Interprétation des essais pressiométriques

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1 Interprétation des essais pressiométriques II. Détermination des caractéristiques hydromécaniques des sols fins saturés par analyse inverse Pierre-Yves Hicher - Damien Rangeard Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique Ecole Centrale de Nantes Nantes Cédex 3 RESUME. L objectif du travail entrepris consiste à mettre en œuvre des procédures de détermination des paramètres de sol à partir d essais in situ, et plus particulièrement dans cet article, l essai pressiométrique. Une procédure d analyse inverse a été développée, basée sur l utilisation conjointe d un code de calcul par éléments finis et d un logiciel d optimisation. Elle est appliquée et validée sur des essais pressio-triax avec mesure de la pression interstitielle. En utilisant, dans ces essais une phase de dissipation des pression interstitielle à déformation constante, la procédure d identification permet d aboutir à la détermination simultanée des paramètres mécaniques, correspondant au modèle Cam Clay, et de la perméabilité du sol. ABSTRACT. The aim of this work is to develop soil parameter determination procedures from in situ testing and in particular from pressuremeter tests. An inverse analysis procedure has been developed based on the coupling of a finite element program and an optimisation tool. It is applied and validated trough pressio-triax results with pore pressure measurements. By using the pore pressure dissipation during strain holding phases in these tests, the identification procedure allows us to determine simultaneously the mechanical parameters, which correspond here to the Cam Clay model, and the permeability of the soil. MOTS-CLES: analyse inverse, essai pressiométrique, perméabilité, calcul couplé KEYWORDS : inverse analysis, pressiometer test, soil permeability, coupled analysis

2 2 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/ Introduction Lorsque la détermination des paramètres d un modèle, ou d une partie d entre eux, se prête mal à une approche directe par construction graphique ou approche analytique, la procédure couramment mise en œuvre consiste en un calage des courbes numériques sur les courbes expérimentales. Cette démarche est souvent lourde et le résultat peut être fortement dépendant de l utilisateur. On cherche alors à lui substituer une approche plus objective à l aide d un processus d optimisation couplé ou non avec une approche statistique prenant en compte les incertitudes sur les résultats expérimentaux. Cette démarche s appuie sur la théorie des problèmes inverses [TAR87]. Le processus d optimisation consiste à minimiser une certaine fonction, appelée fonction coût, dépendant de l ensemble des paramètres, et mesurant l écart entre la réponse numérique et les résultats expérimentaux. Ces paramètres peuvent être identifiés à partir d essais de laboratoire et/ou d essais in situ [HIC02]. Les essais de laboratoire se prêtent en général bien à une approche directe. Cette dernière est par contre impossible dans le cas d essais in situ car les champs de contrainte et déformation générés sont non homogènes et les mesures sont ponctuelles. Une procédure de type analyse inverse doit être mise en œuvre. Des approches de ce type ont été développées ces dernières années pour l essai pressiométrique. L avantage de ce dernier par rapport à d autres essais in situ (pénétromètre ) est qu il donne des informations en continu depuis les petites déformations jusqu à des déformations importantes avec des conditions aux limites bien maîtrisées et assez facilement modélisables. L hypothèse de déformation plane dans la direction de l axe de forage peut être généralement admise. L essai ayant par ailleurs une symétrie de révolution autour de cet axe, le problème aux limites peut être traité en condition monodirectionnelle, ce qui le rend facile à mettre en œuvre. Des solutions analytiques peuvent même être mises en place pour des modèles de comportement simples, par exemple le modèle élastique-plastique parfait de Mohr- Coulomb [GIB61], [YU91], [MON94], [DAN02]. Pour des modèles plus complexes la modélisation numérique doit être réalisée par un code de calculs aux éléments finis [CAM93], [HIC96]. Les travaux de Zentar et al. [ZEN01] sont un exemple de ce type d approche appliquée à la détermination des paramètres du modèle Cam-Clay modifié. Pour ce faire les auteurs ont couplé un code de calculs aux éléments finis, le code CESAR_LCPC, pour le calcul de la réponse pressiométrique et un code d optimisation, le code SiDoLo [CAI94], pour le processus d optimisation. Le type de matériaux pouvant être modélisés par le modèle Cam-Clay étant essentiellement des argiles molles saturées, le calcul éléments finis doit être dans ce cas un calcul couplé prenant en compte la perméabilité du milieu. L étude de sensibilité réalisée pour chaque paramètre du modèle Cam-Clay modifié a montré que les paramètres E, M, p c0 ont une influence notable sur la courbe pressiométrique calculée, alors que les paramètres et ( = ) ont peu d influence. Seuls les trois premiers ont donc fait l objet du travail d identification. Les résultats obtenus ont montré une

3 Interprétation d essais pressiométriques (II) 3 bonne convergence du processus d optimisation mais un problème s est posé relatif à l impossibilité d optimiser simultanément M et p c0. Cette difficulté est liée au fait que la réponse pressiométrique se présente comme une courbe en contraintes totales alors que le modèle travaille en contraintes effectives. Dans cette partie de notre étude, nous allons utiliser une technique d analyse inverse pour exploiter le résultat des essais pressio-triax présentés dans la première partie de cet article [RAN03b]. Pour ces derniers nous bénéficions de la connaissance simultanée de la pression dans la sonde et de la pression interstitielle lors de l expansion cylindrique. L objectif du travail est de construire une procédure adaptée aux matériaux considérés. Il s agit ici d une argile naturelle récente, faiblement surconsolidée. Les modèles retenus sont d une part un modèle élastique plastique parfait de Tresca et le modèle Cam Clay modifié. 2. Procédure d analyse inverse 2.1. Cadre général La résolution classique d un problème physique consiste à calculer la réponse R d un système mécanique S connu soumis à des sollicitations imposées A. Ce type de problème est connu sous le nom de problème direct. Dans le cas de problèmes directs, le système mécanique S composé de la géométrie du problème, des conditions initiales, des conditions aux limites, d un modèle de comportement et des paramètres de ce modèle, est parfaitement défini. Dans le cas des problèmes inverses, il s agit de situations où l on est dans l ignorance, au moins partielle, du système mécanique S. Cependant, on dispose de la réponse R du système S sous les sollicitations A auxquelles il est soumis. Le principe de l analyse inverse consiste alors, connaissant la réponse expérimentale du système soumis à une sollicitation connue, à reconstruire l information manquante (figure 1). Dans cette étude, on se place dans le cas idéal d une modélisation parfaitement adaptée au problème posé (essai d expansion d une cavité cylindrique) ; les difficultés liées à la description du problème (géométrie, discrétisation du domaine, conditions initiales, conditions aux limites) sont donc supposées résolues [RAN03a]. Les données communes à ces problèmes d identification sont donc des suites d observations expérimentales et un modèle de comportement. La résolution du problème d identification consiste alors à minimiser une fonctionnelle qui mesure l écart entre les prévisions du modèle et la réalité physique représentée par la (ou les) suite(s) d observations expérimentales. La nature expérimentale des données conduit à deux inconvénients : le problème inverse est sensible aux erreurs et aux incertitudes de mesure, les données expérimentales sont disponibles en nombre fini.

