Nombre dérivé d une fonction (2) Plan du chapitre

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1 Nombre dérvé d une foncton (2) Plan du captre Introducton : Nous poursuvons l étude des tangentes en procédant par pettes touces. Dans le captre précédent, nous avons défn la noton de nombre dérvé d une foncton en len avec la noton de tangente. Dans ce captre, nous allons reprendre cette noton en gardant touours à l esprt notre axe de traval prncpal sur pluseurs captres, à savor la tangente à une courbe. L obectf va être : - d amélorer la défnton du nombre dérvé d une foncton ; - de mettre en pratque la défnton du nombre dérvé d une foncton sur des exemples numérques (calculs de nombres dérvés). Dans ce captre, nous allons donc aborder l aspect calcul. I. Exemple a pour but d ntrodure un nouveau vocabulare II. Nombre dérvé d une foncton. a pour but de donner la défnton amélorée du nombre dérvé III. Calcul d un nombre dérvé... a pour but de donner un exemple de calcul de nombre dérvé à la man IV. Retour sur la noton de «tendre vers». a pour but de précser quelques notons V. Cas de non dérvablté... a pour but de donner des exemples de fonctons non dérvables VI. Écrture symbolque... a pour but de donner de donner une notaton pratque 2

2 I. Exemple n reprend l exemple déà étudé dans les deux captres précédents. Nous allons pousser la modélsaton. ) Notatons y f a C M (moble) n note C la courbe de la foncton f : x x 2 («foncton carré») dans un repère. n s ntéresse à la tangente au pont A de C d abscsse. 2 ) Étude A (pont fxe) M 2 avec 0 (pont moble) Dans le captre précédent, nous avons obtenu que le coeffcent drecteur de la drote (AM) est égal à 2 (après smplfcaton). Cette formule donne le coeffcent drecteur de n mporte quelle drote (AM) c est-à-dre que l on peut remplacer par n mporte quel réel non nul (par, - 2 etc.). Ce n est cependant pas cela qu nous ntéresse dans ce captre. Nous avons alors dt que lorsque se rapproce de plus en plus de 0, 2 se rapproce de plus en plus du nombre L 2. Plutôt que de dre «lorsque se rapproce de 0, 2 se rapproce du nombre L 2», nous allons dre que : «lorsque tend vers 0 (sans amas être égal à 0), 2 tend vers L 2». 3 ) Commentares La noton de «tendre vers» résout le problème où A et M sont confondus. En effet, lorsque A et M sont confondus, la drote (AM) n exste pas. Néanmons, la drote (AM) va se rapprocer de la drote T passant par A et de coeffcent drecteur 2 qu est la tangente. Plutôt que de dre que «tend vers 0», nous pourrons auss dre que «devent nfnment proce de 0», pour employer un langage proce de celu de Lebnz. II. Nombre dérvé d une foncton Dans ce paragrape, nous allons reprendre la défnton vue dans le captre précédent en la formulant de manère plus précse. n se place dans un cadre général où l expresson de f n est pas connue. ) Notatons f est une foncton défne sur un ntervalle I. C est la courbe représentatve de f dans un repère. La drote (AM) a pour coeffcent drecteur f en a dans le captre précédent. 2 ) Défnton amélorée du nombre dérvé A (fxe) f a f a Dans les stuatons que nous rencontrerons dans ce captre, le rapport smplfé) tend vers un nombre L lorsque tend vers 0. n dt alors que : - la foncton f est «dérvable» en a ; - le nombre L est le «nombre dérvé» de f en a. 2 ) Remarques Cette défnton dot être sue par cœur. Cette défnton sera encore reprse dans le captre suvant. x, appelé rapport de Newton ou taux de varaton de f a f a (écrt sous forme Le nombre L «correspond» au coeffcent drecteur de la tangente à C au pont A d abscsse a. 3 ) Utlsaton f a Cette défnton est opératonnelle. a a Elle permet de détermner le nombre dérvé d une foncton en un réel lorsque l on connaît l expresson de la foncton, comme nous allons le vor sur un exemple numérque dans le paragrape suvant. Elle permet de démontrer des proprétés comme nous le verrons ultéreurement. A est un pont fxe de C d abscsse a (a I). M est un pont varable de C dstnct de A. 3 4

