MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-deuxième cours Rappel: Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d un fonds d accumulation. Rappel: Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d un fonds d accumulation. Situation où le taux d intérêt i du prêt et le taux d intérêt du fonds d accumulation j sont égaux. 1

2 Rappel: Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d un fonds d accumulation. Situation où le taux d intérêt i du prêt et le taux d intérêt du fonds d accumulation j sont égaux. Obligations. Rappel: dénote la valeur actuelle d une annuité consistant en des paiements de 1$ à la fin de chaque période pour n périodes telle que est le montant d intérêt payé sur le prêt et est le montant versé dans un fonds à chaque période. Rappel: Nous obtenons alors l équation suivante: Conséquemment 2

3 Rappel: Si le taux d intérêt du prêt i est égale au taux d intérêt du fonds d amortissement j, alors la table d amortissement du prêt est équivalente à celle du fonds d amortissement lorsque les paiements sont égaux pour la table d amortissement et les dépôts dans le fonds d amortissement sont égaux. Rappel: Le montant net d intérêt payé à la fin de la k e période dans le cas du fonds d amortissement est égal à la portion d intérêt payé dans le k e paiement dans la table d amortissement. Le montant net du prêt après le k e dépôt dans le cas du fonds d amortissement est égal au solde restant après le k e paiement dans la table d amortissement. Rappel: Si i = j, nous avons aussi que et le total versé (intérêt et dépôt) dans le cas du fonds d amortissement est égal au paiement dans le cas de la table d amortissement. 3

4 Rappel: Une obligation est un titre rapportant de l intérêt et dans lequel l emprunteur, appelé l émetteur, s engage à verser un montant déterminé à une date future aux prêteurs, appelés les souscripteurs. Les obligations d épargne sont des obligations de capitalisation ou d accumulation. L emprunteur rembourse le principal et les intérêts à l échéance ou parfois au moment où le souscripteur veut être remboursé. Nous allons plutôt étudier les obligations négociables, plus précisément les obligations avec coupon. Les obligations avec coupon: L émetteur s engage à verser aux souscripteurs l intérêt à intervalles réguliers (ce sont les coupons) et la valeur de remboursement de l obligation à une date d échéance déterminée. Notation: P désignera le prix de l obligation. C est ce que paie le souscripteur 4

5 Notation: P désignera le prix de l obligation. C est ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de l obligation («face amount» ou «par value» en anglais). Il s agit de la valeur inscrite sur l obligation et qui sert à déterminer le montant d intérêt à verser régulièrement. Notation: P désignera le prix de l obligation. C est ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de l obligation («face amount» ou «par value» en anglais). Il s agit de la valeur inscrite sur l obligation et qui sert à déterminer le montant d intérêt à verser régulièrement. C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montant remboursé à l échéance. En général, C = F et nous disons que l obligation est remboursée au pair. Il peut arriver que C F. Notation: P désignera le prix de l obligation. C est ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de l obligation («face amount» ou «par value» en anglais). Il s agit de la valeur inscrite sur l obligation et qui sert à déterminer le montant d intérêt à verser régulièrement. C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montant remboursé à l échéance. En général, C = F et nous disons que l obligation est remboursée au pair. Il peut arriver que C F. Si P = F, on dit que l obligation est achetée au pair. 5

6 Notation: r est le taux d intérêt par période de capitalisation de l intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). C est le taux facial. Il est indiqué sur l obligation et sert à déterminer le montant d intérêt que l émetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Notation: r est le taux d intérêt par période de capitalisation de l intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). C est le taux facial. Il est indiqué sur l obligation et sert à déterminer le montant d intérêt que l émetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Fr est le montant d intérêt versé périodiquement. Ce montant est appelé le coupon. Notation: g est le taux modifié d intérêt par période de capitalisation de l intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par l équation Cg = Fr. Si l obligation est remboursée au pair, alors g = r. 6

