Les méthodes de résolution approchées pour le Programmation en nombres entiers
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- Pierre-Yves Marchand
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1 Les méthodes de résolution approchées pour le Programmation en nombres entiers Amélie Lambert Cnam ECE Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
2 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
3 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
4 Rappel : Comment dérober le maximum? Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
5 Rappel : Comment dérober le maximum? Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Il peut voler des barres d or des liasses de billets Problème : Son sac à dos a : un volume max : 32 litres une charge max : 20kg Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
6 Rappel : Comment dérober le maximum? Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Il peut voler une barre d or : $, 8kg, 6litres des barres d or un paquet de billets : $, 3kg, 6litres des liasses de billets Problème : Son sac à dos a : un volume max : 32 litres une charge max : 20kg Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
7 Rappel : Comment dérober le maximum? Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Il peut voler une barre d or : $, 8kg, 6litres des barres d or un paquet de billets : $, 3kg, 6litres Modélisation du problème des liasses de billets Problème : Son sac à dos a : un volume max : 32 litres une charge max : 20kg Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
8 Modélisation du problème Utilisation de la programmation linéaire en nombres entiers. Variables : variable x 1 nombre de barres d or (300000$, 8 kg, 6 litres) variable x 2 nombre de paquets de billets (100000$, 3 kg, 6 litres) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
9 Modélisation du problème Utilisation de la programmation linéaire en nombres entiers. Variables : variable x 1 nombre de barres d or (300000$, 8 kg, 6 litres) variable x 2 nombre de paquets de billets (100000$, 3 kg, 6 litres) (PLNE) max f (x 1, x 2 ) = 3x 1 + x 2 Maximiser le profit 8x 1 + 3x 2 20 Contrainte de charge 6x 1 + 6x 2 32 Contrainte de volume x 1, x 2 N Contraintes d intégrité Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
10 Un algorithme de résolution approché Algorithme : Remplir le sac avec le maximum d or et compléter avec des billets. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
11 Un algorithme de résolution approché Algorithme : Remplir le sac avec le maximum d or et compléter avec des billets. Avec ces données le voleur a intérêt à dérober 2 barres d or et 1 paquet de billets pour gagner $. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
12 Un algorithme de résolution approché Algorithme : Remplir le sac avec le maximum d or et compléter avec des billets. Avec ces données le voleur a intérêt à dérober 2 barres d or et 1 paquet de billets pour gagner $. On trouve une solution, mais on ne sait pas si c est la meilleure solution pour toute les instances de ce problème notre algorithme est Heuristique Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
13 Un algorithme dit "heuristique" Définition 1 : Une solution réalisable d un (PLNE) est une solution x qui satisfait les contraintes du problème. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
14 Un algorithme dit "heuristique" Définition 1 : Une solution réalisable d un (PLNE) est une solution x qui satisfait les contraintes du problème. Définition 2 : Un algorithme de résolution Heuristique est un algorithme qui fournit une solution réalisable en un temps polynomial pour un problème N P-difficile. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
15 Comment dérober le maximum Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
16 Comment dérober le maximum Un malfaiteur arrive à s introduire à l intérieur d une banque Caractéristiques : une barre d or : $, 8kg, 6litres un paquet de billets : $, 3kg, 6litres Solution heuristique : l or d abord 2 lingots + 1 liasse profit : = 7 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
17 Résolution approchée d un problème Résoudre un P(L)NE peut prendre longtemps! Mais si on a besoin d une solution rapidement? Idée : rechercher une "bonne" solution admissible (borne primale). Cette solution n est pas nécessairement optimale, mais meilleure que la plupart des autres solutions admissibles! Intérêt : recherche rapide Ces solutions (et les algorithmes pour les rechercher) sont dit(e)s approché(e)s, ou heuristiques Possibilité de validation par des bornes duales (et même recommandé!) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
