Théorie de la Mesure et Intégration

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1 Uiversité Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licece de Mathématiques L3 U 3M263 Itégratio Aée Théorie de la Mesure et Itégratio Fraçois Bolley et Thierry Lévy Notes de cours d Amaury Lambert

2 Table des matières 1 Suites, esembles et suites d esembles La droite achevée Rappels sur les suites et séries umériques sembles Termiologie Opératios classiques Suites de parties d u esemble Foctios et foctios idicatrices Théorie des cardiaux Cardiaux, équipotece, déombrabilité Cardiaux classiques et propriétés Tribus de parties d u esemble Défiitios et exemples Tribu egedrée Tribus image et image réciproque Foctios mesurables Défiitios xemples et opératios stables pour la mesurabilité Foctios étagées, e escalier, réglées Le cas borélie Topologie Tribu boréliee et foctios boréliees L esemble triadique de Cator Ue partie de R o boréliee Mesures Défiitios et propriétés Mesure de Lebesgue Autres défiitios et autres propriétés

3 TABL DS MATIÈRS 3 7 Itégrale des foctios positives Itégrale des foctios étagées positives Itégrale des foctios mesurables positives Itégrale des foctios de sige quelcoque Itégrale des foctios mesurables de sige quelcoque Les grads théorèmes de covergece Itégrale des foctios à valeurs complexes Applicatios Itégrale de Lebesgue et itégrale de Riema Dérivées et primitives Itégrales dépedat d u paramètre Applicatios Dérivatio sous la somme Covolutio Trasformée de Fourier Costructio d ue mesure Quelques rappels et ouvelles défiitios Rappels Défiitios utiles das le cadre de l uicité des mesures Défiitios utiles das le cadre de l existece des mesures Uicité d ue mesure Théorème de la classe mootoe et corollaires Applicatios xistece d ue mesure Théorème de Caratheodory Applicatios Tribu produit et mesure produit Tribu produit Cas gééral Le cas borélie Sectios Mesure produit Théorèmes de Fubii Théorème de Fubii Toelli Théorème de Fubii Lebesgue Mesure image et chagemet de variable Mesure image Formule du chagemet de variable

4 Chapitre 1 Suites, esembles et suites d esembles 1.1 La droite achevée Défiitio 1.1 O appelle droite achevée l esemble R := R { } {+ }. O cosidérera toujours la droite achevée comme l espace métrique associé à l ue des distaces du type d(x, y) := f(x) f(y) où f(x) = si x R et f(± ) = ±1. x x 2 +1 Autremet dit, R est mui de la topologie usuelle de R, complétée avec les otios usuelles de covergece vers + et vers. La droite achevée est muie d u ordre total que le lecteur aura devié : pour tous x y R, < x y < +. La droite achevée est égalemet muie des opératios algébriques usuelles, avec les covetios suivates : + + = +, =, a + = +, a =, pour tout a R, aisi que et 0 = 0, a ]0, ] a = +, a [, 0[ a =. Remarque 1.2 Tout au log de ce cours, il faudra acquérir le réflexe de N JAMAIS ÉCRIR aucue des opératios iterdites suivates : (+ ) (+ ), aisi que ( ) ( ), et ecore (± )/(± ). Ue suite umérique est ue suite à valeurs das R ou das R. 1.2 Rappels sur les suites et séries umériques Défiitio 1.3 O dit que a R est ue valeur d adhérece de la suite (u ) s il existe ue suite extraite (u ϕ() ) qui coverge vers a. 4

5 CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS T SUITS D NSMBLS 5 xemple 1.4 Les valeurs d adhérece de la suite (cos(π/2)) sot 1, 0 et 1. Celles de la suite (( 1) + 1 ) sot 1 et +1. Notatio 1.5 (importate) Lorsqu ue suite (u ) est croissate (resp. décroissate), o otera souvet lim u (resp. lim u ) sa limite, pour rappeler que la suite est mootoe, et surtout pour idiquer que cette limite existe doc toujours (das R). Défiitio 1.6 La bore supérieure ( R) de l esemble des valeurs d adhérece de la suite (u ) est aussi ue valeur d adhérece de (u ). O la ote lim u ou lim sup u. C est doc la plus grade valeur d adhérece de (u ) et elle vérifie lim u = lim (sup u k ) = if (sup u k ). k k De faço aalogue, la plus petite valeur d adhérece de (u ) est otée lim u lim if u, etc. ou Défiitio 1.7 O dit que la série de terme gééral (u ) est absolumet covergete si la suite des sommes partielles ( k=0 u k ) coverge das R, ce que l o ote égalemet u <. Théorème 1.8 Si la série de terme gééral (u ) est absolumet covergete, alors elle est covergete, c est-à-dire que la suite des sommes partielles ( k=0 u k) coverge das R. Propositio 1.9 La somme de la série de terme gééral u 0 (c est-à-dire la limite de la suite des sommes partielles, qui existe toujours das R + ) e déped pas de l ordre de sommatio. Démostratio. Soit ue bijectio ϕ : N N. O veut motrer que la suite S := k=0 u ϕ(k) a même limite das R + que S := k=0 u k. Soit 0 et N := max{ϕ(0),..., ϕ()}. Alors S = u ϕ(0) + + u ϕ() N j=0 u j = S N, doc S S N S. Faisat tedre o obtiet que S S. L iégalité opposée s obtiet par symétrie. 1.3 sembles Termiologie Soit u esemble. Mettos-ous d accord sur u peu de termiologie. A sera appelé sous-esemble ou partie de ; P() := {parties de } ; A P() sera appelé famille de parties de ou classe de parties de plutôt qu esemble de sous-esembles de ou partie de P() ; das quelques rares cas, ous seros ameés à cosidérer des esembles de familles de parties, que l o appellera alors collectios de familles de parties de.

6 CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS T SUITS D NSMBLS Opératios classiques Recesos quelques opératios classiques sur les parties d u esemble. Soiet A 1 et A 2 deux parties de. La réuio de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 i {1, 2}, x A i L itersectio de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 i {1, 2}, x A i Le complémetaire de A 1, oté c A 1 : x, x c A 1 x / A 1 La différece de A 1 avec A 2, otée A 1 \ A 2 et dite différece propre das le cas où A 2 A 1 : x, x A 1 \ A 2 x A 1 et x / A 2 La différece symétrique de A 1 et A 2, otée A 1 A 2 : x, x A 1 A 2 x A 1 A 2 et x / A 1 A 2. Remarque 1.10 Remarquer l associatio de la réuio avec le quatificateur, de l itersectio avec le quatificateur, aisi que l associatio du passage au complémetaire avec la égatio et de l iclusio avec l implicatio : A 1 A 2 ssi x, x A 1 x A 2. xercice 1.11 Motrer les idetités suivates : c (A 1 A 2 ) = c A 1 c A 2 c (A 1 A 2 ) = c A 1 c A 2 A 1 \ A 2 = A 1 c A 2 A 1 A 2 = (A 1 A 2 ) \ (A 1 A 2 ) = (A 1 \ A 2 ) (A 2 \ A 1 ) Suites de parties d u esemble Nous allos défiir ici les otios de limite, limite supérieure et limite iférieure d ue suite de parties. Soit (A ) ue suite de parties de. Défiitio 1.12 O rappelle que la suite (A ) est dite croissate (resp. décroissate) lorsque pour tout etier, A A +1 (resp. A +1 A ). Das ce cas, la limite de la suite (A ) est défiie aturellemet comme la réuio (resp. l itersectio) de tous les A : lim A := A (resp. A ). Par aalogie avec le cas réel, o otera cette limite lim (resp. lim ) pour faire référece au fait que la suite (A ) est croissate et que la limite est doc la réuio (resp. l itersectio) de tous ses élémets.

