Modélisation de l alignement dans les sociétés animales (bancs de poissons, nuées d oiseaux) : limite cinétique et transitions de phase

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1 Modélisation de l alignement dans les sociétés animales (bancs de poissons, nuées d oiseaux) : limite cinétique et transitions de phase Amic Frouvelle CEREMADE Université Paris Dauphine Mathématiques en Mouvement juin, Université Paris-Descartes Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

2 But : description macroscopique de comportements collectifs Interactions locales sans la présence de «leader» Émergence de structures macroscopiques, transitions de phase Images Benson Kua (flickr) et Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

3 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique de la réalité. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

4 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

5 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

6 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

7 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

8 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

9 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

10 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Les ingrédients : Les individus se déplacent à vitesse constante. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

11 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Les ingrédients : Les individus se déplacent à vitesse constante. Ils cherchent à s aligner avec leurs voisins. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

12 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Les ingrédients : Les individus se déplacent à vitesse constante. Ils cherchent à s aligner avec leurs voisins. Leur déplacement n est pas déterministe (libre arbitre). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

13 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Les ingrédients : Les individus se déplacent à vitesse constante. Ils cherchent à s aligner avec leurs voisins. Leur déplacement n est pas déterministe (libre arbitre). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

14 Modélisation du mouvement collectif et de l alignement Le modèle : un choix d un système de représentation mathématique d une partie de la réalité. En vue de l étudier, le simuler, d en découvrir des propriétés, de montrer des théorèmes, de prédire son comportement, etc. Les ingrédients : Les individus se déplacent à vitesse constante. Ils cherchent à s aligner avec leurs voisins. Leur déplacement n est pas déterministe (libre arbitre). Exemple : modèle de Vicsek [1995], d après des modèles analogues plus réalistes (Aoki [1982], Reynolds [1987], Huth-Wissel [1992]). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

15 Simulation du modèle de Vicsek

16 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

17 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k dt = V k. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

18 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k = V dt k. Alignement (avec un taux λ) de l indidivu k sur l individu j : dv k dt = λ (V j V k ) Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

19 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k = V dt k. Alignement (avec un taux λ) de l indidivu k sur l individu j : dv k dt = λp V k (V j V k ) Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

20 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k = V dt k. Alignement (avec un taux λ) de l indidivu k sur l individu j : dv k dt = λp V k V j Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

21 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k = V dt k. Alignement (avec un taux λ) de l indidivu k sur les voisins j, moyenne pondérée par un poids K( X k X j ) : dv k = 1 K( X dt N k X j )λp V V j k j Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

22 Dynamique des individus On considère N individus. Positions : X 1,..., X N dans R n (n = 2, 3, plus?). Vitesses : V 1,..., V N dans S (la sphère unité : V k = 1). Déplacement à vitesse constante : dx k = V dt k. Alignement (avec un taux λ) de l indidivu k sur les voisins j, moyenne pondérée par un poids K( X k X j ) : dv k = 1 K( X dt N k X j )λp V V j k j Ajout d un bruit (d intensité τ) en vitesse : le modèle final est un système d équations différentielles stochastiques couplées. { dxk = V k dt 1 dv k = λp V k N j K( X k X j ) V j dt + 2τ P V db k k t. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

23 Le modèle est bien posé Théorème d existence et d unicité des solutions Pour (X k,0, V k,0 ) k 1,N des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans (R n S) N, il y a existence globale et unicité (trajectorielle) de solutions (à valeurs dans (R n S) N ) du système d équations différentielles stochastiques (pour k 1, N ) { dxk = V k dt 1 dv k = λp V k N j K( X k X j ) V j dt + 2τ P V db k k t. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

24 Le modèle est bien posé Théorème d existence et d unicité des solutions Pour (X k,0, V k,0 ) k 1,N des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans (R n S) N, il y a existence globale et unicité (trajectorielle) de solutions (à valeurs dans (R n S) N ) du système d équations différentielles stochastiques (pour k 1, N ) { dxk = V k dt 1 dv k = λp V k N j K( X k X j ) V j dt + 2τ P V db k k t. Simplifications : R n K( x )dx = 1. Dans le cas de conditions périodiques en espace, le même théorème s applique, on peut alors approcher les solutions du système à l aide de simulations numériques ( schéma d Euler). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