4 4 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 Actions (A) SYSTEME (S) Conditions initiales Ci Conditions aux limites Cl Modèle M Paramètres P=? Réponse (R) Figure 1. Définition d un problème inverse appliqué à la détermination des paramètres d un modèle Formulation mathématique La formulation des problèmes inverses tels que définis plus haut consiste à introduire une fonction coût qui mesure, pour un jeu de paramètres donné, l écart entre les prévisions du modèle R et la réalité physique R* représentée par une série d observations expérimentales. Cette fonction coût, noté L(P) s écrit formellement : L (P) N Ln (P) 1 avec N, nombre d essais [1] L n (P) (t 1 1 t 0 t1 ) t0 R *(t) R(P, t) dt où la notation. représente une norme de l espace des variables (t 0,t 1) est l intervalle de temps de l essai indicé n R*-R est l écart entre les variables observées (expérimentales) et leurs simulations pour l essai n. Les observations expérimentales étant collectées en nombre fini, la fonction définie en [2] est également approchée par une somme finie. De plus, les fonctions coûts sont couramment définies en utilisant une norme euclidienne pour évaluer les distances entre mesure expérimentale et résultat du calcul, et ce en introduisant une matrice D de pondération telle que : [2] L (P) n 1 M n M (R i n * ti R ti ) T D(R * ti R avec M n le nombre d instants d observation t i. ti ) [3]

5 Interprétation d essais pressiométriques (II) 5 Cette matrice D, le plus souvent diagonale, permet de rendre adimensionnelles les quantités situées sous l intégrale en introduisant des coefficients de pondération dépendant de la dimension physique des variables observables. Le plus fréquemment, on introduit dans cette matrice le carré de l inverse de la valeur mesurée. Il est possible de tenir compte également de la précision de mesure des variables observées en prenant pour termes diagonaux de la matrice D le carré de l inverse de l erreur estimée, associé à la mesure de chaque variable. Ceci évite de choisir les coefficients de pondération de façon subjective, et permet naturellement de donner plus de poids aux variables mesurées avec une bonne précision Application à la sollicitation pressiométrique Dans cette étude, la technique d identification par analyse inverse est appliquée aux essais pressio-triax réalisé sur l argile de Saint Herblain (voir partie I). Dans un premier temps, cette technique est utilisée pour déterminer les paramètres G et c u d un modèle élastique plastique parfait de Tresca, les valeurs de ces paramètres pouvant être comparées à celles déterminées par la suite suivant la méthode de Gibson et Anderson [GIB61]. Pour ce type de modèle, l expression analytique de la courbe pressiométrique est disponible [RAN02], [MON95] ; le processus d identification des paramètres se fait alors par l intermédiaire d un tableur classique dans lequel un algorithme d optimisation de type Newton Raphson est intégré. Dans un second temps, la technique d identification est appliquée à la détermination des paramètres d un modèle élastoplastique écrouissable, le modèle Cam Clay, tout en prenant en compte le couplage sol - eau interstitielle. Dans ce cas, la résolution du problème de l expansion d une cavité cylindrique dans un sol nécessite l utilisation de méthodes numériques (méthode des éléments finis, dans notre cas). Le processus d identification doit alors mettre à contribution au moins deux outils numériques : un code de calcul pour simuler l essai, et un code de calcul pour réaliser l optimisation des paramètres Modèle élastique plastique parfait Dans le cas de l expansion d une cavité cylindrique dans un milieu semi infini en condition d essai non drainée, il est possible d obtenir l expression analytique de la courbe pressiométrique =f( a). Les expressions de la déformation relative à la paroi a en fonction de la pression dans la sonde au cours d un essai pressiotriax s écrivent de la façon suivante : - en phase élastique, soit pour <c u : ra 2 2 b a 2G 2 b a [4]

