COURS DE BTS, premie re anne e.

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1 COURS DE BTS, premie re anne e. Contenu ALGORITHMIQUE...3 I GENERALITES...3 II AVEC UNE CALCULATRICE....3 III L instruction conditionnelle....4 IV La boucle itérative....5 V La boucle conditionnelle....5 METHODES GENERALES...7 La solution d une équation du type est de la forme...7 Avec un logiciel de calcul formel on utilise la commande solve :...7 I Résolution d'une équation du second degré...7 II Factorisation d'un trinôme...9 III Signe d'un trinôme... 1 LES FONCTIONS USUELLES I VOCABULAIRE ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION II LA FONCTION AFFINE III LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN IV LA FONCTION EXPONENTIELLE V : FONCTIONS PUISSANCES VI FONCTIONS CIRCULAIRES LES LIMITES.... I CALCULS ET FORMULES.... II LES ASYMPTOTES III LES THEOREMES DE COMPOSITION ET DE COMPARAISON IV LIMITES DES FONCTIONS USUELLES LA DERIVATION... 6 I GENERALITES II DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES :... 6 III THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES.... 7

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3 ALGORITHMIQUE I GENERALITES Un algorithme est une suite d instructions, qui permet à une machine de réaliser des tâches données. Les recettes de cuisine sont des algorithmes. Il existe de nombreux logiciels et plateformes. Construction d un algorithme Un algorithme se présente en général sous la forme suivante : Déclaration des variables : on décrit dans le détail les éléments que l on va utiliser dans l algorithme, Initialisation ou Entrée des données : on récupère les données et/ou on les initialise, Traitement des données : on effectue les opérations nécessaires pour répondre au problème posé, Sortie : on affiche le résultat. Utilisation du logiciel ALGOBOX téléchargeable gratuitement. Des tutoriels : Utilisation en ligne : II AVEC UNE CALCULATRICE. On peut réaliser des algorithmes avec une calculatrice. Il faut respecter la même démarche intellectuelle. Déclaration des variables Initialisation ou Entrée des données Traitement des données Sortie Version TI Appuyer sur programme PRGM Sélectionner nouveau NOUV Donner un nom au programme Version Casio Appuyer sur menu MENU Sélectionner programme PRGM Sélectionner nouveau NEW Donner un nom au programme :Input P =, P :Input T =, T P/T^->I Disp I=, I P = :? ->P T = :? ->T P/T^->I I = : I Appuyer sur programme PRGM Appuyer sur programme PRGM

4 Sélectionner Exécuter EXEC Sélectionner le programme Sélectionner le programme Exemple avec le programme qui calcule la moyenne de deux nombres. Variables a,b et c trois nombres Initialisation Saisir a et b Traitement c:= (a+b)/ Cette étape s appelle l affectation. Sortie Afficher c III L instruction conditionnelle. Pour résoudre certains problèmes, il est nécessaire de mettre en place un test pour effectuer une tâche. Si le test est positif, on effectue la tâche, Sinon, on effectue une autre tâche (cette ligne n est pas obligatoire). En langage naturel, cela donne : Si condition alors tâche 1 sinon tâche (ligne non obligatoire) FinSi Exemple : saisir un nombre et afficher son double si il est positif ou nul, sinon afficher le nombre. Variables A est un nombre Initialisation Saisir a Traitement Si a 0 alors afficher a sinon afficher a Fin Si

5 IV La boucle itérative. Dans un programme, on effectue parfois plusieurs fois la même tâche avec un nombre de fois déterminé à l avance. En algorithmique, on parle de boucle. On utilise une variable (souvent i) qui est un compteur, elle augmente de 1 à chaque fois. En langage naturel, cela donne Pour i de 1 jusque N Faire tâche Fin du pour Dans ce cas on répète notre tâche N fois. N est un nombre que l on doit demander dans le programme dans la face d initialisation. Exemple : Afficher les 10 entiers qui suivent un entier donné. Variables a est un entier I est un entier Initialisation Saisir a Traitement Pour i de 1 jusqu'à 10 Faire afficher a a= a+1 Fin du pour V La boucle conditionnelle. Dans un programme, on effectue parfois plusieurs fois la même tâche avec un nombre de fois non déterminé à l avance. On répète les mêmes instructions tant qu une certaine condition n est pas remplie. On utilise alors une boucle conditionnelle : la boucle s arrête quand la condition n est plus remplie. En langage naturel, cela donne Tant que condition faire Tâche

