Méthodes FETI. François-Xavier Roux Unité Calcul à Haute Performance

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1 Méhodes FETI Franços-Xaver Rou Uné Calcul à Haue Performance

2 jun 5 Plan Prnce des méhodes de résoluon ar sous-domanes sans recouvremen, aroche connue Méhode de résoluon ar sous-domanes, aroche dscrèe Méhode du comlémen de chur Mse en œuvre en arallèle Méhode FETI Précondonneur local omal, récondonneur gloal FETI avec récondonneur grlle grossère FETI-DP FETI-H Concluson

3 jun 5 Prnce des méhodes de résoluon ar sousdomanes Découage du mallage en sous-domanes : aron ar élémens Résoluon érave gloale ccéléraon ar résoluon eace dans les sous-srucures soluon d un rolème condensé au nerfaces Méhodes mes dreces-éraves rouses, coûs de facorsaon rédus

4 jun 5 Mse en œuvre en arallèle Parallélsaon facle ar allocaon d un sous-domane à un rocesseur Geson des éraons ar échanges de données au nerfaces Mse en œuvre dans des codes séquenels esans Parallélsaon de oues les hases de calcul élémenares descron des nerfaces fronères avec C.L. varales 4

5 jun 5 Méhodes de décomoson de domanes sans recouvremen, aroche connue Prolème gloal dv f dans dans condons au lmes sur Prolèmes locau dv f dans dans condons au lmes dv f dans dans condons au lmes sur sur Condons de raccord : admsslé e équlre u u sur n n sur 5

6 jun 5 Découage ar sous-domane de la marce de rgdé Grahe de la marce, grahe du mallage éaraeur rucure de la marce ar locs 6

7 jun 5 Formaon du sysème ar sous-domanes Découage du sysème en deu sysèmes locau,,,, 7

8 jun 5 Comlémen de chur Résoluon du rolème de Drchle Résoluon du rolème de Neumann Relaon enre les nconnues nernes e fronères Relaons enre les condons Drchle e Neumann f f f ff f f g f ff f f f g ff f f f f f g f f f f f 8

9 jun 5 Equaons locales, condons de raccord Equaons nernes dans chaque sous-domane Condon d admsslé cnémaque sur l nerface Condon d équlre à l nerface 9

10 jun 5 Condensaon locale: méhode du comlémen de chur Varale d nerface: Déermnaon des valeurs nernes dans chaque sous-domane ar résoluon des équaons locales Condon de raccord défnon du résdu à l nerface

11 jun 5 Mse en œuvre Résoluon des équaons locales ar une méhode drece Gauss, Cholesk Calcul du résdu nerface local ssemlage du résdu nerface gloal

12 jun 5 Mse en œuvre en arallèle e roréés Un domane ar rocesseur Résoluon des rolèmes locau ndéendans dans chaque rocesseur Echange des résdus nerface enre domanes vosns Varales e résdus nerface connus dans les deu domanes Méhode érave sur l nerface, drece à l néreur Prolème meu condonné, mons d éraons que our une méhode érave gloale euls les locs nernes des marces locales son facorsés, mons coûeu qu une facorsaon gloale

13 jun 5 Méhode duale : condons de raccord de Neumann Prolèmes locau avec des condons au lmes de Neumann sur sur c.l. dans n f dv sur sur c.l. dans n f dv Condons de raccord sur n n u u u u

14 jun 5 Formulaon dscrèe : sysème algérque Prolèmes locau Condons de raccord 4

15 jun 5 Méhode FETI Varale d nerface : Prolèmes locau : Résdu à l nerface : 5

16 jun 5 6 Prolème condensé à l nerface c c Prolèmes locau c c Condensaon à l nerface Prolème condensé à l nerface

17 jun 5 7 FETI = Uzawa sur le rolème me délacemens locau - forces d neracon I I I I Prolèmes locau Condon de raccord à l nerface Prolème me I I I I

