I TENSEUR D INERTIE D UN SOLIDE

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1 1 MÉCANIQUE DU SOLIDE I TENSEUR D INERTIE D UN SOLIDE 1- Tenseur d inertie On considère soit un solide en mouvement qui possède un point fixe O, soit un solide animé d un mouvement quelconque, mais dans ce cas le point O est le centre de gravité. On est alors ramené au premier cas, car on peut ne s occuper que du mouvement autour du centre de gravité. Ceci aussi bien pour le calcul de l énergie cinétique totale T R0 que du moment cinétique total autour d un point fixe A grâce aux deux théorèmes de König; premier théorème de König : σ A = σ G,r + AG (M ) V G deuxième théorème de König : T R0 = T RG MV G 2 Dans la suite, le repère est d origine O et orthonormé. Seules les directions d axes peuvent varier. On a : σ = f ( Ω ) Ω est le vecteur rotation du solide. f est un opérateur linéaire, ou application linéaire et est aussi un tenseur mixte d ordre 2. Matriciellement, dans une base orthonormée : σ x σ y σ z = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz = avec I ij = I ji matrice symétrique. Les I ii sont les moments d inerties par rapport aux axes i, les I ij i j sont les produits d inertie. L opérateur ainsi obtenu est symétrique. Sa matrice est symétrique dans une base orthonormée. On sait que la propriété de symétrie n a un sens que dans un espace euclidien muni d un produit scalaire et ne se conserve que par un changement de repère orthonormé. On ne considère donc que des axes orthonormés. Ω x Ω y Ω z 1 MECASO 1

2 Toute matrice symétrique est diagonalisable avec une matrice de passage orthogonale vérifiant t P = P 1. Les directions propres qui sont orthogonales, avec l origine O, définissent des axes appelés axes principaux d inertie d origine O. Tout axe de symétrie sera un axe principal d inertie. Si le corps tourne autour de l axe principal d inertie X : σ X I σ = 0 = XX 0 0 Ω X 0 I Y Y 0 0 = I XX Ω I ZZ 0 σ Ω. On a équilibrage dynamique, condition nécessaire pour qu il n y ai pas de vibrations (équilibrage d une roue de voiture après avoir changé le pneu). 2- Moments d inerties D une manière générale, on peut définir un moment d inertie par rapport à un point, une droite ou un plan avec toujours I = i m id i 2 d i étant la distance du point M i au point, à la droite ou au plan suivant le cas. Pour faciliter les calculs de moments d inerties, on a les théorèmes généraux suivants : Le moment d inertie par rapport à un point est la somme des moments d inerties par rapport à 3 plans perpendiculaires passant par ce point. Le moment d inertie par rapport à une droite est égal à la somme des moments d inerties par rapport à deux plans orthogonaux passant par cette droite. Le moment d inertie par rapport à un point est la somme des moments d inerties par rapport à une droite et un plan orthogonaux passant tous deux par le point. Le moment d inertie par rapport à un point est la moitié de la somme des moments d inerties par rapport à 3 droites orthogonales concourantes en ce point. Quelques moments d inerties : Plaque homogène rectangulaire infiniment fine de côtés d et l, moment par rapport à l axe contenant le côté d : I = ml2 3 ; cylindre plein homogène de rayon R, par rapport à son axe : I = 1 2 mr2, boule homogène pleine de rayon R par rapport à un axe passant par son centre : I = 2 5 mr2. Théorème d Huygens : I D = I +Md 2, D passant par G; d est la distance des deux droites D et. 2