7 CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS T SUITS D NSMBLS 7 Défiitio 1.13 O défiit les deux parties de suivates : lim sup A (ou lim A ) := lim A k = k A k, où la otatio lim fait référece au fait que la suite ( k A ) k est décroissate, si bie que sa limite existe toujours (et est l itersectio de tous ses élémets, ce qu idique la derière égalité) ; lim if A (ou lim A ) := lim A k = A k, k k où la otatio lim fait référece au fait que la suite ( k A ) k est croissate, si bie que sa limite existe toujours (et est la réuio de tous ses élémets, ce qu idique la derière égalité). Remarque 1.14 O peut aussi caractériser la limite supérieure et la limite iférieure par les assertios suivates : pour tout x, Noter que lim if A lim sup A. k x lim sup A k, x A k { : x A } est ifii. x lim if k, x A k { : x / A } est fii. Défiitio 1.15 O dit que la suite (A ) coverge si lim if A = lim sup A. Lorsque c est le cas o défiit lim A := lim if A = lim sup A. Remarque 1.16 Soit A la limite d ue suite (A ) covergete. Alors A est caractérisée par : { x A 0 0 x A x / A 1 1 x / A. xercice 1.17 Motrer les deux égalités suivates lim sup c A = c (lim if A ) lim if Foctios et foctios idicatrices c A = c (lim sup A ). Défiitio 1.18 O appelle idicatrice ou foctio idicatrice de la partie A, et l o ote 1 A, la foctio

8 CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS T SUITS D NSMBLS 8 Remarque 1.19 Noter que 1c A = 1 1 A. 1 A : {0, 1} { 0 si x / A x 1 si x A. Propositio 1.20 Au ses de la covergece simple, lim 1 A = 1 lim A et lim 1 A = 1 lim A Dém. Pour tout x, lim 1 A (x) = 1 k, 1 Ak (x) = 1 k, x A k x lim A 1 lim A (x) = 1. L autre assertio se démotre de la même maière, ou alors e se servat de l assertio précédete : lim 1 A = lim(1 1c A ) = 1 lim 1c A = 1 1 lim = 1 c A 1c (lim A ) = 1 lim A, ce qui achève la démostratio. Remarque 1.21 Coséquece de cette propositio : la suite de parties (A ) coverge ssi la suite de foctios (1 A ) coverge simplemet (et lorsque c est le cas, la covergece a lieu vers 1 lim A ). Défiitio 1.22 Soiet, F deux esembles et f : F. pour tout A, o ote f(a) l image directe de A par f : f(a) := {y F : x A, f(x) = y}. pour tout B F, o ote f 1 (B) l image réciproque de B par f : f 1 (B) := {x : f(x) B}. Remarque 1.23 La otatio f 1 (B) e fera que très raremet, sio jamais, référece à l applicatio iverse ou réciproque de l applicatio f das les cas où elle serait par hasard bijective. Néamois, oter la cohérece de ces otatios, au ses où si f est bijective, alors o a bie égalité etre l image réciproque f 1 (B) de B par f et l image directe f 1 (B) de B par l iverse f 1 de f.

9 CHAPITR 1. SUITS, NSMBLS T SUITS D NSMBLS 9 xercice 1.24 Motrer les formules de Hausdorff (cf feuille de TD). Pour tous I et J esembles d idices o vides, pour toute famille (A i ) i I de parties de et pour toute famille (B j ) j J de parties de F, pour toute foctio f : F, ( ) f A i = f(a i ), i i ( ) f A i f(a i ) i i avec égalité si f est ijective ; f 1 ( j B j ) = j f 1 (B j ), f 1 ( j B j ) = j f 1 (B j ), et pour tout B F, c ( f 1 (B) ) = f 1 ( c B).

10 Chapitre 2 Théorie des cardiaux 2.1 Cardiaux, équipotece, déombrabilité Défiitio 2.1 Deux esembles et F sot dits équipotets, ou avoir même cardial, ou ecore même puissace, s il existe ue bijectio de l u sur l autre. O ote alors Card() = Card(F ). Défiitio 2.2 O otera Card() Card(F ) s il existe ue ijectio de das F, c est-à-dire si a même puissace qu ue partie de F. Si de plus et F ot pas même puissace, o otera Card() < Card(F ). xemple 2.3 Quelques exemples d équipoteces : Les esembles P() et {0, 1} (= esemble des applicatios : {0, 1}) sot équipotets car l applicatio A 1 A est ue bijectio de l u sur l autre ; les esembles N et 2N (etiers pairs) sot équipotets car l applicatio 2 est ue bijectio de l u sur l autre ; les esembles N et N N sot équipotets car o peut bie éumérer de maière ijective les couples d etiers (par exemple e suivat les poits des droites d équatio y = x + c, lorsque c croît das N) ; par récurrece, N est équipotet avec tous les produits cartésies du type N p (p N ). Théorème 2.4 (théorème de Cator Berstei, admis) Si Card( 1 ) Card( 2 ) et Card( 2 ) Card( 1 ), alors Card( 1 ) = Card( 2 ). Remarque 2.5 La relatio est ue relatio d ordre. effet elle est 1. réflexive : il existe ue ijectio de das (l ijectio caoique, c est-à-dire ici l idetité), doc Card() Card() ; 2. atisymétrique, grâce au théorème de Cator Berstei ; 3. trasitive : si Card( 1 ) Card( 2 ) et Card( 2 ) Card( 3 ), alors il existe ue ijectio f 1 : 1 2 et ue ijectio f 2 : 2 3, doc il existe ue ijectio f 3 : 1 3 qui est autre que f 2 f 1, par coséquet Card( 1 ) Card( 3 ). 10

11 CHAPITR 2. THÉORI DS CARDINAUX 11 Remarque 2.6 Ces éocés e sot pas des évideces, car il faut bie garder à l esprit que les cardiaux e sot pas des ombres réels (sauf pour le cas très particulier des esembles fiis). La propositio suivate, dot la démostratio est très jolie, assure e particulier qu il existe ue suite ifiie strictemet croissate de cardiaux : Card() < Card(P()) < Card(P(P())) < Propositio 2.7 Card() < Card(P()). Dém. Soit f : P(). Motros que f e peut être surjective (et doc e peut être bijective). Soit Ω := {x : x / f(x)}. Motros que par l absurde que Ω e peut avoir d atécédet par f. Si z tel que f(z) = Ω alors soit z Ω, et alors z / f(z), c est-à-dire z / Ω ; soit z / Ω, et alors z f(z), c est-à-dire z Ω, ce qui costitue ue cotradictio. D autre part il existe clairemet ue ijectio de das P(), par exemple celle qui à x associe {x}. Défiitio 2.8 O défiit les otios d ifii et de déombrable comme suit : est dit ifii s il existe x 0 et ue ijectio de das \ {x 0 }, et est dit fii sio ; est dit déombrable si Card() Card(N) ; est dit ifii déombrable si Card() = Card(N) ; est dit (ifii) o déombrable si Card() > Card(N) ; ue partie A de est dite cofiie si c A est fii. Remarque 2.9 L esemble N est (bie!) ifii car par exemple l applicatio est bie ue ijectio. f : N N + 1 Défiitio 2.10 Card(N) est souvet oté ℵ 0 («aleph zéro»). La propositio suivate, laissée e exercice (idicatio : motrer par récurrece sur N qu il existe élémets disticts x 1,..., x de et ue ijectio i : \{x 1,..., x }), assure que les esembles équipotets à N sot les plus petits esembles ifiis au ses des cardiaux. Propositio 2.11 est ifii ssi Card() Card(N).

