EXERCICE 3 (7 points )

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1 EXERCICE 3 (7 points ) Commun à tous les candidats La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l épreuve. PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par :. f(x) = x + ln x. On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i, j ) du plan. 1) a) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. b) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l intervalle ]0; + [. ) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l équation f(x) = n admet une unique solution dans ]0; + [. On note α n cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, α n + ln α n = n. b) Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère (O, i, j ). Placer les nombres α 0, α 1, α, α 3, α sur l axe des abscisses en laissant transparents les traits de construction. c) Préciser la valeur de α 1. d) Démontrer que la suite (α n ) est strictement croissante. 3) a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d abscisse 1. b) Etudier les variations de la fonction h définie sur ]0, + [ par : h(x) = ln x x + 1. En déduire la position de la courbe Γ par rapport à. c) Tracer sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, n + 1 α n. ) Déterminer la limite de la suite (α n ). Partie B On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0; + [ et telle que lim g(x) = et lim g(x) = +. On admet que l on peut, comme on l a fait dans la partie A, définir sur N une suite (β n ) de réels tels que g(β n ) = n, et que cette suite est strictement croissante. 1) Démonstration de cours : Prérequis : définition d une suite tendant vers +. «Une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d un certain rang, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +. ) Montrer que la suite (β n ) tend vers +.

2 Page annexe Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve Exercice

3 EXERCICE 3 Partie A 1. a. On a lim De même, lim ln(x) = et lim x = 0. Donc lim f(x) =. ln(x) = + et lim x = +. Donc lim lim f(x) = +. f(x) = et lim f(x) = +. b. f est somme de deux fonctions strictement croissantes sur ]0, + [ et donc f est strictement croissante sur ]0, + [.. a. Soit n un entier naturel. Tout d abord, f est continue sur ]0, + [ en tant que somme de deux fonctions continues sur ]0, + [. f est donc continue et strictement croissante sur ]0, + [ avec lim f(x) = et lim f(x) = +. On sait alors que pour tout réel k, l équation f(x) = f admet une et une seule solution. En particulier, il existe un réel α n et un seul tel que f(α n ) = n. b. Voir graphique page suivante. c. Puisque 1 + ln(1) = 1, on a α 1 = 1. d. Soit n un entier naturel. Par définition, on a f(α n ) = n et f(α n+1 ) = n + 1. Donc, f(α n ) < f(α n+1 ). Puisque f est une fonction strictement croissante sur ]0, + [, on en déduit que α n < α n+1. On a montré que pour tout entier naturel n, α n < α n+1 et donc que la suite (α n ) est strictement croissante. 3. a. On a f(1) = 1 + ln(1) = 1. Puis pour tout réel x strictement positif, f (x) = x et donc f (1) = =. Une équation de la tangente à la courbe (Γ) est y 1 = (x 1) ou encore y = x 1. Une équation de la tangente à (Γ) au point d abscisse 1 est y = x + 1. b. h est dérivable sur ]0, + [ et pour tout réel x strictement positif, h (x) = 1 x 1 = 1 x x. Ainsi, si x ]0, 1[, h (x) > 0 et si x ]1, + [, h (x) < 0. La fonction h est donc strictement croissante sur l intervalle ]0, 1] et strictement décroissante sur l intervalle [1, + [. La fonction h admet donc un maximum en 1. Or h(1) = ln(1) 1+1 = 0. On en déduit que la fonction h est négative sur ]0, + [. Soit x un réel strictement positif. On a f(x) (x 1) = x + ln(x) x + 1 = ln(x) x + 1 = h(x). D après ce qui précède, pour tout réel x strictement positif, on a h(x) 0 et donc f(x) x 1. On en déduit que (Γ) est au-dessous de ( ) sur ]0, + [. c. Soit n un entier naturel. D après la question b., on a f(α n ) α n 1 ce qui s écrit n α n 1 ou encore n + 1 α n. pour tout entier naturel n, n + 1 http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. α n.

4 n + 1. Puisque lim = +, on en déduit que lim α n = ( ) y = x 1 (Γ) y = x + ln(x) α 1 α α 3 α α Partie B 1. Démonstration de cours. Soit (u n ) une suite croissante et non majorée. Montrons que u n tend vers + quand n tend vers +. Soit A un réel. Puisque la suite (u n ) n est pas majorée, A n est pas un majorant de la suite (u n ) et donc il existe un entier n 0 tel que u n0 > A. Puisque la suite (u n ) est croissante, à partir du rang n 0, on a u n u n0 et donc u n > A. On a montré que pour tout réel A, tous les termes de la suite (u n ) sont, à partir d un certain rang, supérieurs à A et donc que lim u n = +.. On admet que la suite (β n {) est strictement croissante. Montrons que la suite (β n ) n est pas majorée. E(g(A)) + 1 si g(a) 0 Soient A un réel puis n 0 =. Dans tous les cas, n 0 si g(a) < 0 0 est un entier naturel et n 0 > g(a) ou encore g(β n0 ) > g(a). Puisque g est strictement croissante sur ]0, + [, on en déduit que β n0 > A, ce qui montre que A n est pas un majorant de la suite (β n ). http :// c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés.

5 Ainsi, aucun réel ne majore la suite (β n ) ou encore la suite (β n ) n est pas majorée. En résumé, la suite (β n ) est une suite croissante et non majorée et donc d après la question précédente, lim β n = +. http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés.