Lycée Galilée Gennevilliers. chap. 10. Jallu Laurent

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1 ycée alilée ennevilliers chap. 10 Jallu aurent I. Présentation d oscillateurs libres e pendule simple... Définition... a période du pendule simple.... e pendule élastique... 3 Définition... 3 a période du pendule élastique es oscillations mécaniques... 4 II. Dynamique du pendule e pendule simple... 4 Équation d évolution temporelle du mouvement (équation différentielle)... 4 Évolution temporelle du pendule e pendule élastique... 7 Équation d évolution temporelle du mouvement... 7 Évolution temporelle du pendule... 8 III. Amortissements et oscillations forcées amortissement oscillation forcée... 11

2 Des pendules simples et élastiques I. Présentation d oscillateurs libres 1. e pendule simple (m) 0 En mouvement : Position d équilibre ou de repos Définition Un pendule simple est le modèle physique d une masse «m» suspendue à un fil inextensible de masse nélieable qui oscille lorsqu elle est écartée de sa position verticale d équilibre. a période du pendule simple T 0 = [T 0 ] = [] 1/ ([] T ) 1/ = [] 1/ [] 1/ T = T T 0 la période propre du pendule est homoène à un temps.

3 . e pendule élastique (k) Équilibre ou repos (k) 0 0 Équilibre ou repos En mouvement : Définition Un pendule élastique est le modèle physique d une masse «m» accrochée à un ressort de masse nélieable, de raideur k qui oscille lorsqu elle est écartée de sa position d équilibre. e ressort exerce sur cette masse la force de rappel avec F = k. (m) En mouvement : a période du pendule élastique T 0 = [T 0 ] = [m] 1/ [k] 1/ = M 1/ ([F] / [ ]) 1/ = M 1/ (M T / ) 1/ = M 1/ M 1/ T = T T 0 la période propre du pendule est homoène à un temps. m k Rappel sur les dimensions [l ] = [v ] = T 1 [a ] = T [F ] = M T M est une masse, est une lonueur, T est un temps. Remarque : [F] = M T d après la seconde relation de Newton = m avec [a] = T 3

4 3. es oscillations mécaniques Fort des exemples précédents, on constate la présence d oscillations mécaniques lorsque : e système possède une position d équilibre stable pour laquelle la somme des forces extérieures appliquées est nulle. e système ne se stabilise pas car à cette position il possède une énerie cinétique 1 non nulle (E C = m v ² ) qui l emporte au-delà dans un mouvement inertiel respectant la seconde loi de Newton. e mouvement résultant est, en cas d absence de tout frottement, un mouvement d «SCIATINS IBRES D UN PENDUÉCANIQUE», de période propre T, de 0 part et d autre de cette position d équilibre. II. Dynamique du pendule 1. e pendule simple Équation d évolution temporelle du mouvement (équation différentielle) z cos Choix arbitraire de référence de l énerie potentielle de pesanteur : P = 0 J énerie mécanique du système {pendule-terre} est somme de l énerie cinétique (liée à la vitesse) et de l énerie potentielle (liée aux forces qui travail au cours du déplacement) : h h x = = E C + _ 1 1 m v ² + m (h + h ) = m v ² + m [ h + (1 cos ) ] Travail élémentaire W de la tension exercée par le fil : W =. = δt = 0 Ce travail est nul et ne développe aucune énerie car est constamment perpendiculaire au déplacement = δt. s 4

5 Sur la trajectoire circulaire du mouvement non uniforme du pendule on a par ailleurs : «s» est l abscisse curviline telle que s =, représente l anle en radian, au centre de l arc s de rayon. (pour s = R ; pour π s = π R) «v =» est la relation entre vitesse linéaire «v» et vitesse anulaire «= d θ». dt (v = ds dt = d ( ) d = = ) dt dt D où : = 1 m ( ) + m [ h + (1 cos ) ] = 1 m + m h + m m cos S aissant d oscillations libres sans frottements, cette énerie mécanique est constante : Comme = d θ dt d dt = 0 = 1 m d ( θ ) + m dt 0 = m + m sin d (cos θ) dt ne peut être constamment nulle quel que soit le temps : 0 = + sin s Dans l approximation de petits anles (petites oscillations du pendule) exprimés en radian, sin : + = 0 + = 0_ C est l équation d un «oscillateur harmonique» + = 0 dont la solution est sinusoïdale = m cos ( t + φ) si et seulement si =, ou T 0 = π = En effet = m cos ( t + φ) = - m sin ( t + φ) = - m cos (ω0 t + φ) = - [m cos ( t + φ)] = -, on a bien + ω0 = 0 dont = m cos ( t + φ) est solution ssi =. 5

6 Évolution temporelle du pendule e pendule simple oscille donc sinusoïdalement entre les maxima + m et m à la pulsation = de tout frottement. rad.s 1. amplitude de ses oscillations est donc constante en l absence (en rad) = f(t) + m = m cos (φ) T 0 t (en s) m Son énerie mécanique = E C + est alors : Pour l énerie cinétique 1 E C = m v ² = 1 m ( ) = 1 m = 1 m [- m sin ( t + φ)] E C = 1 m m sin ( t + φ) = 1 m m sin ( t + φ) Pour l énerie potentielle E = m [ h + (1 cos ) ] = m [ h + (1 cos ) ] = m h + m (1 cos ) P = m h + m (1 cos ) qui devient dans le cas de petites oscillations, θ m h + m = m h + 1 m [ m cos ( t + φ)] m h + 1 m m cos ( t + φ) Pour l énerie mécanique = E C + 1 m m sin ( t + φ) + m h + 1 m m cos ( t + φ) m h + 1 m m [sin ( t + φ) + cos ( t + φ)] = m h + 1 m m Cette énerie est constante au cours du temps. 6

7 E (J) m h + 1 m m E = f(t) E C C m h T / 0 T 0 t (s) Pendule à = m Pendule à = + m = m h + 1 m m E C = 0 ; v = 0 Pendule à = 0 (passae à l équilibre) = m h E C = 1 m m ; v = m = m h + 1 m m E C = 0 ; v = 0 Il y a transformation permanente de l énerie sous formes cinétique et potentielle de pesanteur à une fréquence double de l oscillation du pendule. Sans frottement aucune perte d énerie n est dissipée vers l extérieur, le pendule acquiert sa vitesse maximale au passae à la verticale d équilibre et poursuit sa course dans cet allant incessant.. e pendule élastique Équation d évolution temporelle du mouvement e solide est soumis à trois forces: - son poids P = m. - la force de rappel du ressort F k.. x i - la réaction normale du support, R (pas de frottements) Deuxième loi de Newton appliquée au solide : Équilibre ou repos (k) (m) x 7

8 En projection selon l'axe (,x) il vient : d²x dt² C est l équation d un «oscillateur harmonique» 0 k.x + 0 = m.a x = m. d²x dt² + k.x 0 m + X = 0 dont la solution est sinusoïdale X = X m cos ( t + φ) si et seulement si = k m, ou T 0 = π = m k En effet x(t) = X m cos ( t + ) dx dt = X m. sin ( t + ) d²x dt² = X m. cos (ω0 t + ) =. x(t) Évolution temporelle du pendule d²x dt² + x = 0 avec = k m e pendule élastique oscille sinusoïdalement entre les maxima + X m et X m à la pulsation k = rad.s 1. amplitude de ses oscillations est constante en l absence de tout m frottement. Exemple Son énerie mécanique = E C + est : Pour l énerie potentielle élastique = 1 k x 8

9 En effet la seule force qui travail est la force de rappel dont le travail élémentaire W est : W =. δ x =. x = k x x n ne peut-on pas utiliser dans ce cas l expression W ( F) F. AB car la force de rappel AB F n'est pas constante au cours du déplacement (sa valeur dépend de x) Par intération, le travail W effectué par la force est : W = x 0 pour un allonement x à partir de l'oriine k.x.δx = ½.k.x² avec k constante. Par méthode raphique e travail élémentaire W correspond à l'aire du petit rectanle, en ris foncé, de hauteur k.x et de lareur x. T T = k.x e travail W correspond à l'aire du trianle en ris clair, kx dont les cotés ont pour lonueur x et kx. Soit W = ½.k.x² W est la somme des aires des petits rectanles. x x x 'énerie potentielle élastique E pe du système {masse - ressort} est éale au travail W de la force soit : E pe = ½.k.x² à une constante additive près choisie nulle Il vient donc = 1 k x = 1 k [ X m cos ( t + )] = 1 k X m cos ( t + ) Pour l énerie cinétique 1 E C = m v ² = 1 dx 1 m = m [ X m ω dt 0 sin ( t + )] = 1 m X m ω0 sin (ω0 t + ) E = 1 C k X m sin (ω t + ) puisque ω k = 0 0 m. Pour l énerie mécanique = E C + = 1 k X m cos ( t + ) + 1 k X m sin ( t + ) = 1 k X m [cos ( t + ) + sin ( t + )] = = 1 k X m constante au cours du temps. De nouveau, en l absence de frottement, l énerie est transférée sous forme potentielle ou cinétique à un rythme deux fois plus rapide que le mouvement périodique du pendule élastique. énerie mécanique constante, est exclusivement cinétique au passae à la position d équilibre où la vitesse est alors maximale ( v = X m ). Elle devient exclusivement potentielle élastique aux extrema du mouvement, où la vitesse est nulle. 9

10 III. Amortissements et oscillations forcées 1. amortissement Point fixe Ressort de raideur k Masse «m» + 5 V 5 V Acquisition de mesures n observe à l écran : Frottements fluides Tie conductrice Solution électrolytique 0 V référence es oscillations libres amorties scillations libres scillations libres amorties Pseudo-période = Période propre T 0 Dès l apparition d un frottement fluide ou solide, le réime d oscillations devient pseudo-sinusoïdal. amplitude des oscillations diminue selon la qualité et le type de frottements (importants ou faibles, fluides ou solides). En cas de faibles frottements, la pseudo période est éale à la période propre T 0 de l oscillateur. Elle aumente dans le cas contraire, voire même disparaît lors du réime apériodique. 10

11 . oscillation forcée Excitateur Moteur excentrique à fréquence rélable Résonateur x (cm) Amplitude des oscillations t (s) Résonance d amplitude Après une période transitoire d établissement des oscillations, le résonateur adopte, à la fréquence imposée par l excitateur, une amplitude constante. Si toutefois la fréquence de l excitateur est différente de la fréquence propre f 0 des oscillations libres de l oscillateur, ces amplitudes sont faibles. orsque l excitateur pulse à la fréquence propre f 0 de l oscillateur, c est la résonance mécanique et les amplitudes sont maximales. Selon l amortissement, cette résonance est plus ou moins «floue». 11 f (Hz) fréquence rélable de l excitateur

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