6 6 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/ en phase plastique, soit pour >c u : ra cu a cu ln( a ) ln( ) 1 2G 2G b 2 2 a [5] Il est alors possible, à partir de ces expressions [4] et [5], et connaissant les valeurs des paramètres G et c u, d établir les incréments de pression correspondant à un accroissement de la déformation relative a. L utilisation d un tableur classique intégrant une méthode de résolution de type Newton-Raphson permet de réaliser simplement l optimisation des paramètres mécaniques G et c u à partir de la donnée de la courbe pressio-triax expérimentale =f( a) Modèle Cam-Clay modifié La technique utilisée dans cette étude pour traiter le problème d identification des paramètres d un modèle de comportement par analyse inverse est celle développée par Zentar [ZEN99]. Le processus d identification utilisé met à contribution deux outils numériques : le code de calcul aux éléments finis CESAR_LCPC pour simuler l essai et le logiciel d optimisation SiDoLo [CAI94] pour identifier les paramètres. L algorithme utilisé couple deux techniques de minimisation classique de la fonction coût : «la méthode de plus grande pente» au début du processus puis une variante de la méthode de Levenberg-Marquardt [NOU85] pour accélérer la convergence dans la phase finale de l identification. Cette dernière consiste à utiliser simultanément la méthode du gradient (méthode du premier ordre) et celle de la hessienne (méthode du second ordre). Le principe est d utiliser la méthode du gradient, qui permet une convergence presque assurée mais généralement lente, tant que les paramètres testés restent éloignés de la solution et la méthode de l hessienne inverse qui assure une convergence rapide et précise lorsqu on se rapproche de la solution. Cette méthode est couramment utilisée dans les processus d'optimisation et est particulièrement bien adaptée pour les fonctions coût se présentant sous la forme d une somme de carrés. L utilisation conjointe de ces deux logiciels a conduit à développer un programme interface nommé InCeSi. Ce programme interface permet de gérer les fichiers d entrée et de sortie de chacun des deux logiciels. Cette structure d identification présente l avantage d être générale, et est utilisable pour de nombreux problèmes. L application aux essais pressiométriques ne représente qu un cas particulier. La structure globale du système d optimisation ainsi obtenue est présentée figure 2. Le rôle du programme InCeSi est multiple : (a) lancer l exécution du logiciel CESAR_LCPC avec un jeu de paramètres donné ; (b) lire et mettre en forme les résultats de la simulation pour le logiciel SiDoLo ; (c) lancer l exécution du logiciel SiDoLo pour optimiser le jeu de paramètres ; (d) mettre à jour le fichier de données pour le logiciel CESAR_LCPC.

7 RESULTAT NUMERIQUE FICHIER DE DONNEES Interprétation d essais pressiométriques (II) 7 JEU DE PARAMETRES INITIAL Simulation CESAR_LCPC InCeSi SiDoLo RESULTAT EXPERIMENTAL Optimisation Figure 2. Représentation du système global d identification par analyse inverse Etude de sensibilité des paramètres La méthodologie d identification des paramètres proposée est applicable à la détermination de ceux-ci seulement s ils ont une influence notable sur le résultat de l essai. Il est donc nécessaire, préalablement à la mise en œuvre de la procédure d identification, d effectuer une étude de sensibilité des paramètres sur la réponse de l essai pressiométrique. Pour chacun des deux modèles adoptés dans cette étude (modèle élastique plastique parfait en condition non drainée, et modèle Cam-Clay modifié avec prise en compte du couplage hydro-mécanique) la partie élastique du comportement est modélisée par une élasticité linéaire. Dans le cas d un essai purement déviatorique comme l essai pressiométrique, la partie élastique de la courbe contrainte déformation est totalement contrôlée par le module de cisaillement G du matériau. Ce module de cisaillement étant fonction du module d Young E et du coefficient de Poisson, il n est pas possible à partir de ce type d essai d identifier simultanément ces deux paramètres. Seul le module de cisaillement G peut être déterminé. Dans le cas où l on adopte un modèle de comportement du sol élastique plastique parfait, on dispose de la relation analytique reliant la pression dans la sonde (ou pression à la paroi ) à la déformation relative à la paroi ( a). Dans ce cas, l étude de sensibilité de la réponse pressiométrique aux paramètres du modèle n est pas nécessaire. En effet, les expressions [4] et [5] mettent en évidence la dépendance de la courbe pressiométrique vis à vis de deux valeurs seulement : la cohésion non drainé c u et le module de cisaillement G Paramètres de référence La méthode classiquement utilisée pour étudier la sensibilité d une réponse numérique aux paramètres d un modèle consiste à construire d abord une réponse

8 8 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 numérique de référence à partir d un jeu de paramètres de référence. On fait ensuite varier indépendamment et successivement la valeur de chacun des paramètres de plus ou moins 50% de leur valeur de référence. Cette méthode a été utilisée par de nombreux auteurs parmi lesquels on peut citer [SHA91], [ZEN01], [DAN02]. Toutefois, il est également nécessaire de mettre en évidence la plage d influence de chacun des paramètres. En effet, l influence d un paramètre sur la réponse d un système mécanique n est pas systématiquement linéaire suivant la valeur de ce paramètre. D autre part, l étude de sensibilité doit être réalisée en faisant varier chacun des paramètres dans une plage de valeur physiquement admissible. Pour étudier l influence des paramètres sur la courbe pressiométrique, les valeurs des contraintes initiales dans le sol sont ici reportées dans le tableau 1; les valeurs de références des paramètres du modèle Cam-Clay modifié sont reportées dans le tableau 2. r0 z0 u 0 p 0 R (kpa) ,8 Tableau 1. Etat de contrainte initial utilisé pour réaliser l étude de sensibilité (p 0 : pression moyenne effective initiale ; R = p c0/p 0 : degré de surconsolidation isotrope). G M p c0 k r (=k z) e 0 (kn/m 3 ) (kpa) (kpa) (m/s) 13, ,15 1, ,0 Tableau 1. Valeurs de référence des paramètres du modèle Cam-Clay modifié Sensibilité aux paramètres mécaniques du modèle Avant de réaliser l étude de l influence des paramètres du modèle Cam-Clay modifié sur la courbe pressiométrique, il est nécessaire de définir pour chacun des paramètres, une plage de valeurs réalistes. Le tableau 3 présente les bornes inférieure et supérieure du domaine d étude retenu pour chacun des paramètres du modèle. Paramètre G M p c0 (kpa) (kpa) Borne inférieure 100 0,3 0,6 28 Borne supérieure ,5 1,6 300 Tableau 3. Domaines de variation des paramètres du modèle Cam-Clay modifié.