3 4 ) Applcatons La connassance du nombre dérvé va nous permettre défnr la tangente avec précson. C est pour nous la grande applcaton pour l nstant. Nous verrons plus tard que le concept de nombre dérvé va permettre de défnr une nouvelle foncton, appelée foncton dérvée, qu va ouer un très grand rôle. En effet, nous verrons que l étude du sgne de cette foncton dérvée permettra de connaître les varatons de la foncton de départ. 5 ) Rappel Du pont de vue grapque, avec les notatons suvantes : - C désgne la courbe représentatve de f dans un repère ; - A désgne le pont de C d abscsse a ; - M désgne le pont de C d abscsse a ; le taux de varaton de f entre a et a c est-à-dre le quotent de la drote (AM) ; le nombre L est le coeffcent drecteur de la tangente T à C au pont A. f a f a Il est essentel d avor touours en tête ces deux ponts pour ne pas confondre les deux notons. III. Calcul d un nombre dérvé ) Introducton est le coeffcent drecteur Nous allons utlser la défnton pour détermner par calcul («à la man») le nombre dérvé d une foncton en un réel. Pour cela, nous allons travaller sur la forme smplfée du rapport de Newton (cf. captre précédent). 2 ) Exemple f : x x Étudons de la dérvablté de f en. La valeur a été cose à ttre d exemple. n pourrat fare le même traval en tout autre réel (dfférent de 0). n pourrat prendre un autre nombre (2, 3, ) ; la métode serat la même. n ntrodut un réel pour former le taux de varaton de f entre et (avec 0). f f (pour 0 et ) Lorsque tend vers 0, le nombre tend vers L (pour cela, on remplace en fat par 0 dans l expresson smplfée ; on le fat, mas on ne l écrt pas). Comme est un réel, on peut dre que f et dérvable en et le nombre dérvé de f en est égal à. Interprétaton du calcul n note C la courbe représentatve de f. Le coeffcent drecteur de la tangente à C au pont A d abscsse est égal à. C est la seule nterprétaton «concrète» que nous donnerons pour l nstant du nombre dérvé. Vérfcaton à l ade de la calculatrce 3 ) Commentares La tecnque de calcul sera applcable pour les fonctons que nous rencontrerons dans ce captre (en partculer pour les fonctons polynômes et ratonnelles). n travalle touours sur la forme rédute du rapport de Newton. Il sufft de remplacer par 0 dans cette forme pour obtenr le nombre dérvé. C est pour cela que le «soltare» présent dans la «forme de base» du taux de varaton de f ; snon, on ne pourrat remplacer par 0 (cf. IV). Nous admettrons que ce procédé est ben lcte (c est-à-dre «légal», ben que les matématques n aent ren à vor avec le domane urdque). n notera que le résultat ne dépend pas de. Cette tecnque sera reprse dans le captre suvant avant d être remplacée par d autres tecnques plus performantes (plus rapdes et plus effcace) que nous étuderons plus tard. 4 ) Famlles de fonctons Nous verrons plus tard que les fonctons polynômes (de n mporte quel degré) sont dérvables en tout réel et que les fonctons ratonnelles sont dérvables en tout réel de leur ensemble de défnton. En partculer, les fonctons affnes sont dérvables en tout réel. Les fonctons polynômes et ratonnelles ne sont pas les seules fonctons à être dérvables. Il exste d autres fonctons dérvables, comme nous le verrons plus tard. IV. Retour sur la noton de «tendre vers» ) Intérêt de la noton de «tendre vers» Cette noton palle au fat que l on ne peut pas remplacer par 0 pusque l on a dt à caque fos que 0. Il mportant de ben noter que l on fera touours tendre vers 0 (et non vers un nombre autre que 0) dans ce captre et dans le suvant. (forme smplfée) 5 6

