MODÉLISATION FINANCIÈRE

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2 MODÉLISAION FINANCIÈRE

3 PRESSES DE L UNIVERSIÉ DU QUÉBEC Le Dela I, 875, boulevard Laurier, bureau 450 Saine-Foy (Québec) GV M éléphone : (48) élécopieur : (48) Courriel : puq@puq.uquebec.ca Inerne : Disribuion : CANADA e aures pays DISRIBUION DE LIVRES UNIVERS S.E.N.C. 845, rue Marie-Vicorin, Sain-Nicolas (Québec) G7A 3S8 éléphone : (48) / élécopieur : (48) FRANCE DIFFUSION DE L ÉDIION QUÉBÉCOISE 30, rue Gay-Lussac, Paris, France éléphone : élécopieur : SUISSE GM DIFFUSION SA Rue d Eraz, CH-07 Lonay, Suisse éléphone : élécopieur : La Loi sur le droi d aueur inerdi la reproducion des œuvres sans auorisaion des iulaires de drois. Or, la phoocopie non auorisée le «phoocopillage» s es généralisée, provoquan une baisse des venes de livres e compromean la rédacion e la producion de nouveaux ouvrages par des professionnels. L obje du logo apparaissan ci-conre es d alerer le leceur sur la menace que représene pour l avenir de l écri le développemen massif du «phoocopillage».

4 MODÉLISAION FINANCIÈRE François-Éric Racico Raymond héore 00 Presses de l Universié du Québec Le Dela I, 875, boul. Laurier, bur. 450 Saine-Foy (Québec) Canada GV M

5 Données de caalogage avan publicaion (Canada) Racico, François-Éric raié d économérie financière : modélisaion financière Comprend des réf. bibliogr. ISBN Finances Modèles économériques.. Économérie. 3. Mahémaiques économiques. 4. Modèles linéaires (Saisique). 5. Hééroscédasicié. 6. Saisique mahémaique. I. héore, Raymond. II. ire. HG06.R '.0'595 C Nous reconnaissons l aide financière du gouvernemen du Canada par l enremise du Programme d aide au développemen de l indusrie de l édiion (PADIÉ) pour nos aciviés d édiion. Mise en pages : INFO 000 MOS INC. Couverure: RICHARD HODGSON PUQ ous drois de reproducion, de raducion e d adapaion réservés 00 Presses de l Universié du Québec Dépô légal e rimesre 00 Bibliohèque naionale du Québec / Bibliohèque naionale du Canada Imprimé au Canada

6 able des maières vii ABLE DES MAIÈRES Inroducion Chapire Rappels saisiques Noion de variable aléaoire Saisiques descripives Mesure de la endance cenrale d une variable aléaoire Mesures de dispersion d une variable aléaoire Mesure du degré d asymérie e d aplaissemen d une disribuion empirique es de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Modèles probabilises Lois de probabilié discrèes univariées Lois de probabilié coninues univariées e conceps bivariés Noions d indépendance, de densié joine e de densié marginale Probabiliés condiionnelles e densiés condiionnelles héorème cenral limie (cas univarié) La loi normale mulivariée Esimaion de la moyenne e de la variance dans un modèle simple Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

7 viii raié d économérie financière 9. héorème de Gauss-Markov La méhode d esimaion du maximum de vraisemblance ess d hypohèses e inervalles de confiance Applicaions numériques Annexe Chapire Le modèle linéaire à deux variables Spécificaion du modèle à deux variables e propriéés des erreurs résiduelles Esimaeur des MCO Propriéés des MCO ess d hypohèses e inervalles de confiance Prévision Prévision de E(y 0 ) Prévision de y Mesures du degré d ajusemen Applicaions Chapire 3 Le modèle linéaire général Formulaion maricielle e hypohèses de base Propriéés de l esimaeur des MCO Hypohèses sur les erreurs e conséquences ess d hypohèses e inervalles de confiance Prévision dans le modèle linéaire général Applicaions Annexe : Rappels de calcul mariciel Opéraions maricielles Marices carrées imporanes Des marices imporanes : la marice variance-covariance d un porefeuille de ires e la covariance enre deux porefeuilles Quelques applicaions du calcul mariciel en finance Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

8 able des maières ix Chapire 4 Variaions sur les modèles linéaire e non linéaire : Parie I Erreurs de spécificaion ess reliés aux erreurs de spécificaion es sur la forme logarihmique La ransformaion de Box-Cox Méhodes des moindres carrés non linéaires e ransformaion Box-Cox Crières de sélecion des variables explicaives Variables auxiliaires e modélisaion des changemens srucurels Chapire 5 Variaions sur les modèles linéaire e non linéaire : Parie II héorie asympoique : convergence, ess asympoiques e variables insrumenales Convergence ess asympoiques : LR, LM e Wald Problèmes au chapire des variables explicaives : mulicollinéarié e endogénéié des variables explicaives Chapire 6 Les méhodes numériques en économérie : une inroducion Simulaion de Mone Carlo : le cas d une opion asiaique La méhode du boosrap Régression non paramérique : une simulaion Mone Carlo Chapire 7 L hééroscédasicié Propriéés de l esimaeur des MCO lorsque les erreurs son hééroscédasiques L esimaeur des moindres carrés généralisés : MCG Marice de Whie pour l hééroscédasicié Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