6 FinTant Exemple : afficher les racines carrées inférieures ou égales à un nombre donné. Variables N et d sont des entiers Initialisation Saisir N d :=0 Tant que (d² N) Afficher d² Fin tant que

7 METHODES GENERALES Rappels La solution d une équation du type est de la forme Avec un logiciel de calcul formel on utilise la commande solve : I Résolution d'une équation du second degré Définition : On appelle fonction polynôme de degré toute fonction f définie sur expression de la forme : f (x) ax bx c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a 0. par une Remarque : Une fonction polynôme de degré s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - f (x) 3x 7x 3, - g(x) 1 x 5x 5 3, - h(x) 4 x - k(x) (x 4)(5 x) sont des fonctions polynômes de degré. - m(x) 5x 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x) 5x 4 3x 3 6x 8 est une fonction polynôme de degré 4.

8 Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax bx c 0 où a, b et c sont des réels avec a 0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax bx c. Exemple : L'équation 3x 6x 0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax bx c, le nombre réel, noté, égal à b 4ac. Propriété : Soit le discriminant du trinôme ax bx c. - Si < 0 : L'équation ax bx c 0 n'a pas de solution réelle. - Si = 0 : L'équation ax bx c 0 a une unique solution : x 0 b a. - Si > 0 : L'équation ax bx c 0 a deux solutions distinctes : x 1 b a et x b. a Méthode : Résoudre une équation du second degré Résoudre les équations suivantes : a) x x 6 0 b) x 3x c) x 3x 10 0 a) Calculons le discriminant de l'équation x x 6 0 : a =, b = -1 et c = -6 donc = b 4ac = (-1) 4 x x (-6) = 49. Comme > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : b x1 a x b 1 49 a b) Calculons le discriminant de l'équation x 3x :

9 a =, b = -3 et c = 9 8 donc = b 4ac = (-3) 4 x x 9 8 = 0. Comme = 0, l'équation possède une unique solution : x 0 b a c) Calculons le discriminant de l'équation x 3x 10 0 : a = 1, b = 3 et c = 10 donc = b 4ac = 3 4 x 1 x 10 = -31. Comme < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. II Factorisation d'un trinôme On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur f (x) ax bx c peut s'écrire sous sa forme canonique : par f ( x) ax avec b a et b 4ac. 4a Donc : b b 4ac f ( x) a x a 4a b ax a 4a b ax a 4a - Si < 0 : L'équation f (x) 0 n'a pas de solution. - Si = 0 : L'équation f (x) 0 n'a qu'une seule solution : x 0 b a - Si > 0 : L'équation f (x) 0 a deux solutions distinctes : x 1 b a et x b a

10 Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré définie sur par f (x) ax bx c. - Si = 0 : Pour tout réel x, on a : f (x) a(x x 0 ). - Si > 0 : Pour tout réel x, on a : f ( x) ax x x x. 1 Remarque : Si < 0, on n'a pas de forme factorisée de f. Méthode : Factoriser un trinôme Factoriser les trinômes suivants : a) 4x 19x 5 b) 9x 6x 1 a) On cherche les racines du trinôme 4x 19x 5 : Calcul du discriminant : = 19 4 x 4 x (-5) = 441 Les racines sont : x 1 On a donc : x 54x x 19x 5 4x 5x et x Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. b) On cherche les racines du trinôme 9x 6x 1:

11 Calcul du discriminant : = (-6) 4 x 9 x 1 = 0 La racine (double) est : x x 6x 1 9x On a donc : 3. 3x 1 Méthode : Résoudre une équation Résoudre l'équation (E) : x x 3x x x 13x On commence par factoriser les expressions x 3x et x 13x 6 : Le discriminant de x 3x est = (-3) 4 x x (-) = 5 et ses racines sont : x et x On a donc : x 3x x x x 1 x. Le discriminant de x 13x 6 est ' = 13 4 x x 6 = 11 et ses racines sont : x 1 ' et x ' On a donc : x 13x 6 x 6 x x 6x 1 x - L'équation (E) s'écrit : x 1 x x 6 x 1 Les valeurs -6, 1 et annulent le dénominateur. On résout alors (E) sur 1 \ 6; ; : (E) s'écrit : 1 x x 1 x 6 x 1 0 x 0.

