1 ère PARTIE : DIPOLE A RESISTANCE NEGATIVE

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1 1 OSCILLAEUR RLC MUNI D UNE RESISANCE NEGAIE 1 ère PARIE : DIPOLE A RESISANCE NEGAIE On considère le montage de la figure 1 qui utilise un amplificateur opérationnel parfait, alimenté par CC = +1 et EE =-1 et dont la caractéristique de transfert est représentée en figure. i (t) v (t) e R 1 1kΩ 1kΩ R 3 kω R vs (t) -sm = -1 vs +sm = 1 e Figure 1 Figure Le montage est excité par une tension v(t) = cos (ωt) dont l amplitude peut varier de à 1. 1) On suppose tout d abord que l amplitude du générateur v(t), est telle que l amplificateur fonctionne dans sa zone linéaire définie par e = c'est à dire : -1< sm > +1. Calculer dans ces conditions, entre quelles limites e1 et e ( e1 < e ) peut varier la valeur instantanée du générateur v(t). ) Déterminer alors, l expression de la valeur instantanée du courant i(t) en fonction de v(t). Montrer que la résistance d entrée R e du montage est négative, c est à dire que le montage fournit du courant au générateur v(t). Donner l'expression de R e et on écrira R e = - R n avec R n positive. Faire l application numérique. On suppose maintenant que le générateur v(t) évolue entre -1 et +1, de telle façon que l amplificateur A puisse sortir de sa zone de linéarité et entrer en saturation. 3) Dans ces conditions, déterminer l' expression du courant i(t) lorsque : -1 < v(t) < - < v(t) < +1 La figure 3 illustre les résultats de l analyse précédente. 1 Ph. Roux

2 i (t) 1 µa -1-1 v (t) -1 µa Figure 3 ème PARIE : CREAION D OSCILLAIONS SINUSOIDALES Le montage précédent, représenté par le dipôle A M, est associé au circuit oscillant R L C de la figure. Initialement, l interrupteur K 1 est en position 1 et K ouvert. A l instant t =, K 1 passe en position et simultanément, on ferme K. + K1 K 1 C L R, nf 1 mh 1kΩ v (t) i (t) A M Figure On suppose tout d abord que l amplitude de v(t) est inférieure à, le dipôle AM présente alors une résistance négative. 1) Etablir l équation différentielle du ordre à membre nul que vérifie la tension v(t) en posant : ω = 1 LC et 1 = 1 R eq R + 1 ( R n ) ) Résoudre numériquement l équation caractéristique de l équation dont la solution s écrit : v(t)= e α t A 1 cos (β t) + A sin(β t)... (1) Où A 1 et A sont des constantes dépendantes des conditions initiales. Calculer la valeur du coefficient α et montrer que : β ω o 3) Déterminer les constantes A 1 et A de l équation 1 compte tenu des conditions initiales. On portera son attention sur la valeur de dv () t à l instant t =. Donner l expression approchée de v (t) dont le graphe est donné en figure.

3 v(t) Figure t (ms) ) Calculer le temps t 1 au bout duquel l amplitude de v(t) atteint une valeur telle que l amplificateur se situe alors à la limite de son fonctionnement linéaire. ) Sachant que durant une pseudo période, l amplitude de v(t) varie peu, calculer l énergie fournie par le dipôle AM durant une période, c est à dire : v = I (t) R n v(t)= cos (ω t) ) Calculer l énergie W D dissipée et donc perdue durant une période de la tension v(t) dans la résistance R du circuit oscillant sachant que : v W D = I (t) R où : v(t)= cos (ω t) Faire les applications numériques pour variant de à. Les graphes correspondants sont donnés ci-dessous. où : 3

4 3 nj 3 8 ( ) W D ( ) ème PARIE : SABILISAION DE L AMPLIUDE DES OSCILLAIONS Le graphe précédent indique que l énergie reçue durant une période est supérieure à l énergie dissipée dans la résistance R. L expérience montre alors qu à partir du temps t 1, la tension v(t) suit encore une loi de la forme : v(t) = cos (ω t), où l amplitude de la tension v(t) continue à croître puis se stabilise à une valeur qu on se propose de déterminer. Dans ces conditions, l expression de W D calculée en question () est encore utilisable. Au contraire, comme il est indiqué en figure, lorsque l amplitude de la tension v(t) est supérieure à, le calcul de la participation énergétique sur une période du dipôle AM comprend plusieurs séquences : Des instants t = O à t lorsque est supérieure à, le dipôle AM dissipe de l énergie car sa résistance d entrée est positive. De l instant t à /, le dipôle AM fournit de l énergie (sa résistance d entrée est négative) et ainsi de suite sur la période. On écrira donc : = t I v(t) i(t) + où v(t) = cos(ω t) i(t) = v(t) sm R 3 I t v (t) R n