9 x raié d économérie financière 4. ess d hééroscédasicié es de Goldgeld e Quand (965) es de Breusch-Pagan (979) es de Whie (980) Applicaions Noe sur l inférence saisique en présence d hééroscédasicié Chapire 8 L auocorrélaion des erreurs résiduelles Propriéés de l esimaeur des MCO lorsque les résidus son auocorrélés Correcion du modèle original lorsque n es pas connu ess d auocorrélaion Prévision dans le modèle linéaire avec erreur de la forme AR() Applicaions Chapire 9 Les séries emporelles Processus sochasiques Saionnarié Processus auorégressifs saionnaires : représenaion e esimaion Esimaion du processus auorégressif AR(p) Foncion d auocorrélaion parielle (PACF) Processus de moyennes mobiles : MA(q) Esimaion d un MA(q) Modèles ARMA (p, q) Inroducion aux processus sochasiques non saionnaires : modèles ARIMA (p, d, q) La méhode de Box e Jenkins Aures crières de sélecion pour les modèles ARMA Prévisions à l aide de modèles saisiques de séries chronologiques Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

10 able des maières xi 0. Évaluaion de la précision des prévisions Applicaions Processus sochasiques non saionnaires Modèles de endance Racines uniaires e régressions fallacieuses ess de racine uniaire Coinégraion Chapire 0 L hééroscédasicié condiionnelle (ARCH). 73. Noions d espérances condiionnelle e non condiionnelle ; noions de variance condiionnelle e non condiionnelle L hééroscédasicié condiionnelle e les fais Le modèle ARCH Esimaion du modèle ARCH Généralisaion du modèle ARCH Le modèle ARCH(q) Le modèle ARCH-M Le modèle EGARCH Le modèle ARCH Prévision à parir du modèle GARCH es ARCH Une digression : la héorie de l AP Le principe de l arbirage L AP : aperçu général Dérivaion du modèle de l AP ess de l AP Chapire La méhode des momens généralisés Inroducion à la méhode des momens La méhode des momens e les MCO La méhode des momens e l esimaeur des variables insrumenales Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

11 xii raié d économérie financière 4. GMM e condiions d orhogonalié Maximum de vraisemblance e GMM Applicaions Annexe ables saisiques A. Répariion de la loi normale cenrée réduie A. Répariion du de Suden A3. Répariion du A4. Répariion du F A5. Saisique de Durbin e Wason au seuil de 5 % Index Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

12 Inroducion INRODUCION Jusqu au débu des années 980, l économérie s es développée à un ryhme relaivemen len. Elle avai beaucoup de mal à se libérer du paradigme saisique classique. Mais avec la poussée fulgurane de l informaique, l économérie a connu un essor for appréciable ces ving dernières années. Que l on pense simplemen à la muliplicaion effrénée des modèles économériques non linéaires, des modèles de volailié e des nouvelles echniques d esimaion comme le GMM ou la méhode des momens simulés, pour ne nommer que quelques nouveaux champs de l économérie conemporaine. Mais ce qui es encore plus saisissan, c es l avancée au pas de charge de l économérie dans le domaine de la héorie financière. En effe, la héorie des produis dérivés, qui prend sa source au débu des années 970, fai de plus en plus appel aux modèles économériques de volailié, els les modèles GARCH, e à la méhode du GMM pour esimer les paramères des équaions différenielles sochasiques qui serven à la déerminaion des prix des opions, enres aures. L économérie a égalemen permis au modèle du CAPM, bien connu en héorie financière, de s affranchir de son cadre saique. On peu mainenan parler de bêas variables dans le emps e la ransposiion de l approche GARCH au CAPM a permis de le siuer dans un cadre mulivarié. La finance corporaive emprune égalemen de plus en plus à l économérie. Ainsi, l analyse des invesissemens des enreprises dans un conexe d inceriude donne lieu à la formulaion d équaions différenielles sochasiques don l esimaion des paramères exige le recours à l économérie, enre aures à la méhode économérique du GMM. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

13 raié d économérie financière L incursion de l économérie dans le domaine de la finance a donné lieu à l appariion d une nouvelle discipline : l économérie financière. L économère financier, en plus de maîriser l économérie moderne, doi disposer de bases solides en héorie financière de façon à pouvoir opérer une symbiose des deux disciplines que son l économérie e la finance. La formaion de l économère financier es donc rès exigeane. Le présen raié d économérie financière s aaque à cee discipline complexe en visan à exposer au leceur les fondemens de l économérie financière. Les applicaions des méhodes économériques présenées dans nore raié seron donc irées de la héorie financière moderne. Il n exise pas à nore avis de manuel rédigé en français qui se soi donné nore objecif. Du fai de l imporance de plus en plus grande de la finance empirique, nore raié vien combler une grave lacune qui exise encore aujourd hui au sein des ouils pédagogiques à la disposiion des éudians de la finance e de l économie financière. Il vise la clienèle des éudians de roisième année du baccalauréa spécialisé en finance ou en économie financière e des éudians des divers programmes de MBA, de maîrise en finance appliquée ou de DESS en finance. Il s adresse égalemen au spécialise de la finance analyse financier, gesionnaire de porefeuille, ingénieur financier qui souhaie effecuer un our d horizon comple e rigoureux de l économérie financière moderne. ou en se voulan une inroducion à l économérie financière moderne, nore raié d économérie financière vise égalemen à approfondir cerains domaines-clefs de cee discipline, parfois jugés complexes par l éudian, comme les modèles GARCH e le GMM. Dans son souci de rigueur, nore raié fourni rès souven au leceur les preuves des diverses formules qui y apparaissen. Dans son souci pédagogique, nore raié renferme égalemen des chapires ou secions consacrés à des rappels de la saisique ou du calcul mariciel. Voici un bref survol de nore raié d économérie financière. Le chapire pore sur des rappels de noions saisiques de base qui son uilisées par la suie dans nore manuel. On y expose, enre aures, une version éoffée de la méhode d esimaion du maximum de vraisemblance. Les chapires e 3 son les chapires classiques de ou manuel d économérie. Ils présenen le modèle linéaire à deux 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

