Chapitre G1 : Le théorème de Thalès et sa réciproque

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1 Chapitre G : Le théorème de Thalès et sa réciproque / Le théorème de Thalès 2/ Des applications du théorème de Thalès a/ Calcul d une longueur b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles 3/ La réciproque du théorème de Thalès a/ Enoncé b/ Un exemple / Le théorème de Thalès SC3 THEOREME DE THALES : Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point A. Soient et M deux points de la droite (d) distincts de A. Soient C et N deux points de la droite (d ) distincts de A. Si les droites (C) et (MN) sont parallèles, alors : Autre formulation : Dans les conditions d application de la propriété précédente, le tableau : Sur droite (d) Sur droite (d') Droites parallèles Côtés de AMN AM AN MN Côtés de AC A AC C est un tableau de proportionnalité. Configurations possibles : A * Le triangle AC est un agrandissement du triangle AMN (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre supérieur à ). M N * Le triangle AMN est une réduction du triangle AC (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre compris entre 0 et ). C * Les triangles AC et AMN ont les mêmes angles. (d) (d ) P a g e

2 A C * Le triangle AMN est un agrandissement du triangle AC (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre supérieur à ). (d) M N (d ) * Le triangle AC est une réduction du triangle AMN (toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre compris entre 0 et ). * Les triangles AC et AMN ont les mêmes angles. (d) C (d ) * Le triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle AC (selon les mesures de la figure). A * Les triangles AC et AMN ont les mêmes angles. N M 2/ Des applications du théorème de Thalès a/ Calcul d une longueur On considère la figure suivante : (d) (d ) (C) // (MN). N? 4 A 5 6 M C On donne : A = 4 ; AM = 6 ; AC = 5. Calculer AN. Les droites (M) et (NC) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (C) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : On remplace : On en déduit que : AN = =7,5 (d'après l'égalité des produits en croix) 2 P a g e

3 Autre façon de rédiger : Les droites (M) et (NC) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (C) sont parallèles. On peut affirmer que le triangle AMN est un agrandissement du triangle AC. Le coefficient d agrandissement est déterminé par le rapport :,5. Ainsi, les côtés du triangle AMN sont,5 fois plus grands que ceux du triangle AC. En particulier : AN =,5 x AC =,5 x 5 = 7,5. b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles On considère la figure suivante : A M N On donne : A = 5 ; AM = 4 ; AC = 4,8 ; AN = 3,2. C (MN) et (C) sont-elles parallèles? (d) (d ) Les droites (M) et (NC) sont sécantes en A. On a : On constate que :. Or d après le théorème de Thalès si les droites (MN) et (C) étaient parallèles on aurait :. Donc (MN) et (C) ne sont pas parallèles. 3/ La réciproque du théorème de Thalès a/ Enoncé RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES : Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point A. Soient et M deux points de la droite (d) distincts de A. Soient C et N deux points de la droite (d ) distincts de A. Si et si les points A, M et sont alignés dans le même ordre que les points A, N et C, alors les droites (C) et (MN) sont parallèles. 3 P a g e

4 b/ Un exemple (d) (d ) N 4 5,2 A 6,5 5 M C On donne : A = 4 ; AM = 5 ; AC = 5,2 ; AN = 6,5. (MN) et (C) sont-elles parallèles? Les droites (M) et (NC) sont sécantes en A. On a :,25.,25. Remarque : On constate que :. De plus : A, M et sont alignés dans le même ordre que A, N et C. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès (MN) et (C) sont parallèles. Vérifier l égalité des rapports ne suffit pas. Il est indispensable de vérifier l ordre des alignements de points. Par exemple : M A On donne : A = 5 ; AM = 4 ; AC = 3,75 ; AN = 3. M N M est le symétrique de M par rapport à A. C On a : 0,8. 0,8. On constate que :. De plus : A, M et sont alignés dans le même ordre que A, N et C. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès (MN) et (C) sont parallèles. 4 P a g e

5 M étant le symétrique de M par rapport à A, AM = AM = 4. On a : 0,8. 0,8. On constate que :. Cependant, A, M et ne sont pas alignés dans le même ordre que A, N et C. On constate sur la figure que les droites (M N) et (C) ne sont pas parallèles. 5 P a g e

6 Chapitre G2 : Trigonométrie / Cosinus et sinus d un angle aigu a/ Définitions et notations b/ Relation trigonométrique c/ Remarques d/ Utilisation d une calculatrice 2/ Tangente d un angle aigu a/ Définition et notation b/ Remarques c/ Utilisation d une calculatrice 3/ Trigonométrie dans un triangle rectangle a/ Cosinus d un angle aigu dans un triangle rectangle b/ Sinus d un angle aigu dans un triangle rectangle c/ Tangente d un angle aigu dans un triangle rectangle 4/ Applications a/ Calcul d une longueur b/ Calcul d un angle / Cosinus et sinus d un angle aigu a/ Définitions et notations On se place dans le plan muni d un repère orthogonal (O ; I J) tel que OI OJ. On appelle quart de cercle trigonométrique le quart de cercle défini par : - son centre est l origine du repère O ; - son rayon est égal à ; - ses extrémités sont les points I et J. Le cosinus d un angle aigu α est l abscisse du point M appartenant au quart de cercle trigonométrique tel que IÔM α. Le sinus d un angle aigu α est l ordonnée du point M appartenant au quart de cercle trigonométrique tel que IÔM α. Le cosinus d un angle α se note cos α et son sinus sin α. J sin M O cos I Exemples : cos 60 = 0,5 cos 30 0,87 (cos 0 = et cos 90 = 0) sin 60 0,87 sin 30 = 0,5 (sin 0 = 0 et sin 90 = ) 6 P a g e

7 b/ Relation trigonométrique (conséquence du théorème de Pythagore) c/ Remarques cos²α + sin²α Le cosinus et le sinus d un angle aigu sont compris entre 0 et. Plus un angle aigu est grand, plus son cosinus est petit et plus son sinus est grand. A tout nombre x compris entre 0 et, on peut associer un unique angle aigu dont le cosinus est égal à x. A tout nombre x compris entre 0 et, on peut associer un unique angle aigu dont le sinus est égal à x. d/ Utilisation d une calculatrice (dite scientifique) Pour calculer le cosinus d un angle on utilise la touche cos. Pour calculer un angle aigu dont on connaît le cosinus, on utilise la touche 2 nde cos Pour calculer le sinus d un angle on utilise la touche sin. Pour calculer un angle aigu dont on connaît le sinus, on utilise la touche 2 nde sin. Exemples d utilisation : Compléter les tableaux (arrondir à un centième près) 2/ Tangente d un angle aigu Angle aigu ,87 4, ,54 84,26 Erreur cos 0,98 0,87 0,8 0,75 0,7 0,5 0,3 0,,5 Angle aigu ,37 36, ,6 82 Erreur sin 0,7 0,5 0,55 0,6 0,7 0,87 0,9 0,99 2 a/ Définition et notation La tangente d un angle aigu α est le nombre noté tan α et défini par : tan α b/ Remarques La tangente d un angle aigu est un nombre positif. Plus un angle aigu est grand, plus sa tangente est grande. A tout nombre x positif,on peut associer un unique angle aigu dont la tangente est égale à x. 7 P a g e

