= 0,2592 0,48 = 0,54. qui a pour primitiveln(u(x)). La fonctionf définie (T) = 1 P C

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1 Terminale S Corrigé bac blanc de Mathématiques 9//5 EXERCICE. Affirmation : vraie Eplication : Si f() = e e, une primitive F de f est définie par F() = e + e ; F() = e + e et F() = e + e, d oùf() F() =.. Affirmation : vraie Eplication : On calcule la dérivée def() = ln +7 ; soit f () = ln+ = ln.. Affirmation : fausse Eplication : P B (A) = P(A B) = P(A)P A(B) P(B) P(B) 4. Affirmation 4 : vraie ln e ( ) e d = ln + 5 Eplication : =,7,6,48 =,59,48 =,54. Soit u la fonction définie sur R par u() = e + ; cette fonction est dérivable sur R et u () = e. De plus cette fonction est strictement positive sur R. e Donc l epression e + est de la forme u () qui a pour primitiveln(u()). La fonctionf définie u() sur R par f() = e e + a pour primitive sur R la fonctionf définie par F() = ln(e +). ln e Donc e d = F(ln) F() + F(ln) = ln ( e ln + ) = ln(+) = ln5; F() = ln ( e + ) = ln ln e e + d = ln5 ln = (ln ln5) = ln 5 5. Affirmation 5 : vraie Eplication : Soit C l événement "une personne est contaminée" et T l événement "le test est positif". Valeurs des probabilités : P(C) =, d oùp(c) = P(C) =,99, P C (T) =,99 etp C (T) =,96, d oùp C (T) = P C (T) =,96 =,4. La probabilité que le test soit positif est : P(T) = P(C T)+P(C T) = P(C) P C (T)+P(C) P C (T) =,,99+,99,4 =, 495 EXERCICE. Intersection des deu courbes : M(;y) C f C g f() = g() e = e

2 { X = e X X + = (X ) = e = = AinsiM a pour coordonnées (; ). f () = e = f () = ; g () = e = g () = EnM, leurs tangentes ont, toutes deu le même cœfficient directeur, elles ont donc même tangente d équationy = ( ) y = +.. Soithla fonction définie sur R par h() = e. (a) lim e = donc lim (b) Pour tout réel ( ) e Limite de la fonction h en+ : h() = lim ( ) = + = e = e = h() lim + = e lim + = +, car lim X= + e X X = + donc par produit : (c) h () = e = e e lim h() = lim + + = + h () > e > > > et de même h () < < (d) Tableau de variations de la fonction h sur R : + h () h() + + (e) La fonctionhpossède un minimum en qui est. Donc : + R, h() e e + e + (f) D après la question précédente, g() +, ainsi la courbe C g se trouve au dessus de la droite d équationy = + qui est la droite.. Etude de la position relative des courbes C f etc g ( (a) Pour tout réel, e ) = e e + = f() g(). ( (b) f() g() = e ), ainsi la courbecf se trouve au dessus de la courbec g. 4. Aire A du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d équations respectives = et =. Puisquef() g() : A = (f() g()) d = e d 4 e d+ d = [e ] 4 [e ] +[] = e 4e +4+ = e 4 e+4,

3 4 C h 4 C f C g O O EXERCICE Partie A. u = z = i =.. u n+ = z n+ = (+i)z n = +i z n = z n = u n. (u n ) est la suite géométrique de raison q = et de premier terme u = ; d après le cours, pour tout entier naturel n, on au n = u q n = ( ) n. 4. (u n ) est une suite géométrique de raison > et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers+. 5. ( ) n > ( ) n > 5 ln ( ( ) n ) > ln(5) nln ( ) > ln(5) n > ln(5) ln ( ) > 4,57 ; donc n = 5. Partie B. z = (+i) ( i) = i+i i = + +i( ). ( ). z = i = e iπ/6 +i = e iπ/4. z = e iπ/6 e iπ/4 = e iπ/.. Des deu questions précédentes, on obtient que + +i( ) = e iπ/ = ( ( π ( π cos +isin ) )) D où ( π cos = ) = 4 EXERCICE 4. (a) On a :u =,u = u =,u = u = u = u = =.84 à 4 près et