25 Cas sous-critique λ = 1.9 Cas surcritique λ = 2.3

26 Description cinétique «Probabilité de présence» d un individu en x et avec une vitesse v au temps t : f N (x, v, t) (pour le système à N individus). Théorème (Bolley, Cañizo, Carrillo, 2012) On suppose que les probabilités de présence initiales sont indépendantes et identiquement distribuées. Alors, lorsque N, f N converge (en loi) vers une densité de probabilité f (x, v, t), qui satisfait (faiblement) l équation aux dérivées partielles suivante : J f (x, t) = t f + v x f }{{} transport y + λ v (P v J f f ) }{{} alignement K(x y)j f (y, t)dy, J f (x, t) = = τ v f }{{} bruit v S v f (x, v, t) dv. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

27 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Réduction du problème, version homogène en espace Équation réduite, pour une fonction f (v, t) t f = λ v (P v J f f ) + τ v f, J f (t) = f (v, t) v dv. Paramètre clé : la quantité ρ = S f (v, t)dv (conservée). S Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

28 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Réduction du problème, version homogène en espace Équation réduite, pour une fonction f (v, t) t f = λ v (P v J f f ) + τ v f, J f (t) = f (v, t) v dv. Paramètre clé : la quantité ρ = S f (v, t)dv (conservée). En dimension 2, il y a correspondance entre f (v, t) et une fonction f (θ, t), 2π-périodique en θ. L équation réduite s écrit S t f = λ θ (J s f cos θ J c f sin θ) + τ θθ f, ( ) J (t) c f J s f = 1 2π ( ) cos θ f (θ, t) dθ. (t) 2π sin θ 0 Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

29 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Existence, unicité, régularité, positivité, bornes Théorème Pour une mesure finie initiale f 0 H s (S), (s arbitraire) : Existence et unicité d une solution faible f. Solution globale, dans C (R + S), et f > 0 pour t > 0. Estimations de régularité instantanée et bornes uniformes : ( f (t) 2 H s+m C ) t m f 0 2 H s. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

30 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Existence, unicité, régularité, positivité, bornes Théorème Pour une mesure finie initiale f 0 H s (S), (s arbitraire) : Existence et unicité d une solution faible f. Solution globale, dans C (R + S), et f > 0 pour t > 0. Estimations de régularité instantanée et bornes uniformes : ( f (t) 2 H s+m C ) t m f 0 2 H s. Pour la suite, on se fixe ρ > 0, et on suppose que ρ = S f 0(v, t)dv. Alors la «masse totale» S f (v, t)dv est constante (égale à ρ). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

31 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Équilibres Définitions : distribution de von Mises Fisher M κω (v) = e κ v Ω S eκ w Ω dw. Orientation Ω S, concentration κ 0. Paramètre d ordre : c(κ) = J MκΩ = π 0 cos θ eκ cos θ sin n 2 θ dθ π. 0 eκ cos θ sin n 2 θ dθ Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

32 Équilibres Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Définitions : distribution de von Mises Fisher M κω (v) = e κ v Ω S eκ w Ω dw. Orientation Ω S, concentration κ 0. Paramètre d ordre : c(κ) = J MκΩ = π 0 cos θ eκ cos θ sin n 2 θ dθ π. 0 eκ cos θ sin n 2 θ dθ On pose κ f = λ τ J f et Ω f = J f J f, le modèle s écrit : [ ( )] f t f = τ ω M κf Ω f ω. M κf Ω f Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