8 c/ Utilisation d une calculatrice Pour calculer la tangente d un angle on utilise la touche tan. Pour calculer un angle aigu dont on connaît la tangente, on utilise la touche 2 nde tan Exemple d utilisation : Compléter le tableau (arrondir à un centième près) Angle aigu ,73 56, ,57 78,69 89 tan 0,27,,5,73 5, ,29 3/ Trigonométrie dans un triangle rectangle (SOH CAH TOA) a/ Cosinus d un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d un triangle rectangle alors : Exemple : ^ Adj cos α = Hyp côté adjacent à α hypoténuse ^ cos A ^ et cosc CA C C ^ Adj C A C b/ Sinus d un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d un triangle rectangle alors : sin α = côté opposé à α hypoténuse Exemple : ^ Opp C Hyp ^ AC sin et C ^ sin C A C ^ Opp A C c/ Tangente d un angle aigu dans un triangle rectangle Si α désigne un angle aigu d un triangle rectangle alors : tan α = côté opposé à α côté adjacent à α 8 P a g e

9 Exemple : Adj ^ = Opp ^ C ^ AC tan et A ^ tan C A CA A Opp ^ = Adj ^ C C 4/ Applications a/ Calcul d une longueur Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent dès lors que l on connaît la longueur d un côté d un triangle rectangle et un angle aigu de celui-ci, de calculer la longueur de n importe quel côté de ce triangle. Par exemple : E 5 cm 30 Méthode: Calcul: Ê =30 sin Ê = M EM = 5 cm Hyp sin 30 = ^ ML =? OppE 0,5 =? b/ Calcul d un angle L On s oriente vers sinus. ML = 5 x 0,5 = 2,5 cm Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent dès lors que l on connaît les longueurs de deux côtés d un triangle rectangle de calculer tout angle de ce triangle. Par exemple : F Méthode: Calcul: Ê =? tan Ê = 3 cm D 5 cm? E DF = 3 cm OppE ^ tan Ê = = 0,6. ^ ED = 5 cm AdjE Ê 3 (arctan 0,6). On s oriente vers tangente. 9 P a g e

10 ( Cours de 3ème M. ARDHUIN Collège Fénelon à Cambrai Chapitre G3 : Angles inscrits Polygones réguliers / Angles inscrits Angles au centre 2/ Propriétés des angles inscrits a/ Relation entre angle inscrit et angle au centre b/ Propriété des angles inscrits 3/ Polygones réguliers a/ Définition b/ Propriétés et définitions c/ Angles d un polygone régulier - Exemples / Angles inscrits Angles au centre C désigne un cercle. A, D et désignant trois points distincts de C on dit que l angle AD est inscrit dans le cercle C. D C A L arc A ne contenant pas D (en rouge sur la figure) est l arc intercepté par l angle inscrit AD. Un angle au centre du cercle C est un angle dont le sommet est le centre du cercle C. C Arc intercepté par l angle au centre. O A Arc intercepté par l angle au centre. 0 P a g e

11 2/ Propriétés des angles inscrits a/ Relation entre angle inscrit et angle au centre Dans un cercle, la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc. Illustration : C D C D A O O A b/ Propriété des angles inscrits Dans un cercle, des angles inscrits qui interceptent un même arc sont égaux. Illustration : C P a g e

12 Remarque : D C A E Les angles inscrits et ne sont pas égaux : ils n interceptent pas le même arc. Cas particulier (vu en 4 ème ): C D Autrement dit :. A O Si un point D appartient à un cercle de diamètre [A] et si D est distinct de A et, alors le triangle AD est rectangle en D. 3/ Polygones réguliers a/ Définition Un polygone régulier est un polygone dont les côtés ont la même longueur et dont les angles sont égaux. Exemples : Un triangle équilatéral et un carré sont des polygones réguliers. b/ Propriétés et définitions Propriété : Les sommets d un polygone régulier appartiennent à un même cercle. On dit qu un polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre de ce cercle est appelé le centre du polygone régulier. Propriété : Si un polygone a ses côtés de la même longueur et s il est inscrit dans un cercle, alors ce polygone est régulier. Définition : On considère un polygone régulier de centre O. A et désignent deux sommets consécutifs de ce polygone. L angle est appelé un angle au centre de ce polygone. 2 P a g e

13 c/ Angles d un polygone régulier - Exemples On considère un polygone régulier à n côtés (n entier, n>2). Un angle au centre de ce polygone mesure. Un angle de ce polygone mesure 80. Un triangle équilatéral : SC3 C. 20 O 60 A SC3 Un carré : Un carré est composé de quatre triangles rectangles isocèles superposables. A. O D C Un hexagone régulier : Un hexagone régulier est composé de six triangles équilatéraux superposables... A F O C E D 3 P a g e

14 Chapitre G4 : Géométrie dans l espace / Sections planes de solides a/ Sections d un pavé droit b/ Sections d un cylindre de révolution c/ Sections d une pyramide d/ Sections d un cône de révolution 2/ Sphère et boule a/ Vocabulaire b/ Sections planes d une sphère GEOSPACE / Sections planes de solides Définition : On considère un solide coupé par un plan P. La surface plane obtenue s appelle la section du solide par le plan P. a/ Sections d un pavé droit SC3 La section d un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face. b/ Sections d un cylindre de révolution SC3 La section d un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle. La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l axe du cylindre est un disque de même rayon que la base. La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à l axe du cylindre est un rectangle. 4 P a g e

15 c/ Sections d une pyramide Pyramide régulière à base carrée Sommet Tétraèdre Sommet h H La section d une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone de base. Le coefficient de réduction est égal à : h/h. Après section, on obtient deux solides : une pyramide réduite (rapport h/h) et un tronc de pyramide. d/ Sections d un cône de révolution Sommet H h La section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque qui est une réduction du disque de base. Le coefficient de réduction est égal à : h/h. Après section, on obtient deux solides : - un cône réduit (rapport h/h) ; - un tronc de cône. 2/ Sphère et boule a/ Vocabulaire SC3 Définition : La sphère de centre O et de rayon R (R> ) est l ensemble des points de l espace dont la distance à O est égale à R. Définition : La boule de centre O et de rayon R (R> ) est l ensemble des points de l espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R. A M R O Définitions : On considère une sphère de centre O et de rayon R. Un diamètre de la sphère est un segment qui joint deux points de la sphère et qui passe par son centre O. Un grand cercle de la sphère est un cercle de centre O et de rayon R. [OM] est un rayon de la sphère. [A] est un diamètre de la sphère. On dit encore que A et sont diamétralement opposés. 5 P a g e