18 Algorithmes approchés Algorithmes approchés particuliers (heuristiques) Méthodes par Séparation-Evaluation avortées, méthode gloutonne, arrondi de la solution optimale de la relaxation continue, algorithme par recherche locale,... Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
19 Algorithmes approchés Algorithmes approchés particuliers (heuristiques) Méthodes par Séparation-Evaluation avortées, méthode gloutonne, arrondi de la solution optimale de la relaxation continue, algorithme par recherche locale,... Méthodes génériques (métaheuristiques) Algorithmes mono-solution : Variable Neighborhood Descent (VND), Variable Neighborhood Search (VNS), recherche tabou, recuit simulé,... Algorithmes multi-solutions Algorithmes génétiques, colonies de fourmis,... Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
20 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
21 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
22 Méthodes par Séparation-Evaluation avortées Principe : exécuter partiellement une méthode par Séparation-Evaluation, et à l arrêter quand un critère d arrêt est vérifié : Temps limite : risque de ne pas avoir de solution réalisable (borne primale)! Ecart prédéfini entre borne primale / borne duale Critère mixte : temps limite si borne primale existe OU écart prédéfini entre borne primale/duale Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
23 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
24 Heuristique par arrondi de la solution Principe : mettre à 1 toutes les variables qui valent 1 dans la solution optimale de la RC (et à 0 les autres). Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
25 Heuristique par arrondi de la solution Principe : mettre à 1 toutes les variables qui valent 1 dans la solution optimale de la RC (et à 0 les autres). Fournit-il une bonne solution entière? Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
26 Exemple : le sac à dos n max c i x i i=1 (SAD) n a i x i b i=1 x {0, 1} n Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
27 Exemple : le sac à dos n max c i x i i=1 (SAD) n a i x i b i=1 Résolution de la relaxation continue : x {0, 1} n 1 Trier les objets dans l ordre décroissant des ratios c i a i 2 Charger le sac à dos dans cet ordre jusqu à sa capacité maximale mettre à 1 toutes les variables possible et couper la dernière Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
28 Exemple : le sac à dos n max c i x i i=1 (SAD) n a i x i b i=1 Résolution de la relaxation continue : x {0, 1} n 1 Trier les objets dans l ordre décroissant des ratios c i a i 2 Charger le sac à dos dans cet ordre jusqu à sa capacité maximale mettre à 1 toutes les variables possible et couper la dernière Algorithme 1 : arrondir la solution continue pour obtenir une solution entière : = mettre à 1 toutes les variables qui valent 1 dans la solution optimale de la RC (et à 0 les autres). Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
29 Exemple : le sac à dos Soit le sac à dos suivant : max x + (b 1)y (SAD) x + by b x, y {0, 1} 2 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
30 Exemple : le sac à dos Soit le sac à dos suivant : max x + (b 1)y (SAD) x + by b x, y {0, 1} 2 On prend x = 1 et y = 0, car 1 1 > b 1 b Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
31 Exemple : le sac à dos Soit le sac à dos suivant : max x + (b 1)y (SAD) x + by b x, y {0, 1} 2 On prend x = 1 et y = 0, car 1 1 > b 1 b Valeur de la solution (entière) obtenue par l algorithme 1 = 1 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
32 Exemple : le sac à dos Soit le sac à dos suivant : max x + (b 1)y (SAD) x + by b x, y {0, 1} 2 On prend x = 1 et y = 0, car 1 1 > b 1 b Valeur de la solution (entière) obtenue par l algorithme 1 = 1 Mais, valeur de la solution (entière) optimale = b 1! Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
33 Exemple : le sac à dos Algorithme 2 : prendre la meilleure de 2 solutions suivantes : la solution de l algorithme 1 Choisir le 1er objet non inclus dans le SAD dans l algorithme 1 le premier qui à une valeur < 1, on note j + 1 son indice Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
34 Exemple : le sac à dos Algorithme 2 : prendre la meilleure de 2 solutions suivantes : la solution de l algorithme 1 Choisir le 1er objet non inclus dans le SAD dans l algorithme 1 le premier qui à une valeur < 1, on note j + 1 son indice Algorithme 1 : valeur j i=1 Algorithme 2 : valeur c j+1 Solution approchée de valeur max{ c i j c i, c j+1 } i=1 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