4 2 ) Intérêt de la forme smplfée du rapport de Newton n ne peut pas travaller sur la forme ntale car s l on remplaçat par 0 dans le rapport obtendrat «0» qu n exste pas. 0 n retendra qu l est mpossble de travaller sur la forme ntale du rapport de Newton. V. Cas de non dérvablté ) Généraltés f a f a Il y a des cas où l on ne peut pas remplacer par 0 dans l expresson smplfée du rapport de Newton (par exemple, lorsque le dénomnateur vaut 0). La foncton n est alors pas dérvable en a et l on ne peut pas défnr de nombre dérvé. Ce genre de stuaton sera rarement étudé cette année mas nous allons néanmons détaller deux exemples très mportants : le cas des fonctons «racne carrée» et «valeur absolue» en 0. 2 ) Cas de la foncton racne carrée en 0 f : x x n veut étuder la dérvablté de f en 0 (on notera que la foncton f est ben défne en 0). n ntrodut un réel pour former le taux de varaton de f entre 0 et 0 (avec 0 ). f 0 f 0 n ne peut pas remplacer par 0 dans le quotent smplfé car un dénomnateur n est amas nul. Lorsque tend vers 0 en restant strctement postf, le nombre tend vers 0, en prenant des valeurs de strctement postves. Par sute, prend des valeurs de plus en plus grandes strctement postves (fare l expérence en dvsant par 0, ; 0,0 ; 0,00 ; ). n dt que tend vers + lorsque tend vers 0 en restant strctement postf. Comme on n obtent pas un nombre fn, la foncton f n est pas dérvable en 0 et l on ne peut donc pas défnr de nombre dérvé de f en 0. n retendra de cette étude que la foncton «racne carrée» est défne en 0 mas n est pas dérvable en 0. n notera cependant que l on peut asément nterpréter le résultat grapquement dans un repère d orgne. En effet, s l on note M le pont de la courbe représentatve d abscsse, on peut dre que le coeffcent drecteur de la drote (M) tend vers +. Autrement dt, la drote (M) se rapproce de l axe des ordonnées. C est la poston lmte de la sécante (M). n dt que la courbe admet l axe des ordonnées pour tangente au pont d abscsse (en fat, on parle plutôt de dem-tangente en dsant que la dem-tangente en est la dem-drote [y) car la foncton «racne carrée» n est pas défne à gauce de 0). n peut s en convancre asément en fasant la manpulaton sur Geogebra., on 7 Il s agt d une dem-tangente vertcale. Ce type de tangente, en deors de ce cas, ne sera pas étudé cette année. Nous verrons plus tard que la foncton «racne carrée» est dérvable en tout réel strctement postf. 3 ) Cas de la foncton «valeur absolue» en 0 f : x x n veut étuder la dérvablté de f en 0. n ntrodut un réel pour former le taux de varaton de f entre 0 et 0 (avec 0 ). 0 0 f f Il est mpossble de smplfer le quotent sans dstnguer deux cas. er cas : f f 2 e cas : f f Dans caque cas, le rapport de Newton est constant. n est oblgé de dstnguer deux cas pour fare tendre vers 0. Lorsque tend vers 0 en restant strctement postf, Lorsque tend vers 0 en restant strctement négatf, f f 0 0 f f C tend évdemment vers. tend évdemment vers. f f Les deux nombres sont dfférents donc ne tend pas vers un même nombre selon que l on fat tendre en restant postf ou en restant négatf. Par conséquent, la foncton f n est pas dérvable en 0 et l on ne peut pas parler du nombre dérvé de f en 0. 8

5 Nous drons que : - f est dérvable en 0 à drote et que le nombre dérvé de f en 0 à drote est ; - f est dérvable en 0 à gauce et que le nombre dérvé de f en 0 à gauce est. La représentaton grapque de la foncton «valeur absolue» admet deux dem-tangentes de coeffcents drecteurs et. Ces deux dem-tangentes sont donc confondues avec les deux dem-drotes qu forment la représentaton grapque de la foncton «valeur absolue». Résumé Défnton f a f a n dt que f est «dérvable» en a lorsque le rapport vers 0. Dans ce cas, le nombre L est appelé «nombre dérvé» de f en a. Deux remarques tend vers un nombre L lorsque tend Lorsqu une foncton f est dérvable en a, on peut défnr le nombre dérvé de f en a. Le rapport de Newton sert à trouver le nombre dérvé «à la man» par calcul. Interprétaton «concrète» du calcul d un nombre dérvé Pour l nstant, la seule nterprétaton concrète que nous donnerons d un nombre dérvé est qu l donne le coeffcent drecteur de la tangente. Fonctons non dérvables La foncton «racne carrée» n est pas dérvable en 0. En revance, elle est dérvable en tout réel strctement postf. n dt que l orgne du repère est un pont anguleux. Nous avons démontré que la foncton «valeur absolue» n est pas dérvable en 0. En revance, nous verrons plus tard que la foncton «valeur absolue» est dérvable en tout réel non nul. La foncton «valeur absolue» n est pas dérvable en 0. En revance, elle est dérvable en tout réel non nul. En résumé, les fonctons «racne carrée» et «valeur absolue» ne sont pas dérvables en 0 ; en revance, cacune est dérvable en tout autre réel de son ensemble de défnton. VI. Écrture symbolque Plutôt que d écrre en franças «lorsque tend vers 0, 2 tend vers 2», on pourra écrre n utlse la flèce qu sgnfe «tend vers». Elle ne comporte pas de talon. Quoque pratque, nous utlserons assez peu ce type d écrture cette année ; nous verrons une notaton plus conforme au programme dans le captre suvant. 9 0

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