16 b/ Sections planes d une sphère SC3 On considère une sphère de centre O et de rayon R coupée par un plan P. La droite perpendiculaire au plan P et passant par O coupe P en H. (OH est appelée la distance du point O au plan P ). On peut distinguer trois situations de section : 0 < OH < R H r P O R La section de la sphère par le plan P est un cercle de rayon r < R et de centre H tel que (OH) P. La sphère est partagée en deux calottes sphériques. OH = 0 R O R P La section de la sphère par le plan P est un grand cercle de la sphère. La sphère est partagée en deux hémisphères. OH = R O R P H La section de la sphère par le plan P se réduit au point H. On dit que le plan P est tangent en H à la sphère. 6 P a g e

17 Chapitre GM : Grandeurs SC3 / Agrandissement - réduction 2/ Grandeurs composées a/ Grandeur produit b/ Grandeur quotient 3/ Changements d unités a/ Grandeurs simples b/ Grandeurs produits c/ Grandeurs quotients / Agrandissement - réduction Propriété : Si au cours d un agrandissement ou d une réduction les dimensions d une figure sont toutes multipliées par un même nombre k>0, alors les aires sont multipliées par k 2 et les volumes par k 3. Illustration : A A D C C Le rectangle ACD a des dimensions triples de celles de A C D. Son aire est égale à 9 fois celle de ACD (9=3²). Le grand cube a pour longueur d arête le double de celle du petit cube. Son volume est égale à 8 fois celui du petit cube (2 3 =8). 2/ Grandeurs composées a/ Grandeur produit Définition : Lorsqu on effectue le produit de deux grandeurs on obtient une grandeur produit. Exemples : L aire d une surface est une grandeur produit : elle est le produit de deux longueurs. Le volume d un solide est une grandeur produit : il est le produit de trois longueurs. En sciences, on rencontre de nombreuses grandeurs produits : L énergie transformée par un appareil électrique est égale au produit de la puissance de l appareil et de sa durée d utilisation. Par exemple : 60W x 5h = 300Wh (Energie consommée par une ampoule de 60W allumée pendant 5 heures.) 7 P a g e

18 b/ Grandeur quotient Définition : Lorsqu on effectue le quotient de deux grandeurs on obtient une grandeur quotient. Exemples : 3/ Changements d unités Un prix unitaire est une grandeur quotient ; par exemple : si L de jus d orange coûtent le prix unitaire est de / L /L. En sciences, on rencontre de nombreuses grandeurs quotients : La vitesse est une grandeur quotient : Si une voiture a parcouru 264 km en 4 heures, sa vitesse moyenne est égale à : 264km/4h = 66km/h. La masse volumique est une grandeur quotient : 3 L de mercure pèsent 40,8 kg. Sa masse volumique est égale à : 40,8kg/3L = 3,6kg/L. La masse volumique de l eau est égale à kg/l. a/ Grandeurs simples Longueur, masse et capacité : MASSE LONGUEUR CAPACITE kilo hecto déca déci centi milli x000 x00 x0 :0 :00 :000 tonne quintal t q kg hg dag gramme g km hm dam mètre m hl dal litre L dg cg mg dm cm mm dl cl ml Temps : min = 60 s h = 60 min j = 24 h Système décimal et système sexagésimal (exemples) Décimal Sexagésimal Sexagésimal Décimal,2 h =,2 x 60 min = 72 min 3min 36s = 26 s 72 min = h 2min 26 s = 26 min = 3,6 min 60,2 h = h 2min 3min 36s = 3,6 min 8 P a g e

19 b/ Grandeurs produits Aire : ha a km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Volume : km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 hl dal L dl cl ml Exemple de changement d unité : Un appareil électrique a transformé une énergie égale à 2,3 kwh. Exprimer cette énergie en Ws (J). 2,3 kw = 2300 W. h = 3600s. Donc : 2,3 kwh = 2300 W x 3600 s = Ws. c/ Grandeurs quotients Exemple de changement d unité : Une voiture roule à 20 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s. 20 km = m. h = 3600 s. Donc : 20 km/h = m/3600s 33,3m/s. 9 P a g e

20 CHANGEMENTS D UNITES Longueur, masse et capacité MASSE LONGUEUR CAPACITE kilo hecto déca déci centi milli x000 x00 x0 :0 :00 :000 tonne quintal t q kg hg dag gramme g km hm dam mètre m hl dal litre L dg cg mg dm cm mm dl cl ml Temps min = 60 s h = 60 min j = 24 h Aire ha a km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Volume km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 hl dal L dl cl ml 20 P a g e

21 Chapitre GM2 : Aires et volumes Aires des figures planes usuelles et d une sphère : Aire d un rectangle : SC6 Aire d un carré : SC6 Aire d un parallélogramme : l c h L c Aire = L x l Aire = c x c = c² Aire = c x h Aire d un triangle : SC5 Aire d un disque : SC6 Aire d une sphère : h R R c Aire = Aire = ² Aire = ² Volumes de solides : SC5 SC5 SC3 Volume d un pavé droit : Volume d un cube : Volume d une boule : h L P a R Volume = L x h x P Volume = a x a x a = a 3 Volume = R 3 Volume d un prisme droit Volume d une pyramide ou d un cylindre de révolution : ou d un cône de révolution : R hauteur hauteur base base base SC3 Volume = ² x hauteur Volume = aire de base x hauteur Volume = Volume = R ² x hauteur 3 aire de base x hauteur 3 2 P a g e

22 Chapitre N : Identités remarquables / Identités remarquables a/ Carré de la somme de deux nombres b/ Carré de la différence de deux nombres c/ Produit de la somme de deux nombres et de leur différence 2/ Développer à l aide des identités remarquables 3/ Factoriser à l aide des identités remarquables Objectifs : Consolider les connaissances sur les puissances, notamment les propriétés. Factoriser dans les cas où le le facteur commun est apparent. Développer et factoriser à l aide des identités remarquables. Avant de débuter ce chapitre, il conviendra de réinvestir des notions de calcul littéral telles que : * Simplifications de produits ; * Puissances et propriétés ; * Développements et factorisations ; * Réductions d expressions littérales. / Identités remarquables SC3 a/ Carré de la somme de deux nombres a et b désignant deux nombres on a l égalité : (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² b/ Carré de la différence de deux nombres a et b désignant deux nombres on a l égalité : (a b) ² = a ² 2ab + b ² c/ Produit de la somme de deux nombres et de leur différence a et b désignant deux nombres on a l égalité : (a + b) (a b) = a ² b ² 2/ Développer à l aide des identités remarquables Exemple : développer l expression E ( x + 4)² E est une expression de la forme (a + b)² avec a = 3x et b = 4. E = (3x)² + 2 x (3x) x 4 + 4² = 9x² + 24x P a g e

23 Exemple 2 : développer l expression F (x 5)² F est une expression de la forme (a b)² avec a = x et b = 5. F = x² 2 x x 5 + 5² = x² 0x Exemple 3 : développer l expression G ( x + 3) (2x 3) G est une expression de la forme (a + b) (a b) avec a = 2x et b = 3. G = (2x)² 3² = 4x² 9. 3/ Factoriser à l aide des identités remarquables Exemple : factoriser l expression H x² + 8x + 6 H est une expression de la forme a² + 2ab + b² avec a = x et b = 4. H = (x + 4)². Exemple 2 : factoriser l expression I x² 2x + 9 I est une expression de la forme a² 2ab + b² avec a = 2x et b = 3. I = (2x 3)². Exemple 3 : factoriser l expression J x² 25 J est une expression de la forme a² b² avec a = 3x et b = 5. J = (3x + 5) (3x 5). 23 P a g e

24 Chapitre N2 : Arithmétique / Rappels sur la divisibilité 2/ Plus grand commun diviseur de deux nombres entiers (PGCD) a/ Diviseurs communs de deux nombres entiers b/ Définition et propriétés du PGCD de deux nombres entiers c/ Méthodes de calcul d un PGCD 3/ Fractions irréductibles a/ Nombres premiers entre eux b/ Reconnaître une fraction irréductible c/ Rendre irréductible une fraction Objectifs : Consolider les connaissances en matière de calculs sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. Diviseurs communs et PGCD de deux nombres entiers. Rendre irréductible une fraction. / Rappels sur la divisibilité (par le biais d un exemple) SC5 Posons la division euclidienne de 80 par 5 : On constate que cette division «tombe juste», c'est-à-dire que le reste est nul. Ainsi : 80 = 2 x 5. On dit que : 80 est divisible par 5 ; 5 est un diviseur de 80 ; 80 est un multiple de / Plus grand commun diviseur de deux nombres entiers (PGCD) a/ Diviseurs communs de deux nombres entiers SC3 On remarquera que tout nombre entier positif admet au moins un diviseur qui est. De plus tout diviseur d un nombre entier strictement positif est inférieur ou égal à ce nombre. Par exemple : Les diviseurs de 27 sont : ; 27 ; 3 et 9. Les diviseurs de 72 sont : ; 72 ; 2 ; 36 ; 3 ; 24 ; 4 ; 8 ; 6 ; 2 ; 8 et et 72 ont donc trois diviseurs communs qui sont : ; 3 et 9. Le plus grand de ces diviseurs communs est P a g e

25 b/ Définition et propriétés du PGCD de deux nombres entiers SC3 Définition : a et b désignent des nombres entiers strictement positifs. Le plus grand des diviseurs communs aux nombres a et b s appelle le PGCD de a et b et se note PGCD (a ; b). Propriétés : a et b désignent des nombres entiers strictement positifs. PGCD (a ; a) = a. PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a). Dire que b est un diviseur de a revient à dire que PGCD (a ; b) = b. c/ Méthodes de calcul d un PGCD Algorithme des soustractions successives : Cette méthode repose en partie sur la propriété : a et b désignent des nombres entiers strictement positifs avec a > b. PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a b). Mise en place d un algorithme : Reprenons l exemple des nombres 7 et 7. Algorithme d Euclide : 3/ Fractions irréductibles PGCD (72 ; 27) = PGCD (27 ; 72 27) = PGCD (27 ; 45) = PGCD (45 ; 27) PGCD (45 ; 27) = PGCD (27 ; 45 27) = PGCD (27 ; 8) PGCD (27 ; 8) = PGCD (8 ; 27 8) = PGCD (8 ; 9) PGCD (8 ; 9) = PGCD (9 ; 8 9) = PGCD (9 ; 9) = 9 Ainsi : PGCD (72 ; 27) = 9. Cette méthode repose en partie sur la propriété : a et b désignent des nombres entiers strictement positifs avec a > b. r désigne le reste de la division euclidienne de a par b. Si r = 0, alors PGCD (a ; b) = b ; Si r > 0, alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Mise en place d un algorithme : Reprenons l exemple des nombres 7 et = 2 x d où : PGCD (72 ; 27) = PGCD (27 ; 8) 27 = x d où : PGCD (27 ; 8) =PGCD (8 ; 9) 8 = 2 x 9 + 0, donc PGCD (8 ; 9) = 9. Ainsi : PGCD (72 ; 27) = 9. a/ Nombres premiers entre eux Des nombres entiers strictement positifs premiers entre eux sont des nombres dont le PGCD est égal à. 25 P a g e

26 b/ Reconnaître une fraction irréductible Une fraction irréductible est une fraction que l on ne peut pas simplifier. Dire qu une fraction est irréductible revient à dire que son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. c/ Rendre irréductible une fraction Si l on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par leur PGCD alors la fraction obtenue est irréductible. Par exemple : PGCD (72 ; 27) = P a g e

27 Chapitre N3 : Racine carrée / Racine carrée d un nombre positif 2/ Opérations avec des racines carrées a/ Multiplication des racines carrées b/ Division des racines carrées c/ Attention! 3/ Simplifications d'expressions avec radicaux a/ Réductions d expressions avec radicaux b/ Réécriture d un quotient dont le dénominateur est une racine carrée / Racine carrée d un nombre positif Définition : SC3 a étant un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a. La racine carrée de a se note. Le symbole s appelle un radical. Autrement dit : Si a 0, alors et. Exemples : Comme 5²=25 et 5 0,..... ( 7)² 7 Une interprétation géométrique de : a étant un nombre positif, est égale à a cm². est la longueur en cm d un côté d un carré dont l aire a cm² cm Exemple de : cm Deux carrés de cm de côté Un carré d aire 2 cm² 27 P a g e

