Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement

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1 Chapitre 2 Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement Sommaire 2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique Quantificateurs Différents types d énoncés mathématiques Connecteurs logiques Connecteurs logiques et opérations Règles relatives à la négation Règles relatives au et et au ou Règles relatives à l implication et à l équivalence Notion d ensembles et opérations sur les ensembles Notion d ensembles Opérations sur les ensembles Différents types de raisonnement Raisonnement direct Raisonnement par contraposition Raisonnement par double implication Réfutation par contre-exemple Raisonnement par disjonction de cas Raisonnement par l absurde Démontrer une (in)égalité Raisonnement par récurrence Ce chapitre présente des points de vocabulaire, des notation, ainsi que certains types de raisonnement (par l absurde, par contraposée, par récurrence...) et de démonstration (d implications, d équivalences, d inclusions...) dont la maîtrise s avère indispensable à une argumentation rigoureuse sur le plan mathématique. Le terme de logique était inconnu à Aristote qui, néanmoins, a été l auteur de la première doctrine logique systématique, dans laquelle l élève détermine, pour les opérations de l esprit, lesquelles sont valides, lesquelles ne le sont pas. Cette étude est conduite d un point de vue formel, c est-à-dire indépendamment du contenu proprement dit. Les traités d Aristote consacrés à la logique (Premiers Analytiques, Seconds Analytiques, etc.) ont été rassemblés, au IIème siècle ap. J-C. sous le nom d Organon, c est-à-dire Instrument de la pensée. Aristote, dans cette œuvre logique s attache à la 32

2 démonstration, c est-à-dire au syllogisme partant de prémisses vraies et premières et procédant de manière scientifique et rigoureuse. 33

3 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT 2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique Quantificateurs Définition 2.1 (Quantificateurs) Pour exprimer qu un énoncé mathématique est vrai quelque soit la valeur de la variable, on utilise le quantificateur universel, noté, qui se lit «quelque soit» ou «pour tout». Pour exprimer qu un énoncé mathématique est vrai pour au moins une valeur de la variable, on utilise le quantificateur existentiel, noté, qui se lit «il existe (au moins) un». Pour exprimer qu un énoncé mathématique est vrai pour une unique valeur de la variable, on utilise le pseudo quantificateur existentiel, noté!, qui se lit «il existe un unique». Exemple 2.1. L énoncé mathématique «n N, n 2 n» se lit «pour tout n entier naturel, n 2 est supérieur ou égal à n». L énoncé mathématique «x N, x 2 5x + 4 = 0» se lit «il existe un entier naturel x tel que x 2 5x + 4 = 0». L énoncé mathématique «!x R, x + 2 = 0» se lit «il existe un unique réel x tel que x + 2 = 0». A l inverse, il est aussi important de savoir passer du langue naturel au langage mathématiques. L énoncé «Etant donné un nombre entier naturel quelconque, en lui ajoutant 2, on obtient encore un nombre entier naturel», se traduit par : 2.1. n N, n + 2 N. 1. Traduire par une phrase les expressions suivantes : (a) x R, y R, x + y = y + x. (b) x [0; + [, x 2 2x + 1 = Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Exprimer à l aide des quantificateurs les propositions suivantes : (a) La somme de deux nombres positifs est un nombre positif. (b) f ne s annule pas sur I. (c) f prends deux fois la même valeur sur I Traduire par une phrase les expressions suivantes : (a) y R, x R, y x (b) x R, y R, xy = 1. (c) x R +, y R, x = y Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Exprimer à l aide des quantificateurs les propositions suivantes : 34 Cour ECE1