12 CHAPITR 2. THÉORI DS CARDINAUX Cardiaux classiques et propriétés Propositio 2.12 Les esembles Z, N p (p N ) et Q sot déombrables. Dém. O a déjà vu que N p était équipotet à N. Pour ce qui est de Z, la foctio f : Z N { 2 si si > 0 est ue bijectio. fi, rappelos que pour tout x Q,!(p, q) Z N tel que x = p/q et p q = 1. Aisi la foctio qui à 0 associe (0, 1) et qui est défiie sur Q par f : Q Z N p/q (p, q) est ue ijectio de Q das Z N, doc Card(Q) Card(Z N ). Or il existe ue ijectio g : Z N, doc l applicatio qui à (x, y) associe (g(x), y) est ue ijectio de Z N das N 2, ce qui motre que Card(Z N ) Card(N 2 ) = Card(N), doc Card(Q) Card(N). Propositio 2.13 Toute réuio déombrable d esembles déombrables est déombrable. Dém. Soit = N, où pour tout N, est déombrable. Alors par défiitio, pour tout N il existe ue ijectio ϕ : N. Pour tout x o défiit alors Alors la foctio N(x) := mi{ 0 : x } <. φ : N 2 x (N(x), ϕ N(x) (x)) est ue ijectio car pour tous x, y tels que φ(x) = φ(y), o a N(x) = N(y) =: puis ϕ N(x) (x) = ϕ N(y) (y), c est-à-dire ϕ (x) = ϕ (y), doc x = y, puisque ϕ est ijective. Par coséquet, Card() Card(N 2 ) = Card(N). Propositio 2.14 Tout produit cartésie fii d esembles déombrables est déombrable. Dém. Pour i = 1,...,, soit i déombrable et ue ijectio ϕ i : i N. Alors la foctio φ : Π i=1 i N (x 1,..., x ) (ϕ 1 (x 1 ),..., ϕ (x )) est ijective doc Card(Π i i ) Card(N ) = Card(N).

13 CHAPITR 2. THÉORI DS CARDINAUX 13 Propositio 2.15 Tout produit cartésie ifii déombrable d esembles o vides (même fiis) est o-déombrable pourvu qu ue ifiité d etre eux e soiet pas réduits à u sigleto. Dém. Admettos pour simplifier que pour tout i N, Card( i ) 2. Alors pour tout i, il existe ue ijectio ϕ i : {0, 1} i. Doc l applicatio φ : {0, 1} N 0 1 (x 0, x 1,...) (ϕ 0 (x 0 ), ϕ 1 (x 1 ),...) est ijective, doc Card(Π i i ) Card({0, 1} N ) = CardP(N) > Card(N). Théorème 2.16 Les esembles R et P(N) sot équipotets. Défiitio 2.17 O dit d u esemble équipotet à R qu il a la puissace du cotiu. Dém. Première étape : motros que toute partie de R coteat u itervalle ouvert a la puissace du cotiu. Soit A R coteat u itervalle I qu o écrira sous la forme I =]b a, b + a[, alors A s ijecte bie sûr das R, mais R s ijecte aussi das A par exemple par l applicatio φ : R A x x a x b. Deuxième étape : motros que Card(P(N)) Card([0, 1/2]) dot o sait d après l étape précédete que ce cardial vaut Card(R). Soit l applicatio φ : {0, 1} N [0, 1/2] x = (x ) x Motros que φ est bie ijective. Pour tous x y, soit := mi{k 0 : x k y k } <. Alors x y φ(x) φ(y) = + x k y k k+1 k +1 x y y k x k k k +1 k k+1 = /3 = 1 > 0, 2 3+1

14 CHAPITR 2. THÉORI DS CARDINAUX 14 ce qui prouve que φ(x) φ(y). Troisième et derière étape : motros que Card({0, 1} N ) Card([0, 1[), ce qui équivaut à Card(P(N)) Card(R). Soit ψ : [0, 1[ {0, 1} N l applicatio qui à x [0, 1[ associe so développemet dyadique propre, c est-à-dire la suite (x ) de 0 et de 1 défiie récursivemet par x 0 := [2x], et O a x = k 0 x := [2 +1 ( x 1 k=0 x k 2 k+1 x k 2 k+1. La foctio ψ est alors ijective (car x = y si ψ(x) = ψ(y)). )].

15 Chapitre 3 Tribus de parties d u esemble 3.1 Défiitios et exemples Défiitio 3.1 Ue classe A de parties d u esemble est appelée tribu ou σ-algèbre (sur ) si (i) elle cotiet : A ; (ii) elle est stable par passage au complémetaire : pour tout A, A A c A A ; (iii) elle est stable par réuio déombrable : si (A ) est ue famille déombrable d élémets de A, alors A A. O dit alors que (, A ) est u espace mesurable. Remarque 3.2 Cette défiitio a quelques coséqueces immédiates : A car = c ; stabilité par itersectio déombrable car A = c ( c A ) ; stabilité par différece car A \ B = A c B ; stabilité par différece symétrique car A B = (A \ B) (B \ A) ; stabilité par limite supérieure car lim A = k A k ; stabilité par limite iférieure. xercice 3.3 Il aurait été équivalet de défiir ue tribu comme ue classe A de parties de vérifiat (par exemple) les propriétés suivates : A cotiet, est stable par passage au complémetaire et est stable par itersectio déombrable. xemple 3.4 Quelques exemples de tribus : {, } est ue tribu (parfois appelée la tribu grossière) ; P() est ue tribu (parfois appelée la tribu triviale) ; si (A ) N est ue partitio de déombrable (fiie ou ifiie), alors A := { i I A i : I N} est ue tribu sur ; si A, la plus petite (voir sectio suivate) tribu coteat A est {,, A, c A} ; 15

16 CHAPITR 3. TRIBUS D PARTIS D UN NSMBL 16 efi, A := {A : A ou c A est déombrable} est ue tribu, ce que ous démotros ci-dessous. Dém. Nous démotreros uiquemet la stabilité par réuio déombrable. Soiet (A ) A. De deux choses l ue : soit pour tout, A est déombrable et alors A est déombrable ; soit 0 tel que A 0 est o déombrable, et alors c A 0 est déombrable, doc c A c A 0 est déombrable, et par coséquet A est de complémetaire c A déombrable ; Das les deux cas A A. 3.2 Tribu egedrée Propositio 3.5 (et défiitio) a) L itersectio d ue collectio o vide quelcoque 1 de tribus de parties de est elle-même ue tribu. b) Pour toute classe C de parties de, l itersectio de toutes les tribus coteat 2 C est (doc 3 ) ue tribu : elle est (appelée) la plus petite tribu coteat C, ou tribu egedrée par C, et otée σ(c ) : σ(c ) := A. A tribu,c A Remarque 3.6 O rappelle que le terme collectio désige u esemble de famille de parties, c est-à-dire u esemble d esembles de sous-esembles de... ; il faut garder à l esprit que si A et B sot des familles de parties de alors C A B ssi C A et C B (o itersecte pas ici les parties de ) ; le terme de plus petite tribu a de ses qu à la lumière de la défiitio précédete, car il existe pas d ordre total sur les tribus. Remarque 3.7 pour toute classe B de parties de, B σ(b), par défiitio ; si C est ue classe de parties de et A est ue tribu de parties de telle que C A, alors A est élémet de la collectio des tribus coteat C, doc cotiet so itersectio σ(c ), autremet dit σ(c ) A ; première coséquece : si A est ue tribu de parties de, alors σ(a ) = A ; deuxième coséquece : si C B alors B σ(b) implique C σ(b), et comme σ(b) est ue tribu, σ(c ) σ(b). Remarque 3.8 (méthodologie) Si A est ue tribu, pour motrer que A = σ(c ), o motre que A σ(c ) et que C A ; pour motrer que σ(c 1 ) = σ(c 2 ), o motre que C 1 σ(c 2 ) et que C 2 σ(c 1 ). 1. quelcoque au ses de «pas forcémet déombrable» 2. au ses de l iclusio 3. cette collectio est o vide car u de ses élémets est P()

