Épreuve de mathématiques I Correction. A-Préliminaires

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1 SESSION 17 Épreuve de mathématiques I Correction A-Préliminaires 1. Il est clair que P et D sont des parties non vides E, stables par addition et multiplication par un scalaire, donc ils sont des sous-espaces vectoriels de E.. Soit f E. Les applications t f(x sin t et t f (x sin t sont continues sur [, ], donc les applications u(f et v(f sont bien définies sur I. D autre part, posons g(x, t = f(x sin t et h(x, t = f (x sin t. Par composition des applications, g et h sont de classe C par rapport à la variable x et, n N, les applications t n g (x, t = xn (sin t n f (n (x sin t et t n h x n (x, t = (sin tn f (n+1 (x sin t sont continues sur [, ], donc d après le théorème de régularité, u(f et v(f sont de classe C sur I, donc u(f, v(f E. Enfin, par linéarité de l intégrale, les applications u et v sont linéaires. En conclusion, u et v définissent des endomorphismes de E. 3. Soit x p(x = a i x i P. Alors x I, on a : i= u(f(x = est un polynôme en x, donc u(p P. De même, on a : v(f(x = a + x (x sin t i dt = i= i= i(x sin t i 1 dt = a + est un polynôme en x. Donc v(p P. (a i (sin t i dt (a i x i (sin t i 1 dt 4. Il est évident que W = et W 1 = 1. Une intégration par parties donne, pour n : W n = [ sin n 1 x cos x] + (n 1 sin n x cos xdx = (n 1(W n W n En multipliant par W n 1 on obtient : nw n W n 1 = (n 1W n 1 W n c est-à-dire la suite (nw n W n 1 n N est constante, donc nw n W n 1 = W 1 W =. Ou encore n N, W n W n+1 = (n Si n N et t [, ], alors sinp+1 t sin p t et donc W p+1 W p.il y a égalité si, et seulement si, sin t = 1 pour tout t [, ]. Donc (W n n N est strictement décroissante. D autre part, on a nw n = (n 1W n (n 1W n 1, donc n 1 W n W n. Donc lim = 1, n W n 1 n W n 1 d où W n W n 1 et par suite de la relation W n W n 1 = W 1 W = n, on déduit que W n n et comme W n >, alors W n, en particulier lim n W n =. n x i 1 / 7 M.TARQI

2 SESSION 17 B-Étude de la continuité de u et v 6. Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, en conséquence pour tout f E, la quantité M(f est bien définie. Soit f E et x I, alors t [, ], x sin t I et donc u(f(x M(fdt = M(f et donc M(u(f M(f. Ceci inégalité montre la continuité de l application linéaire u sur l espace vectoriel normé (E, M. ( x n, 7. Considérons l application définie sur I par f n (x = on a bien M(fn = 1 et a v(f n (x = x ( x sin t n 1 ( x n n dt = n Wn 1. a a a Donc M(u(f n = nw n 1 n quantité qui tend vers l infini quand n tend vers l infini, (n 1 donc l application linéaire v n est pas continue sur (E, M. 8. On a N(f = si, et seulement si, M(f = M(f = et comme M est une norme alors f =. Les autres propriétés de la norme sont immédiates. Donc N définie bien un norme sur E. Soit f E et x I, alors on a : v(f(x f( +a sup f (x sin t dt = f( +a t [, ] sup f (u dt M(f+ a u I M(f kn(f ( où k = sup 1, a. Donc l application linéaire v est continue de (E, N dans (E, M. 9. Soit f E et ε >. f étant continue sur le segment I, donc peut être approchée uniformément par une fonction polynomiale q ( théorème de Weierstrass, donc x I, f (x q(x ε. Soit p le polynôme dont la dérivée est p (x = q(x et p( = f(, c est-à-dire p(x = q(xdx + f(. Ainsi le polynôme p répond à la question. D après l inégalité des accroissements finis, x I, f(x p(x ε x aε. Donc on peut conclure que : N(f p aε + ε = (1 + aε et ceci pour tout ε >. Donc P est dense dans (E, N. 1. Soit f : x et donc C-Étude de l inversibilité de u et v a i x i P, on a i= v u(f(x = u(f( + x u(f(x = (a i w i x i i= ( (a i w i i(x sin t i 1 dt = a W + ia i W i W i 1 x i = f(x. / 7 M.TARQI

3 SESSION 17 Car iw i W i 1 = pour i N. Donc u(f P. De même, on a : v(f(x = a + (a i i(sin t i 1 dt x i = a + Donc u v(p(x = ( a + ia i W i 1 x i. a i W i 1 W i x i = f(x. En conclusion u v(f = v u(f = f pour tout f P. 11. Soit f E et (p n n N une suite de polynômes qui converge vers f pour la norme N ( P dense dans (E, N, on a u v(p n = v u(p n = p n, n N Par continuité de u v dans (E, N et par passage à la limite, on obtient : u v(f = f. Supposons qu il existe f E, non nulle telle que v(f =, alors l égalité précédente entraine f = u v(f = u( =, ce qui est absurde d après le choix de f. Donc n est pas une valeur propre de v. 1. Comme dans la question précédente, on montre que v u(f = f pour tout f E. En conclusion, on a, pour tout f E, u v(f = v u(f = id E (f, donc l endomorphisme u et inversible et son inverse est l endomorphisme v. Applications 13. Soit f E, on a : x I, v(f(x = f( + x Soit x I, on a : u(arctan (x = = = = = = f (x sin tdt = f( + x u(f (x x arctan (x sin tdt dt 1 + x sin t dz 1 + x + z x dz ( z 1+x + 1 du 1 + u x = argsh (x 3 / 7 M.TARQI