4 2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE (a) Le carré de n importe quel réel est un nombre positif. (b) Tout réel positif possède une racine carrée. (c) f admet un minimum sur I. (d) f est constante sur I. (e) f est croissante sur I. Remarque 2.7 (Ordre des quantificateurs) Les quantificateurs identiques commutent. Par exemple : ( x E, y F,... ) ( y F, x E,... ). De même ( x E, y F,... ) ( y F, x E,... ). Ainsi les phrases mathématiques et ont même sens. De même, les phrases mathématiques x R, y R, x + y = y + x y R, x R, x + y = y + x x R, y R, xy = 1 et ont même sens. y R, x R, xy = 1 De façon générale, on ne peut pas intervertir l ordre de deux quantificateurs différents! Ainsi ( x E, y F,... ) n est pas équivalent à ( y F, x E,... ). Par exemple, si f : R R est une fonction, les phrases mathématiques suivantes : M R, x R, f(x) M et x R, M R, f(x) M n ont pas le même sens! L une peut-être vraie et l autre fausse. Remarque 2.8 (Rédaction) 1. Ne pas mélanger des quantificateurs avec du texte en français. Je ne veux pas voir écrit «x R, cos x est compris entre -1 et 1» mais «x R, 1 cos x 1» ou «Pour tout x réel, cos x est compris entre -1 et 1». 2. Lorsqu une question commence par "Montrer que pour tout x I,...", la réponse doit commencer par "Soit x I" Différents types d énoncés mathématiques Les énoncés du monde mathématiques font intervenir des ensembles de nombres (N, R,...), des constantes (0, 2, ln 2,...), des variables (x, u, m, a,...), des opérations (+,,,...), des relations (=,, >,...), des symboles (,,,,...), etc. 35

5 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT Définition 2.2 Une proposition /assertion/ affirmation est un énoncé qui peut être vrai ou faux. Par exemple «3 = 7» est une assertion fausse, «3 = ( 3)» est une assertion vraie, «2 est un nombre pair» est une assertion vraie. On utilisera plutôt le terme de proposition pour parler d une assertion vraie. Un théorème est une proposition vraie (ou en tout cas démontrée comme telle) particulièrement importante, un lemme est une proposition intermédiaire utile à la démonstration d une autre proposition et un corollaire est la conséquence d une proposition ou d un théorème. La démonstration d une assertion est un processus respectant strictement les règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant à la conclusion attendue. La démonstration permet d établir qu une assertion est vraie. Une conjecture est une assertion dont on pense qu elle est vraie, mais qui n a pas été démontrée Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : «Tout carré d un nombre réel est un réel positif», «La fonction logarithme est toujours positive». Définition 2.3 Une assertion est complète si toutes les variables qui interviennent dedans sont quantifiées par un quantificateur ou. Exemple 2.2. L assertion «x R, x > 1» est complète (à noter qu elle est fausse), de même que «3 > 7». Par contre, l assertion «x > 1» n est pas complète, car elle dépend de la variable x. Or, il n a pas été précisé à quoi x faisait référence. De ce fait, on ne peut pas dire si cette assertion est vraie ou fausse. Lorsqu un calcul, une preuve...fait intervenir des variables, on précisera toujours à l aide de quantificateur à quels ensembles les variables appartiennent. Le jeu mathématiques consiste ensuite à établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. y R, x R, y x 2. x R, x 2 > 0 3. x R, x 2 x 4. x R, y R, x + y > 0 5. x R, y R, x + y > Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. x R, x = exp(ln x) 2. x R, x = x 3. x R, x R, (x x f(x) f(x )). 4. x R, y R, x 2 = y 2 x = y 36 Cour ECE1

6 2.2. CONNECTEURS LOGIQUES Remarque 2.9 On retiendra que : 1. Pour montrer qu une proposition du type «x I, P(x)» est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c est à dire une valeur de x telle que la proposition P(x) ne soit pas vérifiée. 2. Pour montrer qu une proposition du type «x I, P(x)» est vraie, il suffit de trouver une valeur de x telle que la proposition P(x) soit vérifiée. Définition 2.4 Un prédicat est un énoncé qui dépend d une ou plusieurs variables et qui est une forme incomplète d assertion. Exemple 2.3. P(x) : «x 0» est un prédicat dépendant d un nombre réel x. En spécifiant x, on obtient une assertion complète. Par exemple P(2) est une assertion complète vraie, alors que P( 2) est une assertion complète fausse. Définition 2.5 Deux prédicats P et Q sont logiquement équivalents s ils ont la même valeur de vérité pour toutes les valeurs des variables dont ils dépendent (c est à dire si pour une valeur donnée de x, ils sont soient tous les deux vrais, soient tous les deux faux). On note P Q. Exemple 2.4. Le prédicat Q(x) : «x 0» est logiquement équivalent à P(x) : «x 0». 2.2 Connecteurs logiques Connecteurs logiques et opérations Exemples de connecteurs logiques Les connecteurs logiques permettent de créer une nouvelle proposition à partir d une ou plusieurs proposition. On les définit à l aide de tables de vérité. 37