35 Algorithme approché spécifique : le sac-à-dos (3/3) Avec cette variante, on peut prouver que la valeur de la solution admissible calculée est au moins la moitié de la valeur d une solution optimale! Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
36 Algorithme approché spécifique : le sac-à-dos (3/3) Avec cette variante, on peut prouver que la valeur de la solution admissible calculée est au moins la moitié de la valeur d une solution optimale! Cela nous fournit une garantie de performance a priori, mais l algorithme peut être bien meilleur en pratique Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
37 Exercice 1 appliquez ces deux algorithmes sur le problème suivant : (SAD) max x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 5 x {0, 1} 4 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
38 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
39 Heuristique par méthode gloutonne Définition 3 : Un algorithme glouton fait, étape par étape, le choix d un optimum local. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
40 Heuristique par méthode gloutonne Définition 3 : Un algorithme glouton fait, étape par étape, le choix d un optimum local. Le problème du sac à dos. Approche gloutonne Trier les objets dans l ordre décroissant des ratios c i a i Tant qu il reste de la place dans le sac à dos faire Charger le sac à dos dans cet ordre jusqu à sa capacité maximale mettre à 1 toutes les variables possible Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
41 Exercice 2 Appliquez cet algorithme sur le problème suivant : (SAD) max x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 5 x {0, 1} 4 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
42 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
43 Le voisinage d une solution Définition 6 : Le voisinage d une solution donnée x est l ensemble de solutions réalisables du problème de départ qui sont obtenues à partir de x via une transformation élémentaire. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
44 Le voisinage d une solution Définition 6 : Le voisinage d une solution donnée x est l ensemble de solutions réalisables du problème de départ qui sont obtenues à partir de x via une transformation élémentaire. Observation 3 : On dit que ces solutions sont "proches" de x. La transformation élémentaire nécéssite d être définie selon les besoins de l algorithme. La taille d un voisinage est variable et est au maximum égale au cardinal de l ensemble des solutions réalisables. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
45 Le voisinage d une solution Définition 6 : Le voisinage d une solution donnée x est l ensemble de solutions réalisables du problème de départ qui sont obtenues à partir de x via une transformation élémentaire. Observation 3 : On dit que ces solutions sont "proches" de x. La transformation élémentaire nécéssite d être définie selon les besoins de l algorithme. La taille d un voisinage est variable et est au maximum égale au cardinal de l ensemble des solutions réalisables. Définition 7 : Une solution est un optimum local si elle est meilleure que toutes les autres solutions d un voisinage prédéfini Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
46 Le voisinage d une solution Définition 6 : Le voisinage d une solution donnée x est l ensemble de solutions réalisables du problème de départ qui sont obtenues à partir de x via une transformation élémentaire. Observation 3 : On dit que ces solutions sont "proches" de x. La transformation élémentaire nécéssite d être définie selon les besoins de l algorithme. La taille d un voisinage est variable et est au maximum égale au cardinal de l ensemble des solutions réalisables. Définition 7 : Une solution est un optimum local si elle est meilleure que toutes les autres solutions d un voisinage prédéfini Idée : rechercher une ou des solutions "localement optimales" Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
47 Voisinage et transformations élémentaires Définir le voisinage correspond à définir la/les transformation(s) élémentaire(s)! Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
48 Voisinage et transformations élémentaires Définir le voisinage correspond à définir la/les transformation(s) élémentaire(s)! Une transformation élémentaire doit être suffisamment simple Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