17 CHAPITR 3. TRIBUS D PARTIS D UN NSMBL 17 Défiitio 3.9 O ote B(R), ou Bor(R), et o appelle tribu de Borel sur R la tribu egedrée par les itervalles ouverts de R. La tribu de Borel sur R est l esemble des parties de R preat l ue des formes A, A {+ }, A { } ou A {, + }, où A Bor(R). Propositio 3.10 Soit S ue partie dese de la droite réelle 4. Alors Bor(R) est la tribu egedréee par les itervalles du type a) [a, + [, a S; b) ]b, + [, b S; c) ], c[, c S; d) ], d], d S. Il e est de même pour Bor( R) avec les itervalles du type [a, + ],... Dém. [de a)] Soit I S l esemble des itervalles de la forme [a, + [ pour a S. Tout d abord, B(R) cotiet tous les itervalles fermés de R car est stable par passage au complémetaire ; o a doc l iclusio σ(i S ) B(R). Soit maiteat a [, + [. Comme S est dese, il existe ue suite décroissate (a ) d élémets de S tels que a a pour tout, et lim a = a. Comme [a, + [ I S, o a [a, + [ σ(i S ), doc par stabilité par réuio déombrable de la tribu σ(i S ), ]a, + [= [a, + [ σ(i S ). O démotre avec ue suite croissate que [a, + [ σ(i S ). Maiteat pour tous a, b [, + [, l itervalle ]a, b[ s écrit ]a, + [\[b, + [ σ(i S ). Par coséquet I σ(i S ), où I est l esemble des itervalles ouverts de R et B(R) = σ(i ) σ(i S ). 3.3 Tribus image et image réciproque Soit f : 1 2. Propositio 3.11 Si A 2 est ue tribu sur 2, f 1 (A 2 ) := {f 1 (Y ), Y A 2 } est ue tribu sur 1, appelée tribu image réciproque (de A 2 par f). Dém. Par les formules de Hausdorff : i) f 1 ( 2 ) = 1 f 1 (A 2 ) ; ii) pour tout Y A 2, c (f 1 (Y )) = f 1 ( c Y ) f 1 (A 2 ) ; iii) pour toute suite (Y ) A 2, f 1 (Y ) = f 1 ( Y ) f 1 (A 2 ) car Y A 2. Propositio 3.12 Si A 1 est ue tribu sur 1, B = {Y 2 : f 1 (Y ) A 1 } est ue tribu sur 2, appelée tribu image (de A 1 par f). Remarque 3.13 La tribu image est PAS f(a 1 ) qui e gééral est pas ue tribu. 4. c est-à-dire telle que tout ombre réel est limite d ue suite à valeurs das S ; par exemple S = Q

18 CHAPITR 3. TRIBUS D PARTIS D UN NSMBL 18 Dém. Par les formules de Hausdorff égalemet. Défiitio 3.14 (et propositio) Soit (, A ) u esemble mesurable et X ue partie de. La classe C = {A X : A A } de parties de X est ue tribu sur X appelée tribu trace de A sur X. Remarque 3.15 Cette défiitio a surtout de l itérêt das le cas où X / A. Dém. La classe C est la tribu image réciproque de A par l ijectio caoique i : X : e effet pour tout A A, i 1 (A) = A X. Théorème 3.16 (lemme de trasport) Soit f : 1 2 et C ue classe de parties de 2. Alors σ(f 1 (C )) = f 1 (σ(c )). Dém. Motros l iclusio. Tout d abord C σ(c ), doc f 1 (C ) f 1 (σ(c )). Aisi f 1 (σ(c )) est ue tribu coteat f 1 (C ) doc σ(f 1 (C )) f 1 (σ(c )). Motros maiteat l iclusio. Soit B la tribu image de σ(f 1 (C )) par f, c està-dire B := {Y 2 : f 1 (Y ) σ(f 1 (C ))}. Alors C B, et B est ue tribu, doc σ(c ) B, puis f 1 (σ(c )) f 1 (B). Mais par défiitio de B, f 1 (B) σ(f 1 (C )) doc f 1 (σ(c )) σ(f 1 (C )).

19 Chapitre 4 Foctios mesurables Das ce chapitre et das la suite la otatio (, A ) sigifie u esemble mui d ue tribu A. De même pour ( i, A i ), i = 1, 2, Défiitios Notatio 4.1 Soit f : 1 2 et B 2. O utilise très fréquemmet la otatio {f B} à la place de f 1 (B), ce qui peut se voir comme ue écriture codesée de {x : f(x) B}. Par exemple, das le cas où 2 = R et B = [a, + [, o pourra écrire f 1 (B) sous la forme {f a}. Défiitio 4.2 Ue foctio f : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ) est dite mesurable 1 si f 1 (A 2 ) A 1 (c est-a-dire : pour tout B A 2, f 1 (B) A 1 ). Notatio 4.3 O otera F (A 1, A 2 ) l esemble des foctios mesurables : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ). Remarque 4.4 Si o e se doe que la tribu A 1, alors la tribu image de A 1 par f est la plus grade tribu sur 2 qui rede f mesurable. Si o e se doe que A 2, alors la tribu image réciproque de A 2 par f est la plus petite tribu sur 1 qui rede f mesurable. O ote aussi cette tribu σ(f). Remarque 4.5 Ue foctio idicatrice 1 A : (, A ) ({0, 1}, P({0, 1})) est mesurable ssi A A. O dira alors que «A est mesurable» xemples et opératios stables pour la mesurabilité La propositio suivate est ue coséquece du lemme de trasport. Propositio 4.6 Soit C ue classe de parties de F et B := σ(c ). Alors f : (, A ) (F, B) est mesurable ssi f 1 (C ) A. 1. sous-etedu par rapport aux deux tribus A 1 et A 2 2. toujours e référece sous-etedue à la tribu A 19