14 Inroducion 3 variables e le modèle linéaire général. Les chapires 4 e 5 on rai à des variaions sur les modèles linéaire e non linéaire. Y son présenés, enre aures : le modèle des moindres carrés non linéaires e le modèle Box-Cox ; les ess J e RESE ; le es de Chow ; une inroducion à la héorie asympoique ; les ess LM, LR e de Wald ; une inroducion à la héorie des variables insrumenales e au phénomène de la mulicollinéarié. Le chapire 6 se penche sur les méhodes numériques uilisées en économérie. On y aborde la simulaion de Mone Carlo, la echnique die du boosrapping e celle du kernel. On y monre incidemmen commen évaluer le prix d une opion asiaique à parir d une simulaion de Mone Carlo. Les chapires 7 e 8 s aarden aux problèmes économériques classiques de l hééroscédasicié e de l auocorrélaion des erreurs résiduelles. Le chapire 9 concerne la héorie économérique des séries emporelles. Y fon figure les processus sochasiques, les modèles ARMA e ARIMA, les prévisions à l aide de séries chronologiques, les ess de racines uniaires e le phénomène de la coinégraion. Le chapire 0 dirige son collimaeur sur un problème saisique imporan dans le domaine des séries financières : l hééroscédasicié condiionnelle. Une aenion pariculière es accordée aux modèles ARCH, ARCH-M, GARCH, EGARCH e ARCH. La prévision des séries chronologiques dans un conexe d hééroscédasicié condiionnelle y es éudiée. Finalemen, les applicaions que conien ce chapire concernen le modèle financier du CAPM. On y monre enres aures commen esimer le modèle du CAPM dans le cadre d un modèle GARCH mulivarié. Finalemen, le chapire s aaque à la méhode des momens généralisés, don l acronyme es : GMM. Nous y démonrons commen cee echnique d esimaion inègre les modèles classiques d esimaion : modèle des moindres carrés linéaires, des doubles moindres carrés e du maximum de vraisemblance. Comme applicaion de la méhode du GMM, nous esimons les paramères du modèle sochasique de aux d inérê de Schaefer e Schwarz dans un conexe canadien. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

15 4 raié d économérie financière L économérie financière es une discipline capivane. À en juger par l évoluion accélérée qu elle connaî depuis ving ans, elle es appelée à un brillan avenir. Nous espérons que le leceur paragera, au fil de la lecure des chapires de nore raié d économérie financière, nore rès vif inérê pour cee nouvelle discipline. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

16 Inroducion 5 CHAPIRE RAPPELS SAISIQUES Ce chapire vise à présener les principaux ouils probabilises e saisiques qui son esseniels à la compréhension de ce raié d économérie financière. Nous présenons dans un premier emps les noions de variables aléaoires e de modèles probabilises en emps discre e coninu. Les modèles probabilises regroupen les principales lois de probabilié en emps discre, soi les disribuions binômiale e de Poisson, e les lois de probabilié en emps coninu, soi les lois normales univariée e bivariée, le chi-carré, le de Suden, le F de Fisher, la loi uniforme. Dans un second emps, nous nous penchons sur les momens de ceraines disribuions e sur le héorème cenral limie. L esimaion de cerains de ces momens, enre aures par la méhode des moindres carrés ordinaires e celle du maximum de vraisemblance, es abordée. Leurs inervalles de confiance son calculés.. NOION DE VARIABLE ALÉAOIRE Il exise deux définiions pour une variable aléaoire, l une heurisique, l aure basée sur la héorie de la mesure. Selon la définion. Les références des chapires e son les suivanes : Amemiya,. (994), Inroducion o Saisics and Economerics, Harvard Universiy Press, Cambridge, Massachuses ; Baillargeon, G. e J. Rainville (979), Saisique appliquée, omes e, 5 e édiion, Édiions SMG, rois-rivières ; Judge, G.G. e al. (988), Inroducion o he heory and Pracice of Economerics, e édiion, Wiley, New York ; Kendall s Advanced heory of Saisics (999), Arnold, London ; Rao, C.R. (973), Linear Saisical Inference and Is Applicaions, e édiion, John Wiley and Sons, New York. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