28 Propriété : Racine carrée d un carré SC3 Si a est un nombre positif, ² Si a est un nombre négatif, ² Utilisation d une calculatrice : SC3 D après la propriété précédente il est très facile de calculer la racine carrée d un carré parfait ( ; 4 ; 9 ; 6 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 8 ; 00 ; ). Ce n est cependant pas aussi facile avec les autres nombres. On peut alors utiliser la touche d une calculatrice. 2/ Opérations avec des racines carrées a/ Multiplication des racines carrées a et b étant des nombres positifs,. Exemples d application : Calcul d un produit de racines carrées : Réduction de la racine carrée d un nombre entier (opération qui consiste à écrire la racine carrée d un nombre entier sous la forme a b, a et b étant des nombres entiers, b le plus petit possible): b/ Division des racines carrées. 7. a et b étant des nombres positifs, b non nul, =. Exemples d applications : Calcul d un quotient de racines carrées :.. Racine carrée d un quotient :. ( ) 28 P a g e

29 c/ Attention!. ( ) + + 3/ Simplifications d'expressions avec radicaux 3 a/ Réductions d expressions avec radicaux Exemple : b/ Réécriture d un quotient dont le dénominateur est une racine carrée La réécriture consiste à faire disparaître l écriture radicale du dénominateur. Par exemple : P a g e

30 Chapitre N4 : Equations / Des équations à une inconnue a/ Définitions b/ Méthode de résolution c/ Exemples de résolution d équations 2/ Résolution d un problème 3/ Equation produit nul à une inconnue a/ Définition b/ Méthode de résolution c/ Exemple d/ Cas particulier : résolution de l équation x² = a (x inconnue, a donné) / Des équations à une inconnue a/ Définitions Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre. Résoudre une équation à une inconnue c est trouver toutes les valeurs possibles de l inconnue pour lesquelles l égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l équation. b/ Méthode de résolution (des équations du premier degré à une inconnue) Propriétés des égalités : Une égalité est conservée lorsqu on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres. Une égalité est conservée lorsqu on multiplie ou on divise chacun des deux membres par un même nombre non nul. Une méthode de résolution de l équation : étant des nombres donnés) ax + b = cx + d d'inconnue x (a, b, c et d En utilisant les propriétés des égalités : On regroupe les termes " en x " dans un membre ; On regroupe les termes constants dans l autre membre ; On résout l équation de la forme : Ax =. On conclut. 30 P a g e

31 c/ Exemples de résolution d équations Ex : 6x + 3 = - 4x x + 4x ( ) 0x + 3 = ( ) 0x = 20 x = 20 /0 = 2 ( ) L équation x + -4x + 23 a une solution : 2. ( ) Ex 2 : 3x + 7 = 7x + 9-7x - 7x ( ) - 4x + 7 = ( ) - 4x = 2 x = 2 / -4 = - 0,5 ( ) 2/ Résolution d un problème L équation x + 7 7x + a une solution : - 0,5. ( ) Certains problèmes peuvent se résoudre en posant une équation, ce qui facilite souvent leur résolution. La démarche à suivre est alors la suivante : Le choix de l inconnue ( après avoir lu l énoncé du problème et cerné ce qui est recherché) ; La mise en équation ( qui traduit l énoncé du problème) ; La résolution de l équation précédemment posée ; Le retour au problème (apporter une réponse rédigée aux questions). Exemples: Ex : Un rectangle a pour périmètre 27 cm. Sa longueur est double de sa largeur. Déterminer les dimensions de ce rectangle. On pose x = largeur (en cm) de ce rectangle. Exprimons le périmètre en fonction de x. Périmètre = (x + 2x) x 2 = 3x x 2 = 6x. D où l équation : 6x = 27. x = 27/6 = 4,5. Le rectangle a pour dimensions 4,5 cm et 9 cm. Ex 2 : A l occasion d un petit déjeuner organisé dans son club de basket Tony a acheté croissants et pains au chocolat. La veille, pour le même montant, il avait acheté croissants et 3 pains au chocolat. Sachant qu un pain au chocolat coûte calculer le prix d un croissant. 3 P a g e

32 On pose x prix (en ) d un croissant. Exprimons le coût (en ) de chaque petit déjeuner en fonction de x. 2 x x + x 0,90 = 2x + 9,90 x x + 3 x 0,90 = x + 2,70 D après l énoncé les coûts sont les mêmes. D où l équation : 2x + 9,90 = x + 2,70 2x + 9,90 = x + 2,70 -x -x - 9x + 9,90 = 2,70-9,90-9,90-9x = -7,20 x = -7,20/-9= 0,80. Un croissant coûte. 3/ Equation produit nul à une inconnue a/ Définition Une équation produit nul à une inconnue x est une équation de la forme A(x) x (x) =0, A(x) et (x) désignant des expressions fonctions de x. En classe de 3 ème, on étudiera les équations produit nul de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0 (x inconnue, a, b, c et d étant des nombres donnés). b/ Méthode de résolution Propriété : Dire qu'un produit est nul revient à dire que l un au moins de ses facteurs est nul. Résolution de l équation produit nul : (ax + b)(cx + d) = 0 (x inconnue, a, b, c et d étant donnés) c/ Exemple On utilise la propriété précédente : (ax + b)(cx + d) = 0 revient à dire que ax + b = 0 ou cx +d = 0. On résout chacune des équations : ax + b = 0 cx + d = 0 On conclut. Résoudre l équation : (3x 2)(2x + ) = 0. (3x 2)(2x + ) = 0 revient à dire que 3x 2 = 0 ou 2x + = 0. 3x 2 = 0 2x + = 0 3x = 2 2x = - x = 2/3 x = -/2 L équation ( x 2)(2x + ) = 0 admet deux solutions : 2/3 et -/2. 32 P a g e

33 d/ Cas particulier : résolution de x² = a (x inconnue, a donné) Si a < 0 : L équation x² a n a pas de solution. Si a = 0 : L équation x² a une solution unique qui est x. Si a > 0 : x² = a. x² = ( )² x² - ( )² = 0 (x - )(x + ) = 0 L équation x² = a admet deux solutions : et. Exemples : * L équation x² = - n a pas de solution. En effet : ² pour tout x. * L équation x² = 9 a deux solutions : x = et x =. En effet : 3² = 9 et (- 3)² = 9. * L équation x² = 7 a deux solutions : x = 7 et x = 7. En effet : ( 7)² = 7 et (- 7)² = P a g e

34 Chapitre N5 : Inéquations / Inégalités et opérations a/ Effet d une addition (et soustraction) b/ Effet d une multiplication (et division) c/ Exemples 2/ Des inéquations à une inconnue a/ Définitions b/ Méthode de résolution c/ Exemples de résolution d inéquations d/ Exemples de résolution de problèmes / Inégalités et opérations a/ Effet d une addition (et soustraction) Dans une inégalité l ordre reste le même si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres. b/ Effet d une multiplication (et division) Dans une inégalité : l ordre reste le même si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre strictement positif ; l ordre est inversé si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre strictement négatif. c/ Exemples Si 2 < x, alors 5 < x +3 Si < x, alors - 4 < 4x Si x < 6, alors x 5 < x Si 0 < x, alors - 5 < 2 Si 2 < x, alors - 3x < - 6 x Si x < 4, alors - < 4 2/ Des inéquations à une inconnue a/ Définitions Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre. Résoudre une inéquation à une inconnue c est trouver toutes les valeurs possibles de l inconnue pour lesquelles l inégalité est vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l inéquation. 34 P a g e