20 CHAPITR 4. FONCTIONS MSURABLS 20 Dém. L applicatio f est mesurable ssi f 1 (B) A, mais d ue part f 1 (B) = f 1 (σ(c )) = σ(f 1 (C )), et d autre part σ(f 1 (C )) A ssi f 1 (C ) A. Applicatio. Soit S ue partie dese de R. Alors la foctio f : (, A ) (R, B(R)) est mesurable ssi {f a} A pour tout a S (et l o peut bie sûr remplacer {f a} par {f > a}, {f a} ou {f < a}). Propositio 4.7 Soiet f 1 : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ) et f 2 : ( 2, A 2 ) ( 3, A 3 ). Si f 1 et f 2 sot mesurables, alors f 2 f 1 : ( 1, A 1 ) ( 3, A 3 ) est aussi mesurable. Dém. Pour tout élémet A 3 de A 3, o vérifie que (f 2 f 1 ) 1 (A 3 ) = f1 1 (f2 1 (A 3 )). Comme f 2 est mesurable, f2 1 (A 3 ) A 2. De plus, comme f 1 est mesurable f1 1 (f2 1 (A 3 )) A 1. Propositio 4.8 Soit ue suite (f ) de F (A, Bor( R)). Alors a) sup f et if f sot mesurables ; b) lim sup f et lim if f sot mesurables ; c) Si (f ) coverge simplemet vers ue foctio f 3 (das R), alors f est mesurable. Dém. a) Pour tout a R, {sup f a} = {f a} A et {if f a} = {f a} A. b) D après a), pour tout N, la foctio sup k f k est mesurable, doc la foctio lim sup f = if sup k f k est mesurable. De même pour lim if f. c) Si f f, alors f = lim sup f, qui est mesurable d après b). O peut raffier le résultat sur la mesurabilité de la limite d ue suite de foctios mesurables de la maière suivate. Théorème 4.9 Soit C := {x : la suite (f (x)) coverge das R}. Alors (C A et) si C désige la tribu trace de A sur C alors la foctio f := lim f : (C, C ) ( R, B( R)) est mesurable. Dém. O ote f := lim if f et f := lim sup f. Alors C est mesurable car C = c {f f } = c ( r Q {f > r} {f < r}). Rappelos que la mesurabilité de C est pas écessaire pour défiir la tribu trace C. Néamois, pour tout borélie B de R, f 1 (B) = C (f ) 1 (B) C. effet, f 1 (B) = {x : f (x) = f (x) et f (x) B}. 3. autremet dit : x, f (x) f(x) lorsque

21 CHAPITR 4. FONCTIONS MSURABLS Foctios étagées, e escalier, réglées Défiitio 4.10 Ue foctio f F (A, Bor(R)) est dite étagée si elle e pred qu u ombre fii de valeurs. Autremet dit il existe ue partitio fiie (A i, i I) de, A - mesurable 4, et des ombres réels (α i, i I) tels que f = i I α i1 Ai. Notatio 4.11 O ote (A ) l esemble des foctios étagées : (, A ) (R, B(R)). Remarque 4.12 Il existe ue représetatio caoique de f sous la forme i I α i1 Ai où les α i sot deux à deux disticts et A i = {f = α i }. O otera qu ue foctio idicatrice est bie sûr étagée car 1 A = 1 1 A + 0 1c A. Propositio 4.13 Pour toutes foctios étagées f, g et pour tout λ R, λf + g est étagée (autremet dit (A ) est u espace vectoriel), aisi que fg, f g et f g. 5 Dém. O écrit f et g sous la forme f = i I α i1 Ai et g = j J β j1 Bj. Alors (A i B j ; (i, j) I J) est ue partitio fiie de et o peut écrire λf +g = (i,j) I J (λα i + β j )1 Ai B j, fg = (i,j) I J α iβ j 1 Ai B j, etc. Théorème 4.14 (lemme fodametal d approximatio) Pour toute f F (A, B( R)), il existe ue suite (f ) de foctios étagées covergeat simplemet vers f. De plus, a) si f est positive, o peut choisir la suite (f ) positive et croissate 6 ; b) si f est borée, o peut choisir (f ) de sorte que la covergece soit uiforme 7. Dém. Commeços par le cas où f est positive. O défiit alors f := 2 k=1 k {(k 1)2 <f k2 } + 1 {f>}. Alors pour tout x, la suite (f (x)) est bie (positive et) croissate et coverge vers f(x), e effet : si f(x) = +, alors f (x) = ; sio il existe 0 tel que f(x) < 0, ce qui implique que pour tout 0, f (x) f(x) 2 0. Si f est borée et positive, alors il existe 0 tel que pour tout x, f(x) < 0, doc pour tout x, pour tout 0, f (x) f(x) 2 0. Aisi (f ) coverge uiformémet vers f. Si f est de sige quelcoque, o écrit f sous la forme f = f + f, où f + := f1 {f>0} et f := f1 {f<0}. La somme f + f est jamais idétermiée, car pour tout x, au mois u des deux termes f + (x) ou f (x) est ul. O otera égalemet que f + (et f, par u même 4. au ses où A i A pour tout i I 5. a b est ue otatio alterative pour mi(a, b), et a b pour max(a, b) 6. autremet dit : x, N, 0 f (x) f +1(x) rie à voir avec des foctios croissates, ce qui aurait d ailleurs pas de ses ici autremet dit : sup x f (x) f(x) 0 lorsque

22 CHAPITR 4. FONCTIONS MSURABLS 22 raisoemet) est mesurable car pour tout a 0, {f + a} = {f a} et pour tout a < 0, {f + a} =. À préset, comme f + et f sot positives, il existe deux suites croissates (u ) et (v ) de foctios étagées positives covergeat resp. vers f + et f. De plus, si l o utilise la costructio de ces suites proposée plus haut, o a u v = 0, de sorte que l o peut toujours défiir f := u v, qui défiit ue suite de foctios étagées covergeat vers f + f = f. Si f est de sige quelcoque mais borée, f + et f sot borées, doc o peut choisir les suites (u ) et (v ) pour que les covergeces vers f + et f soiet toutes deux uiformes. Alors la suite (u v ) coverge uiformémet vers f. Défiitio 4.15 Ue foctio f : [a, b] R est dite e escalier s il existe ue subdivisio fiie a = a 0 < a 1 < < a = b de l itervalle [a, b] telle que f soit costate sur chaque itervalle ]a i, a i+1 [. Remarque 4.16 Les valeurs prises exactemet e chaque poit a 0, a 1,..., a sot sas importace. Remarque 4.17 Ue foctio e escalier a toujours pour espace de départ u itervalle compact de R, ce qui e fait u objet beaucoup mois gééral qu ue foctio étagée. D ailleurs, ue foctio e escalier est toujours u cas particulier de foctio étagée, au ses où elle est u élémet de (Bor([a, b])), car elle e pred qu u ombre fii de valeurs et elle est mesurable, e effet : les parties de [a, b] sur lesquelles f est costate sot des itervalles (les sigletos sot bie sûr des itervalles) ou des réuios d itervalles, doc des borélies, doc l image réciproque de toute partie de R est toujours u borélie de [a, b]. Le cotre-exemple classique de la réciproque est 1 Q, qui est étagée mais est e escalier sur aucu itervalle de R (o réduit à u poit). Remarque 4.18 L itégrale de Riema est défiie par approximatio à partir de l itégrale des foctios e escalier, tadis que celle que ous étudios das ce cours (parfois dite de Lebesgue) est costruite à partir des foctios étagées. Das le premier cas, o approche l itégrale d ue foctio quelcoque par celle d ue foctio e escalier, c est-à-dire e découpat l espace de départ (u itervalle) e petits morceaux (les subdivisios), tadis que das le secod cas, c est l espace d arrivée (qui est toujours R ou R) qui est découpé. Cette différece est fodametale car la première approche e peut se gééraliser facilemet à des foctios ayat u autre espace de départ que R. Mais surtout les espaces de foctios mesurables (celles qui admettrot ue itégrale au ses de Lebesgue) sot beaucoup plus grads que celui des foctios Riema-itégrables et ils sot stables sous l actio de multiples opératios comme le passage à la limite. fi, ous allos défiir das ce cours l itégrale par rapport à ue mesure quelcoque, et pas seulemet l itégrale par rapport à la mesure de Lebesgue (celle qui a ceci de commu avec l itégrale de Riema qu elle doe u ses mathématique à la otio physique de volume). Défiitio 4.19 Ue foctio f : [a, b] R est dite réglée si elle est limite uiforme de foctios e escalier.

