Devoir commun de mathématiques Classe de 2 nde - 2 avril 2014

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1 Devoir commun de mathématiques Classe de 2 nde - 2 avril 2014 Nom : nde :..... Note.../40 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. L'énoncé complet du sujet est à rendre obligatoirement avec la copie Calculatrice autorisée. L'élève doit traiter les cinq eercices. L'élève est invité à faire gurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies. 1

2 Eercice 1 On a tracé la représentation graphique d'une fonction f. y (10 points) C f À l'aide du graphique, répondre au questions suivantes sur le sujet : ) Donner l'ensemble de dénition D f de f. D f =... 2) Décrire en une phrase les variations de f sur D f, puis dresser le tableau de variations. 3) Compléter : f(0) =... et f( 2) =... 4) Donner l'ensemble des solutions de l'équation : f() = ) Dresser le tableau de signes de f sur l'intervalle D f. 6) Donner l'ensemble des solutions de chaque inéquation : a) f() b) f() < ) On dénit la fonction g par : g() = + 6. a) Tracer sur le graphique la droite représentant g. b) Par lecture graphique donner les solutions de l'équation : f() = g().... 2

3 Eercice 2 Dans un repère orthonormé, on donne les points A(2; 1), B(4; 2), C(3; 1) et D(5; 0). 1) Placer les points A, B, C et D dans le repère. 2) Calculer les coordonnées du milieu de [AD], que l'on nomme K. 3) Calculer la distance AB. 4) Calculer les coordonnées du vecteur AB. 5) Montrer que ABDC est un parallélogramme. 6) Soit le vecteur u ( 2; 4). a) Placer le point E tel que u = AE. b) Déterminer (par le calcul) les coordonnées du point E 7) Que peut-on conjecturer pour les trois points E, A et C? (8 points) y J O I 3

4 Eercice 3 (10 points) On propose le graphique sur la feuille annee page 6. Dans la gure, ABCD est un parallélogramme. E est le milieu de [AB], F est le milieu de [AD] et K est le point d'intersection des droites (DE) et (AC). Partie A 1) a) Compléter la gure proposée en feuille annee. b) Quelle conjecture peut-on faire en ce qui concerne les points B, K et F? 2) Dans le repère (O; I, J). a) Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points A, B, C, D, E et F. b) Calculer le coecient directeur de la droite (AC), puis déterminer une équation de la droite (AC). c) Déterminer une équation de la droite (DE). d) Justier que les droites (AC) et (DE) sont sécantes. Partie B On souhaite réaliser un algorithme permettant de déterminer si deu droites (M N) et (RS) sont sécantes ou non. 1) Compléter pour cela l'algorithme proposé en feuille annee. 2) L'algorithme fonctionne-t-il dans tous les cas? préciser. Eercice 4 ABCD est un carré de côté 5 cm. M est un point du segment [AB], distinct de A et de B. On construit ensuite le point P sur [AD] tel que AP = AM et le point N tel que AMNP soit un carré. D (4 points) C 1) Où faut-il placer le point M sur [AB] pour que le carré AMNP et le triangle MNB aient la même aire? 2) Donner la valeur de cette aire commune. P N A M B Aide : On pourra poser AM = 4

5 Eercice 5 (8 points) On considère les deu fonctions : f dénie sur R par : f() = et g dénie sur R par : g() = Rappel : R est l'ensemble des nombres réels non nuls. 1) a) Développer l'epression (5 )( + 3). b) - Montrer que g() f() = , - En déduire que g() f() = c) Étudier dans un tableau le signe de 5(5 )( + 3). (5 )( + 3). 2) Un restaurant fait une étude de marché pour er le pri de son menu restauration rapide. L'ore correspond au nombre de repas que le restaurant peut proposer. La demande correspond au nombre de clients souhaitant acheter ce repas. Pour un repas à euros, l'ore est égale à f() et la demande est égale à g() (en milliers). Voici la représentation graphique de l'ore et de la demande en fonction du pri d'un repas. a) On e un repas à 3 euros. Lire sur le graphique :. la valeur de l'ore :.... la valeur de la demande :... b) On e un repas à 8 euros. Lire sur le graphique :. la valeur de l'ore :.... la valeur de la demande :... c) Le pri d'équilibre est le pri du repas pour lequel l'ore est égale à la demande. Lire sur le graphique : - le pri d'équilibre :... et - le nombre de repas pour ce pri :... d) Lire sur le graphique les pri pour lesquels l'ore est supérieure à la demande. e) A l'aide de l'étude faite en 1), retrouver le résultat (epliquer sur la copie). 5

6 Nom : nde :..... Eercice 3 1 a) Feuille annee : à rendre obligatoirement avec la copie. y D C J O I A B Partie B Variables : Début nombres réels Saisir Aecter à m 1 la valeur y N y M N M Aecter à m 2 la valeur y S y R S R Si alors Acher Sinon Acher FinSi Fin 6