PCSI1 FONCTIONS USUELLES - résumé de cours FONCTIONS USUELLES

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1 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours FONCTIONS USUELLES I - R ET INÉGALITÉS On les propriétés suivntes, pour tous,b,c,d R : { c b c si 0 c ( b) b c c si c 0 Autrement dit : on ne chnge ps le sens d une inéglité en l multiplint des deu côtés pr une quntité positive, mis on l chnge de sens lorsque le fcteur multiplictif est négtif. A retenir : ( b) ( b). Remrque : si c > 0, on l équivlence ( b) ( c b c). } b (+c) (b+d) : on peut dditionner membre à membre des inéglités. c d } } b b ( d) (b c) : PAS DE SOUSTRACTION membre à membre! c d d c } 0 b 0 ( c) (b d) : produit d inéglités si TOUT est POSITIF! 0 c d ( (0 < b) 0 < b ) : l fonction est décroissnte sur ]0,+ [. ( ( b < 0) b ) < 0 : l fonction est décroissnte sur ],0[. ATTENTION : si on ne connit ps les signes de et b, on ne peut RIEN déduire de b. } 0 b 0 b 0 < c d 0 < d 0 d b : PAS DE QUOTIENT membre à membre! c c (0 b) (0 n b n ) pour tout entier n N ( n est croissnte sur [0,+ [). si 0 et 0 b lors on l équivlence : ( b) ( b ). L fonction est croissnte sur [0,+ [ mis décroissnte sur ],0]. pour tous et b réels, on l équivlence : ( b) ( 3 b 3 ). II - LA VALEUR ABSOLUE Définition : pour tout réel R, l vleur { bsolue de est : + si 0 = si 0 Définition : pour tous réels,b R, l distnce { entre et b est : b si b d(,b) = b = b si b Remrque : d(,b) = d(b,) est un réel positif. Conséquence : = d(0, ) = l distnce entre 0 et. Propriétés : pour tout R / Lcée Fidherbe, Lille

2 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours (i.e) R +. K K K [ K,+K]. D où ( h) ( h +h). pour tout n N : n = n. Un cs prticulier : = = (vec réel, [0,+ [). =. si = 0 : =. =. Mis on : ( ) = (cr ici est nécessirement positif à cuse de ). Propriétés : pour tous, R = et si = 0 : = + + (inéglité tringulire) + + (double inéglité tringulire) ± + (générlistion) ( + = + ) ( 0 (i.e) et ont le même signe ) (cs d églité) Remrque : l inéglité tringulire se générlise. A l ide d un risonnement pr récurrence sur n, on prouve fcilement : si,,..., n sont n réels (vec n entier, n ) lors n n. n n Autrement dit : i i. i= i= Remrque : pour tous,b,c R, en écrivnt c = ( b)+(b c) on obtient c b + b c c est-à-dire d(,c) d(,b)+d(b,c). Proposition : si, R lors m(,) = (++ ) et min(,) = (+ ). Prties mjorées-minorées-bornées : soit A, une prtie de R On dit que le réel M est un mjornt de A si, pour tout réel A, on : M. On dit que le réel m est un minornt de A si, pour tout réel A, on : m. On dit que l prtie A est mjorée si elle possède un mjornt. Ainsi : (A est mjorée) ( M R, A, M). On dit que l prtie A est minorée si elle possède un minornt. Ainsi : (A est minorée) ( m R, A, m ). On dit que l prtie A est bornée si il eiste un réel K tel que, pour tout A, K. Proposition : (A est bornée) (A est mjorée et minorée). / Lcée Fidherbe, Lille