5 1 v (t) v = m cos ( ω t) 1 Re = 1 KΩ t / / R e = - K Ω t ( µs) -1 Re = 1 KΩ -1 i (t) -1 - µa 1 Figure 1) Déterminer, pour une amplitude donnée, l'expression du temps t au bout duquel la tension v(t)= cos (ω t) est égale à. Faire les applications numériques en choisissant un pas de 1 pour. ) Calculer l' expression de l énergie donnée précédemment. Les applications numériques et le graphe des énergies W D et sur une période en fonction de l amplitude de la tension v (t) sont donnés en annexe. 3) Déterminer graphiquement l amplitude de stabilisation de v(t) en régime permanent en justifiant votre résultat.

6 ANNEXE : Résultats Graphe donnant l évolution de l énergie W D dissipée dans R et de l énergie fournie par le dipôle AM durant une période et ceci pour >. n J W 1 F ( ) W D ( ) W D

7 CORRECION 1 PARIE : DIPOLE A RESISANCE NEGAIE Q1 : i = v v s R' R N = kω avec : v = v s R 1 R 1 + R v i = R.R' 1 = R N R Q : v s = v(1+ R R 1 ) = 3 e1 = - e = Q3a : - sm < v < e1 -> i = v + sm R' =1 (v +1) Q3b : e < v < + sm -> i = v sm R' =1 (v 1) PARIE : CREAION D OSCILLAIONS SINUSOIDALES Q1 : Etablir l équation différentielle du ordre à membre nul : E à t = ic il C L v R -RN i i C = C dv v = L di L i L = 1 L v. Equation au nœud : C dv + 1 L v. + v R + v = R N Soit : d v + 1 dv Req.C + ω v = Q : Résoudre numériquement l équation caractéristique de l équation : R eq = -1 kω ω = 1 3 rd/s d v dv v = Δ = Δ = ± j.8.13 Solutions : p 1 = 8 - j..1 3 p = 8 + j..1 3 α = 8 β =.1 3 = ω v(t) = e 8.t (A 1 cos(.1 3 t) + A.sin(.1 3 t))

8 Q3 : Déterminer les constantes A 1 et A de l équation compte tenu des conditions initiales. Schéma du montage à l instant t = : µa µa µa i C L R 1 kω Pour t =, on en déduit : v() = A 1 = Le condensateur est chargé sous une tension initiale de. Le dipôle à résistance d entrée négative fourni alors µa (/ kω) au montage RLC. Cependant, la self-inductance L, s opposant au passage du courant, se comporte comme un circuit ouvert. Aussi, le condensateur C reçoit donc un courant I de µa à l instant initial. Sachant que : I = C dv, on calcule (dv ) = A.α + A 1.β = 3 D où A =.1-3. Bilan : le terme en A sin (.1 3.t) est négligeable devant A 1 cos(.1 3.t). Dans ces conditions : v(t).e 8.t cos(.1 3 t) Q : v (t 1 ) = pour t 1 = 11,9 ms. Q : Energie fournie par le dipôle AM durant une période : Soit : =.R N = I v (t) R n v(t) = cos (ω t) où :

9 Q : Energie W D dissipée durant une période de la tension v(t) dans la résistance R : W D = m.r 3 PARIE : SABILISAION DE L AMPLIUDE DES OSCILLAIONS Q1 : Expression du temps t au bout duquel la tension v(t)= cos (ω t) est égale à. Q : Expression de l énergie : t = 1 ω Arc cos( ) =. m (t + sin(.ω.t ) R 3 ω ) + sm. R 3.ω sin(ω.t ) +. m ( R 3 t sin(.ω.t ) ) ω Q3 : La stabilisation de l amplitude correspond à des énergies W D et égales, c est-à-dire à l intersection des deux graphes soit sensiblement : = 9. n J W 1 F ( ) W D ( ) W D