35 b/ Une méthode de résolution de l inéquation : ax + b < cx + d d'inconnue x (a, b, c et d étant des nombres donnés) En utilisant les propriétés du paragraphe / : On regroupe les termes "en x " dans un membre ; On regroupe les termes constants dans l autre membre ; On résout l inéquation de la forme : Ax < en divisant chaque membre par A (si possible). On conclut. c/ Exemples de résolution d inéquations Ex : 5x + < - 3x x + 3x ( ) 8x + < ( ) 8x < 20 ( ) x < 20 /8 x < 2,5 Les solutions de l inéquation x + < -3x + 2 sont les nombres strictement inférieurs à 2,5. ( ) Représentation des solutions sur une droite graduée : ,5 Ex 2 : Solutions de l inéquation : 5x + < -3x + 2 3x + 7 5x + 3-5x - 5x ( ) - 2x ( ) - 2x 6 ( ) ( ) ( ) x 6 / -2 x - 3 Les solutions de l inéquation 3x + 7 égaux à 3. ( ) 5x + 3 sont les nombres supérieurs ou Représentation des solutions sur une droite graduée : Solutions de l inéquation : 3x + 7 < 5x P a g e

36 d/ Exemples de résolution de problèmes Ex : Le périmètre d un rectangle ACD de longueur cm est inférieur ou égal à 7 cm. Quelles sont être les valeurs possibles de la largeur de ACD? On pose : x = largeur (en cm) de ACD. Périmètre de ACD = 2 x x x = 0 + 2x D après l énoncé on a l inéquation : 0 + 2x x 7 La largeur de ACD est inférieure ou égale à 3,5 cm. Ex 2 : Mélody suit un régime alimentaire. Chacun de ses repas doit avoir un apport calorique strictement compris entre 650 et 730 kcal. Ce midi, elle a mangé un steak haché équivalent à 70 kcal et des pommes de terre cuisinées. Sachant que 00g de pommes de terre cuisinées apportent 60 kcal, quelles sont les quantités possibles de pommes de terre que mélody peut manger. On pose : x = quantité de pommes de terre cuisinées (en g). Apport calorique de son repas = 70 +,6 x x D après l énoncé on a : 650 < 70 +,6x < <,6x < < x <350 Mélody peut manger entre 300 et 350 grammes de pommes de terre. x 36 P a g e

37 Chapitre N6 : Systèmes de deux équations à deux inconnues / Définitions 2/ Méthodes de résolution a/ Résolution par substitution b/ Résolution par soustraction 3/ Interprétation graphique 4/ Résolution d un problème / Définitions a, b, c, d, e et f désignant des nombres, équations à deux inconnues x et y. + + est un système de deux Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y c est trouver tous les couples de nombres (x ; y) pour lesquels les deux égalités sont vraies. Un tel couple est une solution du système. Exemple : On considère le système : + 7 d'inconnues x et y. Si x = 2 et y =, alors : 2x + 3y = 2 x x = 7 3x 5y = 3 x 2 5 x = Le couple (2 ; ) est donc une solution de ce système (c est la seule). 2/ Méthodes de résolution a/ Résolution par substitution Résolvons le système : + 7 ( ) d'inconnues x et y. 7 ( ) On exprime l une des inconnues en fonction de l autre dans l une des équations Par exemple, dans (E ), on exprime x en fonction de y : 2x + 3y = 7 2x = 7 3y Dans l autre équation on remplace l inconnue choisie en par l expression trouvée de façon à obtenir une équation à une inconnue x = 37 P a g e

38 (E 2) : 4x 7y = devient : 4 x - 7y = 4 3y = On résout l équation obtenue en 4 3y = y = -3 y = On remplace la valeur de l inconnue trouvée en dans l expression du x = = 2 On effectue une vérification Si x =2 et y =, alors : 2x + 3y = 2 x x = 7 4x 7y = 4 x 2 7 x = On conclut La solution du système : b/ Résolution par soustraction est le couple (2 ; ). Résolvons le système : + ( ) d'inconnues x et y. + ( ) On multiplie chaque équation par un nombre de façon à obtenir deux équations dans lesquelles les coefficients d une inconnue sont opposés Par exemple, dans le système : les coefficients de l inconnue x. + ( ) + ( ), on peut travailler sur On multiplie (E ) par 2 et on multiplie (E 2) par 3. Le système devient : On soustrait membre à membre les deux équations obtenues en de façon à obtenir une équation à une inconnue que l on peut résoudre On obtient alors l équation d inconnue y : -0y = -25, dont la solution est y =2,5. On remplace la valeur de l inconnue trouvée en dans l une des deux équations du système de façon à obtenir une équation à une inconnue que l on peut résoudre 38 P a g e

39 Par exemple, dans (E ), si y = 2,5, alors : 3x + 2,5 = 8,5 3x = 6 x = 2. On effectue une vérification Si x =2 et y = 2,5, alors : 3x + y = 3 x 2 + 2,5 = 8,5 2x +4y = 2 x x 2,5 = 4 On conclut La solution du système : 3/ Interprétation graphique Exemple : + + est le couple (2 ; 2,5). Résolution et interprétation graphique du système : + ( ) + ( ) Ce système peut encore s écrire : ( ) + 7 ( ) On appelle (d ) la représentation graphique de la fonction affine f définie par f (x) = - 2x. On appelle (d 2) la représentation graphique de la fonction affine f 2 définie par f 2(x) = 2x + 7. ( ) Dire que (x 0 ; y 0) est une solution du système : + 7 ( ) M de coordonnées (x 0 ; y 0) appartient à la fois à (d ) et à (d 2). revient à dire que le point Tracé de (d ) : Coefficient directeur = - 2 Ordonnée à l origine - Tracé de (d 2) : Coefficient directeur = 2 Ordonnée à l origine 7 On constate que d et d 2 sont sécantes en M (-2 ; 3). Donc le système : + ( ) a une solution qui est (-2 ; 3). + ( ) Vérification : Si x = - 2 et y = 3, alors : 2x + y = 2 x (-2) + 3 = - -4x + 2y = -4 x (-2) + 2 x 3 =4 39 P a g e

40 d d M / Résolution d un problème (exemple) Un cuisinier a acheté kg de tomates et kg de poivrons chez le primeur. Il a payé. Le même jour l un de ses collègues a payé pour kg de tomates et kg de poivrons. Calculer le prix au kilogramme des tomates et des poivrons. On pose : x prix (en ) au kilogramme des tomates y prix (en ) au kilogramme des poivrons L énoncé se traduit par le système : + ( ) + ( ) 40 P a g e