17 6 raié d économérie financière heurisique, une variable aléaoire es une variable qui prend des valeurs suivan une ceraine foncion de disribuion. Dans sa version formelle, une foncion à valeur réelle X(.) définie sur l espace (,, P) es appelée variable aléaoire (ou mesurable dans le langage de la héorie de la mesure) si l ensemble { : X( ) < x } ε pour ou x dans R où le riple (,, P) es appelé espace probabilise, éan défini comme l espace échanillonnal e éan l ensemble de Borel. Un ensemble de Borel es une famille de sous-ensembles conenan ous les événemens de la droie des réels pour lesquels on peu calculer une probabilié de réalisaion. Formellemen, on appelle aussi une -algèbre. Pour sa par, P es une mesure de probabilié sur. Donc, on peu voir la foncion X(.) comme une applicaion de à R : x R 3. On disingue les variables aléaoires coninues e discrèes. Par exemple, les réalisaions de l indice S&P s 500 aux Éas-Unis e du SE 300 au Canada fon parie des variables aléaoires coninues, car elles peuven prendre n impore quelle valeur dans l ensemble des réels. Les variables dichoomiques fon parie de l ensemble des variables aléaoires discrèes. Par exemple, émere ou ne pas émere un dividende es un exemple de variable dichoomique. On donnerai la valeur lorsqu il y a émission de dividende e 0 auremen. On disingue égalemen les variables déerminises des variables aléaoires. Une variable y* = f( x ), où x es connu e parfaiemen conrôlé, es die déerminise e donc parfaiemen prévisible. Par exemple, si f ( x ) = mx + b, alors y* = mx + b. On peu illusrer cee relaion par la figure.. On observe sur cee figure que pour une valeur donnée de x, la valeur de y es auomaiquemen déerminée. Connaissan la valeur de x, on peu donc prévoir parfaiemen la valeur de y. Il exise des formes beaucoup plus complexes de variables déerminises. Par exemple, dans la héorie du chaos déerminise, les formes foncionnelles son de naure hauemen non linéaire, mais elles nous amènen. La noion de foncion de disribuion sera définie ulérieuremen. 3. Pour des déails addiionnels, voir : Rao, C. (973), Linear Saisical Inference and Is Applicaions, John Wiley and Sons, New York. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

18 Rappels saisiques 7 à la prévision exace de cerains phénomènes physiques 4. el n es pas le cas pour une variable aléaoire. Une variable définie comme : y = f( x) + e, où e es une variable aléaoire IID 5 (0, σ ) y éan la somme d une foncion non sochasique e d une composane aléaoire (sochasique) es donc une variable aléaoire. FIGURE. y * x La figure. représene la foncion : y = b + mx + e y peu prendre plusieurs valeurs pour une valeur donnée de x. Ceci es dû à la présence du erme aléaoire e dans la foncion de y. y n éan plus prévisible parfaiemen, mais seulemen à l inérieur d un inervalle de confiance, il s agi donc d une variable aléaoire. 4. Les exemples classiques de foncions de variables déerminises en physique son : la en map, la logisic map e le modèle du chaos déerminise de Makey e Glass (977) qui a servi, enre aures, à modéliser la reproducion des cellules rouges du sang. À ce suje, on consulera égalemen : Racico, F.E. (000), Noes on Nonlinear Dynamics, documen de ravail, CRG, 6-000, ESG, UQAM. 5. IID pour «ideniquemen e indépendammen disribué». 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

19 8 raié d économérie financière FIGURE. y X X X x. SAISIQUES DESCRIPIVES À une variable aléaoire donnée son associées plusieurs saisiques descripives. Dans ce qui sui, nous analysons les plus uilisées en finance empirique... Mesure de la endance cenrale d une variable aléaoire Soi une variable aléaoire X e ses réalisaions x i ε {x,, x }. Alors la moyenne des réalisaions se défini comme sui : x i x = = Supposons mainenan que l on ai plusieurs variables aléaoires : X i ε {X,,X } où les X i ~ IID (m, ), où m es la moyenne de la i 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

20 Rappels saisiques 9 populaion e s, sa variance. Alors l esimaeur X es di sans biais si ( ) = EX EX ( i ) i= µ = = µ. Le biais de X se défini comme sui : biais(x) = E( X) µ D aures mesures de la endance cenrale son la médiane e le mode. La médiane se défini comme éan la valeur qui sépare l échanillon en deux. Si le nombre d observaions es impair, la médiane es N + égale à :. Pour sa par, le mode es la valeur la plus fréquene observée dans un échanillon. Soulignons que la médiane fai figure d esimaeur robuse de la endance cenrale en ce sens qu elle ne dépend pas de la normalié d une disribuion, conrairemen à la moyenne qui, elle, dépend de cee hypohèse. En effe, si la disribuion échanillonnale diffère de la normale, la moyenne es alors un mauvais esimaeur de la endance cenrale, ce qui n es pas le cas de la médiane... Mesures de dispersion d une variable aléaoire Nous voulons calculer la variance échanillonnale, mesure de dispersion de ce échanillon, désignée par s. Pour les réalisaions x i de X, celle-ci es égale à : ( xi x) i= s = Supposons, comme dans le cas précéden, que l on ai plusieurs variables aléaoires : X i ε {X,, X } où les X i ~ IID (, ), où es la moyenne de la populaion e s, sa variance. Alors l esimaeur S es ( Xi X) i= di sans biais si : S = e E( S ) = σ La preuve de cee formule es donnée à l annexe de ce chapire. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

21 0 raié d économérie financière L écar-ype es désigné par s. Inuiivemen, s peu êre vu comme une moyenne d écars par rappor à la moyenne au carré, le carré éliminan les signes négaifs de cee moyenne. Cee saisique nous donne l éendue d une disribuion. Pour un pei écar-ype, les observaions seron concenrées auour de la moyenne alors que dans le cas d un grand écar-ype, elles seron plus dispersées. Les figures.3 e.4 illusren les disribuions empiriques associées à un pei écar-ype e à un grand écar-ype. FIGURE.3 Nombre d observaions x FIGURE.4 Nombre d observaions x 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