7 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT Définition 2.6 (Connecteurs logiques) Soit P et Q deux propositions Négation : la négation de (P) est (non P). C est la proposition qui dit le contraire de P. Et : (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux vraies. Ou : (P ou Q) est la proposition qui est vraie sauf si P et Q sont toutes les deux fausses. Autrement dit, la proposition est vraie si P seule est vraie ou si Q seule est vraie ou si les deux sont vraies. Implication : (P Q) est la proposition qui exprime l idée que si P est vraie alors Q doit être vraie aussi ( sans qu il y ait pour autant une relation de cause à effet). Equivalence : (P Q) est la proposition exprime l idée que P et Q sont vraies simultanément. Autrement dit (P Q) signifie (P Q) et (Q P) Remarque 2.10 Le «ou» mathématique est inclusif, il est vrai lorsque exactement l une des propositions qui le compose est vraie, mais aussi lorsque les deux sont vraies simultanément (c est un «ou» au sens large). Il ne faut pas le confondre avec le «ou» exclusif, qui marque l alternative (par exemple «fromage ou dessert»). Proposition 2.20 (Tables de vérités) Soit P et Q deux propositions. P Q P et Q P Q P ou Q P non P V V V V V V V F V F F V F V F V F V F F V V F F F F F F Règles relatives à la négation Voici quelques règles relatives à la négation. 38 Cour ECE1

8 2.2. CONNECTEURS LOGIQUES Propriétes La négation «échange» les quantificateurs : non ( x E, P(x) ) x E, non ( P(x) ) non ( x E, P(x) ) x E, non ( P(x) ) 2. non ( non P(x) ) = P(x). Exemple 2.5. non (x < y) donne (x y), non (0 < x < 1) donne (x 0 ou x 1) 2.6. Dire si les propositions suivantes sont vraies et en donner la négation. 1. y R, x R, y x 2. x R, x 2 > 0 3. x R, x 2 x 4. x R, y R, x + y > 0 Remarque 2.11 Lorsqu on a des propositions qui commencent par x..., il peut être pertinent de considérer sa négation, de voir si elle est vraie (resp. fausse) et d en déduire respectivement que la proposition initiale est fausse (resp. vraie) Dire si les propositions suivantes sont vraies et en donner la négation. 1. M R, x R, e x M. 2. x R, x = x 3. x R, y R, x 2 = y 2 x = y 4. x > 0, x 2 = x Règles relatives au et et au ou Proposition 2.21 Soient P, Q et R trois propositions. Alors les connecteurs vérifient : 1. Distributivité : (P et (Q ou R)) ((P et Q) ou (P et R)); (P ou (Q et R)) ((P ou Q) et (P ou R)). 2. Lois de Morgan ( non (P ou Q)) ( non (P) et non (Q)); ( non (P et Q)) ( non (P) ou non (Q)) Soient A,B et C trois assertions. Donner la négation des assertions suivantes : 39

9 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT 1. A ou non(b) 2. A ou (B et C) 3. A et (B ou C) 2.9. Soient A,B et C trois assertions. Donner la négation des assertions suivantes : 1. A et (non(b) ou C) 2. A et non(b) Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et les nier : ou = > 47 et 16 = x R, (x + 1 = 0 et x 2 2 = 0) Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et les nier : 1. 2 < 3 et non(2 divise 5). 2. x R, x 2 = x ou x 2 = x 3. ( x R, x + 1 = 0) et ( x R, x 2 2 = 0) Règles relatives à l implication et à l équivalence P Q se lit «Si P alors Q» Soit f une fonction définie sur R. Traduire en français les propositions suivantes avec des «si...alors...» : 1. Toute suite croissante et majorée est convergente 2. La somme de deux entiers naturels est un entier naturel. 3. x R, x R, (x x f(x) f(x )). 4. x R, f(x) > 0 x 0. Définition 2.7 Soient P et Q deux propositions. Réciproque : (Q P ) est appelée la réciproque de l implication ( P Q). Contraposée : (non Q non P ) est appelée la contraposée de l implication P Q. On a : (P Q) ( non (Q) non (P)). Exemple 2.6. L implication x R, (x = x 2 ) (x 0) est vraie, mais l implication réciproque est fausse Donner la réciproque des assertions suivantes et dire si elles sont vraies (on pourra préciser les équivalences) : 1. x R, x = 2 x 2 = x R, y R, (x 0 et y 0) xy Donner la réciproque des assertions suivantes, dire si elles sont vraies (on pourra préciser les équivalences) : 1. x R, (x = y) (x 2 = y 2 ). 2. x R, y R +, (y = e x ) (x = ln(y)) Donner la contraposée des implications suivantes et dire lesquelles sont vraies. 40 Cour ECE1

