Mathématiques Niveau 1 et 2 Deuxième partie Géométrie

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1 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie PITR 1 : RPPLS 1.1 Introuction près les quelques rappels e ce chapitre, nous aorerons, ans ce cours e géométrie plane, plus particulièrement les triangles et leurs roites remarquales ainsi que les cercles et leurs tangentes, et nous terminerons par une introuction à la trigonométrie u triangle rectangle. Il y a un certain nomre e choses que nous amettrons sans autre au éut e ce cours, les unes parce qu'elles ne sont pas émontrales, ce sont es axiomes, et les autres parce qu'elles sont si évientes que leur émonstration semle inutile. Nous amettrons que la roite et le point sont es ojets géométriques connus, que l'on n'a pas esoin e éfinir! e même, nous amettrons que par eux points istincts on ne peut faire passer qu'une seule roite et que eux roites istinctes, c est-à-ire non confonues, et non parallèles, se coupent en un seul point. Nous amettrons aussi les eux théorèmes suivants: La somme es angles 'un triangle est égale à un angle plat (180 ) Le théorème e Thalès (ont nous onnerons une formulation plus loin). 1. Vocaulaire et notations emi-roite roite S angle segment Une emi-roite est une partie infinie 'une roite, limitée par un point. Un angle est une partie infinie u plan limitée par eux emi-roites issues 'un même point appelé sommet e l'angle. Un segment e roite est une partie finie 'une roite limitée par eux points appelés extrémités u segment. ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.1

2 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie Remarques : - Les roites, les emi-roites et les segments sont es lignes, alors que les angles sont es surfaces. - Le nomre représentant la longueur u segment se note ou δ(,). - Une ligne polygonale est une ligne formée uniquement e segments e roites. Les extrémités es segments sont appelés les sommets e la ligne polygonale. - Une ligne polygonale est ite fermée si chacun e ses sommets est l'extrémité e eux segments. - Une ligne polygonale est ite simple si eux segments non consécutifs n'ont jamais e point commun. xemples e lignes polygonales simple fermée J I non-simple (croisée) Un polygone est une figure géométrique. 'est une partie finie u plan élimitée par un ligne polygonale fermée simple. xemples e polygones I ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.

3 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie - Les sommets e la ligne polygonale sont les sommets u polygone et les segments qui composent cette ligne polygonale sont les côtés u polygone. - Un polygone à 3 côtés est un triangle. - Un triangle isocèle est un triangle ont eux côtés au moins sont e même longueur. - Un triangle équilatéral est un triangle ont les trois côtés sont e même longueur. - Un triangle rectangle est un triangle ont un es angles est un angle roit (cà la moitié 'un angle plat). xemples e triangles isocèle = = I = I rectangle équilatéral I - Un polygone à 4 côtés est un quarilatère - Un trapèze est un quarilatère posséant au moins une paire e côtés parallèles. - Un parallélogramme est un quarilatère posséant eux paires e côtés parallèles. - Un losange est un parallélogramme ont les côtés sont e même longueur. - Un rectangle est un parallélogramme ont les angles sont e même graneur. - Un carré est un rectangle ont les côtés sont e même longueur (ou un losange ont les angles sont e même graneur). Remarque : n traçant une iagonale 'un quarilatère, on otient eux triangles. On sait que la somme es angles e chaque triangle vaut 180. On en éuit que la somme es angles 'un quarilatère vaut 360. Un rectangle ayant ses quatre angles égaux est onc composé e quatre angles roits. "!!$ # # $ "$ Somme es angles u quarilatère = α + β + γ + γ + β + α = ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.3

4 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie Le schéma ci-essous montre la classification es quarilatères en fonction e leurs caractéristiques: Quarilatères Une paire e côtés parallèles Trapèzes L'autre paire e côtés parallèles Parallélogrammes Les côtés e même longueur Losanges Les angles e même graneur Les angles e même graneur Rectangles Les côtés e même longueu arrés xemples e quarilatères trapèze losange parallélogramme rectangle - Un polygone à 5 côtés est un pentagone. - Un polygone à 6 côtés est un hexagone. - Un polygone à 8 côtés est un octogone. - Un polygone à 10 côtés est un écagone. - Un polygone à 1 côtés est un oécagone. - Un cercle est une ligne fermée ont les points sont situés à égale istance 'un même point appelé centre et la istance 'un point u cercle au centre e ce cercle est appelée rayon u cercle (le rayon 'un cercle est onc un nomre). - Le périmètre 'une figure géométrique est la longueur e la ligne qui élimite cette figure. - L'aire 'un figure géométrique est la mesure e la surface occupée par cette figure. (On enten souvent le mot surface utilisé en lieu et place u mot aire) ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.4

