Petite promenade, aléatoire, en Physique Statistique

Transcription

1 Petite promenade, aléatoire, en Physique Statistique K. Mallick Institut de Physique Théorique, CEA Saclay (France) Saclay, le 7 Avril 2015

2 Invocation: The Feynman Lectures in Physics Richard P. Feynman ( )

3 Tome 1, Chapitre 1, page 2: Si, par un cataclysme, tout le savoir scientifique venait à être détruit, et qu une seule phrase pouvait être transmise à la génération suivante, quelle affirmation contiendrait le plus d information en un minimum de mots? Je pense que ce serait l hypothèse atomique (ou le fait atomique, appelez cela comme vous l entendez) : Toutes choses sont formées d atomes, petites particules animées de mouvements incessants, qui s attirent quand elles sont à une certaine distance, mais qui se repoussent quand on essaye de les comprimer les unes contre les autres. Dans cette phrase, il y a une quantité énorme d information sur le monde, à condition d y appliquer l imagination et la concentration requises.

4 Hypothèse Atomique: Démocrite (vers -400) Rembrandt, autoportrait en Démocrite (1629)

5 Les atomes existent! On peut aujourd hui voir et manipuler les atomes individuellement : leur existence ne fait plus de doute. Mais il n en pas toujours été ainsi!

6 De la Philosophie a la Chimie Rien ne se perd, rien ne se cre e ; certains e le ments fondamentaux se combinent pour fabriquer des corps compose s. K. Mallick Petite promenade ale atoire en Physique Statistique

7 H 2 Eau L eau, la substance peut-e tre la plus essentielle, n est pas un e lement pur. Elle est forme e de deux mesures d hydroge ne et d une mesure d oxyge ne. K. Mallick Petite promenade ale atoire en Physique Statistique

8 Les ingrédients de la cuisine moléculaire La Table de Mendeleiev (1869) donne les élements simples qui existent dans l univers. Toutes les autres matières que nous connaissons sont formées de ces élements. Mais les atomes existent-ils vraiment?

9 Voir les atomes: le Mouvement Brownien Robert Brown ( ) : Le Prince des Botanistes

10 La Formule d Einstein (1905) E = mc 2

11 Une autre Formule d Einstein (1905) D = RT 6πηa N R Constante des gaz parfaits T Température η viscosité de l eau a diamètre du grain N Nombre d Avogadro Au cours du temps, le grain de pollen visite une région de plus en grande du fluide, sa zone de parcours s étale avec le temps. La grandeur D mesure cet etalement.

12 La Formule d Einstein Dans des conditions expérimentales réalistes, la formule d Einstein s interprète comme suit: Etalement du pollen = Masse de 1300 Milliards d atomes d Hydrogène

13 J ai pesé l Atome d Hydrogène η 10 3 a 10 7 R 8.3 D 1 µm 2 /s Masse de l Atome d Hydrogène : g Jean Perrin ( ) Dans 1 gramme, il y a environ un million de milliards de milliards d atomes.

14 Une vision probabiliste du monde Il est impossible de décrire un tel nombre d atomes individuellement. Avec des quantités aussi grandes, une vision statistique s impose. Elle devient même exacte, c est la Loi des Grands Nombres. Le monde commença à lui apparaître sous un jour nouveau. Comme une vaste entreprise dynamique, en fluctuation perpétuelle, modelée et remodelée sans cesse, et non ainsi qu elle l avait cru inconsciemment pendant des années, comme l entité stable dans laquelle on pouvait piocher sans effort. Tarun J. TEJPAL (Loin de Chandigarh)

15 Les pères de la Physique Statistique L. Boltzmann J. C. Maxwell

16 UNIVERSALITÉ X ~ t 1/2 La courbe de Gauss L universalité des propriétés statistiques explique l existence de lois émergentes qui décrivent les comportements collectifs de systèmes formés d un grand nombre de constituants élémentaires.

17 LA RÈGLE DU JEU DU THÉORICIEN Beaucoup de phénomènes collectifs ne dépendent pas de la forme précise des lois ni des constituants à l échelle microscopique. Exemples : les changements d états, les équations du mouvement d un fluide... Donc, un modèle, même s il est ultra-simplifié au niveau microscopique, peut parfaitement reproduire et décrire correctement la physique à notre échelle, à condition d être (i) Assez riche pour capturer la physique. (ii) Assez simple pour être analysable ou calculable. Make everything as simple as possible, but not simpler (Einstein).

18 Sorry, Mr Einstein.

19 La physique statistique En Physique Statistique, on part des atomes comme d une donnée fondamentale. On n explorera pas la structure interne des atomes et des molécules. On cherche à comprendre comment les propriétés de la matière et sa diversité émergent du Légo moléculaire.