49 Voisinage et transformations élémentaires Définir le voisinage correspond à définir la/les transformation(s) élémentaire(s)! Une transformation élémentaire doit être suffisamment simple Sac à dos : Echanger (au plus) k objets : cela correspond à modifier au moins une valeur dans le vecteur solution : La distance dite de "Hamming" correspond nombres de bits qui diffèrent Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
50 Trouver un optimum local : par recherche locale (RL) On note : f la fonction objectif que l on minimise V (x) un voisinage (voisins admissibles) de la sol. x Recherche locale() DEBUT Choisir une solution initiale x 0 (obtenue par une méthode heuristique par exemple) x x 0 TANT QUE x n est pas un minimum local FAIRE Choisir x V (x) tel que f (x ) < f (x) x x FIN TANT QUE FIN Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
51 Illustration du voisinage local Remarques : La solution initiale x 0 peut être obtenue par une méthode heuristique quelconque Le critère d arrêt est que le meilleur voisin n améliore pas on a bien un optimum local pour le voisinage Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
52 Illustration du voisinage local Remarques : La solution initiale x 0 peut être obtenue par une méthode heuristique quelconque Le critère d arrêt est que le meilleur voisin n améliore pas on a bien un optimum local pour le voisinage Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
53 Illustration du voisinage local Remarques : La solution initiale x 0 peut être obtenue par une méthode heuristique quelconque Le critère d arrêt est que le meilleur voisin n améliore pas on a bien un optimum local pour le voisinage Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
54 Illustration du voisinage local Remarques : La solution initiale x 0 peut être obtenue par une méthode heuristique quelconque Le critère d arrêt est que le meilleur voisin n améliore pas on a bien un optimum local pour le voisinage Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
55 Illustration du voisinage local Remarques : La solution initiale x 0 peut être obtenue par une méthode heuristique quelconque Le critère d arrêt est que le meilleur voisin n améliore pas on a bien un optimum local pour le voisinage Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
56 Exercice 3 En partant de la solution x = (0, 0, 0, 0), appliquez cet algorithme sur le problème suivant : (SAD) max x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 5 x {0, 1} 4 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
57 Optimalité locale vs globale Définition 8 : Une solution est un optimum global si elle est un optimum local quelque soit le voisinage, et donc en particulier si le voisinage correspond à l ensemble des solutions réalisables. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
58 Optimalité locale vs globale Définition 8 : Une solution est un optimum global si elle est un optimum local quelque soit le voisinage, et donc en particulier si le voisinage correspond à l ensemble des solutions réalisables. Attention : Un optimal local n est pas forcément un optimum global Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
59 Optimalité locale vs globale Intérêt de rechercher des optima locaux? Il est possible de tomber sur l optimum global Méthodes relativement efficaces pour le faire Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
60 Optimalité locale vs globale Intérêt de rechercher des optima locaux? Il est possible de tomber sur l optimum global Méthodes relativement efficaces pour le faire Piège à éviter : rester bloqué dans un optimum local, loin du global Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
61 Optimalité locale vs globale Intérêt de rechercher des optima locaux? Il est possible de tomber sur l optimum global Méthodes relativement efficaces pour le faire Piège à éviter : rester bloqué dans un optimum local, loin du global Pour cela, il faut bien définir le voisinage ET réussir à s extraire du voisinage d un optimum local : utilisation des métaheuristiques. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
62 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
63 Les métaheuristiques Définition 4 : Un algorithme de résolution métaheuristique est un algorithme heuristique "générique" qu il faut adapter à chaque problème. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
64 Les métaheuristiques Définition 4 : Un algorithme de résolution métaheuristique est un algorithme heuristique "générique" qu il faut adapter à chaque problème. Il peut être basé sur plusieurs principes communs : Voisinage Recherche locale Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