9 Interprétation d essais pressiométriques (II) 9 Le domaine d étude du paramètre M correspond à un angle de frottement interne compris entre 16 et 40. Pour le paramètre, le choix de la plage de valeur s appuie notamment sur les résultats des travaux de Mestat et Riou [MES01]. Selon ces auteurs, pour des argiles naturelles, le paramètre est compris entre 0,1 et 1,5. Cependant, pour de très faibles valeurs de (<0,3), le matériau est très peu compressible, et ne correspond plus au type de matériau étudié ici. De même, pour des argiles naturelles compressibles, on peut admettre que le module de cisaillement reste inférieur à 8MPa. Concernant la valeur de la pression de préconsolidation, compte tenu de l état initial de contrainte choisi (p 0=28 kpa), le domaine d étude correspond à une valeur du degré de surconsolidation isotrope R compris entre 1 et 11. Les résultats de l étude de sensibilité réalisée pour chacun des paramètres sont présentés figure 3. Sur ces figures, on définit pour chaque valeur du paramètre étudié, l évolution de le variable I définie par : I=(A-Ar)/Ar [6] avec A r la surface sous la courbe pressiométrique de référence, A la surface sous la courbe correspondant à une valeur différente du paramètre étudié. 40% 40% I 20% 0% -20% I 20% 0% -20% -40% -40% G (kpa) ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 40% 40% 20% 20% I 0% -20% -40% I 0% -20% % p' (kpa) 0,4 0,6 0,8 1 c0 M 1,2 1,4 1,6 1,8 courbe pressiométrique courbe pression interstitielle Figure 3. Influence des paramètres du modèle Cam-Clay modifié sur la courbe pressio-triax et sur la courbe de surpression interstitielle à la paroi.(p c0 : pression de préconsolidation isotrope ; M : paramètre d état critique).

10 10 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 Ces résultats mettent en évidence une influence importante des paramètres G et p c0 à la fois sur la courbe pressiométrique et sur celle des surpressions interstitielles. Le paramètre d état critique M a une influence moins importante mais non négligeable sur les courbes pressiométrique et de pression interstitielle. Le paramètre de compressibilité n a quant à lui aucune influence sur chacune des deux courbes, pour des valeurs comprises entre 0,3 et 1,5. La procédure d identification présentée plus haut pourra donc être appliquée à la détermination des paramètres G, M et p c Sensibilité à la valeur de la perméabilité Comme mis en évidence dans la partie I de cette étude [RAN03b], la perméabilité joue un rôle important à la fois sur la courbe pressiométrique et sur celle des pressions interstitielles développées à la paroi en cours d essai. Pour étudier plus précisément l influence de la perméabilité sur la courbe pressiométrique, une étude similaire à celle réalisée pour les paramètres du modèle de comportement a été réalisée. L état initial des contraintes et le jeu de paramètres de référence utilisés sont ceux présentés respectivement dans le tableau 1 et le tableau 2. Pour réaliser cette étude, on a choisi de faire évoluer la perméabilité dans une plage allant de 10-9 m/s (valeur de référence) à 10-1 m/s. Le résultat de cette étude est présenté figure 4 où l on porte l évolution de la variable I suivant la valeur de la perméabilité. On constate, comme déjà analysé [RAN03b], que la perméabilité a une influence plus importante sur le développement des pressions interstitielles que sur la courbe pressiométrique. On retrouve d autre part les conclusions de cette étude, à savoir des conditions drainées pour k>10-3 m/s qui se traduisent par une absence d influence de la vitesse de chargement sur les deux courbes ; des conditions parfaitement non drainées pour k<10-9 m/s qui conduisent également à une absence d influence de la vitesse ; des conditions partiellement non drainées pour des valeurs intermédiaires de k. 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0% I k (m/s) courbe pressiométrique courbe pression interstitielle Figure 4. Influence de la perméabilité sur les courbes pressiométrique et de pression interstitielle à la paroi.

11 Interprétation d essais pressiométriques (II) Analyse de la courbe de dissipation des surpressions interstitielles au cours d un essai à déformation constante 3.1. Etude expérimentale et numérique d une phase de déformation constante au cours d un essai pressio-triax La méthode d identification proposée plus haut présente l avantage d intégrer l utilisation d un code de calcul aux éléments finis extérieur au processus d identification. Il est ainsi possible de modéliser tout type d essai, et ainsi d appliquer la méthode d identification à de nombreux problèmes. Dans cette partie, nous nous intéressons plus particulièrement à la possibilité de déterminer la perméabilité à partir d une courbe de dissipation des pressions interstitielles au cours d un essai à déformation constante. La figure 5a présente les résultats expérimentaux d un essai pressio-triax [RAN02] réalisé sur une argile de Saint-Herblain prélevée à 6 mètres de profondeur ; la séquence d essai à déformation constante étant réalisée pour une déformation relative à la paroi a de 1,5%., u (kpa) R u (kpa) ,01 0,02 0,03 0,04 0, a t (s) (a) Courbes pressio-triax (b) Dissipation de la pression interstitielle (kpa) u t (s) (c) Evolution de la contrainte à la paroi en fonction du temps Figure 5. Résultat expérimental d un essai de relaxation réalisé au cours d un essai pressio-triax.

12 12 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 Les figures 5b et 5c représentent respectivement les évolutions de la pression interstitielle à la paroi et de la contrainte radiale à la paroi, en fonction du logarithme du temps sur une période de 2,5 heures. On s aperçoit que la dissipation de pression interstitielle s'accompagne d une chute de la pression totale à la paroi (relaxation des contraintes) de même amplitude, et de l ordre de 15 kpa dans le cas présenté ici, la contrainte effective ra restant pratiquement constante. Pour simuler un tel essai à déformation constante au pressio-triax, on a utilisé les caractéristiques géométriques de l éprouvette pressio-triax et les caractéristiques du sol définies dans le Tableau 3, la perméabilité de l argile variant de 10-9 m/s à 10-1 m/s. On a choisi de modéliser la phase de relaxation pour un matériau de perméabilité 10-9 m/s et pour un incrément de chargement appliqué à la paroi du forage de 40 kpa, soit pour une déformation relative a proche de 4 % (figure 6). Lors de la relaxation proprement dite, les évolutions de la pression interstitielle et de la contrainte radiale totale en fonction du logarithme du temps sont présentées respectivement figures 6b et 6c. Contrairement au résultat expérimental présenté figure 5, la simulation numérique n entraîne pas une chute de contrainte à la paroi de valeur identique à celle de la pression interstitielle., u (kpa) u ,01 0,02 0,03 0,04 0, (a) a R u (kpa) t (s) (b) (kpa) t (s) (c) Figure 6. Résultat de la simulation d un essai de relaxation réalisé au cours d un essai pressio-triax pour un niveau de déformation à la paroi de 4% dans le cas d un matériau de perméabilité k=10-9 m/s.