23 CHAPITR 4. FONCTIONS MSURABLS 23 Remarque 4.20 Toute foctio réglée est mesurable (o dira ici boréliee car les tribus de départ et d arrivée sot des tribus de Borel) car limite de foctios mesurables (et même étagées) que sot les foctios e escalier. Théorème 4.21 (admis) Ue foctio f est réglée ssi elle admet ue limite à gauche e tout poit de ]a, b] et ue limite à droite e tout poit de [a, b[. Corollaire 4.22 Toute foctio f : R R mootoe est réglée. Remarque 4.23 Toute foctio mootoe est boréliee, car réglée. Mais cela peut se voir directemet : toute foctio mootoe est boréliee car pour tout a R, {f a} est ue demi-droite, e effet : si m(a) := if{x : f(x) a}, alors das le cas où f est croissate par exemple, {f a} coïcide soit avec [m(a), + [, soit avec ]m(a), + [.

24 Chapitre 5 Le cas borélie 5.1 Topologie Défiitio 5.1 Ue famille O() de parties d u esemble est appelée topologie, et ses élémets des ouverts, si i) elle cotiet et : O() et O() ; ii) elle est stable par itersectios fiies : U, V O(), U V O() ; iii) elle est stable par réuio quelcoque 1 : pour tout I esemble d idices et pour toute famille d ouverts (O i, i I), i I O i est u ouvert. Les complémetaires des ouverts sot appelés des fermés. Remarque 5.2 Les ouverts et sot aussi des fermés ; les fermés sot stables par réuios fiies et par itersectios quelcoques. Défiitio 5.3 O appelle voisiage de x toute partie V de telle qu il existe u ouvert O pour lequel x O V. Tout ouvert est doc voisiage de chacu de ses poits. Défiitio 5.4 Das u espace métrique (, d), la topologie dite relative à la distace d est costituée des réuios quelcoques de parties du type B(x, r) := {y : d(x, y) < r} appelée boule ouverte de cetre x et de rayo r. Remarque 5.5 Ue partie O de l espace métrique (, d) est ouverte ssi x O, r > 0, B(x, r) O (u ouvert O d u espace métrique est la réuio des boules ouvertes coteues das O). Ue partie A de l espace métrique (, d) est fermée ssi pour toute suite (x ) à valeurs das A et covergeat vers ue limite x, x A. Remarque 5.6 La topologie de R relative à la distace usuelle est doc costituée des réuios quelcoques d itervalles ouverts. 1. au ses où l o e fait pas d hypothèse sur le cardial de I 24

25 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 25 Défiitio 5.7 (et propositio) Le plus grad ouvert coteu das A, c est-àdire la réuio de tous les ouverts coteus das A, est oté Å et appelé itérieur de A, ou esemble des poits itérieurs à A. particulier, A est ouvert ssi A = Å. Das le cas métrique, u poit x est itérieur à A ssi ε > 0 tel que B(x, ε) A. Défiitio 5.8 (et propositio) Le plus petit fermé coteat A, c est-à-dire l itersectio de tous les fermés coteat A, est oté Ā et appelé adhérece de A, ou esemble des poits adhérets à A. particulier, A est fermé ssi A = Ā. Das le cas métrique, u poit x est adhéret à A ssi il existe ue suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x. Remarque 5.9 Pour tout A, l itérieur de c A est le complémetaire de Ā et l adhérece de c A est le complémetaire de Å. Défiitio 5.10 La frotière de A est le fermé A := Ā \ Å. Défiitio 5.11 Soiet et F deux espaces topologiques. Ue foctio f : F est dite cotiue si l image réciproque par f de tout ouvert est u ouvert (ce qui est équivalet à dire que l image réciproque par f de tout fermé est u fermé). Propositio 5.12 Soiet et F deux espaces métriques. Ue foctio f : F est dite cotiue ssi pour toute suite (x ) de covergeat vers x, la suite (f(x )) est aussi covergete et lim f(x ) = f(x). Défiitio 5.13 Soit X. La topologie trace 2 de O() sur X est costituée des itersectios des ouverts de avec X. Das le cas métrique, la topologie trace est la topologie relative à la restrictio de la distace à X X. Défiitio 5.14 La topologie produit de F est costituée des réuios quelcoques de pavés à côtés ouverts : O( F ) := { i I U i V i, U i O(), V i O(F ), I esemble d idices quelcoque}. Propositio 5.15 La topologie produit est aussi la plus petite topologie qui redet les projectios caoiques π et π F cotiues : et 2. dite aussi topologie iduite π : F (x, y) x π F : F F (x, y) y

26 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 26 Das le cas métrique, la topologie produit est la topologie relative à toute distace classique du type d((x, y), (x, y )) := d (x, x ) + d F (y, y ) OU d (x, x ) 2 + d F (y, y ) 2 OU d (x, x ) d F (y, y ). Défiitio 5.16 O dit qu ue famille déombrable d ouverts (ω ) N de est ue base déombrable d ouverts si tout ouvert de s écrit comme réuio d élémets de cette famille, autremet dit : O O(), I N : O = i I ω i ; ou de maière équivalete : O O(), x O, N : x ω O. Propositio 5.17 U espace métrique (, d) est à base déombrable d ouverts ssi il cotiet ue suite dese 3. O dit alors que est séparable. Dém. Ses : soit (ω ) N ue famille déombrable d ouverts de, et (x ) ue suite de telle que pour tout, x ω. Alors la suite (x ) est dese, e effet : pour tout x, l ouvert B(x, 1/) s écrit comme réuio d ouverts du type ω i, doc i() tel que ω i() B(x, 1/). Soit y := x i(), alors d(y, x) 1/, doc y x. Ses : si (x ) est ue suite dese, alors la famille {B(x, r), N, r Q +} est ue base déombrable d ouverts car elle s ijecte das N Q (qui est déombrable) et pour tout O O(), O = B(x, r), ce qui achève la démostratio.,r:b(x,r) O Remarque 5.18 R d est séparable car Q d est ue suite dese. Les rectagles ouverts (produits d itervalles ouverts) à extrémités ratioelles formet ue base déombrable d ouverts de R d. Défiitio 5.19 (Borel-Lebesgue) Ue partie A d u espace topologique est dite compacte si de tout recouvremet ouvert de A o peut extraire u sous-recouvremet fii, autremet dit pour toute famille (Ω i ) i I d ouverts de telle que A i I Ω i, J fii I tel que A j J Ω j. Théorème 5.20 (Bolzao-Weierstrass) Ue partie A d u espace métrique est compacte ssi toute suite à valeurs das A admet au mois ue valeur d adhérece das A 4. Corollaire 5.21 Tout compact est fermé. De plus, toute partie compacte d u espace vectoriel ormé 5 est borée. 3. autremet dit : il existe u esemble déombrable (ue suite) A tel que Ā = (A est alors dit dese das ) 4. autremet dit : admet au mois ue sous-suite covergete de limite A 5. u espace vectoriel ormé est u espace métrique, doc topologique