3 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours III - PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS f : D R vec D R Prité, imprité, périodicité On trville dns le repère orthonorml (O, e, e ), dns lequel est trcé le grphe C f de f. Rppel : C f = {M(,f()) D}. f : D R est pire si D est smétrique pr rpport à 0 (i.e si D D) et si pour tout D, f( ) = f(). Dns ce cs, C f dmet l e des ordonnées (O) comme e de smétrie. f : D R est impire si D est smétrique pr rpport à 0 (i.e si D D) et si pour tout D, f( ) = f(). Dns ce cs, C f dmet le point O comme centre de smétrie. Intéret : si f est pire ou impire, on l étudie uniquement sur les positifs (sur D R + ), et on déduit l étude globle pr smétrie (ile ou centrle selon l prité). Plus générlement : soit et b des réels et un ensemble D tel que ( D) ( D). Remrque : et sont smétriques pr rpport u point. Si D, f() = f( ) lors l droite verticle «=» est e de smétrie pour C f. Autre présenttion : pour tout h (sous réserve d eistence), f( h) = f( + h). Si D, f()+f( ) = b lors le point Ω(,b) est un centre de smétrie pour C f. f( h)+f(+h) Autre présenttion : pour tout h (sous réserve d eistence), = b. Soit un réel T > 0 : on dit que f est T-périodique si D est stble pr trnsltion de vecteur T e (i.e si D +T D) et si pour tout D, f(+t) = f(). Dns ce cs, C f est stble pr l trnsltion de vecteur horizontl T e. Il suffit donc d étudier et de trcer f sur un intervlle de longueur T (de l forme [ 0, 0 +T] : pr eemple [0,T], ou [ T, T], ou [T, 4T]) 3 3 puis d en déduire le reste pr trnsltion. Remrque : si f est T-périodique, lors on, pour tout D et tout entier n Z, f(+nt) = f() (si +nt D). Composition, monotonie, bijection Si f : D R et g : Δ R et D,f() Δ, ce que l on note f(d) Δ, lors on peut définir l fonction composée h = g f sur D pr : D, h() = g f() = g(f()). On dit que f est croissnte sur D si, pour tous,b D : ( < b f() f(b) (strictement croissnte si ( < b f() < f(b)). On dit que f est décroissnte sur D si, pour tous,b D : ( < b f() f(b) (strictement décroissnte si ( < b f() > f(b)). Remrque : si f est monotone (croissnte ou décroissnte) sur D et g monotone sur f(d), lors g f est monotone sur D. Pr eemple : f et g de même monotonie entrîne g f croissnte. Remrque : une somme de fonctions croissntes est croissnte. ATTENTION : c est fu en générl pour un produit ou un quotient. Une fonction f : I J est une bijection de I vers J si tout élément 0 de J possède, dns I, un et un seul ntécédent 0 pr f, utrement dit si, pour tout 0 J, l éqution f() = 0 3/ Lcée Fidherbe, Lille

4 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours possède une et une seule solution = 0 dns l ensemble I. Dns ce cs, on peut construire l ppliction réciproque de f, notée f : J I définie pr, pour tout 0 J, f ( 0 ) = 0. Propriétés : I, J : f f() = et f f () = i.e f (f()) = et f ( f () ) =. (d où les églités d pplictions f f = Id I et f f = Id J ). Le grphe C f de f est le smétrique orthogonl de celui de f pr rpport à l première bissectrice d éqution ( ) «=» (imge pr l réfleion d e «=»). En effet, sim est un point dec f, lorsb = f() donc = f (b) : pr conséquent, le b ( ) ( ) ( ) point M b est un point de C f. Les points M et M b sont smétriques b pr rpport à l première bissectrice. Théorème de l bijection : si I est un intervlle de R, si f est continue et strictement monotone sur I, lors f rélise une bijection de I vers f(i). Dns ce cs, l réciproque f : f(i) I est églement continue et de même monotonie que f. Fonctions mjorées, minorées, bornées f : D R est dite mjorée (sur D) s il eiste une constnte réelle M telle que, pour tout D, on f() M : (f mjorée sur D) ( M R, D, f() M). f : D R est dite minorée (sur D) s il eiste une constnte réelle m telle que, pour tout D, on f() m : (f minorée sur D) ( m R, D, m f()). f : D R est dite bornée (sur D) si s vleur bsolue f est mjorée, utrement dit s il eiste une constnte réelle K telle que, pour tout D, on f() K : (f bornée sur D) ( K R +, D, f() K). Propriété : on l équivlence (f est bornée sur D) (f est minorée et mjorée sur D). S il eiste un réel 0 D tel que, pour tout D, f() f( 0 ), on dit que M 0 = f( 0 ) est le mimum de f sur D (tteint en 0 ). On note : M 0 = f( 0 ) = m(f) = m(f()) = m{f() D} = m(f(d)). D D De même, S il eiste un réel 0 D tel que, pour tout D, f() f( 0 ), on dit que m 0 = f( 0 ) est le minimum de f sur D (tteint en 0 ). On note : m 0 = f( 0 ) = min(f) = min(f()) = min{f() D} = min(f(d)). D D IV - FONCTIONS et DÉRIVATION Dérivtion et tngente ( ) f() f() Soit f : D R et D : si l limite lim (nombre dérivé de f en ). eiste ET est finie, on l note f () 4/ Lcée Fidherbe, Lille