65 Les métaheuristiques Définition 4 : Un algorithme de résolution métaheuristique est un algorithme heuristique "générique" qu il faut adapter à chaque problème. Il peut être basé sur plusieurs principes communs : Voisinage Recherche locale Et sur un schéma commun : Un algorithme générique (souvent) stochastique, Un ensemble de paramètres, qui permet d adapter l algorithme à chaque problème particulier. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
66 Les métaheuristiques Définition 4 : Un algorithme de résolution métaheuristique est un algorithme heuristique "générique" qu il faut adapter à chaque problème. Il peut être basé sur plusieurs principes communs : Voisinage Recherche locale Et sur un schéma commun : Un algorithme générique (souvent) stochastique, Un ensemble de paramètres, qui permet d adapter l algorithme à chaque problème particulier. Rôle : l idée est d utiliser les métaheuristique pour s extraire d un optimum local obtenu par une méthode heuristique. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
67 Comment s extraire d un optimum local? Algorithmes mono-solutions : 1 En faisant se basant sur plusieurs voisinages : Variable Neihborhood Descent (VND) : definition de plusieurs structures de voisinages, pour tenter d atteindre une solution meilleure. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
68 Comment s extraire d un optimum local? Algorithmes mono-solutions : 1 En faisant se basant sur plusieurs voisinages : Variable Neihborhood Descent (VND) : definition de plusieurs structures de voisinages, pour tenter d atteindre une solution meilleure. 2 S autoriser à dégrader la valeur de la fonction objectif : Variable Neihborhood Search (VNS) : du VND avec la possiblité de dégrader la meilleure solution courante. Recherche tabou : Si, après "apprentissage", aucun autre mouvement n est possible. Recuit simulé : Avec une certaine probabilité. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
69 Comment s extraire d un optimum local? Algorithmes mono-solutions : 1 En faisant se basant sur plusieurs voisinages : Variable Neihborhood Descent (VND) : definition de plusieurs structures de voisinages, pour tenter d atteindre une solution meilleure. 2 S autoriser à dégrader la valeur de la fonction objectif : Variable Neihborhood Search (VNS) : du VND avec la possiblité de dégrader la meilleure solution courante. Recherche tabou : Si, après "apprentissage", aucun autre mouvement n est possible. Recuit simulé : Avec une certaine probabilité. Algorithmes multi-solutions : Faire évoluer plusieurs solutions en parallèle (et donc explorer simultanément plusieurs zones) : Algorithmes distribués/évolutifs (génétiques, etc.) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
70 Quelle métaheuristique choisir? Quelle est la plus efficace? : Aucune, et toutes à la fois : cela dépend du problème! En "moyenne", toutes ont la même efficacité : seul résultat théorique réellement applicable Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
71 Quelle métaheuristique choisir? Quelle est la plus efficace? : Aucune, et toutes à la fois : cela dépend du problème! En "moyenne", toutes ont la même efficacité : seul résultat théorique réellement applicable Comment en choisir une, pour un problème donné? Pas de règle absolue pour : choisir une métaheuristique ou régler ses paramètres Expérience (savoir-faire) et/ou expérimentations (comparaison expérimentale)! Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
72 Mise en oeuvre de métaheuristiques Le réglage des paramètres varie en fonction de l adaptation au problème : Définir une solution initiale Définir une structure de voisinage Définir les paramètres spécifiques Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
73 Mise en oeuvre de métaheuristiques Le réglage des paramètres varie en fonction de l adaptation au problème : Définir une solution initiale Définir une structure de voisinage Définir les paramètres spécifiques Bon usage : comparer bornes primales et duales! Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
74 Mise en oeuvre de métaheuristiques Le réglage des paramètres varie en fonction de l adaptation au problème : Définir une solution initiale Définir une structure de voisinage Définir les paramètres spécifiques Bon usage : comparer bornes primales et duales! Critère d arrêt : Temps limite Ecart de la valeur de la sol. courante à la borne duale Combinaison de ces deux critères Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