27 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 27 Théorème 5.22 Das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, u fermé est compact ssi il est boré. Propositio 5.23 U fermé coteu das u compact est compact. L image d u compact par ue foctio cotiue est compacte. Remarque 5.24 La topologie de R est la topologie relative à la distace d défiie par d(x, y) = f(x) f(y) pour tous x, y R, où f(x) = x/ x et f(± ) = ±1. particulier, R est compact et [x, + ] est u compact de R. 5.2 Tribu boréliee et foctios boréliees Défiitio 5.25 Si est u espace topologique, o ote Bor() ou B() et o appelle tribu de Borel ou tribu boréliee, la tribu egedrée par les ouverts de, autremet dit, B() := σ(o()). Les élémets de B() sot appelés parties boréliees ou borélies de. Remarque 5.26 La tribu de Borel est aussi la tribu egedrée par la classe C des fermés de, e effet : d ue part C B(), doc σ(c ) B() car tout fermé est le complémetaire d u ouvert, qui appartiet à B(), doc appartiet aussi à B() ; d autre part O() σ(c ), doc (B() =)σ(o()) σ(c )) car tout ouvert est le complémetaire d u fermé, qui appartiet à σ(c ), doc appartiet aussi à σ(c ) (même raisoemet). Remarque 5.27 Il existe des parties de R o boréliees (voir derière sectio de ce chapitre). revache, si est déombrable, mui de la topologie discrète : toute partie est ouverte (et fermée), doc boréliee : B() = P(). Propositio 5.28 Si admet ue base déombrable d ouverts (ω ) N, alors Bor() = σ({ω ; N}). Dém. Par double iclusio : {ω ; N} O() B(), doc σ({ω ; N}) B(). Das l autre ses, o sait que tout ouvert O s écrit comme réuio d élémets de {ω ; N}. Comme ue telle réuio est forcémet déombrable, O est u élémet de σ({ω ; N}). O a doc O() σ({ω ; N}), ce qui implique B() σ({ω ; N}). Corollaire 5.29 La tribu Bor(R d ) est la tribu egedrée par la classe des rectagles ouverts 6, mais est aussi la tribu egedrée par les rectagles ouverts à extrémités à coordoées das Q ou das toute autre partie dese de R. Propositio 5.30 La tribu trace de Bor() sur ue partie X de est la tribu egedrée par la topologie trace de X. 6. rectagle = produit d itervalles ; rectagle ouvert = produit d itervalles ouverts

28 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 28 Dém. Soit i : X l ijectio caoique. La tribu trace est i 1 (B()) = i 1 (σ(o()) = σ(i 1 (O()), par le lemme de trasport. Mais i 1 (O() est autre que la topologie trace, c est-à-dire {A X, A O()}. Défiitio 5.31 (termiologie) Soit 1 et 2 des espaces topologiques, A i := Bor( i ), i = 1, 2. Les élémets de F (A 1, A 2 ) sot appelés foctios boréliees. Propositio 5.32 Soit f : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ). Si 2 est topologique et A 2 = Bor( 2 ), alors f est mesurable ssi pour tout ouvert O de 2, f 1 (O) A 1. Dém. Par le lemme de trasport : f 1 (σ(o( 2 ))) = σ(f 1 (O( 2 ))). Or f est mesurable ssi f 1 (B( 2 )) A 1, doc ssi σ(f 1 (O( 2 ))) A 1, c est-à-dire ssi f 1 (O( 2 )) A 1. Corollaire 5.33 Si 1 et 2 sot topologiques, alors toute foctio cotiue est boréliee. Propositio 5.34 Soit f : (, A ) (R 2, B(R 2 )) x (f 1 (x), f 2 (x)) Alors f est mesurable ssi f i F (A, B(R)) pour tout i = 1, 2. Remarque 5.35 Si C est idetifié à R 2, ue foctio complexe f est mesurable ssi R(f) et I(f) le sot. Dém. Ses : pour tout i = 1, 2, la projectio caoique π i : R 2 R est cotiue par défiitio de la topologie produit, doc boréliee, aisi f i = π i f est mesurable comme composée de foctios mesurables. Ses : o sait que Bor(R 2 ) est egedrée (par exemple) par les rectagles ouverts. Doc par le lemme de trasport, f est mesurable ssi pour tous itervalles ouverts U et V, f 1 (U V ) A. Or f 1 (U V ) = {f 1 U} {f 2 V }. Mais par hypothèse {f 1 U} A et {f 2 V } A, doc leur itersectio est aussi das A. Applicatios. Pour toutes foctios f, g F (A, B(R)) et pour tout λ R, λf +g est mesurable (autremet dit, F (A, B(R)) est u espace vectoriel), aisi que les foctios suivates : fg, f g, f g, f +, f, f, f p,... Il suffit pour le voir d utiliser la cotiuité des applicatios qui à (x, y) associet λx + y, xy, x y, etc. aisi que le fait que la composée de deux applicatios mesurables est mesurable.

29 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN L esemble triadique de Cator L esemble triadique de Cator est u sous-esemble de l itervalle [0, 1]. C est u exemple de partie de R qui e cotiet aucu poit isolé mais e cotiet pas o plus d itervalle ouvert. Il est défii comme la limite d ue suite décroissate de réuios fiies d itervalles fermés, ce qui e fait u fermé (comme itersectio de fermés). Plus précisémet, soit A 0 l itervalle [0, 1], A 1 la réuio de l itervalle [0, 1/3] et de l itervalle [2/3, 1], et plus gééralemet A +1 la partie de A obteue e divisat chaque composate coexe de A e trois sous-itervalles de tailles égales et e lui e ôtat le sous-itervalle cetral. Plus rigoureusemet, A +1 := 1 3 A 1 3 (2 + A ). Défiitio 5.36 Le fermé K := lim A est appelé esemble triadique de Cator. Das la propositio suivate, o appelle (provisoiremet sas précautios mathématiques) «mesure de Lebesgue» d ue partie de R, sa logueur totale. L objet ultérieur de ce cours sera e partie de doer ue défiitio rigoureuse de ce cocept. Propositio 5.37 L esemble triadique de Cator peut s écrire sous la forme { } x K = 3, x {0, 2}. 1 Il est compact, d itérieur vide, équipotet à R, de mesure de Lebesgue ulle. Remarque 5.38 Tout esemble déombrable est de mesure de Lebesgue ulle, comme réuio déombrable d esembles de mesure ulle (les sigletos le costituat). O voit ici que la réciproque est fausse : K est u exemple d esemble de mesure de Lebesgue ulle mais o déombrable. Dém. K est fermé boré das R doc compact. Par récurrece, o voit que les composates coexes de A qui sot des itervalles fermés de logueur 3 dot les extrémités x () k sot les ombres réels de la forme k=1 + ε, où x () 3 3 k {0, 2} et ε {0, 1} : pour chaque itervalle, ε = 0 correspod à l extrémité gauche, et ε = 1 correspod à l extrémité droite. Motros l égalité aocée par double iclusio : : pour toute suite (x k ) à valeurs das {0, 2}, pour tout etier, x k k=1 A 3 K, doc comme K est fermé, la limite x k k=1 K. 3 : soit x K et soit x () l extrémité gauche de la composate coexe de A qui cotiet x. particulier x () x 3. Cherchos ue relatio etre x () et x (+1). Lorsqu o passe de A à A +1, soit x est das le sous-itervalle de gauche, auquel cas x (+1) = x (), soit x est das le sous-itervalle de droite, auquel cas x (+1) = x () O peut doc écrire x (+1) = x () + x +1, où x {0, 2}, et comme x (0) = 0, cela doe x () = x k k=1, qui coverge e croissat vers y := x k 3 k k=1. Or x () x 3 doc 3 k la suite (x () ) coverge vers x, ce qui implique y = x. Motros que K =. Soit x K et ε > 0. La boule B(x, ε) itersecte c A pour tout dès que 3 < ε. Doc B(x, ε) itersecte c A, qui est autre que le complémetaire