4 SESSION 17 D où u(arctan = argsh. D après la formule précédente, arctan (x = v v(arctan (x = v(argsh (x = argsh( + x u(argsh (x ou encore D où, pour tout x, x = 1 + x u(argsh (x u(argsh (x = x 1 + x égalité qui reste vraie pour x = par raison de continuité. 14. Si f est paire, alors x I, u(f( x = f( x sin tdt = f(x sin tdt = u(f(x, donc u(f est paire, de même si f est impaire, u(f est impaire. Si f est paire, alors f est impaire et donc x I, v(f( x = f( x f ( x sin tdt = f( + x f (x sin tdt = v(f(x, donc v(f est paire, de même si f est impaire, v(f est impaire. Inversement, si u(f est paire ( respectivement impaire, v(u(f = v u(f = f est paire (respectivement. impaire. En conclusion, f, u(f et v(f sont de même parité. D-Étude des valeurs et vecteurs propres de u et v 15. Soit λ une valeur propre de v ( non nulle et f E non nulle telle que v(f = λf, donc f = u v(f = u(λf ou encore u(f = 1 λ f, c est-à-dire 1 λ est une valeur propre de u. De plus on a E λ (v = E 1 (u. λ 16. Soit f une fonction développable en série entière de rayon de convergence R >. Posons x ] R, R[, f(x = a n x n avec (a n n N une suite de nombres complexes. Pour x ] R, R[ et t [, ], x sin t ] R, R[, on pose donc h(t = f(x sin t = a n x n (sin t n. La fonction g est définie par une n= n= série de fonction qui converge uniformément sur [, ], car n N, t [, ], a nx n (sin t n a n x n 4 / 7 M.TARQI

5 SESSION 17 D où la possibilité d intégrer terme à terme : x ] R, R[, u(f(x = a n x n (sin t n dt n= = n= a n x n (sin t n t = a n W n x n. Donc u(f est développable en série entière. En conclusion, D est stable par u. 17. f (n étant continue sur I, donc m n est bien défini. Soit λ une valeur propre de u et f un vecteur propre non nul associé. On a donc, x I, u(f(x = λf(x. D où, donc u(f (n (x = λf (n (x = λ f (n (x Puisque λ, car u est inversible, alors n= f (n (x sin t(sin t n dt, sup f (n (x sin t (sin t n dt = m n t [, ] W n. x I, f (n (x m n λ W n. D où m n m n λ W n, donc si n N, m n, l inégalité précédente devient 1 λ W n qui entraine, quand n tend vers l infini, l inégalité contradictoire 1, car lim W n =. Don il existe n N tel que m n =, c est-à-dire n x I, f (n (x =, donc f est une fonction polynomiale. 18. D après la question précédente il faut chercher les vecteurs propres parmi les fonctions polynomiales. Soit donc λ C une valeur propre de u et f P 5 / 7 M.TARQI

6 SESSION 17 non nulle tels que u(f = λf. Posons f(x = u(f(x = Donc u(f = λf s écrit x I, i, = = i= a i x i, alors i= f(x sin tdt w i a i x i i= (sin t n dt ( W i λ a i x i = ou encore i= ( W i λ a i =. Comme f, alors il existe i tel que a i et donc λ = W i. Réciproquement, on vérifie que si f n (x = x n, alors x I, u(f n (x = W nf n (x, ce qui montre que f n est un vecteur propre associé à valeur propre W n. { } En conclusion, l ensemble des valeurs propre de u est sp(u = W n/n N et l ensemble des vecteurs propres est {f n /n { N}. D après } la question 15., l ensemble des valeurs propre de v est sp(v = /n N et l ensemble W n des vecteurs propres est {f n /n N}. 19. On sait que Vect{f n, n N} = P est un sous-espace strictement inclus dans E ( la fonction exponentielle exp E \ P, donc E n admet pas une base de vecteurs propres { ni de u ni de } v. On a sp(u = W n/n N et lim n W n = / sp(u, donc sp(u n est pas un fermé de C. Soit une sous-suite (µ σ(n n N convergente de sp(v = { µ n /µ n = }, n N W n donc elle est bornée, donc il existe M > telle que n N, µ σ(n M. Or lim µ n = +, alors il existe n N tel que pour tout n n, µ n M et n comme σ(n n, alors on aura pour tout n n, µ σ(n M car (µ n n N 6 / 7 M.TARQI,

7 SESSION 17 est strictement croissante. Donc nécessairement (µ σ(n n N est stationnaire et sa limite est donc dans le spectre. Ainsi sp(v est une partie fermée de C. 7 / 7 M.TARQI