AP 1 : LES BASES DU CALCUL NUMÉRIQUE

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1 AP 1 : LES BASES DU CALCUL NUMÉRIQUE Les premières sénes d ompgnement personnlisé porte sur le lul et l mnipultion de frtions. On ommene pr donner les règles fondmentles sur les produits, puissnes, frtions et rines. Elles sont à onnître et svoir mnipuler sns prolème. Suivent lors 5 feuilles d ompgnement personnlisé, que vous vez à herher pendnt les vnes. Si vous trouvez el trop file : tnt mieux! Ç devrit ller vite. Si vous trouvez el trop diffiile : deux possiilités, 1. vous herhez sur internet de l ide : il y des entines de ours en ligne, de vidéos explitives, qui peuvent vous ider. Si vous en repérez une qui vous prit prtiulièrement utile, meri de nous l envoyer, pour l prtger. 2. vous nous onttez sur le site de l TSI, dont une prtie vous est déjà réservée : tsiversilles.fr. Vous pouvez églement nous ontter pr emil à l dresse enjmin_hrord@yhoo.fr. Attention : Ces exeries très répétitifs ne sont ps représenttif de e que nous ferons en mthémtiques u ours de l nnée (heureusement)! Règles fondmentles du produit et du quotient :,,, d désignent des nomres réels. On s ssure ien sur que le dénominteur est non nul. Diviser pr 0 ou multiplier pr 1 est l même opértion. = = = + = + d = d = d d = 0 = 0 ou = 0 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = = ( + + ) = Règles fondmentles des puissnes : n et m désignent des nomres entiers. Lorsque n est positif, n n déf ==== (n fois) ==== déf 1 n 0 = 1 n m = n+m n m = n m ( n ) m = n m Identités remrqules ( ) n n = n () n = n n ( + ) 2 = ( ) 2 = = ( )( + ) Rines rrées pour tout dns [0;+ [, 2 = Pour tous nomres réels et positifs : = = Pour tout x R, x 2 = ( x = ou x = ). pour tout dns R, 2 = Attention! + +

2 Feuille AP 1 : Ftoristion nturelle Exerie 1 (Développer) Développer les expressions suivntes : 1. A 1 = (3x + 4) A 2 = (2t 3) A 3 = (5 2)(5 + 2). 4. A 4 = ( 2x 4) A 5 = 4(2t + 5) + (t 3)(5t 7). 6. A 6 = (2α 3) 2 (4α + 1)(α 3). 7. A 7 = (α 1)(α 2)(2α 1). 8. A 8 = ( ) ( ). Exerie 2 (Ftoristion pr un fteur pprent) Ftoriser si possile les expressions suivntes, où,, x, t et u sont des nomres réels ou omplexes. 1. A 1 = 15u A 2 = 5t 5 3. A 3 = 6x x 4. A 4 = (3u + 2)(4u 1) + (3u + 2)( 6u + 8) 5. A 5 = (3 4) 2 (2 5)(3 4) 6. A 6 = (2x 3) 2 (2x 3) 7. A 7 = (x 1) 2 + (2x + 1)(x 1)(x + 1) 2(x 1)x(x 1) 8. A 8 = 4t 6 2t 3 + 3t 2 Exerie 3 (Ftoristion ve une identité remrqule) Ftoriser si possile les expressions suivntes, où x et t sont des nomres réels ou omplexes. 1. A 1 = 9x x A 2 = 25t 2 60t A 3 = 9x 2 64 Exerie 4 (Ftoristion pr un fteur ommun hé) Ftoriser si possile les expressions suivntes, où x et t sont des nomres réels ou omplexes. 1. A 1 = 3(2 + t)(t 1) (1 t)3t + t 1 2. A 2 = 3x(10x 5) + 5x 2 (2x 1) 3. A 3 = 2(x 2 1) 5(4x + 3)(2x + 2) 4. A 4 = (t 2 + t 4) 2 9(t 2 3t + 6) 2 5. A 5 = A 6 = (2x 5)(7 + 3x) (4x 2 20x + 25) 7. A 7 = (t 3)(3t + 5) + (9t t + 25) 8. A 8 = 3(t + 3)(2t + 3) (4t 2 9) Exerie 5 (Ftoristion forée ) Les exeries préédents permette de ftoriser nturellement une expression. Il rrive que l on it esoin de ftoriser une expression de fçon ps nturelle, omme pr exemple : ( x 3 2x + 3 = x x 2 2x + 3 ) x Ci-dessus, on ftorisé pr x, et pourtnt x n étit ps un fteur ommun dns l expression de déprt. C est e que j ppelle une ftoristion forée. 1. Ftoriser l expression suivnte pr x 3 : = 1 3 x5 + x Ftoriser l expression suivnte pr 3 : = os(6x) sin(3x) 3. Ftoriser l expression suivnte pr x 2 : = e 2 x 3x 3 1

