FONCTIONS USUELLES. 1 fonctions polynomiales et rationnelles. Cours PCSI 2

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1 Cours PCSI Lycée Joffre FONCTIONS USUELLES 1 fonctions polynomiales et rationnelles fonction polynomiale : une fonction polynomiale sur R est une fonction f pour laquelle il existe un entier naturel d, des réels a 0, a 1,, a d tels que : x R, f(x) = d a k x k k=0 la limite d une fonction polynomiale en + ou est la limite de son terme dominant, i.e son terme de plus haut degré ( on le met en facteur). expression des dérivées : une fonction polynomiale est D sur R et ses dérivées sont des fonctions polynomiales. Plus précisément : et plus généralement : si f : x d a k x k alors f : x k=0 d ka k x k 1 k=1 j [0; d], f (j) : x d k=j k! (k j)! a kx k j j d + 1, f (j) : x 0 fonction rationnelle : une fonction rationnelle est une fonction qui est le quotient de deux fonctions polynomiales, définie sur une partie de R ( en les points où le dénominateur ne s annule pas). une fonction rationnelle est D sur son domaine et ses dérivées sont des fonctions rationnelles sur le même domaine. 1

2 exponentielle et logarithme.1 logarithme népérien définition : la fonction ln ( logarithme népérien) est par définition l unique primitive sur ]0, + [, qui s annule en 1, de la fonction x 1/x. - la fonction ln est strictement croissante. - la fonction ln est D sur R + et ses dérivées multiples se déduisent de celles de x x 1. propriétés fonctionnelles : x, y ]0, + [, ln(xy) = ln(x) + ln(y) x ]0, + [, n Z, ln(x n ) = n ln(x) limites remarquables : ln(x) x + + et ln(x) x 0 ln(1 + t) 1 t t 0 - limite classique, que l on peut retenir avec la définition de la dérivée en 1 de ln en 1. inégalités à conna^ıtre : inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est en dessous de la tangente en 1 : t > 1, ln(1 + t) t la même après le changement de variable x = 1 + t : x > 0, ln(x) x 1

3 . exponentielle definition : la fonction exp ( exponentielle ) est la réciproque de ln. Elle est définie sur R, est à valeurs dans ]0, + [. - la fonction exp est strictement croissante. expression de ses dérivées : la fonction exp est D sur R et : k N, exp (k) = exp. propriétés fonctionnelles : a, b R, exp(a + b) = exp(a) exp(b) et exp(a b) = exp(a) exp(b) x R, n Z, (exp(x)) n = exp(nx) limites à conna^ıtre : exp(x) x + + et exp(x) 0 x - une limite classique, que l on peut retenir avec la définition de la dérivée en 0 de exp : exp(t) 1 t t 0 1 inégalité à conna^ıtre : une inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est au dessus de la tangente en 0 : t R, exp(t) 1 + t 3

4 .3 exposants réels définition : on définit pour deux réels x et y où x > 0, x y par : x > 0, y R, x y = exp(y ln(x)) - ainsi, comme on note e = exp(1), on a x R, e x = exp(x). formules classiques : x, t > 0, y, y R, (xt) y = x y t y ; (x y ) y = x yy ; x y+y = x y x y.4 fonctions puissances : fonctions puissances : ce sont les fonctions x x a, où a est un réel fixe, définies sur ]0, + [. - on retrouve parmi ces fonctions puissances, la fonction carré x x, la fonction racine carrée x x 1/, mais aussi la fonction inverse x 1/x = x 1, ainsi que la fonction x 1/ x = x 1/. - si a > 0, on peut prolonger la fonction puissance x x a par continuité en 0, en posant 0 a = 0. monotonie et limites : - si a > 0, la fonction x x a est strictement croissante et tend vers + en +. - si a < 0, la fonction x x a est strictement décroissante et tend vers + en 0 et vers 0 en +. expression des dérivées : - les fonctions puissances sont D sur ]0, + [. - Attention : la dérivabilité en 0, de même que la k fois dérivabilité en 0 dépend de la valeur de a et nécessite une étude précise. Qui se généralise comme suit : si f : x x a alors f : x ax a 1 k N, f (k) : x a(a 1) (a k + 1)x a k 4