13 Interprétation d essais pressiométriques (II) Influence de la perméabilité sur les courbes de dissipation de la surpression interstitielle Pour préciser l influence de la perméabilité on a fait varier celle-ci de 10-6 à m/s. Les résultats sont présentés figure 7 dans le cas d un essai de relaxation réalisé pour une déformation relative de la paroi de 4% et pour un degré de surconsolidation R de 2. Le terme u représente la variation de pression interstitielle entre le début de l essai de relaxation ( t = 0s) et l instant t considéré ; u max étant la valeur maximale de cette variation à la paroi de la sonde, pour r=a. L analyse du temps de dissipation de la surpression interstitielle met clairement en évidence la forte corrélation entre cette vitesse de dissipation et la perméabilité du matériau u/ u max k = 10-6 m/s k = 10-8 m/s k = m/s t (s) Figure 7. Dissipation des pressions interstitielles en fonction du logarithme du temps pour différentes perméabilités ( a = 4% ; R = 2) Influence du niveau de déformation relatif à la paroi sur les courbes de dissipation de la surpression interstitielle De manière à préciser l influence de la déformation relative à la paroi sur la dissipation des pressions interstitielles au cours d un essai de relaxation, plusieurs essais ont été simulés à différents niveaux de déformation de la paroi (figure 8), pour une même perméabilité de 10-8 m/s et pour une même valeur du rapport R (R = 2). On s aperçoit ainsi que le temps nécessaire à la dissipation de la pression interstitielle est nettement influencé par la valeur du niveau de déformation de la paroi atteint au début de la phase de relaxation. En effet, l excès de pression interstitielle initial est d autant plus important que le niveau de déformation à la paroi est élevé. Plus précisément, pour un taux de dissipation de pression interstitielle u/ u max de 50%, les temps de dissipation sont respectivement 400s, 1020s, 5000s et 10200s pour a = 1,5%, 2%, 4% et 8%. Durant une phase à déformation constante, des mouvements d eau se produisent de la zone plastique

14 14 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 (excès de pression interstitielle) vers la zone élastique de sol (légère dépression interstitielle). Ainsi, la vitesse de dissipation des pressions interstitielles est dépendante de l étendue de la zone plastique, et de la répartition de la surpression interstitielle à l intérieur de celle-ci (figure 9). 1 u/ u max = 1,5 % a = 2 % a = 4 % a = 8 % a t (s) Figure 8. Influence du niveau de déformation de la paroi pendant l essai de relaxation (k = 10-8 m/s ; R = 2) zone plastique t = 0s zone élastique 75 u (kpa) t = 4, s u r/a Figure 9. Dissipation de la surpression interstitielle au cours d une phase à déformation constante Influence du rapport de surconsolidation R sur les courbes de dissipation de la surpression interstitielle Les influences précédentes ont été définies pour un rapport R de 2. Afin de tester l influence de celui-ci sur les courbes de dissipation de la surpression interstitielle,

15 Interprétation d essais pressiométriques (II) 15 on a considéré un matériau de perméabilité 10-8 m/s et un niveau de déformation à la paroi de 4 %. La figure 10 met en évidence l influence de R sur la vitesse de dissipation de la surpression interstitielle. Ainsi la dissipation des surpressions interstitielles est plus rapide lorsque les degrés de surconsolidation sont plus élevés. Dans cette partie, l étude a été limitée à une valeur de R maximale égale à 4, sachant que pour R supérieur à 4 les surpressions interstitielles développées sont insuffisantes pour observer leur dissipation. 1 u/ u max R = 1 R = 2 R = t (s) Figure 10. Dissipation des pressions interstitielles en fonction du logarithme du temps pour différents degrés de surconsolidation ( k = 10-8 m/s ; a = 4 %) Influence des paramètres mécaniques sur la dissipation des pressions interstitielles L influence des paramètres mécaniques M, G sur les courbes de dissipation de la pression interstitielle au cours d un essai de relaxation des contraintes a été étudiée. La dissipation des pressions interstitielles au cours de ce type d essai dépend à la fois de la taille de la zone plastique et de l excès de pression interstitielle dans cette zone plastique. Or, les paramètres mécaniques influencent à la fois la répartition des contraintes dans le sol et l amplitude des surpressions interstitielles ; ils sont donc susceptibles d influencer la courbe de dissipation des surpressions interstitielles au cours d une phase à déformation constante (figure 11). Les paramètres G et affectent peu la dissipation des pressions interstitielles. En revanche, l influence du paramètre d état critique M est plus marquée, et ne peut être négligée pour réaliser une interprétation correcte de ce type d essai.

16 16 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 u/ u max G = 2000 kpa G = 900 kpa t (s) (a) Influence de G u/ u max u/ u max t (s) (c) Influence de (b) Influence de M M = 0,8 M = 1,5 M = 1, t (s) = 0,1 = 1,5 Figure 11. Influence de G, M et sur les courbes de dissipation de la pression interstitielle en essai pressio-triax. L étude numérique met donc clairement en évidence la relation directe entre la perméabilité du matériau et le temps de dissipation des pressions interstitielles. Contrairement à l influence de la perméabilité sur la courbe pressiométrique, il a été montré que la courbe de dissipation était directement dépendante de la valeur de la perméabilité, quelle que soit la valeur de cette dernière. Il apparaît donc possible d appliquer la méthode d identification par analyse inverse à la détermination de la perméabilité à partir d une courbe de dissipation des surpressions interstitielles au cours d un essai à déformation constante. Toutefois, il a également été montré que certains paramètres avaient une influence non négligeable sur la dissipation des pressions interstitielles. Aussi, pour déterminer la perméabilité à partir de ce type d essai, il convient de connaître a priori les paramètres du modèle de comportement du matériau. 4. Vérification de la méthode Avant d appliquer la méthode d identification par analyse inverse aux essais expérimentaux, nous allons dans cette partie de notre étude tester la capacité de