10 2.3. NOTION D ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 1. n N, (n < 1) (n divise 2) 2. n N, (n < 2) (n 2 = n) Remarque 2.12 Attention, lorsque l on donne la contraposée, on ne nie pas les quantificateurs Donner la contraposée des implications suivantes et dire lesquelles sont vraies. 1. n N, (n 5) (n > 3) 2. n N, (n < 1) (2 divise n) Définition 2.8 Soit P une proposition. On appelle : Condition nécessaire (CN) pour P toute proposition Q qui vérifie P Q. Condition suffisante (CS) pour P toute proposition Q qui vérifie Q P. Condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P toute proposition Q qui vérifie Q P Dire à chaque fois quel type de condition est Q pour P. 1. P : «Voter pour les élections présidentielles» et Q : «Avoir au moins 18 ans» 2. P : «Avoir son bac» et Q : «Être admis en ECE 2» Dire quel type de condition est «Q : x > 5» pour «P : x 2 > 25». Proposition 2.22 (Négation de l implication) Soient P et Q deux propositions. Implication : (P Q) ((non P) ou Q). Négation de l implication : non (P Q) (P et non Q) Donner la négation des propositions suivantes : 1. x R, x R, (x x f(x) f(x )). 2. x R, y R, x 2 = y 2 x = y Soit f une fonction définie sur R. Donner la négation des propositions suivantes : 1. x R, x > 0 f(x) > x R, y R, x y f(x) f(y). 2.3 Notion d ensembles et opérations sur les ensembles Notion d ensembles On rappelle qu on appelle ensemble une collection ou un groupement d objets distincts, que l on appelle les éléments de cet ensemble. Pour décrire un ensemble, on peut : 41

11 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT donner la liste de tous ses éléments, entre accolades : E = {0; ln(2); 3} ; le définir comme la partie d un ensemble dotée d une propriété : E = {x R, x 2 = 2}. Remarque 2.13 L ensemble contenant aucun élément est un ensemble qui s appelle l ensemble vide et se note. Soient p et q deux entiers naturels, on note p, q = {n N/p n q}. Précédemment, nous avons rappelé les ensembles de nombre usuels N, Z, Q, R. E désigne l ensemble E privé de 0. Ne pas confondre {0, 1} qui ne contient que 0 et 1 et [0, 1] qui contient tous les réels compris entre 0 et 1. Définition 2.9 Un ensemble E qui possède un nombre fini d éléments est appelé un ensemble fini. Le nombre d élements de E est appelé le cardinal de E et est noté card(e) ou E. Si à chaque élément d un ensemble E, on peut faire correspondre un unique entier et réciproquement, on dit que E est un ensemble dénombrable (un tel ensemble a donc un nombre infini d éléments). Les ensembles qui ne sont pas dans les deux premières catégories sont des ensembles non dénombrables. Exemple 2.7. N (par définition), Z et Q sont dénombrables. En revanche, R ou même [0; 1] sont non dénombrables. Définition 2.10 (Appartenance et inclusion) Soient E et A deux ensembles et x un élément de E. On écrit : x E pour signifier que x est un élément de E. x / E pour signifier que x n appartient pas à l ensemble E. C est donc la négation de x E. A est dit inclus dans E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi que A est un sous-ensemble de E ou une partie de E et on écrit dans ce cas A E. A E est la négation de A E. Cela signifie qu il existe au moins un élément de A qui n est pas dans E. Exemple [3, 7], 7 / [3, 7[, {2, 4, 6} [0, 8], {0, 2, 4} R. Remarque 2.14 Pour tout ensemble E, on a E. 42 Cour ECE1