18 jun 5 FETI = Uzawa sur le rolème me délacemens locau - forces d neracon Condensaon à l nerface des rolèmes locau c c Condon de raccord à l nerface Prolème me I I I I c c 8

19 jun 5 Prolèmes condensés à l nerface Élmnaon des délacemens des sous-domanes dans le rolème me gloal I I I I I c c I Élmnaon des délacemens des nerfaces dans le rolème me condensé 9

20 jun 5 Raccords redondans our les nerfaces mulles Pas de varales nerface mulles Découlage des calculs sur les dfférenes nerfaces Mse en œuvre denque our ou n sous-domanes

21 jun 5 Résoluon des rolèmes mes ar Uzawa Résoluon ar condensaon Uzawa u,, es nversle, er - =er e donc Im - =Im L algorhme du graden conjugué converge vers la seule soluon du rolème dans Im - Pas de rolème avec les condons d nerface redondanes dans FETI La soluon FETI es denque à la soluon gloale : condon L as nécessare

22 jun 5 Résoluon des rolèmes mes ar rojecon Résoluon ar rojecon u P u P P er dans rojecon P v v P v P u P v, v v v u v v v u,,,,,,, P es une rojecon orhogonale, P =P Calcul de la rojecon orhogonale dans er, arallèlemen à Im I P

23 jun 5 Méhode du graden conjugué rojeé Inalsaon c u, Pg w Pg g Pg u g c u c u Iéraon Calcul du graden rojeé I P.... w w w Pg w Pg w Pg g Pg w w w g w g g w u u

24 jun 5 4 Résoluon de rolèmes à marce sngulère Facorsaon arelle d une marce U L U L U L U L U U I L L es une marce sngulère e un loc nversle de rang mamal I I I N I N N N ~ ~ I

25 jun 5 Modes locau mouvemens de cors rgdes Prolème de Neumann local snguler Mouvemens de cors rgdes c N c N c N c Prolème condensé à l nerface me : résoluon ar rojecon N N N N N c N N c c c Coulage des délacemens de cors rgdes locau N N N N N N N N 5

26 jun 5 Inerréaon de la rojecon Graden = sau des délacemens g Projecon : Pg N N N Pg N Pg Graden rojeé = sau des délacemens corrgés localemen ar des délacemens de cors rgdes qu mnmsen le sau oal Pg N N Le graden rojeé end vers 6

27 jun 5 Précondonneur gloal «grlle grossère» Transmsson enre sous-domanes vosns à chaque éraon neracons enre domanes élognés rses en come ar dffusons successves nomre d éraons crossan avec le nomre de sous-domanes nécessé d un mécansme de ransfer d nformaon enre ous les sous-domanes, récondonneur gloal «grlle grossère» Résoluon ar rojecon de FETI jusemen des mouvemens de cors rgdes à chaque éraon résoluon d un rolème «grosser» gloal Convergence ndéendane du nomre de sous-domanes 7

28 jun 5 Précondonneur local omal Oéraeur du rolème condensé à l nerface our FETI ~ F F Précondonneur local omal convergence ndéendane de la alle du mallage Calcul du graden récondonné v g v g v g g v g g Deu rolèmes à résoudre ar éraon dans chaque sous-domane 8

29 jun 5 Precondonneur local «lumed» Oéraeur nerface FETI F Précondonneur local omal ~ F Précondonneur local «lumed» ~ F Coû de calcul rès fale, rès effcace our des nomres de sousdomanes eu élevés 9

30 jun 5 Consrucon de récondonneurs «grlle grossère» ar rojecon On veu résoudre le rolème = Cho d un sous-esace grosser C méloraon de la soluon arochée dans le sous-esace grosser g ~ g~ g~ g~ g omal C C C g~ I C C C C g Projecon -orhogonale dans le sulémenare -orhogonal de C, arallèlemen à C Il fau calculer e facorser C C