17 Interprétation d essais pressiométriques (II) 17 celle-ci sur un exemple numérique. Ceci permet de s affranchir des incertitudes liées à l exploitation de résultats expérimentaux. Le principe de vérification consiste à réaliser une simulation numérique de l essai à partir d un jeu de paramètres dit de référence. Le résultat de ce calcul est alors introduit dans le processus d identification comme étant le résultat d un essai expérimental. Ensuite, en changeant la valeur d un (ou plusieurs) paramètres, on teste la possibilité du système d identification à retrouver les valeurs de référence de ces paramètres Modèle élastique plastique parfait en condition non drainée Dans le cas du modèle élastique plastique parfait en condition non drainée la courbe pressiométrique dépend de la valeur des paramètres G et c u. Zentar [ZEN99] a montré qu il était possible, en modélisant l essai pressiométrique à l aide d un code aux éléments finis et en adoptant pour le sol un critére de Tresca, d identifier simultanément les deux paramètres G et c u. Dans cette étude, nous allons vérifier s il est possible d identifier de manière simple ces deux paramètres à partir de l expression analytique de la courbe pressiométrique. Le jeu de paramètres de référence utilisé est celui présenté dans le tableau 1, c est à dire un module de cisaillement G de 900 kpa et une cohésion non drainé c u de 17,7 kpa. En partant d un jeu de paramètre significativement différent du jeu de paramètres de référence, on teste alors la capacité du processus d optimisation à retrouver ces valeurs de référence. Les valeurs de référence, les valeurs initiales, et les valeurs obtenues après optimisation pour les paramètres G et c u sont portées dans le tableau 4. Il apparaît que, pour des valeurs initiales des paramètres G et c u du même ordre de grandeur que les valeurs de référence, le processus d optimisation permet de retrouver exactement les valeurs recherchées (Calcul 1). Cependant, si les valeurs initiales sont trop éloignées des valeurs de référence, le résultat de l optimisation conduit à des valeurs différentes des valeurs de référence, et surtout physiquement non admissible (Calcul 2). Pour remédier à ce problème, des contraintes d optimisation sont introduites dans le processus : on impose une valeur positive à la cohésion non drainé et au module de cisaillement (Calcul 3). On s aperçoit que, imposant ces contraintes, l optimisation permet de retrouver exactement les valeurs de référence des deux paramètres G et c u. Les calculs 4 et 5 conduisent au mêmes résultats, en partant d un jeu de paramètres initial surévaluant ou sous-évaluant nettement les valeurs de référence du module de cisaillement G et de la cohésion non drainé c u. L avantage de cette méthode utilisant l expression analytique de la courbe pressiométrique est multiple : - tout d abord, il n est pas nécessaire de connaître et de mettre en œuvre un code numérique pour modéliser l essai ;

18 18 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/ le résultat de l optimisation est obtenu instantanément : la méthode est nettement moins coûteuse en temps de calcul que celle utilisant un code pour simuler l essai et un code pour optimiser les paramètres. Calcul 1 Calcul 2 Calcul 3 Calcul 4 Calcul 5 Contrainte Initiales Finales Référence G (kpa) Aucune c u (kpa) Aucune 5 17,7 17,7 G (kpa) Aucune c u (kpa) Aucune ,7 G (kpa) G > c u (kpa) c u > ,7 17,7 G (kpa) G > c u (kpa) c u > ,7 17,7 G (kpa) G > c u (kpa) c u > ,7 17,7 Tableau 4. Identification des paramètres G et c u du modèle élastique plastique parfait Modèle Cam-Clay modifié Dans le cas où le modèle de comportement adopté pour le matériau est plus élaboré (ici le modèle Cam-Clay modifié) et lorsque l on prend en compte les propriétés hydrauliques du matériau (couplage hydro-mécanique), la solution analytique de l expansion de cavité n est pas évidente. Dans ce cas, il est donc nécessaire de faire appel à un code de calcul aux éléments finis pour simuler l essai pressiométrique, comme présenté plus haut Identification des paramètres mécaniques L étude de sensibilité des courbes pressiométriques et de pression interstitielle aux paramètres du modèle Cam-Clay modifié a montré que celles-ci dépendaient de la valeur des paramètres G, M et p c0. D autre part, il a également été mis en évidence que la perméabilité du matériau affectait ces courbes. Ainsi, dans cette partie de notre étude, nous allons nous intéresser uniquement à la détermination des paramètres mécaniques en se fixant a priori une valeur de la perméabilité k du matériau. Le principe de vérification de la méthode d identification est identique à celui utilisé dans le cas d un modèle élastique parfaitement plastique. L état initial du sol et le jeu de paramètres du modèle utilisés pour établir le calcul dit de référence sont ceux présentés respectivement dans les tableaux 1 et 2.

