Références. Bagging et Forêts aléatoires. Bagging : principe. Chapitre 4

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1 Référeces Baggig et Forêts aléatoires Chapitre 4 Marie Chavet à partir des cours d Adrie Todeschii et Robi Geuer Baggig Predictors. L. Breima. Machie Learig 26 : (996) Radom Forests. L. Breima. Machie Learig 45 :5-32. (200) Master MIMSE - Uiversité de Bordeaux / 9 2 / 9 Baggig : pricipe. Baggig 2. Forêts aléatoires CART, itroduit e 984, a cou u grad succés 996, Breima itroduit le Baggig : ue des premières méthodes d esemble Pricipe gééral : agréger ue collectio de classifieurs faibles pour obteir u meilleur classifieur. E gééral pour la classificatio, agrégatio par vote majoritaire : ĝ bag (x) = arg max ĝl (x)=k k {,...,K} l= où (ĝ l ) l=,...,q est ue collectio de q classifieurs ĝbag (x) est correct dès que la majorité des classifieurs ĝ l classe correctemet x. U certai ombre de classifieurs peuvet se tromper sas affecter les performaces du classifieur agrégé. 4 / 9

2 Baggig : pricipe Baggig : cas idéal O dispose de q échatillos d appretissage iid de taille : L () où L(l) = (X i, Y i ) (l) i=,...,, l =,..., q O se place mometaémet das u cadre de régressio : Y R O costruit les q prédicteurs ĝ,..., ĝ q iid respectifs à partir des q échatillos d appretissage Prédicteur agrégé pour la régressio : moyee des prédicteurs ĝ bag (x) = q ĝ l (x) l= 5 / 9 6 / 9 Baggig : cas idéal Soit g la foctio de régressio idéale icoue : g(x) = E[Y X = x] L erreur commise par le premier prédicteur ĝ e u poit x est : [ E (ĝ (x) g(x)) 2] = E [(ĝ (x) E[ĝ (x)]) 2] + (E[ĝ (x)] g(x)) 2 = Var (ĝ (x)) + Biais 2 (ĝ (x)) Baggig : cas idéal L erreur commise par le prédicteur agrégé ĝ bag e u poit x est : [ E (ĝ bag (x) g(x)) 2] = E [(ĝ bag (x) E[ĝ bag (x)]) 2] } {{ } Var(ĝ bag (x)) +(E[ĝ bag (x)] g(x)) 2 }{{} Biais 2 (ĝ bag (x)) or E[ĝ bag (x)] = q q l= E[ĝ l(x)] = E[ĝ (x)] car ĝ,..., ĝ q sot iid. et Var (ĝ bag (x)) = q 2 q l= Var[ĝ l(x)] = q Var[ĝ (x)] E [ (ĝ bag (x) g(x)) 2] = q Var[ĝ (x)] + Biais 2 (ĝ (x)) Doc si q est grad, o dimiue fortemet la variace et doc l erreur du prédicteur agrégé est beaucoup plus faible. 7 / 9 8 / 9

3 Baggig : cas pratique Baggig : méthode E réalité, o e dispose pas de q échatillos d appretissage iid de taille, avec q grad. Solutio : géérer q échatillos à partir de l échatillo de départ.. Bootstrap : o costruit q échatillos L () seul échatillo de départ L = (X i, Y i ) i=,...,. à partir d u U échatillo bootstrap L (l) est obteu par tirage avec remise de élémets parmi L où chaque observatio (X i, Y i ) a ue probabilité d être tirée à chaque tirage. 2. Chaque échatillo bootstrap L (l) sert à costruire u classifieur ĝ l, l =,...q 3. O agrège cette collectio de classifieurs ĝ,..., ĝ q : ĝ bag (x) = arg max ĝl (x)=k k {,...,K} l= 9 / 9 0 / 9 Baggig : méthode Baggig : remarques Les classifieurs de la collectio ĝ,..., ĝ q e sot pas idépedats car les échatillos e le sot pas. Cepedat le Baggig agit comme u réducteur de variace. Baggig = Bootstrap Aggregatig : Pricipe o limité aux arbres de classificatio mais CART est le classifieur de base le plus courrammet utilisé. Boes performaces e partie grâce à l istabilité de CART Notatios : θ l, l =,..., q sot des variables idépedates pour l aléa de bootstrap, ĥ(., θ l ) est le prédicteur costruit à partir de l échatillo L θ l. icovéiet pour CART mais avatage voire idispesable pour le Baggig Bagger des pédicteurs stables apporte rie Il faut des classifieurs suffisammet différets les us des autres pour améliorer les performaces par Baggig / 9 2 / 9

