Analyse 2 - Résumé du Cours

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1 UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S MASS Anlyse - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et l intégrle indéfinie. Fonctions Riemnn intégrbles 4 3. Clsses de fonctions R-intégrbles 5 4. Propriétés élémentires de l intégrle de Riemnn 6 5. Primitives et Théorèmes fondmentux du Clcul 7 6. Techniques d intégrtion 7 7. Intégrtion pr prties 8 8. Intégrtion de frctions rtionnelles 8

2 Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et l intégrle indéfinie Au premier semestre nous vons étudié les fonctions dérivbles et ssocié à une telle fonction F l fonction dérivée f = F. Associer à une fonction f une primitive est, lorsque cel est possible, le procédé inverse cr l définition d une primitive est l suivnte. Définition.. Une fonction F : [, b] R est une primitive de f : [, b] R si F est dérivble et si F = f. Une conséquence immédite du théorème des ccroissement finis est qu une primitive, toujours dns le cs ou elle existe, est unique à une constnte dditive près. Plus précisément, on l propriété suivnte. Proposition.. Si F et F sont toutes les deux des primitives d une fonction f sur un intervlle I R, lors il existe une constnte c R telle que F = F + c sur I. Remrques et nottions : Comme l différence de deux primitives d une fonction est constnte on trville souvent dns l prtique à une constnte dditive prés. Si l fonction f dmet des primitives F + c, c R, lors l fmille de ces primitives est générlement notée f(t) dt = F (x) + c et ppelé l intégrle indéfinie de f. Il est à noter que f(t) dt est une fonction de x, c est l rison () pourquoi on trouve prfois l nottion x f(t) dt et () pourquoi ici l vrible sous l intégrle est une lettre utre que x Pr hsrd le choix s est porté sur t mis toute utre lettre convient églement. On ppelle cette vrible t muette. Souvent on prends qund même l lettre x, cd. on écrit f(x) dx. Mis il ne fut ps confondre cette vrible muette vec l vrible x de x F (x)... Exemple.3. On n ps oublié que l dérivée de p(x) = x n, n 0, est p (x) = nx n. Pr conséquent, P (x) = n+ xn+ est une primitive de p. Pr illeurs, si F est une primitive quelconque de p, lors, il existe une constnte c R telle que, F = P + c, i.e. F (x) = P (x) + c pour tout x R. En termes d intégrle générlisée ceci devient p(x) dx = xn+ n + + c, c R. Ainsi, pour beucoup de fonctions usuelles on connit les primitives. Voici quelques exemples (utiles à svoir!). Pr exemple, on déduit de l deuxième ligne du tbleu que dx x = x, xdx = 3 x 3 et dx x = x sur des intervlles ppropriés. On remrque églement qu il est importnt de connitre les dérivées des fonctions usuelles, en prticulier des fonctions trigonométriques réciproques! Plus trd nous llons voir des techniques d intégrtion qui permettent, à prtir de primitives connues comme celles du tbleu, trouver des primitives de fonctions plus élborées. Voici déj quelques exemples. Exemple.4. L opértion qui ssocie à une fonction f s dérivée f est linéire (cf. Algèbre ). Ceci signifie que, pour toutes fonctions dérivbles f, f, f et pour tout λ R, (f + f ) = f + f et (λf) = λf. Pr conséquent, si F i est une primitive de f i, i =,, lors F = F + F est une primitve de f + f.