12 2.3. NOTION D ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES Exemple 2.9. On a les inclusions : N Z Q R. Propriétes 2.7 Soient A et B deux ensembles. A A A B et B A est équivalent à A = B. Si A B et B C, alors A C. Définition 2.11 (Parties d un ensemble) Soit E un ensemble, on note P(E) l ensemble des parties de E, c est à dire l ensemble des ensembles inclus dans E. Exemple E = {a, b, c} alors P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E} Décrire P( 1, 3 ) Opérations sur les ensembles Définition 2.12 Soient A et B deux parties d un ensemble E. 1. L intersection de A et B est l ensemble des éléments de E qui appartiennent à A et B : x A B (x A et x B). 2. La réunion de A et B est l ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou B x A B (x A ou x B). 3. Si A B, le complémentaire de A dans B, noté C B A, est l ensemble de tous les éléments de B qui ne sont pas dans A. Remarque 2.15 On le notera A en probabilité lorsque B correspond à l univers sur lequel on travaille. On utilise de façon plus générale cette notation pour désigner le complémentaire d un ensemble A dans un autre ensemble B, sauf s il peut y avoir confusion sur l ensemble B par rapport auquel on considère le complémentaire. 43

13 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT Figure 2.1 Intersection Figure 2.2 Union Exemple [1, 2] ] 5, 7[ = [1, 2]. 2. ] 2, 3] { 2} = [ 2, 3]. 3. ], 5[ [2, + [ = [2, 5[. 4. ], 4] [3, + [ = R. 5. A = [0, 1[, C R (A) = ], 0[ [1, + [. 6. A = [0, 1[, C [0,2] (A) = [1, 2]. Définition 2.13 (Réunion et intersection d une famille d ensembles) Soit E un ensemble et I un ensemble fini ou dénombrable d indices. On considère une famille de sous ensembles de E, notée (A i ) i I. Alors : 1. On note i I A i la réunion des A i, pour i I, définie comme l ensemble des éléments x de E tels qu il existe au moins un entier i I tel que x A i. 2. On note i I A i l intersection des A i, pour i I, définie comme l ensemble des éléments x de E tels que x A i pour tous les entiers i I Soit ([ ]) 1; n une famille de sous-ensembles de R. n N Déterminer [ ] [ ] n N 1; n et n N 1; n 2.4 Différents types de raisonnement Un théorème est une proposition complète, dont on affirme qu elle est vraie en s appuyant sur une démonstration. Une démonstration d une proposition P est un processus respectant strictement les règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant à la conclusion attendue en utilisant des définitions, des règles ou des théorèmes déjà démontrés. La démonstration permet ainsi d établir qu une proposition est vraie. Dans cette section, nous allons décrire différentes façons typiques d organiser une démonstration Raisonnement direct Méthode 2.5 (Raisonnement direct) Une manière de démontrer l implication «P Q» est de commencer par l hypothèse «supposons que P est vraie», et au terme d un raisonnement déductif, obtenir «alors Q est vraie». 44 Cour ECE1

14 2.4. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT Remarque 2.16 Lorsqu on rédige, les variables utilisées doivent être introduites. En particulier, la réponse à une question du type «Démonter que pour tout réel x...» ou «Prouver que : x R,...» commencera par «Soit x R.» Prouver que : n N, n impair n 2 impair Montrer que : x R, x < 1 x 4 > Raisonnement par contraposition Méthode 2.6 (Prouver une implication avec sa contraposée) L implication contraposée de (P Q) est ( non Q non P). D après la définition 2.7, une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes. Pour prouver une implication P Q, on peut supposer que Q est faux et en déduire P est faux. Exemple Montrer que si x et y sont des réels distincts de 1, et si x y, alors 1 x 1 1 y 1. Démonstration. La contraposée de l énoncé est : «si x et y sont des réels distincts de 1, et si 1 x 1 = 1 alors x = y». Ceci est vrai, car y 1 1 x 1 = 1 y 1 x 1 = y 1 x = y Montrer que : n N, n 2 impair n impair Soit n N. Montrer que si (n 2 + n) est strictement négatif alors n est strictement négatif Raisonnement par double implication Méthode 2.7 (Prouver une équivalence par double implication) Pour prouver une équivalence, on peut prouver séparément les deux implications, directe et réciproque. Démontrer une équivalence, c est démontrer deux implications. Sauf dans des situations simples, je vous conseille de démontrer une équivalence en démontrant séparément les deux implications. Cela vous évitera des erreurs Prouver que : n N, n 2 impair n impair Soit deux réels a et b. Montrer que : ( n N, a 2 n + b 3 n = 0) (a = b = 0). 45

