TRIANGLE RECTANGLE ET TRIGONOMETRIE. 1) Triangle rectangle et cercle circonscrit :

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1 TRINGLE RETNGLE ET TRIGONOMETRIE I) Triangle rectangle : 1) Triangle rectangle et cercle circonscrit : a) Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse. Le triangle est rectangle en donc est sur le cercle de diamètre []. Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés alors ce triangle est rectangle. est sur le cercle de diamètre [] donc le triangle est rectangle en. 1

2 b) Propriété : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. I Le triangle est rectangle en donc de []. 1 I =, avec I milieu Réciproque : Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle. I 1 I =, avec I milieu de [] donc le triangle est rectangle en.

3 ) Théorème de Pythagore : Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés. Le triangle est rectangle en donc = +. Réciproque : Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté. + = donc le triangle est rectangle en. ontraposée : Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n est pas rectangle. + donc le triangle n est pas rectangle en. 3

4 3) Exemple : a) Soit un triangle tel que le point soit sur le cercle de diamètre []. Le point I est le milieu de []. On donne = 8cm et = 5 cm. 1) onstruire le triangle. ) Quelle est la nature du triangle? Justifier. 3) alculer la distance I. Justifier. 4) alculer la distance. Justifier. b) Soit MNP un triangle tel que MN = 6 cm, MP = 8 cm et NP = 10 cm. II) Trigonométrie : 1) onstruire le triangle MNP. ) Quelle est la nature du triangle MNP? Justifier. 3) Où se situe le point M? Justifier. 1) osinus d un angle aigu : a) Définition: Soit un triangle rectangle en. On appelle cosinus de l angle, le quotient de la longueur du côté adjacent à l angle par la longueur de l hypoténuse. hypoténuse cos = côté adjacent coté adjacent hypoténuse = 4

5 b) Exemples : 1) Soit un triangle rectangle en, tel que = 4 cm et =60. a) onstruire le triangle. b) alculer la distance. c) En déduire la distance. ) Soit GHI un triangle rectangle en I, tel que GH = 7 cm et GI = 3cm. a) onstruire le triangle GHI. b) alculer la distance HI. c) En déduire une mesure de l angle GHI. (on donnera l arrondi au dixième) 5

6 ) Sinus d un angle aigu : a) ctivité: b) Définition: Soit un triangle rectangle en. On appelle sinus de l angle, le quotient de la longueur du à l angle par la longueur de l hypoténuse. hypoténuse c) Remarque: sin = hypoténuse = hypoténuse sin = hypoténuse = d) Exemple: Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = 3cm et NP = 6 cm. 1) onstruire le triangle MNP. ) alculer le sinus de l angle MPN. 6

7 e) alcul d une longueur à l aide du sinus d un angle aigu: onnaissant la mesure d un angle aigu et la longueur de l hypoténuse ou du à cet angle, on peutt calculer la longueur des autres côtés. Exemple : On donne la figure ci-dessous. a) alculer LK. b) alculer KM (arrondir au dixième de centimètre). f) alcul de la mesure d un angle connaissant son sinus: Pour calculer la mesure d un angle connaissant le sinus de cet angle, on utilise la touche de la calculatrice : sin -1, arcsinus (asn). La calculatrice doit-être en degré. Exemple 1: alculer une mesure de l angle tel que : (on donnera l arrondi au degré) 1) sin 1 3 ) sin ) sin 8 9 Exemple : Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 4 cm et RS = 8,5 cm.. a) onstruire le triangle RST. b) alculer une mesure de l angle SRT. (Onn donnera l arrondi au degré). 7

8 3) Tangente d un angle aigu : a) Définition: Soit un triangle rectangle en. On appelle tangente de l angle, le quotient de la longueur du à l angle par la longueur du côté adjacent à l angle. côté adjacent b) Remarque: tan = côté adjacent = côté adjacent tan = côté adjacent = c) Exemple: Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = cm et MP = 5cm. 1) onstruire le triangle MNP. ) alculer la tangente de l angle MNP. 3) alculer la tangente de l angle MPN. 8

9 d) alcul d une longueur à l aide de la tangente d un angle aigu: onnaissant la mesure d un angle aigu et la longueur du côté adjacent ou du à cet angle, on peut calculer la longueur des autres côtés. Exemple : Soit KLM un triangle rectangle en M tel que LKM = 60 et KM = 4 cm. a) onstruire le triangle KLM. b) alculer LM et LK.(on donnera l arrondi au dixième) e) alcul de la mesure d un angle connaissant sa tangente: Pour calculer la mesure d un angle connaissant la tangente de cet angle, on utilise la touche de la calculatrice : tan -1, arctangente (atn). La calculatrice doit-être en degré. Exemple 1: alculer une mesure de l angle tel que : (on donnera l arrondi au degré) 1) tan 3 = 4 4) tan =1 ) tan = 3) tan =3,5 Exemple : Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 3 cm et RT = 7 cm. a) onstruire le triangle RST. b) alculer une mesure de l angle RST. (On donnera l arrondi au degré). 9

10 4) Relations entre cosinus, sinus et tangente d un angle aigu : a) cos + sin : Propriété : Pour tout angle aigu Démonstration: cos + sin =1 ou cos + sin =1 b) tan : Pour tout angle aigu tan = c) Remarque : Pour tout angle aigu, cos, sin et tan sont positifs. d) Exemple : alculer la valeur exacte de cos et tan sachant que est un angle aigu tel que sin =

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