30 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 30 de A = K. Aisi, K e cotiet aucue boule ouverte cetrée sur x, c est-à-dire que x est pas itérieur à K. Motros que K a la puissace du cotiu. L applicatio f : {0, 2} N K (x ) 1 est ue ijectio doc Card(K) Card({0, 2} N ) = Card(R). D autre part Card(R) Card(K) puisque K R. fi K est de mesure de Lebesgue ulle car K = lim A doc 7 λ(k) = lim λ(a ) = lim ( 2 3) = Ue partie de R o boréliee Les tribus sot des familles de parties qui sot destiées à être mesurées. Pour pouvoir mesurer des parties suffisammet compliquées comme celles qui e peuvet être défiies que par des passages à la limite (comme l esemble triadique de Cator), les tribus doivet être assez fies pour être stables par des opératios relativemet géérales comme le passage au complémetaire, les réuios et itersectios déombrables. Néamois, elles e doivet pas être si fies qu elles cotieet des parties o mesurables, comme l exemple qui va suivre. O défiit la relatio d équivalece sur R : x 3 x y x y Q. se servat de l axiome du choix, o peut supposer l existece d ue partie A de ]0, 1[ qui cotiet exactemet u représetat et u seul de chaque classe d équivalece de la relatio. particulier, A est pas déombrable, mais surtout ous allos motrer que A e peut admettre de mesure de Lebesgue. Cette assertio implique l assertio suivate : A est pas boréliee. effet, ous verros (plus tard) que tout borélie admet ue mesure de Lebesgue. Motros par l absurde que A e peut admettre de mesure de Lebesgue : soit λ(a) [0, + ] la mesure de A (ous verros que λ est la otatio usuelle de la mesure de Lebesgue). Soit L := (r + A), r Q ] 1,1[ où r + A = {r + x, x A}. Comme A admet ue mesure, alors chaque partie r + A e admet ue aussi, qui vaut d ailleurs λ(a) par ivariace par traslatio de la mesure de Lebesgue. Comme L est réuio déombrable de parties admettat ue mesure, ce doit être égalemet so cas. 7. Propriété de cotiuité de la mesure pour les suites décroissates dot u élémet est de mesure fiie, ce que ous verros bietôt...

31 CHAPITR 5. L CAS BORÉLIN 31 Motros que ]0, 1[ L. Pour tout x ]0, 1[, désigos par a = a(x) le représetat de sa classe d équivalece coteu das A. Alors e particulier, x a Q, et x a ] 1, 1[, doc r := x a Q ] 1, 1[, et comme x r + A, x L. O a aussi L ] 1, 2[, doc o e déduit 1 λ(l) 3. Motros que les parties r + A (r Q) sot deux à deux disjoites. Soiet r, s Q. Si (r + A) (s + A), alors il existe a, b A tels que z = r + a = s + b, doc b a = r s Q. Par coséquet a b, mais comme a, b A qui e cotiet qu u représetat de chaque classe d équivalece, a = b, doc r = s. Par σ-additivité, ous e déduisos λ(l) = λ( r (r + A)) = r λ(r + A) = r λ(a). Cette somme e peut être qu ifiie (si λ(a) 0) ou ulle (si λ(a) = 0), ce qui cotredit l iégalité 1 λ(l) 3.

32 Chapitre 6 Mesures 6.1 Défiitios et propriétés Défiitio 6.1 Ue mesure 1 sur l espace mesurable (, A ) est ue applicatio µ : A [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l esemble vide : µ( ) = 0 ; (ii) est σ-additive : pour toute suite (A ) d élémets de A deux à deux disjoits, µ( A ) = µ(a ). O dit que (, A, µ) est u espace mesuré, et pour tout A A, o appelle µ(a) la mesure de A. Remarque 6.2 O a besoi de la σ-additivité pour pouvoir calculer la mesure de parties compliquées costruites comme limites d esembles plus simples que l o sait mesurer. Remarque 6.3 Das l égalité µ( A ) = µ(a ), o remarque que l ordre de sommatio (membre de droite) iterviet pas car la série est à termes positifs, ce qui est cohéret avec le membre de gauche. O remarquera égalemet que la σ-additivité implique l additivité fiie grâce à (i) : si l o défiit A i = pour tout i + 1, alors µ( i=1a i ) = µ( i=1a i ) = i 1 µ(a i) = i=1 µ(a i). Propositio 6.4 Ue mesure µ sur u (, A ) vérifie pour tous A, B A : (i) Additivité fiie : µ(a) = µ(a \ B) + µ(a B) ; (ii) Additivité forte : µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) ; (iii) Sous-additivité : µ(a B) µ(a) + µ(b) ; (iv) Croissace : si A B, µ(a) µ(b). Remarque 6.5 (ii), predre garde de e pas écrire µ(a B) = µ(a)+µ(b) µ(a B), qui pourrait être ue forme idétermiée, si µ(a B) = Das ce cours ous e cosidéreros que des mesures positives 32

33 CHAPITR 6. MSURS 33 Dém. (i) A \ B et A B sot disjoits et leur réuio est A. (ii) A \ B, A B et B \ A sot disjoits et leur réuio est A B, doc µ(a \ B) + µ(a B) + µ(b \ A) = µ(a B), doc e ajoutat µ(a B) à chaque membre o obtiet µ(a \ B) + µ(a B) + µ(b \ A) + µ(a B) = µ(a B) + µ(a B), mais das le premier membre, grâce à (i), la somme des deux premiers termes vaut µ(a) et la somme des deux deriers termes vaut µ(b). (iii) Si µ(a) + µ(b) = +, l assertio est évidete, tadis que das le cas cotraire, grâce à (ii), µ(a B)+µ(A B) <, doc e particulier µ(a B) <. Par coséquet o peut retracher µ(a B) à l égalité (ii), ce qui doe µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B) µ(a) + µ(b). (iv) D après (ii) si A B, alors µ(b) = µ(b \ A) + µ(b A) = µ(b \ A) + µ(a) µ(a), qui est l iégalité souhaitée. Propositio 6.6 Ue applicatio µ : A [0, + ] est ue mesure ssi : (i) µ( ) = 0 ; (ii) µ est fiimet additive : pour tous élémets A i (i I) deux à deux disjoits de la tribu A, si I est fii, alors µ( i I A i ) = i I µ(a i). (iii) µ est cotiue à gauche 2 : pour toute suite croissate (A ) N d élémets de A, µ(lim A ) = lim µ(a ). Remarque 6.7 O se rappellera qu ici, la suite (A ) N état croissate, lim A est autre que A. Dém. Motros d abord le ses et supposos doc que µ est ue mesure. O a déjà vu que (i) et (ii) sot vraies. Motros la cotiuité à gauche. Soit (A ) ue suite croissate de parties mesurables et soiet B 0 := A 0, et pour tout etier aturel o ul, B := A \ A 1. Alors les (B ) sot des élémets de A deux à deux disjoits, doc µ( B ) = µ(b ). Mais d ue part, B = A = lim A et d autre part, µ(b ) = lim µ(b k ) = lim µ( k=0b k ) = lim µ(a ). k=0 2. il s agit d ue expressio figurée qui sigifie cotiue pour les suites croissates et est utilisée par aalogie avec les foctios : R R pour qui ces deux expressios sot syoymes