3 3 Tble. Un "petit" tbleu de quelques primitives usuelles Fonction f UNE primitive F de f Domine de définition de F const const x R x, + x+ R si N ], 0[ et sur ]0, [ si =, 3,... ]0, [ pour tout utre R \ { } /x ln x sur ], 0[ et sur ]0, [. e x e x R cos(x) sin(x) R sh(x) ch(x) R ch(x) sh(x) R + x rctn(x) R x etc. rcsin(x) ], [ Il est lors fçile de déterminer les primitives d une fonction comme f(x) = cos(x) + e x. De même, si F est une primitve de f, lors λf est une primitive de λf. Cette propriété servir déj dns le prochin exemple (vec λ = 5 ). Exemple.5. Si F = u v vec u, v des fonctions dérivbles, lors F = u v v. Pr conséquent, si on est en présence d une fonction f de l forme f = u v v lors on connit les primitives. Pr exemple, considérons f(x) = 5xe x, x R. En prennt u (y) = e y et en remrqunt que e y dy = e y + c, c R, on f(x) = u (x )5x = 5 u v(x) v (x) vec v(x) = x. Pr conséquent, il existe une constnte c R telle que f(x) dx = u v(x) + c = e x + c, x R. Nous llons pprofondir cette technique très utile dns l Section 6. Chngement de vribles. Une utre technique très importnte est l intégrtion pr prties. Elle repose sur l simple formule (uv) = u v + uv. Voici l enoncé exct. On verr beucoup d pplictions en TD. Théorème.6. Soient f, g : [, b] R des fonctions C. Alors, on f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx à une constnte dditive près.

4 4. Fonctions Riemnn intégrbles Nous llons mintennt border l théorie de l intégrle de Drboux - Riemnn. Voici quelques motivtions. Quelle est l significtion géométrique de l intégrle? Quelles fonctions dmettent des primitives? Approfondir les techniques d intégrtion fin de pouvoir déterminer les primitives de fonctions plus complexes. Dns l suite, I = [, b] désigne un intervlle fermé et borné de R et f : I R est une fonction bornée, i.e. on suppose qu il existe une constnte K > 0 telle que K f(x) K pour tout x I. Définition.. Une prtition de I est un ensemble Z = {x 0, x,..., x n } de nombres réels tels que x 0 = < x <... < x n = b. Le ps de l prtition Z est le nombre δ(z) = mx j n x j x j. Soit Z = {x 0, x,..., x n } une prtition de I. L somme de Drboux inférieure de f ssociée à Z est n S (f, Z) = (x j x j ) inf f [xj,x j]. L somme de Drboux supérieure de f ssociée à Z est n S + (f, Z) = (x j x j ) sup f [xj,x j]. j= j= Figure. Representtion grphique de l somme de Drboux inférieure Lemme.. Pour toutes prtitions Z et Z de I on S (f, Z ) S + (f, Z ). Conséquence immédite de ce lemme : si M = {S (f, Z) ; Z prtition de I} et si M + = {S + (f, Z) ; Z prtition de I} lors, pour toute prtition Z (pr exemple pour Z = {, b}), S (f, Z ) est un minornt de M + et S + (f, Z ) est un mjornt de M. Ceci permet de définir I (f) = sup M = sup{s (f, Z)} et I + (f) = inf M + = inf{s + (f, Z)}. Exercice.3. Vérifier que I (f) I + (f)!