41 On résout ce système par substitution : D après (E ) : y = 8,5 3x Remplaçons y par 8,5 3x dans (E 2) : 2x + 4 x (8,5 3x) = 4 2x x = 4-0x + 34 = 4-0x = x = -20 x = 2 y = 8,5 3x = 8,5 3 x 2 = 2,5. Vérification : Si x = 2 et y = 2,5, alors : 3x + y = 3 x 2 + 2,5 = 8,5 2x + 4y = 2 x x 2,5 = 4 Le couple (2 ; 2,5) est la solution du système En conclusion : kg de tomates coûte. kg de poivrons coûte. + ( ) + ( ). 4 P a g e

42 Chapitre GD : Notion de fonction / Présentation de la notion de fonction - Notations 2/ Vocabulaire 3/ Méthode de recherche des antécédents d un nombre par une fonction 4/ Représentation graphique d une fonction 5/ Lecture de la représentation graphique d une fonction / Présentation de la notion de fonction Situation : un programme de calculs On considère le programme de calculs : * Considérer un nombre ; * Elever ce nombre au carré ; * Ajouter 3. Appliquons ce programme de calculs aux nombres 0 ; ; 2 ; 3 ; 4 et 4,5. 0 0² = = 3 ² = + 3 = 4 2 2² = = 7 3 3² = = 2 4,5 4,5² = 20,25 20, = 23,25 On peut considérer que ce programme de calculs fonctionne comme une «machine» qui, à un nombre, fait correspondre un nombre. On peut ainsi définir une fonction qui, à tout nombre, fait correspondre la somme de son carré et de 3. Si on appelle f cette fonction, on peut résumer celle-ci à la notation : f : x x² + 3 Situation : valeurs d une expression littérale On considère l expression littérale E x 3 +. Calculons quelques valeurs prises par E : Lorsque x = 2, E = 2 x = 7. Lorsque x = 4, E = 2 x = 29. Lorsque x = 5,5, E = 2 x 5,5 3 + = 333,75. E est une expression dont la valeur dépend de celle de x. Plus simplement, on peut écrire pour les valeurs : E(2) = 7. E(4) = 29. E(5,5) = 333, P a g e

43 Plus généralement, on écrira : E(x) = 2x 3 +, ce qui définit la fonction E. On peut dresser un tableau de valeurs : x 2 4 5,5 E(x) ,75 En résumé : Pour déterminer une fonction f, on peut au choix : 2/ Vocabulaire et notations utiliser une phrase : «la fonction f, à un nombre, associe la somme de son carré et de 3.» utiliser une notation : f : x x² + 3 utiliser une égalité : f(x) = x² + 3. Prenons par exemple la fonction f : x x² + 3. Cette fonction, au nombre 4, associe 9. On dit que l image de par la fonction f est. On note : f : 4 9 ou encore f(4) = 9. Lorsqu elle existe l image d un nombre par une fonction est unique. f( ). L image de par f est. On dit encore que 3 est un antécédent de 2 par f. f(- ). L image de 3 par f est 2. Autrement dit, - 3 est aussi un antécédent de 2 par f. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents : f : / Méthode de recherche des antécédents d un nombre par une fonction Cas général : Recherche des antécédents d un nombre b par une fonction f Exemples : Soit a un antécédent de b par la fonction f. Alors : f(a) = b. La relation f(a) = b est une équation d'inconnue a dont la résolution fournit les antécédents recherchés. Exemple : Rechercher les antécédents de 6 par la fonction f définie par f(x) = 4x 2. Soit a un antécédent de 6 par f. Alors : 4a 2 = 6 43 P a g e

44 soit : 4a = 8 a = 8/4 = 2 Le nombre 6 a un antécédent par f : le nombre 2. On vérifie que f(2) = 6. Exemple 2 : Rechercher les antécédents de 49 par la fonction g définie par g(x) = x². Soit a un antécédent de 49 par g. Alors : a² = 49 Cette équation a deux solutions : 49 = 7 et 49 = - 7 Le nombre 49 a deux antécédents par g : les nombres 7 et 7. On vérifie que : g(7) = g(-7) = 49. 4/ Représentation graphique d une fonction Définition : a désigne un nombre et f(a) son image par une fonction f. Un repère étant choisi l ensemble des points de coordonnées (a ; f(a)) est la représentation graphique de f dans ce repère. Exemple : Représentons graphiquement la fonction f : x x² + 3. y y = f(x) = x² + 3 f ()= x Tableau de valeurs x f(x) P a g e

45 Représenter graphiquement une fonction avec Geogebra ou avec un tableur pas à pas (document séparé) 5/ Lecture de la représentation graphique d une fonction y a/ Lecture de l image d un nombre f(a) y=f(x) a x b/ Lecture des antécédents d un nombre y y=f(x) b f(a ) = f(a 2) = b a 2 a x c/ Exemple On considère la représentation graphique d une fonction g. Quelle est l image de par g? Quelle est l image de par g? Donner deux antécédents de 7 par g. Donner une valeur approchée de g(4). Donner une valeur approchée de g(- 2). g(- 2) 0,2. y y=g(x) x 45 P a g e

46 Chapitre GD2 : Fonctions linéaires / Modélisation d une situation de proportionnalité 2/ Définition et propriétés d une fonction linéaire a/ Définition b/ Propriétés 3/ Représentation graphique d une fonction linéaire 4/ Détermination d une fonction linéaire a/ A partir de l image d un nombre non nul b/ A partir d une représentation graphique 5/ Evolution en pourcentage a/ Augmentation en pourcentage b/ Diminution en pourcentage / Modélisation d une situation de proportionnalité SC3 Situation : intensité et tension aux bornes d une résistance électrique (loi d Ohm) On considère le montage électrique suivant : A R V On fait varier la tension du générateur. On mesure à l aide d un voltmètre V la tension U aux bornes de la résistance R et on mesure l intensité I du courant à l aide d un ampèremètre A. Les résultats des mesures sont notés dans le tableau ci-dessous : I (en ampères) 0 0, 0,2 0,85 3 U (en volts) 0 0,5 4,25 5 On constate que ce tableau est un tableau de proportionnalité. On peut écrire la relation : U = 5 x I. U est proportionnelle à I et 5 est le coefficient de proportionnalité. U est fonction de I et on peut définir la fonction : U : I U (I) = 5 x I qui, à toute intensité de courant I, associe la tension U(I) aux bornes de la résistance R. 46 P a g e