7 Notation: g est le taux modifié d intérêt par période de capitalisation de l intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par l équation Cg = Fr. Si l obligation est remboursée au pair, alors g = r. i désignera le taux de rendement de l obligation par période de paiement des coupons en supposant que l obligation est détenue jusqu à sa date de maturité ou de rédemption et que les versements de l intérêt (i.e. les coupons) sont réinvestis aussi au taux i. En général, ce taux est exprimé comme un taux nominal pour lequel la période de capitalisation est celle des coupons. Notation: n est le durée de vie de l obligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusqu à la date de maturité ou de rédemption de l obligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables («callable bonds»). Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par l émetteur de l obligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. Notation: n est le durée de vie de l obligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusqu à la date de maturité ou de rédemption de l obligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables («callable bonds»). Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par l émetteur de l obligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. K désignera la valeur actuelle de la valeur de remboursement C de l obligation à la date de maturité ou de rédemption calculée au taux de rendement i, c est-àdire K = Cν n où ν = (1 + i) -1. 7

8 Notation: G est le montant de base de l obligation, i.e. le montant qui investit au taux de rendement i engendre les mêmes coupons. Donc G est défini par Gi = Fr. La formule basique reliant le prix P d une obligation et son taux de rendement i immédiatement après le paiement d un coupon est ou encore En effet, nous avons le flux financier suivant: et nous supposons que les coupons sont réinvestis au taux de rendement i 8

9 Nous discuterons plus tard de la relation entre le prix d une obligation et son taux de rendement lorsque nous sommes entre des paiements de coupon. Nous allons poursuivre notre analyse des formules immédiatement après des coupons. Nous avons d autres formules déduites de la formule basique. Si nous utilisons l équation Nous obtenons alors le formule Prime/Escompte: Si P > C, nous disons que l obligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que l obligation est vendue à escompte. La différence (P - C) doit être amortie d un point de vue comptable et nous discuterons de ceci plus tard. 9

10 Si nous utilisons l équation Alors nous obtenons la formule du montant de base: Finalement nous obtenons la dernière formule, celle de Makeham: Cette dernière formule nous servira pour des obligations en série. Si nous résumons, nous avons quatre formules pour le prix d une obligation en fonction de son taux de rendement: 10

11 Exemple 1 : Déterminons le prix d une obligation dont la valeur nominale est $ d une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à $ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit le taux nominal de 10% par année capitalisé semestriellement. Exemple 1 : (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons F = 75000$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre Exemple 1 : (suite) Le coupon semestriel de cette obligation est (0.04) = 3000$ Le flux financier de cette obligation est 11

12 Exemple 1 : (suite) Avec la formule basique nous obtenons Dans ce cas, cette obligation est achetée à escompte. Exemple 1 : (suite) Nous allons aussi illustrer les autres formules. Si nous considérons la formule prime/escompte, alors Ci = 78000(0.05) = 3900$ et nous obtenons Exemple 1 : (suite) Si nous considérons maintenant la formule du montant de base, alors le montant de base G est défini par Gi = Fr («= coupon») et, pour cette obligation, nous obtenons G (0.05) = 3000 et G = 60000$. Donc le prix est 12

13 Exemple 1 : (suite) Finalement si nous considérons maintenant la formule de Makeham, alors le taux modifié d intérêt g est défini par Cg = Fr («= coupon») et, pour cette obligation, nous obtenons g = 3000 et g = %. La valeur actuelle de la valeur de remboursement au taux de rendement est K = 78000(1.05) -30 = $. Donc le prix est Exemple 2 : Au terme de la journée du 28 mars 2008, il y avait les cotations suivantes pour les T-Notes du Département du Trésor américain sur le site Yahoo Finance. Taux Maturité Price Rendement à maturité Mar Sep Sep Les données ont été obtenues du site internet: 13