5 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours ( ) ( ) f() f() f(+h) f() Remrque : on églement f () = lim = lim. h 0 h Si ceci est vérifié pour tout point de D, on construit l fonction dérivée D R ( ) ( ) f : f() f() f(+h) f(). f () = lim = lim h 0 h Autre nottion : f = f () = Df = df d. Si f est elle-même dérivble, on note f = (f ) = f () = d f d. De même, on définit les dérivées successives f (n) = dn f d où, pr convention, n f(0) = f et f (n+) = ( f (n)). Intérêts : Soit f, une fonction dérivble en : notons M 0 et M les points de coordonnées respectives (,f()) et (,f()), points situés sur C f, grphe de f dns un repère orthonormé. Alors T () := f() f() représente l pente de l sécnte (M 0 M) : f () = lim T () est donc l pente de l «sécnte limite» lorsque M M 0, utrement dit l pente de l tngente à C f en M 0. A retenir : «Y = f ()(X )+f()» est une éqution de l tngente T à C f u point M 0 (,f()). Le signe de f sur un intervlle permet d obtenir les vritions de f. Plus précisément : si f 0 sur un INTERVALLE I lors f est croissnte sur I. si f > 0 sur un intervlle I lors f est strictement croissnte sur I. si f > 0 sur un intervlle I suf en un nombre fini de points 0 où f ( 0 ) = 0, lors f est strictement croissnte sur I. résultts similires vec f 0, f < 0 et l décroissnce de f sur l INTERVALLE I. Propriétés de l dérivtion Si f et g sont dérivbles sur D et α, β des CONSTANTES, lors : (αf +βg) = αf +βg (linérité de l dérivtion) ET (f g) = f g +f g. Si g ne s nnule ps sur D : ( ) ( ) = g f ET = f g fg g g g g Si f est dérivble sur I, si g est dérivble sur l ensemble imge f(i), lors l composée g f est dérivle sur I vec (g f) = f (g f). Autrement dit, (g(f)) = f g (f). Eemples : si u est une fonction dérivble, sous réserve d eistence : (f(u)) = u f (u). Conséquences : (sin(u)) = u cos(u), (cos(u)) = u sin(u), (tn(u)) = u (+tn (u)) = u cos (u), (u α ) = αu u α où α=constnte, (ln( u )) = u u, (ep(u)) = u ep(u). 5/ Lcée Fidherbe, Lille

6 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours Dérivtion de l réciproque d une bijection Proposition : si f est une bijection de I vers J, si f est dérivble en I vec f () = 0, lors s réciproque f est dérivble u point b = f() J vec ( f ) (b) = f (f (b)) = f (). Eemple prtique Si f est dérivble vec f > 0 sur sur l intervlle I, lors f étblit une bijection de I vers f(i) = J. S ( réciproque f est dérivble sur J vec, pour tout t J : ) f (t) = f (f (t)) (idem si f < 0). V - FONCTIONS USUELLES Logrithme, eponentielle, puissnce Voir polcopié mnuscrit. Quelques résultts en vrc : Logrithme néperien : pour > 0, ln() = t. ln() α + 0 et α ln() et D ln =]0,+ [, ln() = 0, ln(e) =, lim 0 +ln() =, lim ln() = +. + ( ) ( Si > 0, b > 0 : ln(b) = ln()+ln(b), ln = ln(b), ln = ln() ln(b). b b) Si > 0 et α R : ln( α ) = αln(). ( ) ( ) ln() ln(+) lim = 0, lim + 0 +(ln()) = 0, lim =. 0 Conséquences : vec une constnte α > 0, ln(+) α si α > si α = 0 si α <. d(ln()) d =. Si u est dérivble : (ln( u )) = u u. Inéglité à retenir : pour tout ],+ [, ln(+) (i.e si t > 0, ln(t) t ). Eponentielle Si R et ]0,+ [, lors : ( = ep()) ( = ln()). D ep = R, ep(0) =, ep() = e, lim ep() = 0, lim Si R, b R : ep(+b) = ep()ep(b), ep(b) = ep( b), Si R et α R : (ep()) α = ep(α). Nottion : ep() = e. ( ) ( ) e e lim = +, lim + (e ) = 0, lim =. 0 Conséquences : vec une constnte α > 0, ep() = +. + ep() ep(b) = ep( b), 6/ Lcée Fidherbe, Lille

