Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle

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1 [ édité le novembre 7 Enoncés Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle / +cos /4 +sin cos +cos Eercice [ 5 ] [Correction] Déterminer les primitives des epressions proposées en indiquant l'ensemble de e + e +e e Eercice [ 6 ] [Correction] Calculer e +. +e Eercice [ 7 ] [Correction] Déterminer les primitives des epressions proposées en indiquant l'ensemble de cos +cos sin +sin Eercice 4 [ 8 ] [Correction] Déterminer une primitive sur R de la fonction cos 4 cos + cos. Eercice 7 [ 4 ] [Correction] th + +ch Eercice 8 [ 4 ] [Correction] Calculer. sh + ch Eercice 9 [ 4 ] [Correction] Eercice [ 44 ] [Correction] ( )( ) (e) Eercice 5 [ 774 ] [Correction] En eploitant le changement de variable u tan t, calculer pour tout R l'intégrale + cos t. Eercice [ 45 ] [Correction] Sur ] / ; + [, déterminer ( + ) + +. Eercice 6 [ 9 ] [Correction] Calculer : Eercice [ 46 ] [Correction] Calculer les intégrales suivantes :

2 [ édité le novembre 7 Enoncés (+) +(+4) ++

3 [ édité le novembre 7 Corrections Corrections Eercice : [énoncé] Sur R, Sur R, e + e ue Sur [ ; + [, Sur R, e + u (u + ) e e + ln(e + ) ln u + ln u + u + Cte + ln(e + ) e e t e + e u +e t t + e arctan e u ln + e + e + + Cte ln( + e ) Eercice : [énoncé] Par le changement de variable u e + e+ [ e + u ln u ] e+ ln ( e + )( + ) u + ( e + + )( ). Sur R, sin + sin ucos u ln cos cos + + Cte. Sur I k ] + k ; + (k + )[, k Z, cos 4 + u tan + utan tan Sur I k ] + k ; + (k + )[, k Z cos cos() ( sin ()) tsin ( t ) 4 donc Eercice 4 : [énoncé] cos + sin ln 4 sin + sin cos + Cte. Sur I k ] + k ; + k[ avec k Z, + cos ttan / t + tan / arctan t + ( t) + + t + ( + t) La fonction +cos est dénie et continue sur R, cherchons F primitive de celle-ci sur R. Pour tout k Z, F est primitive sur I k, donc il eiste C k R tel que sur I k, F () tan / arctan + C k. Par limite à droite et à gauche en + k, F ( + k) + C k + C k+. Par suite k Z, C k k + C. Eercice : [énoncé] Sur R, cos + cos usin u u + u ln On peut résumer : C R, R, F () { arctan tan / + k + C si I k k+ + C si + k. sin + Ceci détermine la fonction F à une constante près. sin Inversement, +Cte. étant assuré de l'eistence de F, on peut armer que de telles fonctions sont bien primitives de +cos.

4 [ édité le novembre 7 Corrections 4 Eercice 5 : [énoncé] L'intégrale est bien dénie et détermine la primitive F s'annulant en de la fonction continue dénie sur R + cos. Le calcul de l'intégrale par le changement de variable proposé n'est possible que sur l'intervalle I ] / ; /[. BOF Pour calculer, l'intégrale on est tenté de procéder au changement de variable u tan t mais celui-ci n'est possible que pour ] / ; /[ et alors Par continuité F () tan F (/) 4 ( ) ( ) 4 + u arctan tan. Puisque la fonction intégrée est -périodique, on a avec et F ( /) 4. F ( + ) F () C te C te F (/) F ( /). On peut alors calculer F () en commençant par déterminer k Z tel que puis en eploitant avec Eercice 6 : [énoncé] / /4 +cos ttan + k ] / ; /] F () F ( + k) k F ( + k) ( ) arctan tan. +sin cos ttan +t. t +t+. Par la relation de Chasles I / + cos + cos + / Via des changements de variable anes adéquates : Sur ] / ; /[, + cos / I 4 + cos. ttan +cos / + cos + t + arctan tan + C. Soit F une primitive de sur [ ; /]. Il eiste C R tel que F () arctan tan + C sur [ ; /[ et par continuité Finalement / Eercice 7 : [énoncé] Sur R, Sur R, Sur R, ou encore Sur R, th + u F (/) + C. ] / +cos [F () puis I. +ch ush sh + uth u(+u) ln ln( + ) + Cte. +u arctan sh (u )(u+) 4 ln th + th sh + e +e e + e + ch Eercice 8 : [énoncé] Par changement de variable (+sh ) tsh +th + Cte + cos + / 4e (+t ) arctan sh + e ch te t + arctan e. sh ch + Cte d +

5 [ édité le novembre 7 Corrections 5 Eercice 9 : [énoncé] Sur [ ; + [, + + u + Sur [ ; + [, + u ln( + ) Sur ] ; ] ou ] ; + [, u(u ) +u u(u ) + + C te. y dy (y ) (y+) y + donc ( )( ) ln u u +u u + +u y+ ln y y+ + + Cte ce qui invite au changement de variable + sh t, ch t qui donne ( + ) + + et enn sh t sh t ch t uch t ( + ) + + ln Cte. u Eercice : [énoncé] Sur ] ; + [, sin t + cos t + t + C te sin t + arcsin Sur ] ; [, ( )( ) +sin t + sin t arcsin( ) ( )( ) + C te. + 6 ( )( + ), + 5 sin t. Sur [ ; ], cos t 5 8 cos t arcsin 5 + C te sh t ln( + + ) + Sur R, + sh t (e) Sur R, + cht + sh t sht+cht + e t ln( + + ) 4 (+ + +) Cte. (f) Sur [ ; + [ (et de même sur ] ; ]) sh t ch t ch t u ush t +u arctan + C te. Eercice : [énoncé] (+) t +(+4) t + ++ u + [ ] t + arctan t 6. [ ] t + arctan t t + +t (+t ) + Au nal u u+ u u sin θ 4t( t ) ( t +t+)(+t ) t t ++ ln( + ). / sin θ cos θ sin θ+cos θ dθ. Eercice : [énoncé] On écrit le trinôme sous forme canonique + + ( + ) + 4