12 x 6 x 1 x 6 x 6x 1 x6 x x1 x6 x 6 x 0 0 x 0 car x 1 et x 6. Le discriminant de x x 6 est '' = 1 4 x (-1) x 6 = 5. Les racines sont : 1 5 x1 '' 3 et x 1 Les solutions de l'équation (E) sont : - et '' 1 III Signe d'un trinôme Remarque préliminaire : Pour une fonction polynôme de degré définie par f (x) ax bx c : - si a > 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut : - si a < 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas :

13 Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré définie sur par f (x) ax bx c. - Si < 0 : x a > 0 a < 0 f(x) Signe de a - Si = 0 : x x 0 a > 0 a < 0 f(x) Signe de a O Signe de a Si < 0 : - Si > 0 : x x 1 x a > 0 a < 0 f(x) Signe de a O Signe de a O Signe de a

14 Méthode : Résoudre une inéquation Résoudre les inéquations suivantes : a) x 3x 5 x b) 1 x x 6 On commence par rassembler tous les termes dans le membre de gauche afin de pouvoir étudier les signes des trinômes. a) x 3x 5 x équivaut à x 4x 7 0 Le discriminant de x 4x 7 est = 4 4 x 1 x (-7) = 44 et ses racines sont : x et x On obtient le tableau de signes : x f(x) + O O + L'ensemble des solutions de l'inéquation x 3x 5 x est donc 11; 11. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. Un logiciel de calcul formel permet également de contrôler le résultat : b) 1 x x 6 équivaut à 1 x x 6 0

15 Soit : x x 13 0 x x 6 - On commence par déterminer les racines du trinôme x x 6 : Le discriminant est = (-1) 4 x 1 x (-6) = 5 et ses racines sont : x et x Les valeurs - et 3 annulent le dénominateur. On résout donc l'équation dans \ ;3. - On détermine les racines du trinôme x x 13: Le discriminant est ' = 4 x (-) x 13 = 108 et ses racines sont : 108 x 1 ' On obtient le tableau de signe : 108 et x ' x - 3 O O x x 13 x x O O + + x x 13 x x 6 O + + O L'ensemble des solutions de l'inéquation 1 x x 6 est : ; U 3; Un logiciel de calcul formel permet de contrôler le résultat :

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17 LES FONCTIONS USUELLES I VOCABULAIRE ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION. Une fonction est un procédé de calculs définie sur un intervalle qui à tout nombre de l intervalle fait correspondre un seul nombre. Notation et vocabulaire : Soit f la fonction définie sur I par f(x)=3x²-4x+1 x 3x²-4x+1 On a f(1) = 0 0 est une image de 1. 1 est un antécédent de O Pour représenter une fonction, on peut utiliser un logiciel de représentation graphique (par exemple géogébra) et/ou sa calculatrice. La représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé est : Il faut également maîtriser les notions de croissance, décroissance, constante, minimum et maximum

18 II LA FONCTION AFFINE. Définition. a et b étant des nombres donnés. La fonction définie sur R par x ax+b est une fonction affine. La représentation graphique d une fonction affine est la droite d équation y=ax+b (non verticale). Une fonction affine par morceaux est une fonction affine définie par intervalles. Sa représentation graphique est constituée de segments. Exemple : Soit f affine par morceaux définie sur [-3 ;4] par { III LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition : La fonction logarithme!népérien est la fonction définie sur R comme primitive de la fonction inverse qui s annule pour x=1. On peut écrire Propriétés de calculs : Si a et b sont deux nombres réels strictement positifs et n un entier relatif, on a