14 Exemple 2 : (suite) Nous allons vérifier les prix et taux de rendement pour ces trois obligations en supposant qu au 28 mars 2008 nous sommes immédiatement après un paiement de coupon. Ceci n est pas tout à fait juste. Pour chacune de ces obligations, nous avons indiqué la date de maturité de l obligation. Exemple 2 : (suite) Pour les obligations du Département du Trésor américain, les coupons sont semestriels et les taux (facial et rendement) sont nominaux. La valeur faciale des cotations est 100$ et la valeur de remboursement de ces obligations est aussi la valeur faciale 100$. Ces obligations sont remboursées au pair. Exemple 2 : (suite) Pour l obligation Mar11 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 6 semestres et il y aura 6 coupons. Le taux facial est 4.750%/2 = 2.375% et le coupon est 100( ) = Le taux de rendement (à maturité) sur le prix est 4.777%/2 = %. Donc le prix est 14

15 Exemple 2 : (suite) La différence est attribuable à ce que nous ne sommes pas vraiment immédiatement après le coupon. Aussi les cotes indiquées sont en général (par exemple sur le Wall Street Journal) sous la forme: prix demandé, prix offert et le taux de rendement est déterminé par rapport à un de ces prix. Ici comme il n y a qu un prix et qu il n y a pas d indication sur le site sur ce qu il faut comprendre pour ce prix, est-ce le prix demandé ou le prix offert, ceci pourrait être une des raisons de le différence de prix. Exemple 2 : (suite) Pour l obligation Sep08 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 1 semestre et il y aura 1 coupon. Le taux facial est 4.625%/2 = % et le coupon est 100( ) = Le taux de rendement (à maturité) sur le prix est 4.523%/2 = %. Donc le prix est Exemple 2 : (suite) Pour l obligation 4.50 Sep11 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 7 semestres et il y aura 19 coupons. Le taux facial est 4.50%/2 = 2.25% et le coupon est 100(0.0225) = Le taux de rendement (à maturité) sur le prix est 4.820%/2 = 2.410%. Donc le prix est 15

16 Si nous considérons maintenant ces trois obligations, alors leurs prix (selon nos calculs) et taux de rendement sont Obligation Mar Sep Sep11 Price Rendement à maturité Comme nous l avons indiqué, il peut arriver que le prix P de l obligation soit plus grand (achat à prime) ou encore plus petit (achat à escompte) que la valeur de remboursement C. Pour des raisons comptables, il est nécessaire d amortir cette écart sur la durée de vie de l obligation. Si P < C, alors il y a un gain pour l acheteur au moment du remboursement de l obligation. Si P > C, alors il y a une perte pour l acheteur au moment du remboursement de l obligation. Nous amortissons ce gain ou perte sur la durée de vie de l obligation au moment de chacun des paiements de coupon. Deux méthodes peuvent être utilisées: une méthode actuarielle et une méthode linéaire. 16

17 Pour la méthode actuarielle, il faut parler de valeur comptable ou valeur aux livres d une obligation («book value» en anglais) Notations: la valeur comptable de l obligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion d intérêt du k e coupon sera notée par I k l ajustement à être apporté à la valeur comptable de l obligation dans le k e coupon sera notée P k Si l obligation a n versements de coupon, alors B 0 = P et B n = C. 17

18 La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue en utilisant la formule basique du prix de l obligation au taux de rendement i lors de l achat de l obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement. La portion d intérêt I k du k e coupon est ib (k- 1). C est ce que doit nous rapporter l obligation pour une période au taux i. L ajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k. Considérons maintenant la table d amortissement d une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. 18

19 À cause de la formule prime/escompte, nous avons où i est le taux de rendement. Exemple 3 : Considérons l obligation Sep11 du Département du Trésor américain achetée le 28 mars 2008 au prix de pour un taux de rendement de 2.410% par six mois. Le coupon est de 4.500/2 = 2.25$ à chaque semestre. La table d amortissement est alors 19

20 Période de capitalisation Coupon Intérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k Il ne faut pas confondre la valeur comptable avec la valeur sur le marché de l obligation. 20