4 Baggig : limites Les classifieurs de la collectio ĝ,..., ĝ q e sot pas idépedats et ils sot même parfois trop corrélés l istabilité e suffit pas à créer ue collectio d arbres suffisammet diverse Exemple : soiet Z,..., Z q de même loi t.q. Var(Z l ) = σ 2, Corr(Z l, Z l ) = ρ, l l alors. Baggig 2. Forêts aléatoires Var( q l= Z q ) = ρσ 2 + ρ σ 2 q Si q est grad seul le terme de droite deviet petit. La réductio de variace par l agrégatio est limitée das le cas de variables corrélées (ρ grad). 3 / 9 Forêts aléatoires : pricipe Forêts aléatoires : méthode Itroduites par Breima e 200. Méthode d esemble appliquée et limitée aux arbres CART. Pricipe : décorréler la collectio d arbres proveat du Baggig e itroduisat de l aléa das la costructio de l arbre. plusieurs sources d aléa ot été testées mais la méthode de Breima (RF-RI) s est imposée comme la méthode RF (Radom Forest) par excellece Notatios : θ l, l =,..., q sot des variables idépedates pour l aléa de bootstrap, θ l, l =,..., q sot des variables idépedates pour l aléa du prédicteur, ĥ(., θ l, θ l ) est le prédicteur aléatoire costruit à partir de l échatillo L θ l. 5 / 9 6 / 9

5 Forêts aléatoires : méthode de Breima. O tire q échatillos bootstrap L () Baggig) (comme pour le 2. Sur chaque L (l), o applique ue variate de CART appelée RI (Radom Iput) qui diffère à 2 iveaux : 2. Pour découper u oeud de l arbre, o optimise la coupure sur u esemble aléatoire de m p variables (tirage sas remise de m parmi p variables) 2.2 Les arbres e sot pas élagués, o garde l arbre maximal à chaque fois Remarque : m est fixé pour tous les oeuds de l arbre 3. Efi, o agrège la collectio de classifieurs obteus ĝ,..., ĝ q ĝ RF (x) = arg max ĝl (x)=k k {,...,K} l= Forêts aléatoires : erreur OOB Taux d erreur Out Of Bag : estimatio acceptable du taux d erreur théorique obteue grâce au bootstrap (sas CV) Pricipe : Pour i =,..., : o cosidère l observatio (Xi, Y i ) L o cosidère l esemble des échatillos bootstrap e coteat pas (X i, Y i ) (pour lesquels (X i, Y i ) est OOB = e dehors du bootstrap ) aisi que tous les arbres associés à ces échatillos. o prédit Ŷ i e foctio de X i e agrégeat uiquemet ces arbres O obtiet alors le taux d erreur OOB : e classificatio : e régressio : i= Ŷi Y i (Ŷ i Y i ) 2 i= 7 / 9 8 / 9 Forêts aléatoires : importace des variables Icovéiet des forêts aléatoires : o perd l iterprétabilité de CART Calcul de l importace des variables : O calcule l erreur que chaque arbre commet sur so échatillo OOB associé L (l) OOB de taille l (les échatillos de L qui e sot pas das L (l)). Soit X j la jème variable, das tous les échatillos OOB L (l) OOB, l =,..., q, o permute aléatoiremet les valeurs de X j selo ue permutatio φ X (l) OOB (φ) = 2. l variables j p X j φ() X j φ(2). X j φ( l ) O recalcule l erreur que chaque arbre commet sur so échatillo OOB permuté. L importace de X j est défiie comme l augmetatio moyee de l erreur d u arbre après permutatio de X j. 9 / 9

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