite croissante d ensembles : en effet le sup d une suite de fonctions mesurables est mesurable. Montrons qu elle est stable par passage au complémentaire : c est clair si Y est de mesure finie car ϕ Y E = ν(y ) ϕ E. Le cas général en résulte, par un argument de suite croissante, car on a supposé les mesures σ- finies. C est donc une classe monotone contenant les rectangles mesurables ; elle contient donc la tribu produit d après V.1.1. Proposition V.1.3. l existe une unique mesure µ ν pour la tribu produit V sur Y telle que (µ ν)(a B) = µ(a)ν(b)

24 24 J.-P. Labesse Preuve : Soit Q un élément quelconque de la tribu produit. Soit Q x l ensemble des y Y avec (x, y) Q. Cet ensemble est ν-mesurable et x ϕ(x) = ν(q x ) est µ-mesurable d après V.1.2. On pose (µ ν)(q) = ϕ dµ Cette fonction est σ-additive comme il résulte du théorème de convergence monotone.5.1. On a ainsi prouvé l existence de la mesure produit. Prouvons l unicité de la mesure produit si et Y sont de mesure finie ; en effet la mesure des rectangles mesurables étant donnée on a aussi celle des ensembles obtenus par union dénombrable disjointe (comme il résulte du théorème de convergence monotone) et par passage au complémentaire grâce à la finitude et on conclut grâce à V.1.1. Le cas général en résulte puisque les mesures sont supposées σ-finies. La construction à fait jouer un rôle dissymétrique à et Y. L unicité de la mesure construite montre que l on obtient la même mesure en échangeant les rôles de et Y dans la construction, et en particulier on a le Corollaire V.1.4. Pour tout Q dans la tribu produit on a ( ) ( χ Q d(µ ν) = χ Q dµ dν = Y Y Y ) χ Q dν dµ La tribu produit n est en général pas complète pour la mesure produit. On considérera désormais la tribu complétée relativement à la mesure produit. Après complétion les assertions de V.1.2 sont encore vraies mais seulement presque partout. V.2 Théorème de Fubini Nous étudierons tout d abord le cas des fonctions à valeurs dans R +. Théoreme V.2.1. Soient (, T, µ) et (Y, U, ν) deux espaces mesurés σ-finis. Soit f une fonction positive sur Y mesurable pour µ ν. Alors, pour presque tout x la fonction y f(x, y) est ν-mesurable, la fonction g(x) = f(x, y) dν(y) est µ-mesurable et f(x, y) d(µ ν)(x, y) = Y ( Y Y ) f(x, y) dν(y) dµ(x) = Y ( ) f(x, y) dµ(x) dν(y)

25 ntégration 25 En particulier, pour que les trois expressions ci-dessus soient finies il suffit que l une le soit. Preuve : Compte tenu de la proposition.4.4 et du théorème de convergence monotone.5.1 il suffit de prouver le théorème pour des fonctions étagées et on est réduit au cas des fonctions caractéristiques d ensembles pour lesquels le théorème résulte immédiatement du lemme V.1.2 et du corollaire V.1.4. Considérons maintenant le cas des fonctions à valeurs vectorielles. Commençons par le cas de la dimension finie. Théoreme V.2.2. Soient (, T, µ) et (Y, U, ν) deux espaces mesurés σ-finis et E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f une fonction sur Y à valeurs dans E. On suppose que f est mesurable et que f E est intégrable pour µ ν. Alors, f est intégrable. Pour presque tout x la fonction y f(x, y) est ν-intégrable, la fonction x f(x, y) dν(y) est µ-intégrable ; de plus f(x, y) d(µ ν)(x, y) = Y Y ( Y ) f(x, y) dν(y) dµ(x) Preuve : Comme dans la preuve de V.2.1, dans le cas particulier des fonction mesurables ne prenant qu un nombre fini de valeurs dans E et dont la norme est intégrable le théorème est une conséquence immédiate de V.1.4. Le cas général résulte du théorème de convergence dominée.10.1 compte tenu de V.2.1. Passons au cas des Banach. Théoreme V.2.3. Soient (, T, µ) et (Y, U, ν) deux espaces mesurés σ-finis et E un espace de Banach. Soit f une fonction sur Y à valeurs dans E intégrable pour µ ν. Alors, pour presque tout x la fonction y f(x, y) est ν-intégrable, la fonction x f(x, y) dν(y) est µ-intégrable ; de plus f(x, y) d(µ ν)(x, y) = Y Y ( Y ) f(x, y) dν(y) dµ(x) Preuve : Le cas des fonction intégrables et prenant leurs valeurs dans un sous-espace de dimension finie E résulte de V.2.2. Le cas général en résulte compte tenu de V.2.1 et de la définition de l intégrabilité à valeurs dans E.