7 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours e + et α + α e 0 et e α si α > si α = 0 si α <. Inéglité à retenir : pour tout R, e +. d(e ) d = e. Si u est dérivble : (e u ) = u e u. Pour tout n N : (ep) (n) = ep. Si A > 0 et B R, l définition de A B est : A B = e Bln(A). Conséquence : si u et v sont des fonctions dérivbles, lors, sous réserve d eistence, l dérivée de l fonction u v est (u v ) = ( ( ) e vln(u)) = v ln(u)+v u u v. u Logrithme déciml : si > 0, on définit = log 0 () (ou tout simplement log()) pr = 0. Autrement dit : ln() = ln(0) donc = log 0 () = ln() ln(0). Ainsi : ( = 0 ) ( = log 0 () = log() = ln() ln(0) ). Puissnces Si α R, on définit, sur ]0,+ [, l fonction f : α = e αln(). Elle est dérivble sur ]0,+ [ vec f () = α α d( α ) : d = αα. Puis, pr composition, vec u fonction dérivble à vleurs dns ]0,+ [ et α constnte : (u α ) = αu u α. Si, ]0,+ [, α,β R : () α = α α, α β = α+β, ( α ) β = αβ. Grphes =ep() et =ln()) =ep() 4 =+ = = =ln() grphes de =^ selon = < 0 > 0<< 4 0 = 0 = 0 < Fonctions hperboliques : cosinus et sinus hperboliques Pour tout R, on pose : ch() = e +e (fonction pire) et sh() = e e (fonction impire) 7/ Lcée Fidherbe, Lille

8 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours On : R, ch()+sh() = e et ch() sh() = e puis ch () sh () =. Conséquence : puisque, pour tout réel, ch() est positif et sh() le signe de, on en déduit + si > 0 les formules vec sgn() = si < 0 0 si = 0 pour tout réel, ch() = +sh () et sh() = sgn() ch (). ch = sh et sh = ch d où, si u est une fonction dérivble : (ch(u)) = u sh(u) et (sh(u)) = u ch(u). Ces fonctions sont leur propre dérivée seconde : ch = ch et sh = sh. Mieu, si ω est une constnte, lors les fonctions [ ch(ω)] et [ sh(ω)] sont des solutions de l éqution différentielle (linéire, homogène, du second ordre) : ω = 0. ( ) ( ) sh() ch() Limites usuelles : lim = et lim = 0 0. Grphes =ch() 5 =sh() et = =ch(),=sh(),=ep()/ Complément : on définit églement l fonction tngente hperbolique pr pour tout R, th() = sh() ch(). C est une fonction impire, dérivble sur R vec th = ch = th. Elle est strictement croissnte sur R vec lim (th()) = ±. Grphe : ± =th() / Lcée Fidherbe, Lille

9 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours Fonctions trigonométriques réciproques : Arcsinus, Arccos, Arctngente Quelques rppels ( ) ( ) sin tn lim = lim 0 0 Si u est une fonction dérivble : =, lim 0 ( ) cos =, R, sin. (sin(u)) = u cos(u), (cos(u)) = u sin(u), (tn(u)) = u cos (u) = u ( +tn (u) ). Arcsin : l fonction f : f est notée Arcsin : [ π,+π ] [,+] f() = sin() est une bijection, dont l réciproque [,+] [ π,+π], fonction croissnte et impire. f () = Arcsin(), sin et rcsin =rcsin() Pi/ Pi/ Pour tous [ π,+π ], [,+], on l équivlence : ( = sin()) ( = Arcsin()). Attention : (Arcsin(sin()) = ) ( [ π,+π ]) et (sin(arcsin()) = ) ( [,+]) L fonction Arcsin est dérivble sur ],+[ vec : ],+[, Arcsin () =. Ainsi, si u est une fonction dérivble, à vleurs dns ],+[ : (Arcsin(u)) = Arccos : l fonction f : est notée Arccos : [0,π] [,+] f() = cos() [,+] [0,π] f () = Arccos() u u. est une bijection, dont l réciproque f, fonction décroissnte MAIS non pire. 9/ Lcée Fidherbe, Lille

10 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours 07-08, cos et rccos 3 =rccos() 3 Pi.5.5 Pi/ Pour tous [0,π], [,+], on l équivlence : ( = cos()) ( = Arccos()). Attention : (Arccos(cos()) = ) ( [0,π]) et (cos(arccos()) = ) ( [,+]) L fonction Arccos est dérivble sur ],+[ vec : ],+[, Arccos () =. Ainsi, si u est une fonction dérivble, à vleurs dns ],+[ : (Arccos(u)) = u u. Remrque : pour tout [,+], Arccos()+Arcsin() = π et sin(arccos ) = cos(arcsin ) =. Conséquence : Arccos(sin()) = π Arcsin(sin()) = π si [ π,+π ]. Arctn : l fonction f : f est notée Arctn : ] π,+π [ R f() = tn() est une bijection, dont l réciproque R ] π,+π[, fonction croissnte et impire. f () = Arctn(), tn et rctn 4 =rctn() Pour tous ] π,+π [, R, on l équivlence : ( = tn()) ( = Arctn()). Attention : (Arctn(tn()) = ) ( ] π,+π [) et (tn(arctn()) = ) ( R]) 0/ Lcée Fidherbe, Lille