19 Interprétation d essais pressiométriques (II) 19 Ce type de vérification a déjà été réalisé par Zentar [ZEN99] pour tester la capacité du processus à identifier les paramètres du modèle Cam-Clay modifié. Suivant cet auteur, il est possible à partir de la donnée de la seule courbe pressiométrique =f( a) d identifier, indépendamment les uns des autres, chaque paramètre défini comme sensible G, M et p c0. La détermination d un couple de paramètres conduit à différentes conclusions : à partir de la courbe pressiométrique, il est possible d identifier les couples (G, p c0) et (G, M). La détermination du couple (M, p c0) n apparaît pas possible à partir de la donnée de la seule courbe pressiométrique. En effet, il est possible d obtenir des courbes pressiométriques identiques pour des couples M,p c0 différents. Cependant, les courbes de pression interstitielle générée à la paroi sont différentes comme le montrent les résultats de la figure , u (kpa) u M = 1,2 ; p' c0 = 51 kpa M = 0,66 ; p' c0 = 103 kpa M = 0,95 ; p' c0 = 65 kpa a Figure 12. Courbes pressiométriques et de pression interstitielle de référence et obtenues suivant différents couples M, p c0. Pour palier ce problème, et compte tenu des différences observées entre les courbes de pression interstitielle obtenues à partir des valeurs de référence et des valeurs obtenues après optimisation, nous avons étudié l introduction d une donnée expérimentale supplémentaire, la courbe de génération des pressions interstitielles à la paroi, dans le processus d optimisation et nous avons testé la capacité du processus à identifier simultanément les trois paramètres G, M et p c0. Dans ce but, différents calculs avec des valeurs initiales différentes de chacun des paramètres ont été réalisés. Le tableau 5 en donne un exemple à partir des résultats de deux calculs particuliers. Il apparaît que le processus d identification permet à partir de la courbe pressiométrique et de celle des pressions interstitielles, de retrouver exactement les valeurs de référence de chacun des trois paramètres G, M et p c0. Cependant, si l identification simultanée de deux paramètres nécessite un nombre limité d itérations (en moyenne 20 itérations suffisent pour retrouver les valeurs de référence), l identification simultanée de trois paramètres nécessite un nombre d itérations beaucoup plus important (en moyenne 80) pour retrouver les valeurs de référence.

20 20 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 Calcul 1 Calcul 2 Initiales Finales Référence G (kpa) M 0,8 1,2 1,2 p c0 (kpa) G (kpa) M 1,5 1,2 1,2 p c0 (kpa) Tableau 5. Valeurs initiales et valeurs obtenues après optimisation pour identifier simultanément les trois paramètres G, M et p c Identification de la perméabilité En nous appuyant sur l étude numérique des essais à déformation constante réalisée plus haut, nous allons tester la capacité du processus d identification proposé au 2 à déterminer la valeur de la perméabilité d un matériau à partir de la courbe de dissipation des surpressions interstitielles au cours d un tel essai. Toutefois, comme montré plus haut, les courbes de dissipation des surpressions interstitielles dépendent également de la déformation à la paroi a pour laquelle l essai est réalisé, des paramètres mécaniques et du degré de surconsolidation R. Dans cette partie, nous considérons connues les valeurs des paramètres mécaniques G, M et p c0 (donc R). La valeur de la déformation a pour laquelle l essai est réalisé est une donnée du problème et est donc également connue. Aussi, cette valeur est-elle prise en compte dans la simulation numérique de l essai. Pour vérifier la possibilité de déterminer la perméabilité à partir d un essai à déformation constante, un calcul de référence est réalisé en prenant comme paramètres de référence les valeurs données dans le tableau 2 (notamment une valeur de la perméabilité de 10-9 m/s). L essai de relaxation de référence est réalisé pour une valeur de la déformation à la paroi a de 4%. Les valeurs initiales introduites dans le processus d optimisation et les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau 6. Ces résultats montrent que, partant de valeurs très différentes de celle de la perméabilité de référence, la méthode d identification permet de retrouver exactement la valeur recherchée. D autre part, pour les deux calculs réalisés, le processus d identification converge très rapidement vers la valeur recherchée. Dans ce cas, il a suffit de 5 itérations pour obtenir une valeur de perméabilité de 10-9 m/s. Initiales Finales Référence Calcul 1 k (m/s) Calcul 2 k (m/s) Tableau 6. Valeurs initiales et valeurs obtenues après optimisation pour identifier la perméabilité k d un matériau.

21 Interprétation d essais pressiométriques (II) Méthode générale d identification des paramètres hydro-mécaniques Dans les sections précédentes, nous avons montré la possibilité d identifier d une part les paramètres G, M et p c0 à partir d un chargement pressiométrique et d autre part la perméabilité à partir d une phase à déformation constante réalisée au cours d un essai pressiométrique. Dans cette partie de notre étude, nous proposons une procédure globale permettant d identifier les 4 paramètres hydro-mécaniques (k, G, M et p c0) à partir du résultat d un essai pressiométrique au cours duquel une phase de relaxation est réalisée. Cette démarche est illustrée figure 13. Elle est construite de la manière suivante. Tout d abord, des valeurs initiales des paramètres hydraulique et mécaniques sont fixées ; on applique alors la procédure d identification pour déterminer les paramètres mécaniques, la perméabilité étant gardée constante, à partir de la courbe pressiométrique et de celle de la pression interstitielle obtenues au cours de la phase de chargement. Le jeu de paramètres mécaniques obtenu étant à son tour gardé constant, on applique la méthode inverse à la détermination de la perméabilité à partir de la courbe de dissipation des surpressions interstitielles obtenue au cours de la phase à déformation constante. Plusieurs itérations sont ainsi effectuées jusqu'à convergence des paramètres hydromécaniques représentant correctement à la fois la phase de chargement et la phase de relaxation. Pour vérifier cette démarche, un calcul dit "de référence" a été réalisé en utilisant les valeurs des paramètres définis dans les tableaux 1 et 2. Au cours du chargement, une phase de relaxation est modélisée correspondant à une déformation à la paroi a de 4%. Les valeurs initiales des différents paramètres introduits dans le calcul, et les valeurs des paramètres obtenus après optimisation sont présentées dans le tableau 7. On remarque que la démarche générale proposée permet de retrouver exactement les valeurs de références des trois paramètres mécaniques (G, M et p c0) ainsi que la valeur de la perméabilité k du matériau. Le processus converge rapidement vers un jeu de paramètres hydro-mécaniques correspondant au jeu de référence. Pour les calculs 1 et 2 (tableau 7) il a suffit respectivement de 5 et 8 itérations du processus global pour retrouver les valeurs de référence. Calcul 1 Calcul 2 Initiales Finales Référence G (kpa) M 0,8 1,2 1,2 p c0 (kpa) k (m/s) G (kpa) M 1,5 1,2 1,2 p c0 (kpa) k (m/s) Tableau 7. Valeurs initiales et valeurs obtenues après optimisation pour identifier simultanément les paramètres mécaniques (G, M, p c0) et la perméabilité (k).

