On a relevé les chiffres d affaires mensuels d un certain nombre de magasins : C.A. euros

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Adélaïde Jean
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4 3. Magasins 2 On a relevé les chiffres d affaires mensuels d un certain nombre de magasins : C.A. euros Nombre de magasins a) Histogramme. Bien indiquer l échelle. b) Diagramme cumulatif. Expliquer comment on doit le lire. c) Mode et étendue. d) Médiane. e) Moyenne et écart-type (avec changement de variable). N.B. Préciser les unités et expliquer la signification pratique de chacune des caractéristiques. 4. Du pain sur la planche Une étude statistique a été réalisée sur les 60 boulangeries d'une ville. On a relevé le nombre d'employés dans chaque boulangerie. Les données rassemblées sont présentées dans le tableau suivant : Nombre d'employés total Nombre de boulangeries On demande de représenter graphiquement les effectifs les effectifs cumulés. Calculer aussi les caractéristiques suivantes : mode, étendue, médiane, moyenne, écart-type Préciser comment doit se lire chaque graphique et interpréter chaque caractéristique. N.B. Les calculs doivent être détaillés dans un tableau.

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11 9 3. Étude des chiffres d affaires de 100 magasins Dans cette étude, les individus sont les magasins et la variable, c est le chiffre d affaires. Le chiffre d affaires est variable d un magasin à l autre. Les nombres de magasins représentent les effectifs. L étude porte sur 100 magasins au total. C.A. euros Nombre de magasins Effectifs cumulés histogramme =5 magasins CA euros effectifs cumulés CA euros Le point de coordonnées ( ; 60), par exemple, signifie qu il y a 60 magasins avec des chiffres d affaires inférieurs à euros. La classe modale est la classe à euros de CA. Le mode est euros. C est le chiffre d affaires rencontré le plus fréquemment. L étendue est euros ( ). Entre les chiffres d affaires de 2 magasins, quels qu ils soient, il n y a jamais plus de euros d écart.

12 10 La médiane Me partage l effectif en deux partie égales : 50 magasins de chaque côté. On a ici : 30 magasins qui réalisent un CA inférieur à magasins qui réalisent un CA inférieur à Me 62 magasins qui réalisent un CA inférieur à Me = ( ) Me = Me = euros (interpolation linéaire) La moitié des magasins ont un chiffre d affaires inférieur à euros. Changement de variable pour simplifier les calculs de moyenne et d écart-type : Z i = ( x i ) / (on calcule avec les centres de classes) n i x i x i Z i n i Z i 2 n i Z i totaux Z = 1,44 (moyenne de la variable Z) V z = 24,66 (1,44) 2 = 22,59 (variance pour la variable Z) σ z = 4,75 (écart-type pour la variable Z) Pour revenir à la variable x (chiffres d affaires) : x i = Z i x = Z = (moyenne de la variable x) σ x =2 500 σ z = ,29 (écart-type pour la variable x) Le chiffre d affaires moyen est de euros. Ceci signifie que si tous les magasins avaient un chiffre d affaires de euros, le chiffre d affaires total resterait le même euros, c est la part du chiffre d affaires qui reviendrait à chaque magasin, si on faisait une répartition uniforme du chiffre d affaires total, c est-à-dire si tous les magasins avaient la même part du chiffre d affaires total. L écart-type est de euros (arrondi). Ce chiffre donne une mesure de la dispersion des chiffres d affaires autour de la moyenne. Les écarts autour de la moyenne sont en moyenne (en moyenne quadratique, pour être précis) de euros. On peut écrire que les chiffres d affaires sont de ± à condition de comprendre que n est pas un maximum. Certains écarts sont supérieurs à ce chiffre et d autres lui sont inférieurs.

13 11 4. Du pain sur la planche Nombre d'employés Nombre de boulangeries effectifs cumulés fréquences en % fréquences cumulées ,67 41, ,00 66, ,00 86, ,33 100, ,00 La population est constituée par un ensemble de 60 boulangeries. Les individus sont les boulangeries. La variable est le nombre de personnes employées dans chaque boulangerie. Le nombre d'employés est variable d'une boulangerie à l'autre. Il s'agit d'une variable discrète. Les effectifs sont les nombres de boulangeries. Il y a, par exemple, 15 boulangeries qui emploient 3 personnes. L'effectif total est de 60 boulangeries. Les fréquences sont des effectifs ramenés à une population de 100 boulangeries. y boulangeries Diagramme en bâtons Il y a y boulangeries qui emploient x personnes. x employés Y boulangeries diagramme de effectifs cumulés croissants Il y a Y boulangeries qui emploient au maximum x personnes. Il y a Y boulangeries qui n'emploient pas plus de x personnes. x employés

14 12 Mode L'effectif le plus élevé est 25. Il est atteint pour la valeur de la variable x = 2. Le mode est 2 employés. Il correspond à la situation la plus fréquente. Étendue Les valeurs extrêmes de la variable sont 2 et 5, soit un écart de 3. L'étendue est 3 employés. L'écart entre les nombres d'employés de 2 boulangeries n'est jamais supérieur à 3. Médiane Si l'on considère la liste des boulangeries classées par ordre croissant des nombres d'employés, le milieu de la liste se situe entre les boulangeries n 30 et 31 qui emploient chacune 3 personnes. Dans cette statistique, la médiane est 3 employés. Moyenne Pour déterminer la moyenne et l'écart-type, on dresse le tableau de calculs suivant : x i n i n i x i n i x i Il y a 183 employés au total dans 60 boulangeries, soit une moyenne de 3,05 employés par boulangerie. Si les 183 employés étaient répartis de manière uniforme dans les 60 boulangeries, il y en aurait 3,05 dans chacune. Écart-type L'écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. On calcule d'abord la variance V qui est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type σ est alors la racine carrée de la variance. Le calcul de la variance est plus simple en utilisant la formule développée : moyenne des carrés moins carré de la moyenne. V = 627 / 60 (3,05) 2 = 1,1475 σ = V = 1,07 L'écart-type est 1,07 employés. Il s'agit d'une mesure de dispersion : toutes les boulangeries n'ont pas 3,05 employés : le nombre d'employés dans chaque boulangerie s'écarte de ce chiffre moyen de ± 1,07 employés en moyenne. En arrondissant légèrement, on peut dire qu'il y a, en moyenne, 3 employés par boulangerie avec des écarts en plus ou en moins de 1 employé, en moyenne.

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