3 3- Calcul de l énergie cinétique T = 1 2 σ Ω dans les axes principaux d inertie : T = 1 2 ( IX Ω X 2 + I Y Ω Y 2 + I Z Ω Z 2 ). II PRESENTATION DES TORSEURS UTILISES EN MECANIQUE 1- Torseur des vitesses d un solide Le corps doit être un solide. Champ des vecteurs vitesse V (M); résultante générale Ω. V (B) = V (A) + Ω AB A noter qu il en résulte que le mouvement le plus général d un solide à un instant donné est un mouvement hélicoïdal. 2- Torseur cinétique Le corps peut être déformable. Champ des vecteurs σ(m), moment résultant en M des impulsions (ou quantité de mouvement) p i = m i V (M i ). σ(b) = σ(a) + BA P P = MVG est la résultante générale du torseur ou quantité de mouvement totale, comme si toute la masse était au centre de gravité. 3- Torseur dynamique Le corps peut être déformable Champ des vecteurs K(M). K(M) (moment dynamique) est le moment résultant en M des forces extérieures f e,k appliquées aux points M k du solide. On ne prend donc en compte que les forces extérieures. résultante générale : F = k f e,k. K(M) = k MM k f e,k K(B) = K(A) + BA F III LOIS DE LA MECANIQUE 1- Théorème de la résultante cinétique Le corps peut être déformable 3

4 F = d P Dans le calcul de P on prend les vitesses absolues et on dérive par rapport au repère fixe ; et d P = M d V G = M a G. Finalement : F = M ag Le centre de gravité d un système matériel quelconque, rigide ou déformable a le même mouvement qu un point matériel libre ou serait concentré toute la masse du sytème et ou seraient transportées parallèlement à elles mêmes toutes les forces extérieures. 2- Théorème du moment cinétique Le corps peut être déformable K O = k OM k f e,k dσ O K O = O point fixe; dérivation par rapport à un repère fixe. 3- Théorème du moment cinétique dans le mouvement relatif autour du centre de gravité repère fixe, R G repère en translation d origine G, mobile mais gardant des directions fixes parallèles à celles de. V (M k ) = V r (M k ) + V G σ G = σ G,r Théorème de Varillon : Pour calculer le moment cinétique au centre de gravité, on peut ne tenir compte que du mouvement autour du centre de gravité. Ecrivons alors le premier théorème de König : σ O = σ G,r + OG M V G à tous les instants t, O étant un point fixe et G se déplaçant! Puis dérivons : dσ O dσ G,r = + OG F + V G M V }{{ G } =0 } {{ } G bougeant 4

5 or K O = K G + OG F et K O = [ ] σ0 K G =, donc : dσ G,r On peut ainsi déterminer le mouvement relatif du système autour de son centre de gravité. Comment calculer? Avec la formule générale pour tout vecteur dσ G,r V : R S lié au solide. dv = dv + Ω R S V R S 4- Théorème du moment cinétique par rapport à un point coïncidant En dérivant la relation correspondant au premier théorème de König, on obtient : K O = dσ G,r + OG M a G 5- Deuxième théorème de König Vk = V r,k + V G On calcule alors 1 2 k m kv 2 k en développant, et on remarque que : m kvr,k = 0 k on arrive alors au théorème cité au I1. Ce théorème est vrai pour un corps déformable. 6- Théorème du moment cinétique par rapport à un point quelconque. Ce théorème est assez peu utilisé, car si A est mobile, σ A est difficile à calculer, en particulier, σ A I A ω. dσ A σ A = AMi m i Vi = ( Vi V A ) m i Vi + AMi m i ai 5

6 Il s agit de dérivées par rapport à. = V A P + K A K A = dσ A + V A P Dans l utilisation de ce procédé, la plupart du temps, il faut calculer σ A par : σ A = σ G + AG P 7- Mécanique dans un référentiel non galiléen On peut également utiliser un référentiel accéléré pour écrire les lois de la mécanique du solide en utilisant les forces d inerties. Dans le cas d un mouvement de translation accéléré, les forces d inerties d entraînement s appliquent au centre de gravité. Cela permet d écrire σ A = I A ω, A étant accéléré. On obtient : dω I A = M( Fext ) AG M a G 8- Théorèmes avec l énergie Théorème de l énergie cinétique : Le travail de toutes les forces entre deux instants t 1 et t 2 est égal à la variation d énergie cinétique entre ces deux instants. Théorème de la conservation de l énergie mécanique totale : si les forces ne travaillent pas où dérivent d une fonction potentielle : T + U = Cte. A noter l analogie dw = F dm et pour la rotation : dw = Γ dθ. 9- Lois de Coulomb du frottement D une manière générale, on décompose le vecteur rotation en roulement et pivotement. En ce qui concerne le frottement de glissement, il n a pas lieu tant que T < fn, T et N étant les composantes tangentielles et normales à la surface de contact (on admet que l ensemble des forces microscopiques de contact peuvent se modéliser par une force unique). Il y a égalité lors du glissement, mais alors le coefficient devient un peu plus petit. 10- Equations de Lagrange Pour la culture personnelle, pour un système où les forces ne travaillent pas ou dérivent d un potentiel, on écrit L = T(q i, q i) U(q i ), L est le Lagrangien. Le sytème est défini par les variables q i. Les équations de Lagrange s écrivent : d L q i L q i = 0 6