19 (Formule vraie pour n appartenant à R) Rappel : Exemple souvent utilisé : De plus ln 1 = 0 ln e = 1. e est appelé base des logarithmes népériens. a=b ln a = ln b ln est une fonction croissante, donc a<b ln a < ln b Si a est un réel strictement positif différent de 1, on a : IV LA FONCTION EXPONENTIELLE. Définition : On appelle fonction exponentielle de base e la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Notation : Propriété pour simplifier les équations : positif. On peut écrire pour tout réel et pour tout réel strictement

20 Propriétés de calcul: = 1 Exp est une fonction croissante, donc V : FONCTIONS PUISSANCES. Définition : on appelle fonction puissance toute fonction f définie sur R par réel différent de 1 avec Les fonctions puissances possèdent les propriétés des puissances. De plus VI FONCTIONS CIRCULAIRES. Les fonctions sin et cos sont π périodiques. La fonction tan est π périodique. Représentation des fonctions cos et sin/

21 Représentation de la fonction tan Pour les nombreuses formules, se reporter au formulaire.

22 LES LIMITES. I CALCULS ET FORMULES. On considère la fonction définie sur R { }. Voici sa représentation graphique : On retrouve les quatre limites de la fonction f : 1) Limite d une somme. f g f + g l l l+l l + + l Forme indéterminée ) Limite d un produit. f g f g l l l l

23 l>0 + + l>0 - - L<0 + - L< ± Forme indéterminée 3) Limite d un quotient. f g f g l l 0 l l l ± 0 ± l 0 0 ± Forme indéterminée Forme indéterminée 0 4) Les formes indéterminées : Il existe quatre formes indéterminées : - 0 II LES ASYMPTOTES. Soit a R Une limite infinie en a se traduit par une asymptote verticale d équation x=a Une limite fine en ± se traduit par une asymptote horizontale d équation y =a Une droite d équation y = ax+b est asymptote oblique à la fonction f ssi ( ) III LES THEOREMES DE COMPOSITION ET DE COMPARAISON. Théorème de comparaison. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I = [a ; + [.

24 Si pour tout x appartenant à I on a f(x) g(x) et si alors Si pour tout x appartenant à I on a f(x) g(x) et si alors On obtient les mêmes résultats sur l intervalle ]- ;a] et des limites en - Théorème des gendarmes. Soient f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I = [a ; + [. Si pour tout x appartenant à I, on a g(x) f(x) h(x) et si alors Théorème de composition. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I = [h ; + [. Si et si alors ( ) A, b et c désignent des réels ou. IV LIMITES DES FONCTIONS USUELLES. 1) La fonction logarithme Népérien. et ) La fonction exponentielle.

25 et 3) Les fonctions puissances. On dit que la fonction exponentielle l emporte sur les fonctions puissances qui l emportent sur la fonction logarithme.

26 LA DERIVATION I GENERALITES. Nombre dérivé : une fonction f définie au voisinage de x 0 et en x 0 est dérivable en x 0 lorsque est un réel. On le note f (x 0 ) ou Dérivées successives : on peut dériver successivement une fonction. On note f ou la dérivée de f. Interprétations. f (x 0 ) est le coefficient directeur de la tangente à la représentation graphique de la fonction f en x 0. La tangente a donc pour équation : y=f (x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 ) en cinématique, si la position d un point en fonction du temps est donné par la formule y=f(t), f (t 0 ) est la vitesse instantanée du mobile en t 0 Théorème : Si f 0 sur un intervalle I, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f 0 sur un intervalle I, alors f est décroissante sur cet intervalle. Si f (x) s annule et change de signe en un pointa, la fonction présente un extremum en a. Dérivée des fonctions composées : II DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES : Fonction et/ou Domaine de validité Dérivée Domaine de validité opération K (constante) R 0 R R u n-1 u R

27 (u+v) u v v 0 R u +v u v+uv v 0 R e u R u e u R R R Cos u Sin u -u sin u u cosu III THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES. Si f est une fonction dérivable sur l intervalle [a ; b] et si f(a) et f(b) sont non nuls et de signe contraire alors l équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l intervalle [ a ; b[. De plus (théorème de la bijection) si f est strictement monotone sur l intervalle, la solution est unique.