26 26 J.-P. Labesse V. Mesures de Radon et mesures abstraites V.1 Mesures de Radon positives Soit un espace localement compact, on note C c () l espace vectoriel complexe des fonctions continues sur à valeurs dans C et à support compact. On notera Supp(f) le support de f C c (). On appelle mesure de Radon positive une forme linéaire µ dans C et qui est positive c est-à-dire que µ(f) 0 pour f 0. : f µ(f) de C c () Par exemple l intégrale de Riemann des fonctions à valeurs dans C fournit une mesure de Radon positive sur = R, ou plus généralement sur R n, appelée mesure de Lebesgue. Un autre exemple est donné par la mesure de comptage sur un ensemble dénombrable (muni de la topologie discrète). On se donne une mesure de Radon positive µ sur. Nous allons associer à µ une tribu T (µ) et une mesure abstraite µ relative à cette tribu sur. Dans le cas de la mesure de comptage c est immédiat mais ce n est pas trivial pour le cas le plus intéressant : la mesure de Lebesgue sur R n. Un outil essentiel pour les preuves qui suivent est le lemme d Urysohn Lemme V.1.1. Soient K un compact et U un ouvert contenant K. l existe une fonction f C c () à valeurs dans [0, 1] avec f = 1 sur K et Supp(f) U. Plus généralement supposons donnés un nombre fini d ouverts U i avec K U = U i l existe des fonction h i C c () à valeurs dans [0, 1] avec h = h i égale à 1 sur K et avec Supp(h i ) U i. Nous l admettrons. V.2 Construction d une mesure abstraite Pour E on note χ E la fonction caractéristique de E. Soit K un compact de on pose µ(k) = inf µ(f) pour f χ K et pour U un ouvert on pose µ(u) = sup µ(f) pour f χ U et Supp(f) U

27 ntégration 27 On peut montrer grâce au lemme de Dini que le sup µ(f) pour f χ U est égal au sup µ(f) pour f χ U et Supp(f) U. On observe que si K U on a µ(k) µ(u). En effet, le lemme d Urysohn nous fournit une fonction f avec χ K f χ U et Supp(f) U. Lemme V.2.1. Si K 1 et K 2 sont des compacts disjoints on a µ(k 1 K 2 ) = µ(k 1 ) + µ(k 2 ) Preuve : Soient f i χ Ki on a f 1 + f 2 χ K avec K = K 1 K 2 et donc µ(k 1 K 2 ) µ(f 1 ) + µ(f 2 ) ce qui implique µ(k 1 K 2 ) µ(k 1 ) + µ(k 2 ) Réciproquement soit f χ K avec K = K 1 K 2. Toujours grâce à Urysohn on sait qu il existe des fonction h i C c () égales à 1 sur K i et de somme h 1 + h 2 partout 1. On a donc f f 1 + f 2 avec f i = fh i d où µ(k 1 ) + µ(k 2 ) µ(f) et donc µ(k 1 ) + µ(k 2 ) µ(k) Lemme V.2.2. Soit U 1 et U 2 deux ouverts et soit U leur union. On a µ(u) µ(u 1 ) + µ(u 2 ) Preuve : Soit f χ U avec Supp(f) U. Soit K = Supp(f), il existe des fonctions h i avec h 1 + h 2 égale à 1 sur K et Supp(h i ) U i. Alors f = f 1 + f 2 avec f i = fh i et µ(f) = µ(f 1 ) + µ(f 2 ) µ(u 1 ) + µ(u 2 ) et le lemme en résulte.