15 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT Réfutation par contre-exemple On peut utiliser ce type de raisonnement pour démontrer qu une proposition est fausse. Méthode 2.8 (Contre-exemple) Pour démontrer qu une proposition du type «x E, P(x)» est vraie, il suffit de donner un exemple de x qui convient. En passant à la négation, pour démonter qu une proposition du type «x E, P(x)» est fausse, il suffit de donner un exemple d un x qui ne convient pas. On appelle cela un contre exemple de la proposition P. On retiendra que pour montrer qu une proposition commençant par un quantificateur universel est fausse, il suffit de donner un contre-exemple particulier, c est à dire un exemple qui met en défaut la proposition Une fonction f : R R est paire si et seulement si x R, f(x) = f( x). Montrer que f : x x + 1 n est pas paire. fausse Montrer que l assertion : "tout entier positif est somme de trois carrés" est Raisonnement par disjonction de cas Méthode 2.9 (Disjonction de cas) Pour prouver une assertion, on peut la prouver séparément sur une famille exhaustive de cas. Exemple À l aide de la définition de la valeur absolue, démontrer que pour tout réel x on a x = x. Démonstration. Soit x R. x = x 1. 1er cas : si x 0 alors x = ( x) = x (car si x 0 alors x 0). On a donc bien que x = x, puisque ces quantités égalent toutes les deux x. x = x 2. 2ème cas : si x 0 alors (car si x 0 alors x 0). x = x On a donc bien que x = x, puisque ces quantités égalent toutes les deux x Prouver que : n N, n(n + 1) est pair. 46 Cour ECE1

16 2.4. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT Raisonnement par l absurde Méthode 2.10 (Raisonnement par l absurde) Pour prouver P, il suffit de prouver que ( non (P) Q) où Q est une assertion fausse (contradictoire) Montrer que 0 n admet pas d inverse Montrer que pour tout nombre réel x différent de 3, on a : x + 1 x Démontrer une (in)égalité Méthode 2.11 (Démontrer une égalité) Pour démontrer une égalité, on commence par introduire toutes les variables qui interviennent avec «soit...», puis on part d un membre de l égalité, et, après une succession d égalités, on aboutit à l autre. On conclut par une phrase. Si on échoue, on peut essayer de transformer séparément les deux membres pour aboutir au même résultat. Remarque 2.17 Ne pas confondre «=» (relation d égalité entre deux expressions) et (connecteur logique entre propositions, qui n intervient pas dans la démonstration d égalités) Démontrer que : n N, 1 n(n+1) = 1 n 1 n Soient a, b R +. Montrer que si a b alors a a + b Raisonnement par récurrence Récurrence classique Proposition 2.23 (Principe du raisonnement par récurrence) Soit P(n) une propriété dépendant d un entier n. Si [Initialisation] P(n 0 ) est vrai pour un certain entier n 0, [Hérédité] P(n) = P(n + 1) est vrai pour tout entier n n 0, alors P(n) est vraie pour tout entier n n 0. b et a ab b. 47

17 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT On admet cette proposition qui reprend le principe des dominos. Si on fait tomber le premier domino et que, dès qu un domino tombe il entraîne le suivant dans sa chute, alors tous les dominos vont tomber. Méthode 2.12 (Rédiger une récurrence) En pratique : 1. On énonce ce que l on va démonter, c est à dire que l on écrit Montrons par récurrence que pour tout n n 0, on a On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, c est à dire que l on écrit : Pour tout n n 0, on pose P(n) : Initialisation : on montre que P(n 0 ) est vraie. 4. Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n n 0 fixé, et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n + 1 : P(n + 1). On écrit : Soit n n 0 fixé. Supposons P(n) vraie, c est à dire... Montrons que P(n + 1) est vraie aussi, c est à dire Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n n 0, d après le principe de récurrence. On écrit : Par le principe de récurrence, on en déduit que pour tout n n 0,... Exemple Montrons par récurrence que : n 1, 2 n n. 2. Pour tout n 1, on note P(n) : 2 n n. 3. Initialisation : 2 1 = 2 1, donc P(1) est vraie. 4. Hérédité : soit n 1 fixé. Supposons que P(n) est vraie, c est à dire que 2 n n. Montrons que P(n + 1) est vraie, c est à dire que On a Or, par hypothèse de récurrence, on a : 2 n+1 n n+1 = 2 2 n. 2 n n D où, 2 2 n 2n. Et donc 2 n+1 2n. Par ailleurs, comme n 1, on a 2n n + 1 (en effet, 2n n + 1 n 1). Finalement, comme 2 n+1 2n et 2n n + 1, on en déduit que Donc P(n + 1) est vraie. 2 n+1 n Conclusion : par le principe de récurrence, 2 n+1 n + 1 pour tout entier n On note S n la somme des n premiers entiers naturels non nuls. Prouver que n(n + 1) S n = Cour ECE1

