BACCALAURÉAT BLANC LYCÉE DESSAIGNES - BLOIS 8 FÉVRIER 2017

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1 BACCALAURÉAT BLANC LYCÉE DESSAIGNES - BLOIS 8 FÉVRIER 2017 Filière : E.S. Obligatoire - L Spécialité Mathématiques Durée de l épreuve : 3 heures - Coefficient : 5 Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à?. L usage de la calculatrice est autorisé. Le prêt de calculatrice est strictement interdit durant l épreuve. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l appréciation des copies. 1 /?

2 Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. On donne ci-dessous la courbe représentative C g d une fonction g définie surr. On admet que g est dérivable surret on rappelle que g désigne la fonction dérivée de la fonction g. On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe C g au point A de cette courbe, d abscisse 1 et d ordonnée 0. De plus, on suppose que la tangente traverse la courbe en A O 1 C g A T 1. a. f est convexe sur [ 1;1] b. f est concave sur [ 1;1] c. f est négative sur [1;2] d. f est positive sur [1;2] 2. a. f (1)=0 sur [1;5] b. f (1)=2 c. f (1)= 2 d. f (1)=0 3. Le tableau de variation de f sur [0;2] est : a. x Var. de f 1 b. x Var. de f 1 c. x Var. de f 1 d. x Var. de f 1 Deux possibilités pour la dernière question suivant les autres exercices choisis : 4. La suite (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 0 = 400 et de raison 1 2. La somme S= u 0 + u 1 + +u 10 est égale à : a. 2 ( 1 0,5 10) b. 2 ( 1 0,5 11) c. 800 ( 1 0,5 10) d. 800 ( ) 5. À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est égale à 0,12. Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties est : a. 0,327 1 b. 0,000 2 c. 0,482 4 d. 0, /?

3 Exercice Proba 1 : D après Bac 2013 : Liban Un propriétaire d une salle louant des terrains de squash s interroge sur le taux d occupation de ses terrains. Sachant que la location d un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses. Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s apercevoir que : lorsque l heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ; lorsque l heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés. On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements : C : «l heure est creuse» T : «le terrain est occupé» 1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités. 2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l heure soit creuse. 3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. 4. Montrer que la probabilité que l heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à Dans le but d inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d un terrain, des tarifs différenciés : 10e pour une heure pleine, 6e pour une heure creuse. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs : 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine, 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse, 0 lorsque le terrain n est pas occupé. 5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X. 6. Déterminer l espérance de X. 7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. Exercice Proba 2 : D après Bac 2015 : Antilles-G. Une enquête a été réalisée auprès des élèves d un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L enquête révèle que 70 % des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80 % pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent le tri sélectif. On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants : S : L élève interrogé est sensible au développement durable. T : L élève interrogé pratique le tri sélectif. Les résultats seront arrondis à Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 2. Calculer la probabilité que l élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif. 3. Montrer que la probabilité P(T ) de l évènement T est 0, On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10 %? 5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés. Le nombre d élèves de l établissement est suffisamment grand pour que l on considère que X suit une loi binomiale. (a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (b) Calculer la probabilité qu aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif. (c) Calculer la probabilité qu au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif. 3 /?

4 Exercice Fonction 1 : D après Bac 2014 : Métropole On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie en annexe 2. A. Étude graphique Avec la précision permise par le graphique, indiquer : 1. la concentration à l instant initial ; 2. l intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires. B. Étude théorique : On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 15] par f (x)=(x+2)e 0,5x, où x représente le nombre d heures écoulées depuis l instant initial et f (x) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. 1. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Justifier que f (x)= 0,5xe 0,5x et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 15]. 2. Justifier que l équation f (x)=0,1 admet une unique solutionαsur l intervalle [0;15]. 3. Déterminer un encadrement deαd amplitude un dixième. 4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous : 1 deriver ((x + 2) exp( 0.5 x)) 2 deriver (exp( 0.5 x) 0.5 exp( 0.5 x) (x + 2)) 3 factoriser ( exp( 0.5 x)+0.25 exp( 0.5 x) (x + 2)) exp( 0.5x) 0.5 exp( 0.5x) (x + 2) exp( 0.5 x)+0.25 exp( 0.5 x) (x + 2) (0.25 x 0.5) exp( 0.5 x) En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 15] et préciser l abscisse d un éventuel point d inflexion. C. Interprétation des résultats : En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 1. On estime que le médicament n est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0, 1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif? 2. Au bout de combien d heures la baisse de concentration ralentit-elle? 2,2 Annexe 2 à rendre avec la copie Concentration (g/l) 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 O Temps (en heure) 4 /?