5 .5 autres exponentielles et logarithmes : fonctions exponentielles de base b : ce sont les fonctions définies sur R par : t R, b t = e t ln(b) ( où b est un réel > 0). fonctions logarithmes de base α : ce sont les fonctions définies sur ]0, + [ par : x > 0, log α (x) = ln(x) ln(α) > 0). ( où α est un réel règle d or : avec les fonctions présentant un exposant dépendant de la variable, on passe à l exponentielle : u(x) v(x) = exp(v(x) ln(u(x))).6 comparaison asymptotique comparaison en 0 et + des puissances positives de x et de ln(x) : a, b > 0, x a ln(x) b x 0 0 et (ln(x)) b x a x + 0 comparaison en + des puissances positives de x et exp(x) : a, b > 0, ebx x a x + + Attention : pas de conclusion hâtive, si vous n êtes pas dans ce cadre là. Par exemple, l étude de la limite de xe x en + nécessite un changement de variable ( ici y = x ) ou l étude de la limite du ln de cette expression ( ici de ln(x) x en + ). 5

6 3 fonctions hyperboliques définition : t R, sh(t) = et e t ; ch(t) = et + e t sh est le sinus hyperbolique et ch est le cosinus hyperbolique ( nommés ainsi, car ils permettent de paramétrer les hyperboles). propriétés globales : la fonction sh est strictement croissante et impaire. - la fonction ch est paire et strictement croissante sur [0, + [. limites : on a les limites suivantes en + ( celles en s en déduisant par parité ou imparité) : sh(t) t + + ; ch(t) t + + formule : dérivées : t R, ch (t) sh (t) = 1 sh = ch ; ch = sh 6

7 4 sin, cos, tan et réciproques de leurs restrictions 4.1 sin et Arcsin propriétés de sin : la fonction sin est impaire, π-périodique, D sur R et on a la formule : k N, x R, sin (k) (x) = sin(x + k π ) ( ce qui se résume en disant : dériver sin revient à ajouter π/ à son angle ) définition de Arcsin : la restriction de la fonction sin à [ π/; π/] est bijective de [ π/; π/] sur [ 1, 1]. Sa réciproque est notée Arcsin. { [ 1, 1] [ π/, π/] Arcsin : y unique x de [ π/, π/]/ sin(x) = y propriétés de Arcsin : la fonction Arcsin est impaire y [ 1, 1], sin(arcsin(y)) = y et t [ π/, π/], Arcsin(sin(t)) = t attention : la dernière formule n est pas valable en dehors de l intervalle [ π/, π/]. dérivée de Arcsin : Arcsin est dérivable ( et même D ) sur ] 1, 1[ et : y ] 1, 1[, Arcsin (y) = 1 1 y 7

8 4. cos et Arccos propriétés de cos : la fonction cos est paire, π-périodique, D sur R et on a la formule : k N, x R, cos (k) (x) = cos(x + k π ) ( ce qui se résume en disant : dériver cos revient à ajouter π/ à son angle ) définition de Arccos : la restriction de la fonction cos à [0; π] est bijective de [0; π] sur [ 1, 1]. Sa réciproque est notée Arccos. { [ 1, 1] [0; π] Arccos : y unique x de [0; π]/ cos(x) = y propriétés de Arccos : y [ 1, 1], cos(arccos(y)) = y et t [0, π], Arccos(cos(t)) = t attention : la dernière formule n est pas valable en dehors de l intervalle [0, π]. dérivée de Arccos : Arccos est dérivable ( et même D ) sur ] 1, 1[ et : y ] 1, 1[, Arccos 1 (y) = 1 y 8

9 4.3 tan et Arctan propriétés de tan : la fonction tan est impaire π-périodique, D sur son domaine et on a la formule : x R/x π/[π], tan (x) = 1 + tan (x) = 1 cos (x) définition de Arctan : la restriction de la fonction tan à ] π/; π/[ est bijective de ] π/; π/[ sur R. Sa réciproque est notée Arctan. { R ] π/, π/[ Arctan : y unique x de ] π/, π/[/ tan(x) = y propriétés de Arctan : la fonction Arctan est impaire, dérivable sur R et : y R, tan(arctan(y)) = y et t ] π/, π/[, Arctan(tan(t)) = t attention : la dernière formule est fausse en dehors de l intervalle ] π/, π/[. dérivée de Arctan : y R, Arctan (y) = y 9