11 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours L fonction Arctn est dérivble sur R vec : R, Arctn () = +. Ainsi, si u est une fonction dérivble, à vleurs dns R : (Arctn(u)) = u +u. Remrque : pour tout R, Arctn() + Arctn ( ) = sgn() π { où sgn() = = + si > 0 si < 0. Compléments : clcul de l rgument d un complee non nul vec l fonction Arctn Soit z = +i = 0, un complee non nul, et θ un rgument de z. On pose r = z = + (r > 0). On z = +i = re iθ = rcos(θ)+irsin(θ) d où = rcos(θ) et = rsin(θ) d où cos(θ) = r, sin(θ) = sin(θ) et tn(θ) = r cos(θ) = si = 0. Si = Re(z) = 0 : lors z est un imginire pur, et θ = sgn() π [π]. ( ) Si = Re(z) > 0 : lors on peut choisir un rgument dns ] π,+π[, et θ = Arctn [π]. ( ) Si = Re(z) < 0 : lors on peut choisir un rgument dns ] π,3π[, et θ = π+ Arctn [π]. On rppelle que l fonction tngente est π-périodique : en prticulier, tn(θ) = tn(θ π). Remrque : il eiste, selon les cs, d utres représenttions possibles. Si z = +i est non nul (où et réels), en posnt r = z = +, on peut récupérer un rgument θ de z vec { Arccos ( ) { si 0 θ = r Arccos ( Arcsin ( ) { si 0 ) θ = r r si < 0 π Arcsin ( Arctn ( ) si > 0 ) θ = r si < 0 Arctn ( ) +π si < 0 Fonctions à vleurs complees On considère ici des fonctions f définies sur une prtie D de R (i.e D R), mis à vleurs complees (i.e à vleurs dns C). Autrement dit : D C f :, où (t) et (t) sont les prties réelles et imginires de f(t). t f(t) = (t)+i(t) L fonction f : D R C est dérivble si les fonctions : D R et : D R le sont, et on : f (t) = (t)+i (t) i.e d(+i) = d +id. Propriétés : Sif etg sont des fonctions dérivbles à vleurs complees, etα,β des CONSTANTES dns C, lors on : ( ) f (αf +βg) = αf +βg ET (f g) = f g +f g ET = f g fg. g g Remrque : de même, on, pour et b réels, sous réserve d eistence : b f(t) = b ((t)+i(t)) = b (t)+i b (t). / Lcée Fidherbe, Lille

12 PCSI FONCTIONS USUELLES - résumé de cours Proposition : soit φ : D R C, une fonction à vleurs complees et dérivble. Alors l fonction composée ep φ : est dérivble, et on : d(e t ) Eemple : si C, Un cs prticulier : d(eit ) d(cos(t)+isin(t)) On retrouve : d(cos(t)) = sin(t) et Ou, vu utrement : d(cos(t)) = Autre eemple : soit f : ( d D R C C φ ep t φ(t) ep φ(t) = ep(φ(t)) = e φ(t) (e φ ) = φ e φ. =.e t. D où les primitives det e t : = i.e it, utrement dit ) e it +e it = i.(cos(t)+isin(t)) = sin(t)+icos(t). d(sin(t)) = cos(t). e t =.et + constnte. = ieit ie it = i eit e it = eit e it = sin(t). i R + C où α = +ib C. t f(t) = t α := e αln(t) = t.e ibln(t) Un clcul de dérivées pr composition permet d étblir : d(tα ) = α.t α. Autre eemple : soit z, un complee non réel i.e z C R, z = +ib vec (,b) R R. R C L fonction f : f() = est donc bien définie sur R. z On peut montrer qu elle est est dérivble sur R vec, pour tout R, f () = ( z). Esquisse de l preuve : on écrit f() = z = (+ib) = ( ) ib = ( )+ib ( ) +b = ( ) +b +i b ( ) +b. On dérive pr rpport à l vrible : f () = ( ) +b ( ) b( ) [( ) +b ] i [( ) +b ] = ( ) +b ib( ) [( ) +b ] f () = [( )+ib] [( ) +b ] = [( ) ib] = ( z) / Lcée Fidherbe, Lille