3 Exerie 6 (Cluls élémentires) Feuille AP 2 : Mnipultions de frtions Donner l ériture des nomres suivnts sous l forme d un entier ou d une frtion irrédutile. 1. A 1 = A 2 = 2 13 ( ) ( A 3 = 3 3 ) ( ) ( 1 4. A 4 = ) ( ) ( 1 : ) 6 Exerie 7 (Mise u même dénominteur ve des vriles) Mettre les frtions suivntes u même dénominteur, en hoisissnt toujours le dénominteur le plus simple : 1. A 1 = 2x 1 x 1 + 3x 2. A 2 = 3x2 x 2 x A 3 = A 4 = u 1 + u + 1 u + 1 u 1 α 5. A 5 = (α 1)(α + 1) + 1 α(α 1) α 6. A 6 = θ 2α α + 1 α θ 7. A 7 = 1 t t + t 2 8. A 8 = 2x 1 + (2x 1) 2 Exerie 8 (Sinder une frtion) Sinder les frtions suivntes omme sommes de deux frtions, et simplifier si possile les expressions otenues. 1. A 1 = 1 + 2x 2. A 2 = 1 n x + 1 n 3. A 3 = 1 + n n 4. A 4 = 3x3 + 2x + 1 x 2 Exerie 9 (Simplifier une frtion) Simplifier si possile les expressions suivntes : 1. A 1 = (x + 1)2 (x + 1)(5 x) + 2x(x + 1) + x + 1 x A 3 = ( 1 + 3u 3u 1) (1 3u)u A 2 = sin(3t) 3t Exerie 10 (Erire sous l forme d une seule frtion) Erire les frtions suivntes, si possile, omme étnt un seule frtion : 1. A 1 = 2 2 x 1 x 1 2x 2t 2. A 2 = 1 + x (t 2)(5 t) (t 1) 12 (t 2)(t 5) x sin x + os x tn x 1 + x 3. A 3 = 4. A 4 = 1 + os 2 x 1 + x os x 1 2os x 1 + os 2 x

4 Exerie 11 Feille AP 3 : Mnipultion de frtions et de rines rrés Réduire si possile les frtions suivntes, où R et u R u 2 + 2u 1 Exerie 12 (Mnipultion de puissnes) Simplifier les nomres suivnts : 1. A 1 = A 2 = A 3 = ( ) 4 4. A 4 = A 5 = 81 5 (3 2 ) A 7 = A 8 = A 6 = ( ) 2 11 ( A 9 = ( 3 ) A 10 = 2 3 () 4 ) 10 Exerie 13 (Ave des produits, des quotients) Simplifier si possile, les nomres suivnts : 1. A 1 = A 2 = A 3 = ( ) 4 4. A 4 = A 5 = 81 5 (3 2 ) A 7 = A 8 = A 6 = ( ) 2 11 ( A 9 = ( 3 ) A 10 = 2 3 () 4 ) 10