5 5 Définition.4. Une fonction bornée f : [, b] R est intégrble u sens de Riemnn (ou, plus simplement R-intégrble) si I (f) = I + (f). Dns ce cs, l vleur commune I(f) := I (f) I + (f) est l intégrle de Riemnn de f sur [, b] que l on note [ ] f(x) dx ou f(x) dx ou f(u) du. I Théorème.5 (Critére d intégrbilité de Riemnn). Soit f : I R une fonction bornée. Alors, f est R-intégrble si et seulement si pour tout ε > 0 il existe une prtition Z de I telle que () S + (f, Z) S (f, Z) < ε. Remrque.6. Comme pour toute prtition Z de I on S (f, Z) I (f) I + (f) S + (f, Z), il résulte du critére de Riemnn que pour tout ε > 0 il existe une prtition Z de I telle que pourvu que f est intégrble. ε + S (f, Z) I(f) S + (f, Z) + ε On dir que ξ = (ξ,..., ξ n ) est subordonné à l prtition Z = {x 0,..., x n } si ξ j [x j, x j ] pour tout j =,..., n. On définit l somme de Riemnn n S(f, Z, ξ) := (x j x j )f(ξ j ). j= Clirement, pour toute prtition Z et tout ξ subordonné, on S (f, Z) S(f, Z, ξ) S + (f, Z). Théorème.7. Soit f : [, b] R une fonction intégrble. Pour toute suite Z (N) de prtitions de [, b] de ps δ N = δ(z (N) ) tendnt vers 0 et pour toute suite de points ξ (N) = (ξ (N),..., ξ n (N) ) subordonnés à Z (N), les sommes de Riemnn (dmis) S(f, Z (N), ξ (N) ) f(x) dx lorsque n. Exemple.8. Il est trés nturel de considérer l subdivision équidistnte Z (n) = {x j = + j n (b ) ; j = 0,..., n}. Le ps de cette prtition est δ n = n (b ). Avec ξ j = + j n (b ), j =,..., n, on pour toute fonction R intégrble f : [, b] R que ( ( b f + b ) ( + f + b ) ( f + n b )) f(x) dx si n. n n n n Pour être plus concret, prenons f(x) = x et [, b] = [0, ]. Comme on le verr, cette fonction est bien intégrble (cr monotone et ussi cr elle est continue). Dns ce cs (cf. l Exercice.7) : ( ( ) ( ) ( n ) ) ( ) n lim f + f f = lim n n n n n n n n + n = f(x) dx = n 3. I 0 3. Clsses de fonctions R-intégrbles L exemple stndrd d une fonction qui n est ps R-intégrble est l fonction de Dirichlet χ Q : R R définie pr χ Q (x) = si x Q et χ Q (x) = 0 sinon. Elle n est ps R-intégrble sur ucun intervlle [, b] cr pour toute prtition Z d un tel intervlle on S (χ Q, Z) = 0 et S + (χ Q, Z) =. Proposition 3.. Toute fonction monotone f : [, b] R est R-intégrble. Proposition 3.. Toute fonction continue f : [, b] R est R-intégrble.

6 6 Lemme 3.3. Soit d [α, β] [, b] et soit f : [, b] R une fonction. () Si f est R-intégrble sur [, b] lors est l est ussi sur [α, β]. () Si f est R-intégrble sur [, d] et sur [d, b], lors elle l est ussi sur [, b]. Proposition 3.4. L somme f +g et le produit f g de deux fonctions R-intégrbles est R-intégrble. Si λ R et f est R-intégrble, lors λf l est églement. 4. Propriétés élémentires de l intégrle de Riemnn Dns l proposition suivnte et dns l suite on utilise l nottion b f(x) dx := f(x) dx si < b. Proposition 4. (Reltion de Chsles). Soit f : [α, β] R une fonction R-intégrble et soit, b, c [α, β]. Alors c f(x) dx = f(x) dx + c b f(x) dx. Proposition 4. (Linérité). Soient f, g : [, b] R des fonctions R-intégrbles et soit λ R. Alors λ f(x) dx = (f(x) + g(x)) dx = λf(x) dx f(x) dx + et g(x) dx. Proposition 4.3 (Positivité et Monotonie). Soient f, g : [, b] R des fonctions R-intégrbles. () Si f 0, lors () Si f g, lors (3) f(x) dx f(x) dx 0. f(x) dx f(x) dx. g(x) dx. En conséquence directe de () de l Proposition précédente on obtient l estimtion importnte (b ) inf(f) f(x) dx (b ) sup(f). Une fois étbli cette inéglité on en déduit en employnt le théorème des vleurs intermédiires les deux formules de l moyenne : Corollire 4.4 (Premier Théorème de l moyenne). Si f : [, b] R est continue, lors il existe c [, b] tel que b f(x) dx = f(c). b Corollire 4.5 (Deuxième Théorème de l moyenne). Si f : [, b] R est continue et si g : [, b] R est positive, lors il existe c [, b] tel que f(x)g(x) dx = f(c) g(x) dx.