5 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie 1.3 ire es polygones ans ce paragraphe, nous aurons esoin e la notion e istance 'un point à une roite et e celle e istance entre eux roites parallèles. Soit un point et une roite. Pour trouver la istance e à, que l'on note δ(,), on commence par tracer la roite p, perpeniculaire à et passant par. La istance e au point (intersection e p et p) onne alors la istance e à. δ(,) = Pour éterminer la istance entre eux roites parallèles, on trace une roite perpeniculaire à ces eux roites et on mesure la longueur u segment éfini par les points 'intersections es parallèles avec la perpeniculaire. J ' K istance entre et ' = δ(j,k) = JK ire 'un rectangle Soit un rectangle ont les côtés mesurent respectivement a et. Nous amettrons que l'aire 'un tel a rectangle est égale à a. ire u rectangle = a omme = et =, on a : a = = = =. Nous allons trouver l'aire es autres polygones en n'utilisant que la formule ci-essus et la éfinition es polygones (ainsi que quelques astuces pour transformer ces figures en rectangles!). ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.5

6 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie 1.3. ire 'un parallélogramme Soit le parallélogramme. On construit sur le côté un rectangle '' e telle façon que les points ' et ' soient sur la roite. ' ' Les côtés et étant parallèles et e même longueur, les triangles ' et ' sont ientiques. L'aire u parallélogramme est onc égale à celle u rectangle ''. Mais le côté ' u rectangle représente aussi la istance entre les côtés (parallèles) et u parallélogramme; cette istance est appelée la hauteur u parallélogramme; on la note souvent h. onc l'aire u parallélogramme = aire u rectangle '' = '. inalement, si on note la longueur u segment : h ire u parallélogramme = (ase) (hauteur) = h ire 'un triangle On va montrer qu'un triangle est toujours la moitié 'un certain parallélogramme. Soit un triangle. ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.6

7 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie n traçant une roite parallèle au côté et passant par le sommet et une autre parallèle à et passant par, on étermine un point '; par construction, le quarilatère ' est un parallélogramme composé e eux triangles ientiques (car ' = et = ' ). ' onc l'aire u triangle vaut la moitié e celle u parallélogramme '. Mais la hauteur u parallélogramme ' est aussi la istance u point à la roite. inalement, si l'on note la longueur u segment et h la istance e la roite au point : h ire u triangle = (ase)! (hauteur) =! h Ici, la hauteur est la istance 'un sommet à la roite supportant le côté opposé (appelé ase) ire 'un trapèze On va montrer que l'on peut toujours consiérer un trapèze comme formé e eux triangles. Soit le trapèze. Ses eux côtés parallèles sont appelés les ases et la istance entre les ases est la hauteur u trapèze. ' h On trace une iagonale u trapèze. lle étermine eux triangles e même hauteur. hacune es ases u trapèze sert e ase à l'un es triangles. ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.7

8 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie ' h onc l'aire u trapèze est égale à la somme es aires es triangles et, c est-à-ire inalement! h + '!h =! h + '!h = ( + ')h ire u trapèze = ( + ')h Remarque: ( + ')h On sait que Le nomre + ' = ( + ' ) h. est la moyenne es ases u trapèze; on l'appelle souvent (mais ausivement) la ase moyenne. La formule e l'aire u trapèze peut alors s'énoncer " ase moyenne hauteur " ire 'un losange Soit le losange. Les segments et sont les iagonales u losange. ' Pour éterminer l'aire 'un losange, on peut le consiérer comme constitué e 4 triangles égaux. Mais il est plus simple e le voir inscrit ans un rectangle comme ans la figure ci-contre : on "voit" alors que l'aire u losange vaut la moitié e celle u rectangle, cà ire u losange =! ' ' ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.8

9 Mathématiques Niveau 1 et euxième partie éométrie ire un polygone quelconque Les aires es autres polygones s'otiennent en "écoupant" ces polygones en triangles et en faisant la somme es aires e ces triangles. Par exemple ire u polygone = aire u triangle + aire u triangle + aire u triangle + aire u triangle. ttention : Le périmètre u polygone n'est pas égal à la somme es périmètres es triangles qui le composent!! ollège Sismoni (S.Z., cours..) chap.1, p.9