22 Rappels saisiques Une aure mesure de la variabilié des réalisaions d une variable aléaoire es le coefficien de variaion, désigné par CV. Il se défini comme sui pour la variable X : CV s X = 00 x Si l on veu comparer la variabilié des réalisaions de deux variables aléaoires X e Y, on recour au CV de chacune de ces variables pour pallier le problème de l échelle des mesures. En effe, supposons que s X soi égal à 3,6 e s Y, à 63,4, on pourrai êre poré à croire que Y es plus variable que X, la variabilié éan mesurée par l écar-ype. el n es pas le cas puisqu il y a ici un problème d unié de mesure : la variable X es mesurée en pourcenage (p. ex., le aux d inérê) e la variable Y, en dollars (p. ex., le volume des ransacions boursières). On peu remédier à ce problème en dégonflan s X e s Y par leur moyenne respecive : x es égal à 8,8 e ȳ à 95,3. Les coefficiens respecifs de variaion pour X e Y son de 0,409 e de 0,7. On réalise donc après coup que X es plus variable que Y sur la base du coefficien de variaion même si, a priori, on concluai l inverse. Comme aure exemple, on peu noer que les variables mesurées en millions de dollars son plus volailes en ermes absolus que celles mesurées en uniés de dollars, ce qui n es pas le cas sur une base relaive, qui s obien en divisan ces variables par leur moyenne respecive..3. Mesure du degré d asymérie e d aplaissemen d une disribuion empirique.3.. Le coefficien d asymérie (skewness) Ce coefficien mesure le degré d asymérie d une disribuion. Il se défini comme sui : [ ( )]= ( ) ( ) EgX gxf xdx où E(.) es l espérance e V(.), la variance. E, dans les peis échanillons, es esimé par la moyenne arihméique des réalisaions de la variable aléaoire : 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

23 raié d économérie financière où es esimé par x. xi x E ( i X ) 3 = µ = µ ˆ ( ) 3 3 Par ailleurs, on esime σ par ˆσ i= = ( xi x). 3 Si µ = 0, alors la disribuion es symérique, à l insar de la 3 σ normale, qui apparaî à la figure.5. FIGURE.5 Noons que dans le cas d une disribuion normale, ous les momens impairs son nuls. 3 Si µ > 0, alors la densié de la disribuion es concenrée vers 3 σ la droie, comme le monre la figure Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

24 Rappels saisiques 3 FIGURE.6 3 Si µ < 0, alors la densié de la disribuion es concenrée vers 3 σ la gauche, comme le monre la figure.7. FIGURE.7 L inuiion ici es que l on compare les momens empiriques de nos données aux momens héoriques d une disribuion qui es la disribuion normale. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

25 4 raié d économérie financière.3.. Le coefficien d aplaissemen (Kurosis) Comme son nom l indique, le coefficien d aplaissemen d une disribuion mesure son degré d aplaissemen. Il es associé à l épaisseur des queues (ails) de la disribuion. On le défini comme sui : µ σ [ ] 4 [ ] E ( X µ ) E ( X µ ) = = V X σ ( ( )) ( ) Dans la praique on esime ce coefficien de la façon suivane. L espérance E es esimée par la moyenne échanillonnale, c es-àdire : xi x E ( i X ) 4 = µ = µ ˆ ( ) où e son esimés comme ci-devan. 4 Si µ = 3, il n y a pas de biais lepocurique. On di alors que la 4 σ disribuion es mésocurique comme c es le cas pour la disribuion > 3, on es normale qui ser de poin de référence. Par ailleurs, si µ σ confroné au cas d une disribuion lepocurique. Plus communémen, on di qu une elle disribuion présene des queues épaisses, oujours en rappor avec les exrémiés d une disribuion normale, comme on peu le consaer à la figure < 3, on parle alors de disribuion plaicur- Finalemen, si µ σ ique. Plus communémen, on di qu une elle disribuion présene des queues minces (hin ails), oujours en rappor avec les exrémiés d une disribuion normale, comme on peu le consaer à la figure Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

26 Rappels saisiques 5 FIGURE.8 Normale (mésocurique) Lepocurique (queues épaisses) FIGURE.9 Normale Plaicurique (queues minces) Si les coefficiens esimés d asymérie e d aplaissemen son respecivemen près de 0 e de 3 pour une disribuion donnée, on pourrai conclure qu on es en présence d une disribuion gaussienne (normale). Cerains logiciels rès connus comme EViews, SAS e RAS son déjà préprogrammés pour le calcul de ces coefficiens. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

27 6 raié d économérie financière Comme c es oujours le cas en saisique, un seul coup d œil graphique ne suffi pas à mesurer les déviaions de ces coefficiens par rappor à la normale. Comme à l accouumée, il fau développer un es pour juger du caracère significaif de ces déviaions. Le es de Jarque e Bera (984) es conçu à cee fin. Ce es es défini sur la somme des coefficiens d asymérie e d aplaissemen élevés au carré. Plus précisémen, le es de Jarque e Bera es basé sur la saisique suivane : JB K a = AS + ( KUR 3) ~ χ 6 4 ( ) où AS es le coefficien d asymérie e KUR, le coefficien de kurosis. Le es d hypohèses es le suivan. L hypohèse nulle H0 es que la disribuion es normale alors que l hypohèse alernaive H es que la disribuion n es pas normale. La règle consise à rejeer H0 si JB es plus grand que avec deux degrés de liberé au seuil de significaion habiuel de 5 % ou si la p-value associée à la saisique JB es inférieure à 0,05. Une mise en garde vis-à-vis l uilisaion de ce es s impose cependan. Ce es es asympoique comme l indique le symbole a ~ dans la formule de JB. Ce es n es donc pas exac parce que l on ne connaî pas la disribuion de JB dans de peis échanillons. On ne connaî sa disribuion que dans les grands échanillons 7. On peu effecuer direcemen ce es de normalié dans le logiciel EViews. 7. Si l on régressai les y sur X, on obiendrai le veceur e ˆ = y Xβ. ˆ Pour eser la normalié des erreurs résiduelles, on calcule les inpus de la formule de JB 3 4 eˆ i eˆ i eˆ comme sui : µ ˆ ; µ ˆ ; σˆ i 3 = 4 = =. Ce es fai parie de la caégorie des ess LM. Noons que l on pourrai aussi le voir comme un es de Wald. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