5 Exercice Fonction 2 : noté sur 7 points D après Bac 2015 : Asie Partie A Soit f la fonction définie sur [0 ; 10] par f (x)= x+ e x+1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f (x) := x+ exp( x+ 1) // Interprète f // Succès lors de la compilation f 2 derive (f (x)) 3 solve ( exp( x+ 1)+1>0) 4 derive ( exp( x + 1) + 1) x x+ exp( x+ 1) exp( x+ 1)+1 [x > 1] exp( x+ 1) 1. Étude des variations de la fonction f (a) En s appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation. (b) En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur. 2. Étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 10]. Partie B Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d objets fabriqués exprimé en centaines d objets et f (x) le coût de revient exprimé en milliers d euros. 1. Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum? 2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12 e. On appelle marge brute pour x centaines d objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient. (a) Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d objets est 1,2x milliers d euros. (b) Montrer que la marge brute pour x centaines d objets, notée g (x), en milliers d euros, est donnée par : g (x)=0,2x e x+1 (c) Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 10]. 3. (a) Montrer que l équation g (x)=0 possède une unique solutionαsur l intervalle [0 ; 10]. (b) Déterminer un encadrement deαd amplitude 0, En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets. 5 /?

6 Exercice Suite 1 : D après Bac 2013 : Antilles - Sept En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ; 20 nouvelles personnes s inscrivaient au club. On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans. Partie A On donne l algorithme suivant : Entrée : Traitement : Sortie : Saisir n entier positif X prend la valeur 80 {Initialisation} Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur 0,9X + 20 Fin Pour X prend la valeur de X arrondie à l entier inférieur Afficher X 1. Pour la valeur n= 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme? 2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. Partie B 1. On considère la suite (a n ) définie par a 0 = 80 et, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,9a n Pour tout entier naturel n, on pose : b n = a n 200. (a) Démontrer que (b n ) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. (b) Exprimer b n en fonction de n. 2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : a n = ,9 n. 3. Quelle est la limite de la suite (a n )? Partie C 1. L objectif du président du club est d atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable? 2. Même question si l objectif du président du club est d atteindre au moins 300 adhérents. 6 /?

7 Exercice Suite 2 : Noté sur 7 points D après Bac 2016 : Polynésie Une entreprise s intéresse au nombre d écrans 3D qu elle a vendus depuis 2010 : Année Nombre d écrans 3D vendus Le nombre d écrans 3D vendus par l entreprise l année (2010+n) est modélisé par une suite (u n ), arithmético-géométrique, de premier terme u 0 = 0. On rappelle qu une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme u n+1 = a u n + b où a et b sont deux réels. 1. (a) En supposant que u 1 = 5000, déterminer la valeur de b. (b) En supposant de plus que u 2 = 11000, montrer que pour tout entier naturel n, on a : 2. (a) Calculer u 3 et u 4. u n+1 = 1,2 u n (b) En 2013 et 2014, l entreprise a vendu respectivement et écrans 3D. La modélisation semble-t-elle pertinente? Dans toute la suite, on fait l hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d écrans 3D que l entreprise va vendre jusqu en On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n (a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 1,2. Préciser la valeur de son premier terme v 0. (b) Montrer que pour tout entier naturel n, u n = ,2 n On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d écrans 3D dépassera unités. (a) Prouver que résoudre l inéquation u n > revient à résoudre l inéquation 1,2 n > 8,2. (b) Recopier et compléter l algorithme ci-dessous pour qu il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l inéquation 1,2 n > 8,2. (c) Déterminer cet entier naturel n. Variables : N est un entier naturel W est un nombre réel Initialisation : N prend la valeur 0 W prend la valeur Traitement : Tant que W prend la valeur W 1, Fin du Tant que Sortie : Afficher... (d) À partir de 2023, l entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d écrans 3D. Combien d écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025? 7 /?

8 Exercice Suite 3 : Soit (u n ) la suite définie par : D après Bac 2016 : Nouvelle Calédonie - Nov. u 0 = 350 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,5u n Calculer u 1 et u On considère la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = u n 200. (a) Montrer que la suite (w n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n = ,5 n. Partie B Une commune propose aux enfants d adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles. Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l évolution du nombre d adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante : Chaque année, la moitié des filles inscrites l année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l association accueille chaque année 100 nouvelles filles. D une année à l autre, le nombre de garçons inscrits à l association augmente de 10 %. 1. On représente l évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite (F n ) où F n désigne le nombre de filles adhérentes à l association en l année 2015+n. On a donc F 0 = 350. Pour tout entier naturel n, exprimer F n+1 en fonction de F n. 2. On représente l évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite (G n ), où G n désigne le nombre de garçons adhérents à l association l année 2015+n. (a) Pour tout entier naturel n, exprimer G n en fonction de n. (b) À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons? 3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l algorithme suivant : Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à G la valeur 150 Affecter à F la valeur 350 Traitement Tant que G F n prend la valeur n+ 1 G prend la valeur 1,1G F prend la valeur 0, 5F Fin tant que Sortie Afficher le nombre n (a) Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l unité. Valeur de n Valeur de G Valeur de F 350 Condition G F vrai... (b) En déduire l affichage obtenu, puis répondre au problème posé. 8 /?