Informatique Fondamentale PC3 Biconnexité et composantes fortement connexes

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1 Informatique Fondamentale PC3 Biconnexité et composantes fortement connexes Philippe Baptiste Exercice 1. Biconnexité et points d'articulation Etant donné un graphe non-orienté G = (X, E), un sommet x est un point d'articulation si la suppression de x déconnecte deux sommets de G. Un graphe sans point d articulation est biconnexe, il existe en effet toujours deux chemins distincts qui relient toute paire de sommets. Quels sont les points d articulation d une chaîne d une clique d un graphe acyclique des quatre graphes ci-contre. Quelles sont les composantes biconnexes de ces graphes? Question 3. Considérons un arbre de Trémaux du graphe G obtenu au cours d une DFS préfixe. Les arcs de G qui ne sont pas dans l arbre sont des arcs de retour. PC3, IF, Ph. Baptiste 1/8

2 Montrer que dans un arbre de Trémaux, un arc de retour relie toujours deux sommets dont l'un est un ancêtre de l'autre, c'est-à-dire qu'un arc de retour ne peut pas relier deux cousins. Question 4. Montrer que la racine de l'arbre de Trémaux est un point d'articulation si et seulement si elle a plus d'un fils. Question 5. Que peut-on dire des feuilles de l'arbre de Trémaux? Question 6. Soit x un sommet du graphe. Dans l'arbre de Trémaux du graphe, x est la racine d'un sous-arbre (le sous-arbre des sommets explorés à partir de x). Des sommets de ce sous-arbre partent des arcs de retour qui vont vers des sommets y 1... y q. On appelle profondeur d'attache du sommet x la profondeur dans l arbre du plus haut de ces q sommets. Si l'ensemble de sommets y 1... y q est vide, la profondeur d'attache du sommet x est la profondeur dans l arbre du sommet x lui-même. Construire un arbre de Trémaux associé au premier graphe de la question 1. Calculer les profondeurs d attache. Question 7. Soit x un sommet du graphe qui n'est pas la racine. Soit k la profondeur de x dans l'arbre. a) Montrer que si tous les fils de x ont une profondeur d'attache inférieure strictement à k, alors x n'est pas un point d'articulation. b) Montrer que si x a un fils dont la profondeur d'attache est supérieure ou égale à k, alors x est un point d'articulation. Question 8. Proposer un algorithme permettant de calculer les composantes biconnexes d un graphe. Quelle est sa complexité? Question 9. Dans un graphe, un circuit est une suite de sommets (s 1, s 2,..., s n ) telle que pour i=1, 2,..., n-1, (s i,s i+1 ) est une arête du graphe, et (s n,s 1 ) également. Un circuit est dit simple si s i et s j sont différents pour tout choix d'indices distincts i et j. (On note en particulier que si (s1,s2) est une arête non orientée du graphe, alors (s 1,s 2 ) est un circuit simple du graphe.) Dans un graphe non orienté connexe, on définit une relation binaire sur les arêtes : on note e ~ e' si les arêtes e et e' sont contenues dans un même circuit simple du graphe. a) Montrer que ~ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des arêtes du graphe. b) Montrer que les classes d'équivalences sont des composantes biconnexes. PC3, IF, Ph. Baptiste 2/8

3 Exercice 2. Calcul des composantes fortement connexes, algorithme de Tarjan a g b h e c d i j k l f Quelles sont les composantes fortement connexes de ce graphe? Effectuer une DFS avec une numérotation préfixe (suivre l ordre alphabétique). Calculer l arborescence. Question 3. On rappelle que le point d'attache at(y) du sommet y pour une arborescence de Trémaux est le sommet de plus petit numéro parmi les sommets suivants : le sommet y, les points d'attaches des fils de y dans l arborescence et les extrémités des arcs de retour et transverse dont l'origine est y. Calculer les points d attache pour le graphe ci-dessus (avec l arborescence de Trémaux correspondant a la numérotation donnée). Question 4. On rappelle que si u = at(u) et si pour tout descendant v de u dans l arborescence de Trémaux, on a at(v) < v, alors l'ensemble des descendants de u dans l arborescence de Trémaux forme une composante fortement connexe de G. Vérifier que l on retrouve les composantes fortement connexes de la question 1 en appliquant cette règle. PC3, IF, Ph. Baptiste 3/8

4 Question 5. Analyser le code ci-dessous. A quoi sert la pile p? Que signifie num[x] = -1. static int id = -1; Pile p = new Pile(); static void imprimercompfconnexes(graphe g) { int n = g.succ.length; int[ ] num = new int[n]; for (int x = 0; x < n; ++x) num[x] = -1; for (int x = 0; x < n; ++x) if (num[y] == -1) imprimercompf(g, x, num); static int imprimercompf(graphe g, int x, int[ ] num) { num[x] = ++id; Pile.ajouter(x, p); int min = id; for (Liste ls = g.succ[x]; ls!= null; ls = ls.suivant) { int y = ls.val; int m; if (num[y] == -1) m = imprimercompf(g, y, num); else m = num[y]; min = Math.min(min, m); if (min == num[x]) { int y; do { y = Pile.supprimer(p); System.out.print (y + " "); num[y] = g.succ.length; while (y!= x); System.out.println(); return min; PC3, IF, Ph. Baptiste 4/8

5 Exercice 3 : Une variante de l algorithme de Tarjan : l algorithme de Kosaraju Soit G = (V, E) un graphe orienté. Voici une description synthétique de l algorithme de Kosaraju 1. Effectuer un parcours en profondeur d abord sur G et déterminer une numérotation postfixe des sommets. 2. Calculer G T, le graphe transposé de G (G T est obtenu en inversant la direction des arcs de G). 3. Effectuer un parcours en profondeur d abord sur G T en commençant toujours par le sommet dont le numéro est le plus grand. 4. Tant que tous les sommets ne sont pas atteints, refaire un parcours en profondeur d abord sur G T en commençant toujours par le sommet non-atteint dont le numéro est le plus grand. 5. Les composantes fortement connexes de G sont les arbres de la forêt calculée lors des étapes précédentes. Appliquer l algorithme de Kosaraju sur le graphe ci-contre. Montrer que si deux sommets v et w appartiennent à la même composante fortement connexe, ils sont alors dans un même arbre de la forêt calculée par l algorithme. Question 3 (plus difficile) Réciproquement, montrer que si v et w appartiennent au même arbre de la forêt calculée par l algorithme, ils sont dans la même composante fortement connexe. PC3, IF, Ph. Baptiste 5/8

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