28 Rappels saisiques 7.4. es de Kolmogorov-Smirnov 8 (K-S) Ce es es uilisé pour comparer une disribuion empirique à une disribuion donnée. Ce es peu noammen servir de es de normalié. La saisique reliée au es de K-S, désignée par D, se calcule comme sui : D max S x P x = N ( ) ( ) < x< où S N (x) es un échanillon de données e P(x) es une cdf 9 connue. La représenaion graphique des variables du es apparaî à la figure.0. FIGURE.0 cumulaive probabiliy disribuion S n (x) D P (x) x x 8. Cee secion s inspire du livre suivan : Press, W.H. e al. (989), Numerical Recipes : he Ar of Scienific Compuing (FORRAN Version), Cambridge Universiy Press, Cambridge (reprodui avec la permission de l édieur). 9. cdf es l abréviaion de cumulaive disribuion funcion. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

29 8 raié d économérie financière Sur cee figure, D es la saisique de K-S. La disribuion empirique des valeurs de x, soi le graphique de S N (x), es comparée à une disribuion héorique où la densié de probabilié cumulée es représenée par P(x). S N (x) es une foncion par paliers qui augmene d un monan idenique pour chaque observaion mesurée. La valeur de D représene la plus grande disance enre ces deux disribuions cumulées, soi S N (x) e P(x). Pour le cas où il y a deux foncions de disribuion cumulaives d observaions différenes, S N (x) e S N (x), la saisique K-S s écri : D= max S ( x) S ( x) < x< N N Les hypohèses à eser son les suivanes. H0 : les deux disribuions son ideniques ; H : les deux disribuions son différenes. Pour ce faire, il fau calculer le caracère significaif de D (p-value), c es-à-dire : Prob (D > valeur observée) = QK S( ND), où ( ) = ( ) ( ) = j j λ QK S λ e e où QK S( 0) = e QK S 0. N j= représene le nombre d observaions. Dans le cas où l on compare deux disribuions, le niveau de significaion se calcule comme sui : Prob (D > valeur observée) = NN Q N N D K S. À remarquer que ce es es asympooique + mais en praique, on peu considérer que N = 0 es un seuil olérable, d auan plus si le degré de conservaisme es imporan (seuil de significaion de 0,0 ou moins). 3. MODÈLES PROBABILISES 3.. Lois de probabilié discrèes univariées 3... La foncion de disribuion e de répariion Rappelons d abord les saisiques descripives associées aux lois de probabilié discrèes univariées. La disribuion d une variable aléaoire discrèe qui rend compe de ses probabiliés de réalisaion peu êre représenée par la figure en bâonnes.. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

30 Rappels saisiques 9 FIGURE. Disribuion discrèe de X f(x) = p(x = x) f(x 3 ) f(x ) f(x ) x x x 3 x La probabilié que X soi plus pei ou égal à x es représenée par : X x PX ( x) = Fx ( ) = f( x), où F(.) es la foncion de répariion (probabilié cumulaive). La représenaion de la probabilié cumulaive apparaî à la figure.. Noons sur cee figure que les probabiliés se cumulen à mesure que les x i augmenen puisque la foncion F(x i ) es la probabilié de réalisaion jusqu à x i. Par exemple F(x 3 ) = f( x) + f( x) + f( x3) =. Voici quelques propriéés de ces disribuions. ( ) = ( ) = i) F f x i i= ii) Si x > y, Fx ( ) Fy ( ) ; F( ) = 0 ( i j) = ( j) ( i ) ( 4) = ( 4) ( ) iii) Px X x Fx Fx Px X x Fx Fx. Par exemple, 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

31 0 raié d économérie financière ( i ) = ( i) iv) Px < X PX x ( i i) = ( i) v) Px X x f x FIGURE. Foncion de répariion F(x) F(x 3 ) = F(x ) F(x ) x x x 3 x 3... Espérance e variance en discre L espérance L espérance mahémaique pour une variable aléaoire discrèe se défini comme sui : ( ) = ( ) = = EX fxi xi où f(x i ) PX x i Plus généralemen, EgX gx f x ( i) [ ( )]= ( i ) ( i ) i. Par exemple, dans le cas précéden : g(x i ) = x i. L espérance mahémaique es donc la 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

32 Rappels saisiques moyenne pondérée des réalisaions de la variable aléaoire X sur la populaion, les faceurs de pondéraion éan les probabiliés respecives de ces réalisaions. Les propriéés de l opéraeur espérance son les suivanes : i) Pour n variables aléaoires X, X,..., X n, n n E cixi cie Xi i= = ( ) où c i es une consane. i= Par exemple, EcX + cx cex cex ( ) = ( ) + ( ). Par ailleurs, la moyenne d une suie de variables aléaoires X, X,..., X n, où X i ~ NID 0 µσ, ( ) = EX ( ) EXi i nµ = = µ. n n ( ), es de : X = i n X i, La variance La variance d une variable aléaoire discrèe se défini comme sui. ( ) = ( ) V X E X E X f xi xi E X ( ) = ( i ) i ( ) i = ( ) ( ) i ( ) [ ] = ( ) [ ( )] f x x E X E X E X [ ( )]= ( i ) ( i ) i Plus généralemen, la variance s écri : EgX gx f x ( ). ( i) = i ( ) où g x x E X Les propriéés de l opéraeur variance son les suivanes : 0. NID : variables normales indépendammen disribuées. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