33 Équilibres Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Définitions : distribution de von Mises Fisher M κω (v) = e κ v Ω S eκ w Ω dw. Orientation Ω S, concentration κ 0. Paramètre d ordre : c(κ) = J MκΩ = π 0 cos θ eκ cos θ sin n 2 θ dθ π. 0 eκ cos θ sin n 2 θ dθ On pose κ f = λ τ J f et Ω f = J f J f, le modèle s écrit : [ ( )] f t f = τ ω M κf Ω f ω. M κf Ω f Équilibres : f eq = ρm κω, pour un Ω S. Alors J feq = ρ J MκΩ = ρc(κ), et κ = κ feq = λ τ J f eq. Condition de compatibilité : κ = ρλ τ c(κ). Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

34 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Solutions de l équation de compatibilité κ = ρλ τ c(κ) Distribution uniforme f = ρ : toujours un équilibre (κ = 0). Autres solutions : on étudie la fonction κ κ c(κ) (= ρλ τ ) κ c(κ) 4 2 n=2 n= Paramètre de concentration κ Seuil critique : n Si ρλ τ n, équilibre uniforme seulement. Si ρλ τ > n, un unique équilibre nonisotrope (von Mises Fisher) Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

35 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Convergence vers un ensemble d états stationnaire Énergie libre : F(f ) = S f (v) ln f (v)dv λ 2τ J f 2. Dissipation : D(f ) = τ S f (v) ω(ln f (v) λ τ v J f ) 2 0. d dt F + D = 0 F(f ) décroissante vers F. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

36 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Convergence vers un ensemble d états stationnaire Énergie libre : F(f ) = S f (v) ln f (v)dv λ 2τ J f 2. Dissipation : D(f ) = τ S f (v) ω(ln f (v) λ τ v J f ) 2 0. d dt F + D = 0 F(f ) décroissante vers F. Principe de LaSalle Ensemble ω-limite : E = {f C (S) D(f ) = 0 et F(f ) = F }. lim t inf f (t) g H s = 0. g E Raffinement : il existe une solution κ (de l équation de compatibilité) telle que : lim J f (t) = ρc(κ) et s R, lim f (t) ρm κωf t t (t) H s = 0. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

37 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Analyse au voisinage de l équilibre uniforme Théorème : Instabilité forte Stabilité exponentielle ρλ τ > n : si J f 0 0, alors f ne converge jamais vers l équilibre uniforme. ρλ τ < n : il existe une constante C (indépendante de f 0) telle que pour tout t 0 f (t) ρ H s C f 0 ρ H s e αt, avec α = (n 1)τ(1 ρλ τn ). ρλ τ = n : il existe une constante C telle que pour tout t 0, on ait f (t) ρ H s C t. Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

38 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Analyse au voisinage d un équilibre non isotrope ρm κω Théorème : stabilité exponentielle dans le cas ρλ τ > n Pour tout s > n 1 2, il existe des constantes δ > 0 et C > 0 (indépendantes de f 0 ), telles que si f 0 ρm κω H s < δ pour un Ω S, alors il existe Ω S tel que avec f ρm κω H s C f 0 ρm κωf0 H s e αt, α = τλ κ c(κ)( κ c(κ) ), où Λ κ est la meilleure constante pour l inégalité de Poincaré à poids suivante : g 2 MκΩ Λ κ (g g MκΩ ) 2 MκΩ Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

39 Diagramme de phase pour λ = τ = 1 1 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires 0.8 Paramètre d ordre c Densité ρ n=2 n=3 4 6 Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

40 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Généralisation : λ( J ). Boucle d hystérésis possible Paramètre d ordre c 1 c c c n=2 n=3 0 1 ρ ρ ρ c ρ c 4 Densité ρ Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19 c c c

41 Modèle homogène en espace Étude des états stationnaires Illustration numérique du phénomène d hystérésis Changement d échelle f = f ρ. Le paramètre ρ est alors libre et on le fait évoluer dans le temps. 1 1 Paramètre d ordre c (cinétique) Paramètre d ordre c (particules) Densité ρ Densité ρ Amic Frouvelle Alignement, limites cinétiques et transitions de phase Juin /19

42 Merci!