75 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
76 Variable Neihborhood Descent (VND) Principe : 1 On définit k voisinages v k tels que v 1 < v 2 <... < v k. 2 On cherche une meilleure solution que x 0 dans v 1, pui dans v 2, etc... 3 Lorsqu une telle solution x best est trouvée, on tente de l améliorer d abord dans le voisinage v 1, puis dans v 2, etc... 4 On s arrête lorsqu on de peut plus améliorer x best. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
77 Variable Neihborhood Descent (VND) VND() DEBUT Choisir une solution initiale x 0 x best x 0 TANT QUE x best peut être amélioré FAIRE POUR i allant de 1 à k FAIRE POUR TOUT x v i (x) FAIRE SI f (x ) < f (x best ) ALORS x best x arrêter la boucle POUR arrêter la boucle FIN SI FIN POUR FIN TANT POUR FIN TANT QUE FIN POUR Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
78 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
79 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
80 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
81 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
82 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
83 Variable Neihborhood Search (VNS) Principe : 1 On définit k voisinages v k tels que v 1 < v 2 <... < v k. 2 On cherche une meilleure solution que x 0. Pour cela on va appliquer VND. 3 Si une telle solution x best est trouvée, on tente de l améliorer d abord dans le voisinage v 1, puis dans v 2,.. 4 Sinon on est bloqué sur un optimum local, on tire au hasard une solution qui va devenir la solution à améliorer. 5 On s arrête lorsqu on de peut plus améliorer x best. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
84 Variable Neihborhood Search (VNS) VNS() DEBUT Choisir une solution initiale x 0 x best x 0 TANT QUE x best peut être amélioré FAIRE POUR i allant de 1 à k FAIRE Générer un point x au hasard dans le i eme voisinage de x (x v i (x)) Appliquer VND en partant de x, on note x l optimum local trouvé. SI f (x ) < f (x best ) ALORS x best x i 1 FIN SI FIN POUR FIN TANT QUE FIN Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
85 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
86 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
87 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
88 Illustration Remarques : Il n y a pas forcement v 1 v 2... v k Cet algorithme nécéssite donc la définition de plusieurs structures de voisinage. Le critère d arrêt est de ne trouver aucune solution améliorante dans les k voisinages. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
89 Exercice 4 En partant de la solution x = (0, 1, 0, 1) et pour k = 3, appliquez cet algorithme sur le problème suivant : (SAD) max x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 5 x {0, 1} 4 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
90 1 Introduction et définition 2 Les algorithmes approchés : heuristiques Heuristique par Séparation-Evaluation avortée Heuristique par arrondi de la solution Heuristique par méthode gloutonne Heuristique par recherche locale 3 Les métaheuristique La métaheuristique Variable Neihborhood Descent (VND) La métaheuristique Variable Neihborhood Search (VNS) La métaheuristique Tabou Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
91 Recherche tabou (RT) - Tabu search (1/4) Principe : associer un mécanisme de mémoire à une recherche locale classique Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
92 Recherche tabou (RT) - Tabu search (1/4) Principe : associer un mécanisme de mémoire à une recherche locale classique Plus précisément, on construit une liste T (liste tabou) contenant les p dernières sol. visitées : p dépend du pb et des instances considéré(es) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
93 Recherche tabou (RT) - Tabu search (1/4) Principe : associer un mécanisme de mémoire à une recherche locale classique Plus précisément, on construit une liste T (liste tabou) contenant les p dernières sol. visitées : p dépend du pb et des instances considéré(es) A partir de la solution courante, on parcourt le voisinage, et on se déplace vers le meilleur voisin, tout en modifiant la liste tabou au besoin Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
94 Recherche tabou (RT) - Tabu search (2/4) RT() DEBUT Choisir une solution initiale x x best x T = TANT QUE x best peut être amélioré FAIRE Appliquer une recherche locale en partant x sur le voisinage de x moins les éléments T. Soit x la solution obtenue T T x (éliminer si besoin le plus ancien élément de T ). SI f (x ) < f (x best ) ALORS x best x FIN SI FIN TANT QUE FIN Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
