Chapitre 2. Repérage. 2.1 Repère d une droite. Sommaire

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1 Chapitre 2 Repérage Sommaire 2.1 Repère d une droite Repère d un plan Définitions Types de repères Coordonnées du milieu d un segment Distance entre deux points dans un repère orthonormé Exercices et problèmes Repère d une droite Définition 2.1. Soit d une droite, et deux points distincts de cette droite, alors (, ) est appelé repère de la droite d ; est appelé origine du repère et est appelé unité du repère. Propriété 2.1. Soit d une droite munie du repère (, ), alors tout point M de la droite est associé à un unique nombre x défini par : x = M si M [ ); x= M si M [ ). x est appelé abscisse de M. n l admettra. Exemple. Sur la droite d ci-dessous, les points et sont distincts donc (, ) est un repère de d. M [ ) est tel que M = 4 donc son abscisse est 4. N [ ) est tel que N = 1,5 donc son abscisse est 1,5. d N M 11

2 2.2 Repère d un plan Seconde 2.2 Repère d un plan Définitions Définition 2.2. Soit P un plan,, et trois points non alignés de ce plan, alors (,, ) est appelé repère du plan; est appelée origine du repère et les droites ( ) et ( ) sont appelées axes du repère. Soit P un plan muni du repère (,, ), alors, pour tout point M du plan, il existe deux uniques points M x et M y tels que M x ( ), M y ( ) et M x M M y parallélogramme (on l admettra). n note x l abscisse de M x sur la droite ( ) munie du repère (, ) et y l abscisse de M y sur la droite ( ) munie du repère (, ). M M y M x n a alors : Propriété 2.2. Soit P un plan muni d un repère (,, ), alors tout point M de ce plan est associé à un unique couple (x ; y), défini ci-dessus, appelé coordonnées de M. x est appelé abscisse de M et y est appelé ordonnée de M. n l admettra. Exemple. Sur le schéma ci-dessus, x= 3,125 et y= 1,5 donc les coordonnées de M sont (3,125 ; 1,5). L abscisse de M est 3,125, l ordonnée de M est 1,

3 Seconde 2.2 Repère d un plan Types de repères Définition 2.3. Soit P un plan muni d un repère (,, ). Si le triangle est quelconque, le repère est dit quelconque. Si le triangle est rectangle en, le repère est dit orthogonal. Si le triangle est isocèle en, le repère est dit normé. Si le triangle est rectangle et isocèle en, le repère est dit orthonormé. Repère orthogonal Repère normé Repère orthonormé Coordonnées du milieu d un segment CTVTÉ 2.1. Sur le schéma ci-dessous : 1. Placer les points M(3; 1), N( 1; 1, 5), P( 2; 1) et Q(3; 1); 2. Donner graphiquement les coordonnées des points,, C et D ; 3. En faisant quelques essais, conjecturer le lien existant entre les coordonnées de deux points et les coordonnées du milieu de ces deux points. C D David RERT 13

4 2.2 Repère d un plan Seconde Propriété 2.3. Soit P un plan muni d un repère quelconque. Soit (x ; y ) et (x ; y ) et (x ; y ) milieu de []. lors x =... y =... Preuve. La preuve sera faite en classe à partir de cette figure : Distance entre deux points dans un repère orthonormé Propriété 2.4. Soit P un plan muni d un repère orthonormé. Soient et deux points du plan P de coordonnées respectives (x ; y ) et (x ; y ). lors la distance est donnée par : = (x x ) 2 + (y y ) 2 Preuve. La preuve sera faite en classe à partir de cette figure : 14

5 Seconde 2.3 Exercices et problèmes 2.3 Exercices et problèmes EXERCCE 2.1. Sur le schéma ci-dessous : 1. Placer les points M(2;1), N( 1,5;1), P( 2; 1) et Q(1,5; 1); 2. Donner graphiquement les coordonnées des points,, C et D ; C D EXERCCE 2.2. Le quadrilatère C D donné ci-dessous est un losange de centre. Dans chacun des cas ci-dessous, dire de quel type est le repère et donner les coordonnées de tous les points dans ce repère. (,D,) (,C,) (,,C ) (D,C,) EXERCCE 2.3. Le plan est muni d un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature du triangle C. 1. ( 4 ; 1), (4 ; 2) et C ( 2 ; 2) 2. ( 5 ; 0), (3 ; 4) et C (2 ; 4) 3. (0 ; 0), (4 ; 2 3) et C ( 1 ; 3 3) EXERCCE 2.4. Dans le repère orthonormé (,, ), on donne ( 1 ; 2), ( 3 ; 1) et C (5 ; 2). 1. Quelle est la nature du triangle C? 2. Montrer que : (a) Le périmètre p de C vaut 13(3+ 5); C (b) L aire a de C est un nombre entier. D David RERT 15

6 2.3 Exercices et problèmes Seconde EXERCCE 2.5. Dans le repère orthonormé (,, ), on donne (1 ; 1), (4 ; 5) et C (10 ; 8). 1. Déterminer les longueurs, C et C. 2. Que peut-on en déduire pour les points, et C? EXERCCE 2.6. Le plan est muni d un repère quelconque. n donne les points (2 ; 3) et ( 4 ; 1). n sait que est le milieu de []. Déterminer les coordonnées de. EXERCCE 2.7. Sur le schéma ci-contre : 1. Placer les points (1 ; 2), (3 ; 1, 5), C (4 ; 0,5) et D(2 ; 0); 2. Montrer que le quadrilatère C D est un parallélogramme. EXERCCE 2.8. Le plan est muni d un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature du quadrilatère C D : 1. (1 ; 0), (1 ; 3), C (2 ; 3) et D (3 ; 1); 2. (1 ; 2), (4 ; 7), C (1 ; 6) et D ( 2 ; 1); 3. (1 ; 0), (0 ; 2), C (4 ; 4) et D (5 ; 2); 4. ( 4 ; 1), (4 ; 2), C (8 ; 5) et D (0 ; 6); 5. (0 ; 2), (3 ; 1), C (2 ; 2) et D ( 1 ; 1). EXERCCE 2.9. Le plan est muni d un repère orthonormé. n donne les points ( 3 ; 4), (3 ; 2), C (7 ; 2) et D (1 ; 8). 1. Montrer que : (a) [C ] et [D] ont même milieu ; (b) C = D. 2. (a) Quelle est la nature du quadrilatère C D? (b) Calculer le rayon du cercle circonscrit à ce quadrilatère. EXERCCE Le plan est muni d un repère quelconque. n donne les points ( 5 ; 3), ( 4 ; 1) et C (1 ; 4). 1. Déterminer les coordonnées de, milieu de [C ]. 2. Déterminer les coordonnées de D tel que C D soit un parallélogramme. EXERCCE Écrire un algorithme prenant comme arguments les coordonnées de deux points et retournant les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont ces deux points. EXERCCE Écrire un algorithme prenant comme arguments les coordonnées de deux points et retournant la distance entre ces deux points dans un repère orthonormé. Comment faire pour avoir la valeur exacte de cette distance? EXERCCE Écrire un algorithme prenant comme arguments les coordonnées de trois points, et C, calculant les coordonnées du point D tel que CD est un parallélogramme. 16

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