31 jun 5 Inerréaon comme une méhode de déflaon On veu résoudre le rolème = ar la méhode du graden conjugué Mnmsaon de, dans l esace de rylov généré ar les gradens successfs rojecon orhogonale de dans, v=, our ou v de On connaî une famlle de veceurs v, v,, v e leurs rodus ar Calcul de la rojecon -orhogonale de dans V, l esace généré ar les veceurs v, v,, v ~ v ~ V g ~ ~ V ~, v V ~ V V V

32 jun 5 Inerréaon comme une méhode de déflaon On connaî une famlle de veceurs v, v,, v e leurs rodus ar Précondonnemen ar omsaon d une correcon consrue à l ade des veceurs v, v,, v g w w g w g, v V w ~ g V w V g V V V w V g V V V V g g V w g g V les veceurs v, v,, v son -orhonormés V V g g w g VV g g V V g

33 jun 5 Mse en œuvre des méhodes de correcon «grlle grossère» dans le conee FETI L évaluaon du rodu ar l oéraeur F es coûeu Résoluon ar descene-remonée d un rolème dans chaque sousdomanes, us échanges au nerfaces g Pour comarer les coûs de résoluon locale e de remse à jour de veceurs sur l nerface, comarer la lace mémore occuée ar la marce facorsée e la alle d un veceur nerface Le coû de sockage e de modfcaon de veceurs nerface es fale Ulser des méhodes de rylov avec orhogonalsaon eace, CG, GMRE, ORTHODIR, sans redémarrage En cas de résoluon mulle, réulsaon des veceurs de descene récédens comme un esace grosser : aroche sem-drece

34 jun 5 FETI- récondonneur gloal avec modes locau Cho de «modes» locau : cons, consanes ar drecon, ec Résoluon d un rolème local dans chaque sous-domanes our ous les modes locau e ous les modes des sous-domanes vosns ssemlage de C F C Marce «grossère» creuse 4

35 jun 5 FETI- our un rolème de coque 5

36 jun 5 FETI-, rolèmes numérques L oéraeur FETI n es as local en général à cause de la rojecon modes rgdes L esace grosser do conenr au mons les modes rgdes our ouvor alquer la rojecon Le rolème grosser es comlqué à consrure e la marce assocée es lene Prolème de salé numérque : la résoluon locale es fae avec une récson lmée ar le condonnemen de la marce de rgdé, les modes rgdes son calculés avec la même mrécson, le rolème rojeé grosser souffre d accumulaons d erreurs à nveau mulles 6

37 jun 5 FETI-DP Commen se déarasser des modes rgdes our avor un récondonneur grosser don la marce C FC rese creuse? jouer des condons au lmes Drchle dans les sous-domanes rendre un e nomre de degrés de leré nerface rmau dans chaque sous-domane méhode du comlémen de chur Par eemle les cons our un rolème de laques ou de coques Varales mes sur les nerfaces la luar duales FETI, forces d neracon quelques-unes rmales comlémen de chur, délacemens 7

38 jun 5 FETI-DP Inconvénen, le rolème nerface es me, mauvas condonnemen élmnaon de oues les varales rmales dans le récondonneur grosser gloal qu es creu Pas oujours facle de déermner les «cons» : condons Drchle locales mnmales, dans le cas de modèles comlees Le découage auomaque eu créer des sous-domanes non connees, encore lus délca à déecer lors de conneé fale mécansme 8

39 jun 5 FETI-DP : rolème de Neumann-Drchle local Décomoson de l nerface en deu zones Marce e second memre local dans le sous-domane Prolème de Neumann-Drchle local Conruon du sous-domane au résdu me ,

40 jun 5 FETI-DP : rolème de Neumann-Drchle condensé Elmnaon des équaons nernes dans le sous-domane Prolème de Neumann-Drchle condensé Conruon du sous-domane au résdu me c c , 4 4 c c c c c