7 Pour montrer la puissance de ces équations, considérons un cercle massique glissant parfaitement sur une sphère tous ses points restant en contact avec la sphère. Les q i sont λ la latitude, φ la longitude et ψ angle de rotation autour de l axe du cercle. U ψ = 0 et T ψ = ma 2 ψ Il vient ma 2 ψ = 0, soit ψ = Cte. Le cercle évolue en tournant toujours à vitesse constante autour de son axe. IV CONSEILS - Essayer dans un premier temps de voir si les forces ne travaillent pas (glissement parfait ou roulement sans glissement) où si elles dérivent d un potentiel (champ de gravité par exemple). Dans ce cas écrire T + U = Cte. - Souvent le premier théorème de König donne des calculs plus faciles que l utilisation du théorème d Huyghens. - Penser à écrire les lois faisant intervenir le moment cinétique par rapport à un point judicieusement choisi. - Penser à écrire P x = Cte si toutes les forces extérieures à un système qui peut être compliqué sont perpendiculaires à l axe des x. - Prendre de bonnes variables, des angles positifs dans le sens positif habituel. Ne pas hésiter à faire de préférence tomber un objet vers la gauche pour obtenir cela. - Si les forces ne dérivent pas d une manière évidente d un potentiel où si le système est compliqué, poser plutôt les équations avec les forces comme inconnues. Dans ce cas, si il y a toujours roulement sans glissement, il peut être avantageux de décomposer les réactions de contacts en une composante horizontale H et une composante verticale V. - Vérifier qu on a autant d équations que d inconnues. - Vérifier l homogénéité des formules et l allure raisonnables des résultats. - En ce qui concerne le moment cinétique, sauf évidence du contraire (point fixe du solide par exemple), le plus simple et de travailler avec σ G,r, dans le mouvement autour du centre de gravité. 7

8 - Un objet quitte un mur quand N = 0. - Penser au calcul vectoriel, plutôt que d écrire des relations compliquées avec des fonctions trigonométriques dans le triangle et des projections bizarres. Travailler avec les composantes dans un repère orthonormé. Penser à faire les produits vectoriels composante par composante : a b c α β γ = bγ cβ cα aγ aβ bα V Erreurs ou maladresses - Faire un calcul vectoriel compliqué et une erreur de signe pour la vitesse angulaire d une roue de rayon a avançant à la vitesse V. - Parler du théorème de l énergie cinétique alors que c est T + U = Cte qu il faut écrire. Ecrire cette relation sous forme dérivée alors que sous forme intégrée il est souvent facile de déterminer la constante avec les conditions initiales. On pourra toujours dériver par la suite si nécessaire. - Ecrire σ A = I A ω alors que A n est pas fixe. - Pour déterminer un angle de commencement de glissement, poser dès le départ T = fn, alors qu il faut écrire cette relation uniquement à la fin, le mouvement sans glissement ayant été résolu auparavant. - Se tromper sur les directions de T et N. Par exemple, pour un stylo debout incliné sur une table, mettre N stylo. N doit être à la surface commune donc à la table. - Intégrer les équations du mouvement en considérant les réactions T et N comme constantes alors que ce n est pas le cas. - Oubli des termes d accélérations, ce qui fait que certaines équations correspondent à de la statique alors que ce n est pas le cas. - Attention aux signes quand il y a des valeurs algébriques. 8