5 Feuille AP 4 : Mnipultion d églités, résolution d équtions Ojetif : érire à droite de hque ligne quelle opértion vous fites : ddition de prt et d utre pr une expression ou un nomre, produit, division pr un nomre (qui doit lors ne ps être négtif), et... Il fut solument érdiquer le Je psse tru de l utre oté du signe égl..., r est soure de plus d erreur qu on ne le roit! Exerie 14 (Résolution d équtions) 1. Résoudre dns R l éqution d inonnue x suivnte : 2x + 3 = 7x Résoudre dns R l éqution d inonnue t suivnte : 2t + 3 = 3t Résoudre dns R l éqution d inonnue θ suivnte : θ = (1 + 5)θ. 4. Résoudre dns R l éqution d inonnue y suivnte : 2y + 3(2 y) = 7y 1 3 (y 1). 5. Résoudre dns R l éqution d inonnue x suivnte : 2x + 1 x = 2 5 x Résoudre dns sur ] ; 1[ l éqution d inonnue suivnte : = Résoudre dns R l éqution d inonnue r suivnte : 2r + 5 = 1 + πr. Exerie 15 (Résolution mentle d équtions) Résoudre mentlement les équtions/inéqutions suivntes : 1. x 2 = 3, inonnue : x R Ru nt = 1 A, inonnue : u R. 3. 2Ru nt = 1, inonnue : T R. A 2Ru nt = 1 A, inonnue : A R. 5. 2x + 4 2, inonnue : x R. 6. (u + 1)2 = 2, inonnue : u R. 2x + 1 = 1 x, inonnue : x R. 8. Exerie 16 (Mnipultion d églité) = + 1, inonnue : R. d On utilise dns et exeries des nottions qui ressemlent à elles utilisées en ele. 1. Si V 1 = R V 2 r + R et pour tout entier n, V n 1 = R. En déduire : V n r + R V 0 V n =? 2. On sit que r 1 = r 4 = R 0 + R et r 2 = r 3 = R 0 R, et on sit ussi que Exprimer U AM et U BM en fontion de R 0, R et E. En déduire que U B A = U BM U AM. 3. On : Exprimer U m en fontion des utres vriles. U AM = r 2 r 1 + r 2 E et U BM = r 4 r 3 + r 4 E. U 2 = U m R 4 + V 0 R 3 1 R R 3.

6 Feuille AP 5 : Mnipultion d inéglités/résolutions d inéqutions/reherhe du signe d une expression Ojetif : érire à droite de hque ligne quelle opértion vous fites : ddition de prt et d utre pr une expression ou un nomre, produit et division pr un nomre : il fut lors préiser le signe du nomre/de l expression, r le signe peut s inverser. Il fut solument érdiquer le Je psse tru de l utre oté du signe égl..., r est soure de plus d erreur qu on ne le roit! Exerie 17 (Résolution d inéqutions du premier degré) Résoudre les inéqutions suivntes, en préisnt ien quelles opértions vous vez fit : 1. 3x + 1 > x (5x + 7) 2x x 5 < 2x (x + 2) 1 2x x + 2x < (x + 1)( 2 1) 6. 2πx 12 > 3x 1 π 4 Exerie 18 (Tleux de signe) 1. Dresser le tleu de signe de (x + 1)(x + 2) en fontion des vleurs de x dns R. 2. Dresser le tleu de signe de (2x + 3)(x + 4) en fontion des vleurs de x dns R. 3. Dresser le tleu de signe de (2x + 3)( 2x + 4) en fontion des vleurs de x dns R. 4. Dresser le tleu de signe de ( 2x + 3)(1 x) en fontion des vleurs de x dns R. 5. Dresser le tleu de signe de ( 2x + 3) + (1 x) en fontion des vleurs de x dns R. 6. Dresser le tleu de signe de ( 2x + 3) (1 x) en fontion des vleurs de x dns R. 7. Dresser le tleu de signe de 5x 1 en fontion des vleurs de x dns R. 2 3x Exerie 19 (Résolution d une inéqution produit) Résoudre les inéqutions suivntes en s idnt si néessire d un tleu de signes : 1. (4 x)(3 + x) x + 1 x 1 > 0 (5x 10)(2 x (x 1)2 (x 2) 2 6 2x (x 3) 2 0 Exerie 20 (Résolution d une inéqution quotient) 1. Construire le tleu de signes de l fontion définie sur l intervlle I pr f (x) = 2. En déduire les solutions de l inéqution f (x) 0 sur I. ( 2x + 4)(x 1) (6 + 2x)(5 x). Exerie 21 (Svoir psser des intervlles ux inéqutions) En s inspirnt de l exemple suivnt : x 4 si et seulement si x ] ;4], ompléter : 1. x < x x x < x ]10;+ [ x [0;5[...