28 28 J.-P. Labesse On pose pour tout E µ (E) = sup µ(k) pour K compact K E et on dit que µ (E) est la mesure intérieure de E ; on pose µ (E) = inf µ(u) pour U ouvert E U et on dit que µ (E) est la mesure extérieure de E. On observe que l on a toujours µ (E) µ (E) Lemme V.2.3. Pour tout compact on a µ(k) = µ (K) = µ (K) < Preuve : l est clair que µ(k) = µ (K) et que µ(k) < d après le lemme d Urysohn. Maintenant, étant donné ε > 0 il existe f C c () avec f χ K et µ(f) µ(k) + ε. Considérons un réel 0 < α < 1 et soit U = {x f(x) > α}. Pour toute fonction g avec χ K g χ U et Supp(g) U on a αg f et donc αµ(g) µ(f) µ(k) + ε De telles g existent par Urysohn. On a donc α µ(u) µ(k) + ε pour tout α < 1 et tout ε > 0 et donc µ (K) µ(k) + ε Lemme V.2.4. Soit {E n } n N une famille dénombrable d ensembles deux à deux disjoints. Soit E = n E n. On a µ (E n ) µ (E) n Preuve : Si l un des E n est de mesure intérieure infinie le lemme est evident. Supposons donc tous les E n de mesure intérieure finie. Soit ε > 0 ; il existe des compacts K n E n avec µ (E n ) µ(k n ) + 2 (n+1) ε et comme K(N) = n=n n=0 est un compact union d un nombre fini de compacts disjoints on a N µ (E) µ(k(n)) = µ(k n ) d après le lemme V.2.1. Comme ceci est vrai pour tout N on a encore µ (E) n N K n µ(k n ) ( n N µ (E n )) ε 0 et ce pour tout ε > 0.

29 ntégration 29 Lemme V.2.5. Soit {E n } n N une famille dénombrable d ensembles. Soit E = n E n. On a µ (E) µ (E n ) n Preuve : Si l un des E n est de mesure extérieure infinie le lemme est evident. Supposons donc tous les E n de mesure extérieure finie. Soit ε > 0 ; il existe des ouverts U n avec µ (E n ) µ(u n ) 2 (n+1) ε Soit U = U n Considérons maintenant une fonction f C c () avec Supp(f) U. C est un compact recouvert par les U n et donc pour N assez grand on a Supp(f) V = N 0 U n et donc µ(f) µ(v ) mais d après le lemme V.2.2 on a µ(v ) N µ(u n ) 0 soit encore et donc µ(f) n N µ(u n ) n N µ (E n ) + ε µ (E) µ(u) n N µ (E n ) + ε Proposition V.2.6. Soit {E n } n N une famille dénombrable d ensembles deux à deux disjoints. Soit E = n E n. On suppose que pour tout n on a µ (E n ) = µ (E n ) alors µ (E n ) = µ (E) = µ (E) = n n µ (E n ) Preuve : C est une conséquence immédiate des lemmes V.2.4 et V.2.5.