41 jun 5 FETI-DP : rolème condensé me Résdu me Marce an-symérque du rolème condensé me Marce du rolème condensé me symérsée c c

42 jun 5 FETI-DP : nerréaon algérque La marce symérsée du rolème d nerface n es as osve F H H Correcon «grlle grossère» : élmnaon des nconnues rmales 4 L oéraeur condensé au nerfaces de FETI-DP es le comlémen de chur du rolème condensé symérsé F H H L oéraeur condensé au nerfaces de FETI-DP es symérque défn osf

43 jun 5 Découage arrare à l nerface de la marce gloale ysème gloal ysèmes locau : condons au lmes de ye Fourer Condon de raccord nchangée g 4

44 jun 5 FETI-H Pour les équaon d Helmholz u k Marce augmenée denque à celle du rolème avec condons ransarenes arochées u n ku u f km km Prolème local en osé s oues les condons son renranes ou soranes Colorage des sous-domanes Mélange d nerfaces de ye FETI e FETI-H 44

45 jun 5 45 Condons de raccord de Fourer Prolèmes locau avec des condons au lmes de Fourer sur sur c.l. dans dans u n f dv sur sur c.l. dans dans u n f dv Condons de raccord sur n n u u u u u u u u u u

46 jun 5 46 roche dscrèe : méhode FETI-LM ysème lnéare gloal ysèmes lnéares locau k Equaons de raccord au nerfaces k k k k k k k

47 jun 5 Prolème nerface condensé Equaons locales condensées à l nerface k c k c Marce des équaons de raccord au nerfaces I k k k I I k k k I 47

48 jun 5 Condons de raccord omales Condons de Fourer omales k k Condons omales = rgdé condensée du domane oosé sur l nerface Inerréaon ar condensaon locale dans les équaons gloales 48

49 jun 5 Caracérsques de la méhode Prolèmes locau en osés, même avec des découages comlees Convergence en - éraons en cas de découage en ranches Prolème : mossle en raque de calculer eacemen l oéraeur omal comlémen de chur Déermnaon d un oéraeur aroché 49

50 jun 5 roche «mécanque» our la condon de raccord Idenfcaon des aramères d un modèle de comoremen asymoque ressor, oure, coque Résoluon d un e nomre de rolèmes à délacemens mosés sur chaque nerface Comoremen gloal ou local de l nerface Plus dffcle à mere en œuvre dans le cas général 5

51 jun 5 romaon creuse du comlémen de chur Condensaon locale sur des ees zones ssemlage ondéré roche uremen algérque Mse en œuvre en «oîe» nore Convergence rès rade our des domanes rès conrasés 5

52 jun 5 Précondonneur «grlle grossère» gloal Projecon du résdu dans un esace formé des races des mouvemens de cors rgde Mécansme gloal de ransfer d effors Vesse de convergence asymoquemen ndéendane du nomre de sous-domanes

53 jun 5 Tes our la oure console sous-domanes Mallage Largeur du ach Pach chur du vosn Trace rgdé / / / /

54 jun 5 Prolèmes foremen héérogènes Mallage local Maérau homogène Maérau héérogène Caouchouc cer / 8 8 / 7 8 / / cer Caouchouc 54

55 jun 5 Concluson Méhodes rès rouses, lus rades que les méhodes dreces ou éraves classques our des grands rolèmes mal condonnés roche uremen algérque ossle Inerréaon mécanque rès ule our déermner les onnes aroches condons de Fourer, esace rédu our récondonnemen «grlle grossère» daaon des méhodes en foncon des rolèmes raés Généralsaon au rolèmes mul-hysques foremen coulés neracon flude-srucure Coulage de codes Mallages non coïncdens Mse en œuvre en arallèle sans dffculés lus facle à rogrammer avec MPI que dans un code mul-domane Facle à nerfacer avec des codes esans 55

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