22 22 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 Valeurs initiales : G, M, p c0, k k fixée u G, M, p c0 a G M p c0 k k h u t Figure 13. Méthode générale d identification des paramètres hydro-mécaniques. 5. Exploitation des essais pressio-triax par la méthode d analyse inverse Nous nous proposons de mettre en œuvre la méthode d identification de paramètres par analyse inverse présentée plus haut sur les résultats des essais pressio-triax réalisés sur l argile de Saint-Herblain [RAN02], [RAN03a]. Dans un premier temps, nous déterminerons les paramètres G et c u par analyse inverse dans le but de les comparer avec ceux obtenus par des méthodes directes. Ensuite, nous appliquerons la méthode de détermination des paramètres hydromécaniques aux essais réalisés avec une phase de relaxation Détermination de G et Cu par analyse inverse Les valeurs du module de cisaillement G, de la cohésion non drainé c u obtenues suivant la méthode de Gibson et Anderson [GIB61] d une part, et suivant la méthode d analyse inverse d autre part, sont présentées dans les tableaux 8 (série 1) et 9 (série 3). Les courbes expérimentales et les courbes analytiques (G et c u étant obtenus par optimisation) de l essai 1E sont présentées figure 14. On constate que la simulation des essais pressio-triax correspond de manière satisfaisante aux courbes expérimentales.

23 Interprétation d essais pressiométriques (II) 23 DIRECTE G. & A. ANALYSE INVERSE Essais Gt G2% cu G Cu (kpa) (kpa) 1A C D , ,5 1E F ,5 1G , Tableau 8. Valeurs de G et c u obtenues suivant la méthode de Gibson et Anderson et par analyse inverse pour les essais de la série 1. DIRECTE G. & A. ANALYSE INVERSE Essais G G2% cu G Cu (kpa) (kpa) 3A , B ,5 3C , D ,5 3F , ,5 3H , ,5 Tableau 9. Valeurs de G et c u obtenues suivant la méthode de Gibson et Anderson et par analyse inverse pour les essais de la série 3. Sur la figure 15, on a représenté les valeurs de G et c u obtenues par analyse inverse en fonction des valeurs de ces mêmes paramètres déterminés de façon directe pour G et suivant la méthode de Gibson et Anderson pour c u. On remarque que les valeurs de G obtenues par analyse inverse sont nettement inférieures aux valeurs du module tangent G t, alors qu elles sont proches mais supérieures au module de cisaillement sécant à 2%. Concernant la cohésion non-drainée, les valeurs obtenues par analyse inverse sont proches mais inférieures à celles déterminées suivant la méthode de Gibson et Anderson.

24 24 Revue Française de Génie Civil, Volume X, n X/2004 (kpa) expe sim ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 (kpa) expe 96 sim ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 a a Figure 14. Résultat de la simulation des deux premières phases de chargement de l essai 1E G (Analyse Inverse) G t G 2% c u (Analyse Inverse) G (Gibson et Anderson) c (Gibson et Anderson) u (a) G (méthode directe) (b) c u Gibson et Anderson Figure 15. Comparaison des valeurs de G et de c u obtenues par analyse inverse et par la méthode de Gibson et Anderson. Pour comprendre ces écarts, on a simulé les deux premières phases de chargement de l essai 1E en utilisant les valeurs de G et c u déterminées respectivement de manière directe et suivant la méthode de Gibson et Anderson. Les courbes expérimentales et les courbes simulées ainsi obtenues sont présentées figure 16. On remarque suivant ces figures que les valeurs déterminées suivant la méthode directe ne permettent pas de représenter correctement les courbes pressiométriques expérimentales. En effet, suivant l équation de la courbe pressiométrique en phase plastique, celle-ci est aussi dépendante du module de cisaillement G et des dimensions finies de l éprouvette. La prise en compte dans cette équation d un module tangent initial entraîne donc des valeurs plus importantes de la pression pour tous les niveaux de déformation. Ainsi, la valeur de la cohésion non drainée déterminée se trouve augmentée. Pour représenter correctement la courbe pressio-

25 Interprétation d essais pressiométriques (II) 25 triax, la prise en compte d un module sécant à 2% semble donc préférable. D une autre façon, un modèle intégrant une élasticité non linéaire permettrait une meilleure adéquation pour représenter la partie initiale de la courbe. Ceci illustre la difficulté à déterminer, dans un modèle élastique plastique parfait, la valeur du module qui représente nécessairement un module sécant défini pour une certaine amplitude de déformation. (kpa) expe 100 sim ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 (kpa) expe 100 sim ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 a a Figure 16. Résultat de la simulation des deux premières phases de chargement de l essai 1E en utilisant les valeurs de G et c u déterminées suivant la méthode de Gibson et Anderson Détermination des paramètres du modèle Cam Clay et de la perméabilité par analyse inverse Dans cette partie de notre étude, nous allons utiliser la méthode d identification par analyse inverse mettant en jeu les logiciels CESAR_LCPC et SiDoLo pour déterminer les paramètres G, M, p c0 du modèle Cam-Clay modifié et la perméabilité k du matériau. Comme montré plus haut, la détermination de l ensemble de ces paramètres ne peut être faite qu à partir d essais avec mesure de pression interstitielle et au cours desquels une phase à déformation constante est réalisée. Ainsi, pour réaliser cette identification, seuls les essais de la série 3 vont être exploité. Les essais de la série 3 ont tous été réalisés sur des éprouvettes provenant de deux carottes prélevées entre 5,5 et 6,5 mètres de profondeur sur le site de Saint- Herblain en septembre Une procédure identique a été utilisée pour réaliser chacun des essais de cette série : une vitesse de déformation constante a été utilisée pour tester chaque éprouvette et deux phases à déformation constante ont été réalisées pour des déformations a de 1,5% et 3,5%. Compte tenu des valeurs de la pression interstitielle générée à la paroi, seule la seconde phase à déformation constante sera exploitée pour déterminer la