30 30 J.-P. Labesse On notera F la famille des sous-ensembles E de tels que µ (E) = µ (E) < On peut les caractériser comme suit : on a E F si et seulement si pour tout ε > 0 il existe un compact K et un ouvert U avec K E U et µ(u) µ(k) ε On observera de plus que d après le lemme V.2.4 on a µ(u) µ(k) + µ(u K) et donc µ(u K) ε Proposition V.2.7. Soient E et F deux ensembles dans F, alors E F F, E F F et E F F. Preuve : Soient K 1 E U 1 et K 2 F U 2 avec µ(u i ) µ(k i ) ε alors et donc K 1 U 2 E F U 1 K 2 (U 1 K 1 ) (K 1 U 2 ) (U 2 K 2 ) µ(k 1 U 2 ) µ (E F ) µ (E F ) µ(u 1 K 2 ) µ(k 1 U 2 ) + 2ε la dernière inégalité étant conséquence du lemme V.2.5. Donc µ (E F ) µ (E F ) µ (E F ) + 2ε Ceci étant vrai pour tout ε > 0 on en déduit que E F F. Maintenant E F = E (E F ) donc E F F ; par ailleurs, E F = (E F ) F cette union étant disjointe on invoque la proposition V.2.6 pour conclure. On note T (µ) la famille des sous-ensembles E de avec E K F pour tout compact K. Ceci équivaut à demander que µ (E K) = µ (E K) pour tout compact K, la condition de finitude étant automatique d après le lemme V.2.3. On observe d ailleurs que d après ce lemme tout compact K appatient à T (µ) et donc que tout fermé appartient à T (µ). Proposition V.2.8. Pour E T (µ) on a µ (E) = µ (E) lorsque E est de mesure extérieure finie. Si est dénombrable à l infini on a µ (E) = µ (E) pour tout E T (µ).

31 ntégration 31 Preuve : Si µ (E) est finie il existe un ouvert U avec µ(u) finie et E U. l y a donc pour tout ε > 0 une fonction f avec µ(f) µ (E) ε et Supp(f) U. Soit K = Supp(f), on a µ(u K) ε. Comme E K est dans F par hypothèse, il existe H compact avec µ (E K) µ(k) + ε et au total on a µ (E) µ(h) + 2ε et donc µ (E) µ (E) + 2ε pour tout ε > 0 ce qui implique µ (E) = µ (E) et aussi E F. Si est dénombrable à l infini alors E T (µ) est aussi union dénombrable disjointe d ensembles de T (µ) de mesure extérieure finie et on conclut en utilisant ce qui précède et la proposition V.2.6. Théoreme V.2.9. La famille T (µ) est une tribu qui contient la tribu des borélien. La fonction µ définit une mesure sur T (µ). Cette mesure est σ-finie si est dénombrable à l infini. La proposition V.2.6 montre que T (µ) est stable par union disjointe dénombrable, la proposition V.2.7 montre que T (µ) est stable par passage au complémentaire et par union et intersections finies ; il en résulte que T (µ) est une tribu. Les fermés étant membres de T (µ) elle contient les boréliens. Le fait que µ définisse une mesure résulte de V.2.6. La dernière assertion est claire. Maintenant la mesure µ sur T (µ) permet de définir une intégrale pour les fonctions numériques mesurables positives et plus généralement pour les fonction f mesurables telles que f ait une intégrale finie. Proposition V Soit f C c () alors f est µ -intégrable et f(x) dµ (x) = µ(f) Preuve : Comme f est continue et que la tribu T (µ) contient les boréliens la fonction f est mesurable. Comme elle est à support compact f est majorée par Mχ K avec K = Supp(f) et M = sup( f ) donc f dµ (x) M µ(k) ce qui prouve que f est intégrable. Supposons provisoirement f 0 et soit ε > 0 ; la continuité de f montre qu il existe une partition finie de K en ensembles mesurables disjoints E i, des compacts K i et des ouverts U i avec K i E i U i de sorte que µ (U i K i ) ε et tels que la variation de f sur U i soit plus petite que ε autour d une valeur y i : f(x) y i ε pour x U i

32 32 J.-P. Labesse Par Urysohn, il existe des fonction h i C c () avec χ Ki h i χ Ui et h i = 1 et µ(f) = µ(f i ) avec f i = fh i. Maintenant (y i ε)χ Ki f i (y i + ε)χ Ui et donc (yi ε) µ(k i ) µ(f) (y i + ε) µ(u i ) Mais on a aussi (yi ε) µ(k i ) f(x) dµ (x) (y i + ε) µ(u i ) et donc pour tout ε > 0 µ(f) f(x) dµ (x) Mε + 2ε( µ(k) + ε) ce qui implique l égalité. Le cas général s obtient en écrivant f comme différence de deux fonctions positives.

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