4 (b) Cet algorithme permet le calcul du terme de rang n. (c) D après le tableau des valeurs approchées obtenues à l aide de cet algorithme pour certaines valeurs den, on peut conjecturer que la suite(u n ) est croissante et majorée par.. (a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln, < u n. Initialisation On au = donc < u Hérédité Supposons qu il eiste un entier naturel n tel que < u n. On a : < u n < u n 4 < u n < u n+. Conclusion < u Si < u n alors < u n+. D après l aiome de récurrence on a pour tout entier naturel n, < u n. (b) Déterminons le sens de variation de la suite(u n ). Comme pour tout entier naturel n, < u n, alors < u n u n d où < u n u n. Alors < u n u n+ ce qui prouve que(u n ) est une suite croissante. (c) On vient de prouver que d une part la suite (u n ) est strictement croissante et que d autre part elle est majorée par. Ceci démontre que la suite(u n ) est convergente.. On considère la suite(v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = lnu n ln. (a) Pour tout entier naturel n, par v n = lnu n ln donc en particulier : v = ln(u ) ln = ln ln = ln On a aussi pour tout entier naturel n,v n+ = lnu n+ ln, mais u n+ = u n. Alors : v n+ = ln u n ln = (ln(u n)+ln) ln = (ln(u n) ln) = v n On peut en conclure que la suite (v n ) est la suite géométrique de raison et de premier terme v = ln. ( ) n (b) On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel n,v n = ln. ( un ) v n = ln(u n ) ln ln = v n u n = evn u n = e vn. (c) Comme ( ) n [;], lim = et lim n + (v n) = n + On sait que lim (e ) =, alors par composition des limites : lim n + (evn ) = et finalement : lim (u n) = n + (d) L algorithme ci-dessous permet d afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u n >, 999. Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur Affecter àula valeur Traitement : Tant queu,999 Affecter àula valeur u Affecter ànla valeur n+ Sortie : Affichern 4

5 Eercice 4 Candidats AYANT SUIVI l enseignement de spécialité mathématiques Partie A. En faisant tourner l algorithme aveca = etb = 4, on obtient : Variables a b c Initialisation Entrées 4 Traitement Sortie On affiche la valeur de c : On affiche la valeur de a :. Dans cet algorithme, on retire le nombrebdu nombreaautant de fois que l on peut et on fait afficher le nombre de fois que l on a retiré b et ce qui reste dans a ; cet algorithme fournit donc le quotient (dansc) et le reste (dans a) de la division deapar b. Partie B. On va coder la lettre U. Étape : La lettre U correspond àm =. Étape : 9m+5 = 9 +5 = 85 ; le reste de la division de 85 par 6 estp =. Étape : Au nombrep =, on associe la lettre D. Donc la lettre U se code en D.. On modifie l algorithme de la partie A pour qu à une valeur de m entrée par l utilisateur, il affiche la valeur dep, calculée à l aide du procédé de codage précédent : Partie C Variables : m est un entier naturel p est un entier naturel Initialisation : Demander la valeur de m Affecter àpla valeur 9m+5 Traitement : Tant que p 6 Affecter àpla valeur p 6 Fin de tant que Sortie : Afficherp. 9 (mod 6) 9 7 (mod 6) ; on peut donc prendre =.. 9m+5 p (mod 6) 7m+5 p (mod 6) 7m p5 (mod 6) m p5 (mod 6). Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi : Étape : A la lettre que l on veut décoder, on associe le nombre p correspondant dans le tableau. Étape : On calcule le reste de la division euclidienne de p5 par 6 et on le note m. Étape : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau. Pour décoder la lettre B : Étape : A la lettre B, on associe le nombrep =. Étape : p5 = 4 (mod 6) doncm = 4. Étape : Au nombrem = 4, on associe la lettre O. Donc la lettre B se décode en la lettre O. 5