7 7 5. Primitives et Théorèmes fondmentux du Clcul Théorème 5.. Si f : [, b] R est une fonction R-intégrble, lors l fonction est continue sur [, b]. x x f(t) dt Théorème 5.. Si f : [, b] R est une fonction R-intégrble et si f et continue en x 0 [, b], lors l fonction est dérivble en x 0. x x f(t) dt Rppelons l définition suivnte déj rencontrée dns le premier prgrphe. Définition 5.3. Une fonction F : [, b] R est une primitive de f[, b] R si F est dérivble et si F = f. Rppelons églement que le théorème des vleurs intermediires implique qu une primitive est unique à une constnte dditive près, i.e. si F et F sont toutes les deux des primitives d une fonction f, lors il existe une constnte c R telle que F = F + c. Un corollire immédit du Théoréme 8.6 est le résultt suivnt : Théorème 5.4 (Premier Théorème du Clcul). Si f : [, b] R est une fonction continue, lors l fonction F (x) = x f(t) dt est dérivble sur [, b] et F = f. Autrement dit, F est une primitive de f. Théorème 5.5 (Second Théorème du Clcul). Si f : [, b] R est une fonction R-intégrble et si f dmet une primitive F, lors l fonction F (b) F () = f(x) dx. On noter bien que dns ce dernier résultt l une des hypthéèses est que f dmet une primitive. Ce n est ps le cs pour toute fonction R-intégrble! 6. Techniques d intégrtion 6.. Chngement de vribles. Un outil très importnt pour l détermintion de primitives est le chngement de vribles. Théorème 6.. Soit f : [c, d] R une fonction continue et soit ϕ : [, b] [c, d] une ppliction C. Alors f(ϕ(x))ϕ (x) dx = Exemple : Avec u = x et donc du = x dx on 0 x + x 4 dx = 0 x dx + x 4 = ϕ(b) ϕ() 4 0 f(u) du. du + u = rctn 4. Dns cet exemple on connît une primitive de f(u) = +u et on en déduit l vleur de l intégrle de déprt. Souvent on utilise ce procédé dns l utre sens fin de déterminer β f(u) du. Mis dns α ce cs, l ppliction ϕ : [, b] [c, d] du chngement de vribles doit être une bijection.

8 8 Théorème 6.. Soit ϕ : [, b] [c, d] une ppliction C bijective et soit f : [c, d] = ϕ([, b]) R une fonction continue. Alors, pour tout α, β [c, d] on β α f(x) dx ϕ (β) ϕ (α) f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Exemple : Soit f(x) = x, x <, et cherchons une primitive de f. Pour ce fire on considère ϕ : [ π/, π/] [, ], ϕ(t) = sin(t). Avec x = ϕ(t) on x = cos(t) (ok?) et dx = ϕ (t) dt = cos(t) dt. Donc f(x) dx = cos(t) dt = cos(t) dt = t + c, c R. Le problème restnt est que le résultt est une fonction de l vrible t et non ps de x. Hereusement ϕ : [ π/, π/] [, ] est une bijection! Ainsi on peut considérer ϕ : [, ] [ π/, π/] qui n est rien d utre que t = ϕ (x) = rcsin(x). Conclusion : On f(x) dx = rcsin(x) + c, x <. Remrque : Dns cet exemple, on urit pu prendre à l plce de ϕ(t) = sin(t) l fonction ψ : [0, π] [, ], ϕ(t) = cos(t). Dns ce cs on obtient f(x) dx = ( sin(t)) dt = dt = t + c = rccos(x) + c, c R, sin(t) toujours cr ψ : [0, π] [, ] est une bijection. Alors lequel est le bon résultt? Y -t-il une erreur? 7. Intégrtion pr prties Nous vons déj vu dns l introduction une version du résultt suivnt. Théorème 7.. Soient f, g : [, b] R des fonctions C. Alors [ ] b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. 8. Intégrtion de frctions rtionnelles 8.. Quelques remrques sur l décomposition de Polynômes. Dns l suite, P (z) = d k=0 kx k, vec k R (resp. k C) et d 0 est on polynôme réel (resp. complexe) de degré d. Exercice 8.. Vérifier que P (z) = P (z) si P est un polynôme réel. Proposition 8.. Si r C est un zéro du polynôme P, lors il existe un utre polynôme P tel que P (x) = (x r)p (x) (et P est réel si P et r le sont). Théorème 8.3 (Théroème Fondmentl de l Algébre). Tout polynôme un zéro dns C. (dmis) On en déduit l décomposition complexe d un polynôme que voici : Corollire 8.4. Si P (z) = d k=0 kx k est un polynôme (réel ou complexe), lors il existe r,..., r n des nombres complexes distincts deux à deux et des entiers m,..., m n tels que P (z) = d (z r ) m (z r ) m... (z r n ) mn. Considérons finlement le cs d un polynôme réel. Un tel polynôme peut voir des rcines réelles mis églement des rcines complexes. Mis, si r est une rcine complexe, lors son conjugué r est églement une rcine (voir l Exercice 8.). L exemple stndrd est P (x) = x + dont les rcines sont r = i et r = i.

