Trigonométrie. 1 Trigonométrie, notion et définition

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1 Trigonométrie, notion et définition Trigonométrie. Vocabulaire sur les triangles rectangles. Dans le triangle rectangle suivant, on a le vocabulaire suivant : [] est l hypoténuse du triangle [] est le côté opposé à l angle [] est le côté adjacent à l angle Remarque [] est le côté opposé à l angle, mais c est aussi le côté adjacent à l angle. De même le côté [] est le côté adjacent à l angle, mais c est aussi le côté opposé à l angle. Dans les triangles suivants, dire quel est le côté opposé et le côté adjacent de l angle marqué en rouge. ndiquer également l hypoténuse. O N le côté opposé le côté adjacent l hypoténuse Trigonométrie, remarque intéressante coller la feuille ici Remarque justification de la trigonométrie On a vu dans l activité que dans un triangle rectangle, que quand on divise deux côtés d un triangle rectangle, on obtient un nombre qui ne dépend pas de la taille du triangle mais uniquement des angles du triangle. eci est justifié par le théorème de Thalès. De manière générale, dans un triangle rectangle, quand on divise le côté adjacent d un angle par l hypoténuse on obtient un résultat qui ne dépend que de l angle. On dit que ce résultat est le cosinus de l angle.

2 Exemple cosinus d un même angle dans deux triangles différents F 45 D 45 E dans le petit tri- Dans le grand triangle le résultat de angle. DE donne le même résultat que DF En effet, le calcul du cosinus ne dépend pas de la taille du triangle mais uniquement de l angle. Or l angle est le même dans les deux triangles donc le calcul du cosinus donne le même résultat, même si l un des triangles est plus grand..3 Trigonométrie, définition Définition cosinus, sinus et tangente d un angle aigu De la même manière que le cosinus d un angle aigu est le quotient du côté adjacent à l angle par l hypoténuse, on définit le sinus de l angle comme le quotient du côté opposé par l hypoténuse. Enfin, on définit la tangente de l angle comme le quotient du côté opposé à l angle par le côté adjacent à l angle. utrement dit : dans un triangle, rectangle en, on a : utrement dit : cos  = sin  = tan  = cosinus = adjacent hypotenuse sinus = oppose hypotenuse tangente = oppose adjacent

3 Exemple Dans chacun des triangles suivants calculer le cosinus de l angle marqué en rouge. 3cm cm 5 cm O N 4cm 3cm le cosinus le sinus la tangente Remarque 3 Pour se souvenir c est facile, il suffit de penser à quelqu un... osinus = djacent Hypotnuse Sinus = Oppos Hypotnuse Tangente = Oppos djacent utrement dit : H SOH TO.

4 Utilisation de la trigonométrie. Situation simple,calcul de la longueur d un côté Exemple 3 la trigonométrie pour calculer la longueur d un côté dans un triangle rectangle FH=6 cm 65 H éthode : on dispose de l angle Ĥ, de l hypoténuse F H = 6cm et on cherche le côté adjacent à l angle. On va donc utiliser le cosinus de Ĥ. cos Ĥ = H F H F cos 65 = H 6 cos 65 = H 6 H = 6 cos 65 H = 6 cos 65 Exemple 4 dans chaque cas, trouver les longueurs demandées Ĉ = 45 = Î = 30 N = cm N N = 40 = 7cm alculer alculer alculer cos Î = sin ˆN = N tan Ĉ = cos 30 = 5 sin 40 = tan 45 = 7 cos 30 = 5 sin 40 = tan 45 = 7 = 5 cos = sin = 7 tan Situation simple,calcul d un angle Exemple 5 la trigonométrie pour calculer un angle dans un triangle rectangle Dans le triangle suivant calculer Ĝ.

5 éthode 90 7 cm on dispose du côté adjacent à l angle Ĝ ainsi que de l hypoténuse. On va donc utiliser le cosinus de l angle Ĝ. 5 cm cos Ĝ = cos Ĝ = 7 5 Exemple 6 dans chaque cas, trouver les angles demandées en utilisant la touche arccos de la calculatrice on obtient que Ĝ... = 9cm = = 0cm N = 8cm N = = cm alculer Î alculer N alculer Ĉ cos Î = sin ˆN = N tan Ĉ = cos Î = 8 0 sin ˆN = 9 5 tan Ĉ = 5 Î = arccos ˆN = arcsin Ĉ = arctan Situation plus complexe 3 Diverses choses à connaître sur la trigonométrie 3. Valeur du cosinus, du sinus et de la tangente à connaître Remarque 4 ertaines valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente sont à connaître par coeur :

6  cos  3 0 sin  0 3 tan  impossible 3. Relations trigonométriques Théorème Dans un triangle rectangle, rectangle en, on a toujours. (cos ) + (sin ) = De même on a : tan = sin cos De même on a : + (tan ) = (cos ) 4 Quelques formules classiques avec de la trigonométrie. Théorème Formule de Héron Dans un triangle dont la longueur des cotés est : = c, = a, = b,et le demipérimètre p, alors on a l aire du triangle qui est égale à : ire = p(p a)(p b)(p c) () Théorème 3 Théorème d l-ashi Dans un triangle dont la longueur des cotés est : = c, = a, = b, on a : a = b + c bc cos  () Théorème 4 Formule des sinus Dans un triangle dont la longueur des cotés est : = c, = a, = b,on a : a sin  = b sin ˆ = c sin Ĉ (3)

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