33 raié d économérie financière Pour n variables aléaoires X, X,..., X n, on a : i) V cixi ci V Xi cicj Xi Xj = ( ) + cov (, ) i j i où les c i son des consanes. i ii) Si c es une consane V( c) = 0 i j ( ) = ( ) iii) V a ± cx c V X où a e c son des consanes. Par exemple, supposons que X i ~ NID ( µσ, ). Alors, ( ) = V X V ( ) X i V Xi σ i i i n = = = σ = n n n n σ n Disribuion binômiale La loi binômiale se défini comme sui : n i n i ( ) = ( = ) = i ( ) = < < binp ;, PX i Cp p, i 0,..., n, où 0 p n e où C n n i = i =!. Cee foncion perme de calculer la i!( n i)! probabilié associée à i succès parmi n expériences. La disribuion binômiale ser enre aures à modéliser des expériences du ype succèséchec, chaque expérience éan indépendane l une de l aure. L exemple classique de ce ype d expérience es le lancer répéé d une pièce de monnaie. C es le jeu communémen appelé pile ou face. Si on la lance 3 fois, alors la probabilié d avoir pile deux fois es de : ( ) = PX= 3!! ( 3 )! 3 3 = 8 où p, soi la probabilié 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

34 Rappels saisiques 3 d avoir pile, es égale à ½. Il es à noer que l on pourrai égalemen uiliser cee formule pour calculer la probabilié d avoir au moins i succès parmi n expériences. La disribuion binômiale présene les propriéés suivanes. Son espérance EX np. ( ) =. Sa variance es de : V( X) = np( p) Voici mainenan un exemple d uilisaion de la loi binômiale en finance, soi celui de l évaluaion d une opion européenne. Ce exemple es celui du modèle binômial de Cox, Ross e Rubinsein (979). Considérons d abord l évaluaion d une opion d acha. En veru de la loi binômiale, la prime de cee opion s évalue par la formule suivane : i= n r r n i n i i n i c = e E *[ Max( S X, 0) ]= e p ( p) Max S0u d X, 0 i i= 0 [ ] où r es le aux sans risque ;, la durée en années de l opion ; n, le nombre de périodes ; S 0, la valeur du prix de l acion au emps 0 ; u, le muliple de hausse du prix de l acion ; d, le muliple de baisse ; e X, le prix d exercice. Les u e d se calculen comme sui : u = e σ / ; n d = e σ /. Dans ces relaions, s représene la volailié annuelle du rendemen de l acion sous-jacene à l opion. Les p son ici calculés dans un univers neure au risque e s obiennen comme sui : r n e d p =. u d Expliquons plus précisémen la formule du prix de l opion d acha. Selon celle-ci, le prix de cee opion es la valeur acualisée de l espérance des cash-flows à l échéance de cee opion. Cee espérance, noée E* pour la disinguer de l espérance classique, es dérivée dans un univers sans risque. Cee formule monre encore une fois que le prix de ou ire es la valeur acualisée de ses cash-flows. n. L opion européenne, par opposiion à l opion américaine, ne peu êre exercée avan son échéance. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

35 4 raié d économérie financière La version binômiale du prix de l opion précise le calcul de l espérance. On noe que les faceurs de pondéraion des cash-flows son ceux de la binômiale, soi : n p i i ( p) n i. Illusrons la procédure numérique du calcul du prix de l opion lorsque l on recour à la loi binômiale. Il fau alors consruire un arbre binômial de l évoluion du prix de l acion puis du prix de l opion. Nous nous en enons ici à l arbre des prix de l acion puisque celui des prix de l opion obéi au même principe. Voici commen se présene l arbre binômial du prix de l acion si l on suppose rois périodes d un mois. u 3 S 0 u S 0 us 0 S 0 ud S 0 ds 0 d S 0 = 0 = / = / = 3/ On laisse au leceur le soin de remplir les cases manquanes. Pour plus de déails, on consulera : Racico, F.-É. e R. héore (000).. Racico, F.É. e R. héore (000), op. ci. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

36 Rappels saisiques La disribuion de Poisson La disribuion de Poisson n es rien d aure que la limie de la disribuion binômiale sous ceraines condiions. Elle se formule comme sui : ( ) ( ) = lim binp ;, n i n p e i! Si on pose λ= n p, on a : n p ( ) = ( ) = PX= i P* i; λ ( ) = ( = ) = P* i; n p P X i i λ e L espérance de cee disribuion es de : E(X) = e sa variance es de : V(X) =. L espérance de la disribuion de Poisson es donc égale à la variance. Il es à noer que la loi de Poisson peu servir d approximaion à la loi binômiale. La loi de Poisson peu donc servir à modéliser des expériences du ype succès-échec si les condiions suivanes son réalisées : p 0 % e np < 5. Par exemple, on veu calculer la probabilié (p) d obenir exacemen deux pièces défecueuses dans un procédé de producion qui mainien en moyenne 4 % de pièces défecueuses lorsque la aille de l échanillon es n=00. Noons que les condiions d approximaion son ici respecées : = 4, donc plus pei que la borne supérieure de 5, e p es égal à 4 %, donc plus pei que la borne supérieure de 0 %. On obien le résula suivan à l aide de la binômiale : PX ( = ) = b( ) = ; 00, 0, 04 ( 0, 04) ( 0, 04) = 0, 449 L approximaion de cee probabilié par la loi de Poisson es de : 4 λ i! 4 e PX ( = ) = P* ( ; 4) = = 0, 465 On voi que la loi de Poisson se rapproche beaucoup de la loi binômiale. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