95 Recherche tabou (RT) - Tabu search (3/4) Paramètre (choix concepteur) : taille p de la liste tabou T, qui est gérée comme une file (FIFO) (typiquement, p [5, 10]) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
96 Recherche tabou (RT) - Tabu search (3/4) Paramètre (choix concepteur) : taille p de la liste tabou T, qui est gérée comme une file (FIFO) (typiquement, p [5, 10]) En pratique, on stocke les transformations dans T, et non les solutions complètes Efficacité (temps, espace) vs perte d information Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
97 Recherche tabou (RT) - Tabu search (3/4) Paramètre (choix concepteur) : taille p de la liste tabou T, qui est gérée comme une file (FIFO) (typiquement, p [5, 10]) En pratique, on stocke les transformations dans T, et non les solutions complètes Efficacité (temps, espace) vs perte d information Capacité de la RT à s extraire des min. locaux? Si min f (x ) > f (x), on "remonte" (on effectue une transformation x V (x) qui accroît la fonction objectif f) Ce mécanisme est susceptible de permettre d échapper à un minimum local Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
98 Recherche tabou (RT) - Tabu search (4/4) Conditions d arrêt : Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
99 Recherche tabou (RT) - Tabu search (4/4) Conditions d arrêt : Conditions déjà évoquées V (x) = (rare) Nb maximum d itérations sans améliorations Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
100 Exercice 5 En partant de la solution x = (0, 1, 0, 1) et en considérant un voisinage avec une distance de hamming de 1 et une liste taboue de taille 3, appliquez cet algorithme sur le problème suivant : (SAD) max x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 5 x {0, 1} 4 Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
101 Avantages des métaheuristiques Souvent efficaces en pratique Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
102 Avantages des métaheuristiques Souvent efficaces en pratique Pas d algorithme spécifique à concevoir pour chaque problème Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
103 Avantages des métaheuristiques Souvent efficaces en pratique Pas d algorithme spécifique à concevoir pour chaque problème N utilisent pas la formulation P(L)NE, donc indépendantes d une éventuelle non linéarité. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
104 Avantages des métaheuristiques Souvent efficaces en pratique Pas d algorithme spécifique à concevoir pour chaque problème N utilisent pas la formulation P(L)NE, donc indépendantes d une éventuelle non linéarité. La diversité des métaheuristiques existantes offre une certaine souplesse, car si une métaheuristique est inefficace sur un problème donné, on peut en essayer d autres, avec une mise en oeuvre rapide. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
105 Avantages des métaheuristiques Souvent efficaces en pratique Pas d algorithme spécifique à concevoir pour chaque problème N utilisent pas la formulation P(L)NE, donc indépendantes d une éventuelle non linéarité. La diversité des métaheuristiques existantes offre une certaine souplesse, car si une métaheuristique est inefficace sur un problème donné, on peut en essayer d autres, avec une mise en oeuvre rapide. Peuvent être utilisées avant une méthode par Séparation-Evaluation Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
106 Inconvénients des métaheuristiques : Garantie de performance a posteriori (la plupart du temps, pas d analyse théorique possible) Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
107 Inconvénients des métaheuristiques : Garantie de performance a posteriori (la plupart du temps, pas d analyse théorique possible) Nécessité de régler des paramètres spécifiques aux pb par des expérimentations (pas d anticipation). Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
108 Inconvénients des métaheuristiques : Garantie de performance a posteriori (la plupart du temps, pas d analyse théorique possible) Nécessité de régler des paramètres spécifiques aux pb par des expérimentations (pas d anticipation). Comme pour les algorithmes approchés spécifiques, difficiles (impossibles?) à utiliser si trouver une borne primale (solution initiale) est difficile pour le problème considéré. Amélie Lambert (Cnam) ECE / 63
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