20 La matière inanimée Un vrai flocon de neige.

21 Toute syme trie parfaite e mergente K. Mallick Petite promenade ale atoire en Physique Statistique

22 Le Mouvement Brownien comme Marcheur Ivre O DISTANCE TYPIQUE ~ PAS

23 ENERGIE et ENTROPIE, deux concepts essentiels. Un corps (molécule, atome) possède de l énergie (et peut nous en fournir). Un assemblage d atomes possède de l entropie. L entropie compte le nombre de configurations microscopiques sous-jacentes à un état macroscopique donné. Un système veut réduire son énergie et accroître son entropie : cette compétition entre énergie et entropie est au cœur de nombreux phénomènes familiers, comme les changements d état (glace/eau).

24 Le Modèle d Ising Haute Temperature Basse Temperature Des billes sur un damier, que l on place au hasard. Ce modèle est un archétype: il sert à comprendre les changements d état. Supposons que l on se trouve à une temperature donnée T.

25 TRANSITION DE PHASE À chaque configuration est associée une énergie : ÉNERGIE = NOMBRE de COUPLES de BILLES VOISINES divisé par la TEMPÉRATURE (Cette énergie est un nombre que l on calcule au cas par cas.) Une configuration est d autant plus probable qu elle a une grande énergie. La fréquence d une configuration est donnée par la formule de Boltzmann: = 2 ENERGIE (Il y a autant de facteurs 2 que d énergie.) à très haute température, chaque configuration a une énergie toute petite, presque égale à 0. Toutes les configurations ont alors la même fréquence d apparition: on a un gaz. En abaissant la température, on favorise fortement les configurations avec des billes regroupées car celles-ci auront une énergie nettement plus grande. On a un liquide. Il se produit un changements d état à une température critique. Des variantes de ce modèle expliquent le magnétisme, la supraconductivité, les alliages...

26 Le Marcheur auto-évitant O O DISTANCE TYPIQUE ~ PAS DISTANCE TYPIQUE ~ (PAS) 3/4 La marche au hasard auto-évitante (SAW) est un modèle fondamental de polymère. Que vaut la taille typique du polymère à 3 dimension?

27 SAW : un AVATAR de Ising O ISING POLYMERE

28 Pierre-Gilles de Gennes ( )

29 Comment modéliser les protéines?

30 Quelle théorie pour le non-équilibre? Dans la nature, de nombreux systèmes sont ouverts et échangent sans cesse de la matière, de l énergie, de l information avec leur environnement. Ils sont parcourus par des flux divers et on ne connait pas de théorie permettant de les étudier. Exemple d un système parcouru par un flux (ou un courant): J R1 R2 On sait calculer le courant moyen qui passe, mais on ne sait rien de ses variations statistiques. On ne dispose d aucune théorie permettant de prédire ces inévitables variations aléatoires.

31 Un Modèle simple Reprenons la figure précédente: J R1 R2

32 Un Modèle simple Reprenons la figure précédente: J R1 R2 Un modèle fondamental: Le processus d exclusion asymétrique (ASEP) α q 1 β RESERVOIR 1 L RESERVOIR γ δ Des milliers d articles ont été consacrés à ASEP depuis 20 ans!.

33 Grandes déviations pour ASEP La fonction caractéristique du courant est donnée par γ = E = k=1 k=1 (2k)! k! (2k)! k! Courant Moyen: J = L+2 2(2L+1) [2k(L + 1)]! [k(l + 1)]! [k(l + 2)]! B k 2k, [2k(L + 1) 2]! [k(l + 1) 1]! [k(l + 2) 1]! B k 2k. Variance: = 3 (4L+1)![L!(L+2)!] 2 2 [(2L+1)!] 3 (2L+3)! Skewness: { C 3 = 12 [(L+1)!]2 [(L+2)!] 4 (2L+1)[(2L+2)!] 9 (L+1)!(L+2)!(4L+2)!(4L+4)! 3 (2L+1)![(2L+2)!] 2 [(2L+4)!] 20 2 (6L+4)! (3L+2)!(3L+6)! }

34 Biophysique et Non-Equilibre La matière vivante est dominée par des fluctuations hors d équilibre:

35 CONCLUSION Les systèmes macroscopiques sont étudiés par la physique statistique. Des modèles élémentaires rendent compte avec précision des phénomènes physiques à nos échelles. Les systèmes hors d équilibre sont présents partout dans la Nature (en particulier dans le vivant). Il n existe pas de théorie générale permettant de décrire de tels systèmes.

36 La question la plus importante de l univers? TEMPÉRATURE D UN TROU NOIR: kt = 1 8π c 3 GM (Hawking-Beckenstein) Comprendre cette formule par un comptage microscopique?