47 Situation : Périmètre d un carré Le périmètre p d un carré est proportionnel à la longueur x d un côté. Plus précisément, on a la relation : p = 4 x x. A chaque valeur de x, on peut associer le périmètre p(x) = 4 x x. On définit de cette manière une fonction p : x p(x) = 4 x. 2/ Définition et propriétés d une fonction linéaire a/ Définition Dans les exemples précédents, deux grandeurs sont proportionnelles. Dans chaque situation de proportionnalité, la fonction qui, à l'une des grandeurs, fait correspondre l'autre grandeur est de la forme : f : x ax, a étant un nombre donné. Une telle fonction est appelée fonction linéaire de coefficient a. b/ Propriétés Par une fonction linéaire de coefficient non nul, tout nombre a une image unique et un antécédent unique. Si f est une fonction linéaire, alors : f(0) = 0 Pour tous nombres x et y : f (x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = x f(y) 3/ Représentation graphique d une fonction linéaire Propriété : La représentation graphique d une fonction linéaire de coefficient a dans un repère est une droite (d). Cette droite passe par l origine du repère et le point de coordonnées ( ; a). Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d). Remarque : M étant un point de coordonnées (x M ; y M) dans ce repère : Si M appartient à (d), alors y M = ax M. Si y M = ax M, alors M appartient à (d). Exemple : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x. f est la fonction linéaire de coefficient 2 et sa représentation graphique dans un repère est la droite passant par l origine du repère et le point de coordonnées ( ; 2). 2 est le coefficient directeur de cette droite. 47 P a g e

48 4/ Détermination d une fonction linéaire a/ A partir de l image d un nombre non nul Déterminer la fonction linéaire f telle que : f(2) = - 7. f est de la forme : x ax. Reste à déterminer a. f(2) = - 7 donc : a x 2 = - 7. D où : a = - 7 / 2 = - 3,5. f : x - 3,5 x. b/ A partir d une représentation graphique On considère la fonction g dont voici une représentation graphique : Cette représentation graphique étant une droite passant par l origine on peut affirmer que g est une fonction linéaire définie par une égalité de la forme : g(x) = a x. Reste à déterminer a. Sur le graphique, on voit que g() = - 3, donc : a x = -. D où : a = - 3. g : x - 3 x. 48 P a g e

49 5/ Evolution en pourcentage SC3 a/ Augmentation en pourcentage Exemple : Une entreprise augmente ses prix de 3%. Un article coûtant coûtera désormais + x soit +. Plus généralement : Un article coûtant x coûtera après augmentation : x + x x = x + 0,03x =,03 x On peut donc modéliser cette augmentation de 3% par la fonction linéaire f : x,03 x qui, à tout prix x, associe ce prix augmenté de 3%. Cas général : p est un nombre positif. Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par +. Une augmentation de p% est modélisée par la fonction linéaire f : x ( + )x. b/ Diminution en pourcentage Exemple : A l occasion des soldes, un magasin vend tout son stock avec 35% de remise. Un article coûtant 20 sera vendu soldé à : 20 x 20 = 20 7 = 3. Plus généralement : Un article coûtant x sera vendu soldé à : x x x = x 0,35x = 0,65 x. On peut donc modéliser cette diminution de 35% par la fonction linéaire g : x 0,65 x qui, à tout prix x, associe ce prix diminué de 35%. Cas général : p est un nombre compris entre 0 et 00. Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par -. Une diminution de p% est modélisée par la fonction linéaire g : x ( - )x. 49 P a g e

50 Chapitre GD3 : Fonctions affines / Définition et propriétés d une fonction affine a/ Exemple préliminaire b/ Définition c/ Cas particuliers d/ Propriétés 2/ Représentation graphique d une fonction affine 3/ Détermination d une fonction affine a/ A partir de deux images b/ A partir d une représentation graphique / Définition et propriétés d une fonction affine a/ Exemple préliminaire Une société de location de véhicules propose le tarif suivant : * Forfait de location : ; * par kilomètre parcouru. Le coût global de la location est fonction du nombre de kilomètres parcourus. A chaque distance x parcourue (en kilomètres), on peut associer le coût en Euros c(x) = 0,5x On définit ainsi une fonction c : x c(x) = 0,5x b/ Définition Dans l exemple précédent la fonction est de la forme : f : x ax + b, a et b étant des nombres donnés. Une telle fonction s appelle une fonction affine. c/ Cas particuliers d/ Propriétés Lorsque b = 0, la fonction affine définie par f(x) = ax + b = ax est linéaire de coefficient a. Lorsque a = 0, la fonction affine définie par f(x) = ax + b = b est une fonction constante qui, à tout nombre x, associe le même nombre b. Par une fonction affine non constante, tout nombre a une image unique et un antécédent unique. Propriété (taux d accroissement constant) : Si f est une fonction affine telle que f(x) = ax + b, alors pour tous nombres distincts x et x 2 : f(x ) f(x 2) x x = a 2 50 P a g e

51 2/ Représentation graphique d une fonction affine Propriété : La représentation graphique d une fonction affine x ax + b dans un repère est une droite (d). Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; b) et est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire x ax. Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d). Le nombre b est appelé l ordonnée à l origine de la droite (d). Remarque : M étant un point de coordonnées (x M ; y M) dans ce repère : Si M appartient à (d), alors y M = ax M + b. Si y M = ax M + b, alors M appartient à (d). Exemple : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x + 3. f est une fonction affine et sa représentation graphique dans un repère est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; 3). est le coefficient directeur de cette droite et son ordonnée à l origine. Reste à déterminer un second point appartenant à cette droite. Par exemple, f() = 2 x + 3 = 5 et la droite représentative de f passe par le point de coordonnées ( ; 5) Interprétation graphique de l ordonnée à l origine Interprétation graphique du coefficient directeur L interprétation graphique du coefficient directeur est une conséquence directe de la propriété : f(x ) f(x 2) x x = a. 2 5 P a g e

52 3/ Détermination d une fonction affine a/ A partir de deux images Déterminer la fonction affine f telle que : f(2) = - 8 et f() = -5. f est de la forme : x ax + b. Calculons a. a = f(2) f() = -8 (- 5) = Calculons b. f(2) = - 8 donc -3 x 2 + b = -. D où : b = = -2. f : x - 3 x 2. b/ A partir d une représentation graphique Exemple : On considère la fonction g dont voici une représentation graphique : +2 Lecture graphique du coefficient directeur Lecture graphique de l ordonnée à l origine. - 2 Cette représentation graphique étant une droite, on peut affirmer que g est une fonction affine définie par une égalité de la forme : g(x) = a x + b. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; - 2). Donc b = -2. Reste à déterminer a en s aidant du graphique. f(-2) f(-4) 4 a = = = -,5. -2 (-4) 2 g (x) = -,5 x P a g e