37 6 raié d économérie financière La disribuion de Poisson a donné lieu à de muliples applicaions. Donnons quelques exemples. Hausman e al. (984) 3 uilisen la loi de Poisson pour modéliser la disribuion des breves accordés aux enreprises pour une année. Leur disribuion de Poisson pour la variable y i s écri comme sui : ( i ) = ( i) = Py = j fjr j R + Ri e ( α+ β ( α β ) i ) j! où λi α βri E yi Ri. Dans cee équaion, R i représene les dépenses en recherche e développemen d une enreprise représenaive e j, le nombre de breves accordés à cee enreprise dans une année. Selon cee équaion, plus une enreprise invesi en recherche, c es-à-dire plus R es imporan, plus l espérance des breves qui lui son accordés es élevée. Une aure applicaion, cee fois-ci financière, a éé formulée par Greene (995) 4 e a rai aux cares de crédi. La variable qui dans son modèle obéi à une loi de Poisson es le nombre de défaus enregisrés dans l hisoire du crédi d un échanillon de cliens pour une caégorie de cares de crédi. Cee variable es en fai la plus imporane pour déerminer si une demande d emprun ou de care de crédi sera accepée. La variable dépendane es une variable discrèe de score qui mesure le nombre de défaus observés duran l hisoire du crédi d un clien. Par exemple, si un clien n a jamais fai défau, son score es nul. S il a enregisré deux défaus de paiemen, son score es de. E ainsi de suie. La probabilié que y i prenne la valeur j es la suivane : = + = ( ) Py ( i = j) = j i λ e λ i j! Encore une fois, l espérance de y i es i qui peu êre représenée par une forme foncionnelle linéaire, non linéaire ou ou aure forme perinene. 3. Hausman, J., B. Hall e Z. Griliches (984), «Economic Models for Coun Daa wih an Applicaion o he Paens R&D Relaionship», Economerica, 5, p Greene, W.A. (995), Sample Selecion in he Poisson Regression Model, documen de ravail, #EC-95-6, Sern School of Business. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

38 Rappels saisiques Lois de probabilié coninues univariées e conceps bivariés La loi normale ou gaussienne es radiionnellemen la plus uilisée en économérie. Sa foncion de densié (pdf) 5 s écri comme sui : ( i ) = f x πσ e xi u σ La variable X sui une loi normale cenrée réduie désignée par : X ~ N(, ). Les propriéés de la pdf normale son les suivanes : i) La foncion f x ( ) = ( ) = ii) f x dx F X quelconque. iii) F( ) = 0 iv) f x ( ) = ( ) df x dx ( ) ( ) v) P( x < X < x + dx) = f ( x) dx 0, x ε,. 6 x ( ) = ( ) = = x vi) PX= x f xdx Fx ( ) Fx ( ) 0.. F représene ici la cdf 7 d une variable x ( ) = ( ) = ( ) ( ) x i j vii) Pxi X xj fxdx Fxj Fxi. Cee relaion es aussi égale à : ( ) = ( < < ) Px i X x j Px i X x j = P( x i X < x j) = P( x i < X x j). 5. pdf es l abréviaion de probabiliy densiy funcion. 6. Pour simplifier la noaion, nous omeons l indice i à la variable x. 7. cdf es l abréviaion de cumulaive densiy funcion e représene la probabilié suivane : P(X x). 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN

39 8 raié d économérie financière À la suie de ces relaions, plusieurs remarques s imposen. a) Lorsqu une variable es coninue, les probabiliés ne se calculen pas par référence à un poin mais bien par rappor à une densié. Ainsi, la probabilié que la variable aléaoire X prenne une valeur poncuelle es égale à 0 alors que ce n éai pas le cas pour les variables discrèes. b) Si la variable X es définie par : X ~ N(, ), alors, E(X) = e V(X) =. La saisique, définie comme : Z = X µ σ, sui une loi normale cenrée réduie noée N(0,). L espérance de Z, noée E(Z), es de : EZ E X µ EX ( ) = σ σ = ( ) µ µ µ = = σ Par ailleurs, la variance de Z, noée V(Z), es de : V Z V X ( ) = V V X + µ σ σ σ = ( ) + = 0. 0 c) Le kernel 8 gaussien, qui s écri : Kz ( ) = e π foncion elle que K( x) dx. z, es une =. Noons qu il exise d aures kernels saisiques imporans : le bipondéré, l epanechnikov, le recangulaire e le riangulaire. Ces kernels son uilisés pour esimer des disribuions empiriques à l inérieur d une classe rès générale d esimaeurs non paramériques du ype Rosenbla-Parzen. Nous abordons mainenan les définiions de l espérance e de la variance en emps coninu. 8. La définiion du kernel es la suivane. Soi une foncion composée f(g(x)). La foncion g(x) es le kernel e f, la foncion exérieure. 00 Presses de l Universié du Québec Édifice Le Dela I, 875, boul. Laurier, bureau 450, Saine-Foy, Québec GV M él. : (48) iré de : raié d économérie financière, François-Éric Racico e Raymond héore, ISBN