9 9 Si r et r sont des rcines complexes du polynôme réel P, lors le polynôme églement réel (x r)(x r) = x R(r)x + r "divise" P, i.e. P (x) = (x R(r)x + r )P (x) pour un certin polynôme réel P. On en déduit l décomposition réelle (en fcteurs "irréductibles") suivnte : Corollire 8.5. Dns R, si P (z) = d k=0 kx k est un polynôme réel, lors P dmet une décomposition de l forme suivnte : P (x) = d (z r ) m (z r ) m... (z r n ) mn (x + A x + B ) N... (x + A l x + B l ) N l où les r j, A j, B j R, les m j, N j N et (importnt!) où les polynômes x + A j x + B j sont sns rcines réelles. 8.. Décomposition de frctions rtionnelles. Une frction rtionnelle est une fonction de l forme R = P/Q où P et Q sont des polynômes. Ici on ne regrde que le cs où tous les coefficients sont réels. Le résultt suivnt est dmis! Théorème 8.6. Soit R = P/Q une frction rtionnelle et supposons que Q(x) = d (z r ) m (z r ) m... (z r n ) mn (x + A x + B ) N... (x + A l x + B l ) N l est l décomposition (réelle) du polynôme Q. Alors, il existe un polynôme E et des coefficients α i,j, β i,j γ i,j R tels que P (x) Q(x) = E(x) + α, x r α,m (x r ) m α k, x r k α k,m k (x r k ) m k + β,x + γ, x β,n x + γ,n + A x + B (x + A x + B ) N β l,x + γ l, x β l,n l x + γ l,nl + A l x + B l (x + A l x + B l ) N l Dns cette décomposition, on ppelle E l prtie entière de R et les utres termes les éléments simples. Le point importnt (et donc à retenir) est que cette décomposition utilise deux types d éléments simples : () (x r) m () et βx+γ (x +Ax+B) N où le polynôme x x + Ax + B n ps de rcines réelles Intégrtion de frctions rtionnelles. Le but est d intégrer une frction rtionnelle R = P/Q. D près l décomposition du Théorème 8.6 et à cuse de l linérité de l intégrle, il suffit de svoir intégrer l prtie entière E et chcun des éléments simples. L prtie entière est un polynôme son intégrtion ne pose ucun problème. Puis on dx = ln x r x r et (x r) j dx = (j )(x r) j si j (à une constnte dditive près). Concernnt les utres termes, rppelons tout d bord que le dénominteur x + Ax + B est sns rcines réelles. Autrement dit, A 4B < 0. On β Aβ βx + γ (x + Ax + B) j = (x + A) + γ (x + Ax + B) j = β x + A (x + Ax + B) j + γ Aβ (x + Ax + B) j.

10 0 Le premier terme est de l forme β u u j où u(x) = x + Ax + B. Une primitive est donc β ln x + Ax + B si j = et β (j )u j = β Reste à intégrer les termes de l forme (j )(x + Ax + B) j si j. γ Aβ (x + Ax + B) j. Comme le déterminnt A 4B < 0, on peut fire un chngement de vribles pour voir (x dx = Const + Ax + B) j (u + ) j du = Const I j. Si j =, lors rctn(u) est une primitive de u +. Sinon on étblit, pr une intégrtion pr prties, une reltion entre I j et I j+. Pr exemple, I = u + du = u u + u u ( + u ) du = u u u ( + u ) du = u u + + (I I ) et donc I = u + u + I = ( ) u + u + rctn(u) + c, c R.

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