18 2.4. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT Montrer que pour tout entier n et tout réel x 1, (1 + x) n 1 + nx. La récurrence porte t-elle sur x ou sur n? Remarque 2.18 Ce raisonnement est souvent source d erreurs : Avant de l utiliser, vérifier qu il n existe pas de démonstration directe. De même, au cours de la transmission, on prouve la propriété au rang n + 1 sans utiliser l hypothèse de récurrence, cela signifie que l on peut prouver directement le résultat. Dans ce cas, on n utilise pas le raisonnement par récurrence, mais une preuve directe. Si la propriété à démontrer ne dépend pas d un entier, mais par exemple d un nombre réel, la démonstration par récurrence est impossible! Si, dans la transmission, on suppose la propriété vraie pour «tout n» au lieu de «un n», la démonstration n a plus de valeur, car on a supposé vrai le résultat que l on voulait prouver!!! La plupart du temps la propriété est vraie à partir du rang n 0 = 0 ou n 0 = 1, mais ce n est pas une généralité. Raisonnement par récurrence forte Proposition 2.24 (Principe du raisonnement par récurrence forte ) Soit P(n) une propriété dépendant d un entier n. Si [Initialisation] P(n 0 ) est vrai pour un certain entier n 0, [Hérédité] P(n 0 ), P(n 0 + 1),..., P(n) = P(n + 1) est vrai pour tout entier n n 0, alors P(n) est vraie pour tout entier n n

19 CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT Méthode 2.13 (Rédiger une récurrence forte) En pratique : 1. On énonce ce que l on va démonter, c est à dire que l on écrit Montrons par récurrence forte que pour tout n n 0, on a On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, c est à dire que l on écrit : Pour tout n n 0, on pose P (n) : Initialisation : on montre que P(n 0 ) est vraie. 4. Hérédité : on suppose que P(n 0 ), P(n 0 + 1),..., P(n) sont vraies pour un entier n n 0 fixé, et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n + 1 : P(n + 1). On écrit : Soit n n 0 fixé. On suppose P(n 0 ), P(n 0 + 1),..., P(n) vraies. Montrons que P(n + 1) est vraie aussi. 5. Conclusion : on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n n 0, d après le principe de récurrence forte. On ne peut pas remplacer une récurrence forte par une récurrence faible. Remarque 2.19 Seule l étape d hérédité change On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 et n N, u n+1 = Montrer que : n N, u n = 2 n 1. n u k. k=0 Récurrence double Proposition 2.25 (Principe du raisonnement par récurrence double) Soit P(n) une propriété dépendant d un entier n. Si [Initialisation] P (n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vraies pour un certain entier n 0, [Hérédité] P(n) et P(n + 1) = P(n + 2) est vrai pour tout entier n n 0, alors P(n) est vraie pour tout entier n n Cour ECE1

20 2.4. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT Méthode 2.14 (Rédiger une récurrence double) En pratique : 1. On énonce ce que l on va démonter, c est à dire que l on écrit Montrons par récurrence double que pour tout n n 0, on a On énonce clairement la propriété P(n) à prouver. C est à dire que l on écrit : Pour tout n n 0, on pose P(n) : Initialisation : on montre que P(n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vraies 4. Hérédité : on suppose que P(n) et P(n + 1) sont vraies pour un entier n n 0 fixé, et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n + 2 : P(n + 2). On écrit : Soit n n 0 fixé. Supposons P(n) et P(n + 1) vraies. Montrons que P(n + 2) est vraie aussi. 5. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n n 0, d après le principe de récurrence double On définit la suite (u n ) n N par : u 0 = 1, u 1 = 3, n N, u n+2 = 2u n+1 u n. Montrer que pour tout n N, u n = 2n On définit la suite (u n ) n N par : u 0 = 2, u 1 = 5, n N, u n+2 = 5u n+1 6u n. Montrer que pour tout n N, u n = 2 n + 3 n. Remarque 2.20 Dans le cas d une récurrence d ordre 2, pour un entier n donné, on a besoin de la vérité de P(n) et de P(n + 1) pour établir celle de P(n + 2). On ne peut pas, contrairement à la récurrence faible, déduire P(1) de P(0) uniquement : il faut P(0) et P(1) pour obtenir P(2), puis enclencher la récurrence. 51