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1 TS. 2014/2015. Lycée Prévert. Corrigé du devoir commu du premier trimestre. Durée : heures. Vedredi 14/11/2014 Exercice 1 : ( 7 pts). A ) Étudier les limites suivates : a) lim Il s'agit d'ue forme idétermiée de la forme «+ +» car lim 2 8=+ et lim =+. Das ce cas la méthode de factorisatio par le terme de plus haut degré permet de lever l'idétermiatio Ici, ous factorisos simplemet par 2 le umérateur et le déomiateur : 2( Pour tout >0 : = 2( 2) ) = a or pour tout a réel, lim =0 2 doc, par somme, lim 8 = 2 et lim 2+ 5 = doc, par propriété de la limite d'u quotiet lim = 2 5 ( 1) b) lim 2 +1 Le umérateur 'a pas de limite mais oscille etre 4 et 6 et le déomiateur ted vers + l'ifii, doc, ituitivemet, o peut peser que la limite est zéro. Démotros-le e utilisat u ecadremet. Pour tout etier aturel : 1 ( 1) 1 Multiplios les membres de la double iégalité par 1 : l'ordre chage! 1 ( 1) 1 ajoutos 5 : 6 5 ( 1) 4 Divisos par 2 +1 strictemet positif doc l'ordre e chage pas ( 1) Or lim 2 +1 = lim =0. Doc d'après le théorème d'ecadremet, o a : lim B) Vrai ou Faux à justifier : 5 ( 1) 2 +1 =0 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier aturel par u = Motros que la propositio est vraie. Écrivos u sas le symbole que certais e compreet pas bie. u =( 2 0 ) +( 2 1 ) +( 2 2 ) + +( 2 ) k= ( 2 k. Cette suite a pour limite. Aisi ous recoaissos la somme des (+1) premiers termes d'ue suite géométrique de raiso 2, de Page 1 sur 6

2 premier terme ( 2 0 =1 Nous utilisos la formule démotrée e cours : u = ( 2 k 1 ( = = 1 ( 2 +1 lim ( 2 +1 =0 car 0< 2 <1 doc lim 1 ( 2 +1 =1 doc, par produit lim u = u C) Soit la suite (u ) défiie par { 0 =0 u +1 = u =( 1 ( 2 +1 ) Démotrer e utilisat u raisoemet par récurrece que cette suite est miorée par 0, majorée par 2, et est croissate. Nous allos faire u seul raisoemet par récurrece : Notos P() la propriété 0 u u +1 2 Motros e raisoat par récurrece que cette propriété est vraie pour tout etier aturel. Iitialisatio Pour =0, P(0) : 0 u 0 u 1 2 est vraie car u 0 =0, u 1 = 2 et Hérédité. Supposos que pour u doé, 0, o ait : 0 u u +1 2, motros qu'alors 0 u +1 u +2 2 Partos de otre hypothèse de récurrece : 0 u u +1 2 Ajoutos 2 à tous les membres : 2 u +2 u Tous les membres de cette triple iégalité sot positifs, o peut doc appliquer la foctio racie carrée qui e modifie pas l'ordre car cette foctio est strictemet croissate sur [0;+ [ 2 u +2 u doc 0 2 u +2 u doc par défiitio 0 u +1 u L'hérédité est aisi établie. Coclusio : D'après l'axiome de récurrece, la propositio état iitialisée et héréditaire est vraie pour tout etier aturel. La suite (u ) est bie miorée par 0, majorée par 2 et croissate. D ) Démostratio de cours { Démotrer que si (u ) et (v ) u v à partir d ' u certai rag sot deux suites telles que : u =+ alors lim v =+ Traduisos les doées : Il existe u rag 0 tel que pour tout etier aturel, 0 etraie v u. Pour tout itervalle ouvert de la forme ]A;+ [, A aussi grad que l'o veut, il existe u rag 1 tel que, pour tout etier aturel, 1 etraie u ] A ;+ [. Notos 2 =max ( 0, 1 ) Pour tout etier aturel, 2 etraie doc u >A car 1 et v u > A car 0 Doc, pour tout A réel, il existe u etier aturel, 2 tel que, 2 etraie v > A, c'est à dire v ] A ;+ [. Autremet dit, lim v =+ lim Page 2 sur 6

3 Exercice 2 : ( 5 pts). Ue grade marque de cosmétiques fabrique et commercialise des parfums haut de gamme. Il existe, sur le marché, des cotrefaços de ces parfums. U parfum cotrefait est ue copie du parfum origial, il est e gééral de moidre qualité mais beaucoup mois cher. O ote p la proportio de flacos de parfum cotrefaits sur le marché des parfums e Frace. Partie A O suppose das cette partie que p=1% Pour élimier ces cotrefaços, la marque a mis au poit u test optique permettat, sas rompre le ruba de garatie, de se faire ue opiio cocerat la coformité d'u parfum. O dit que le test est positif lorsqu'il idique que le flaco cotiet u parfum cotrefait. Les caractéristiques de ce test sot les suivates : La probabilité que le test soit positif sachat que le parfum est ue cotrefaço, est égale à 0,99 La probabilité que le test soit égatif sachat que le parfum est authetique, est égale à 0,98 O otera C : l évéemet «le parfum est cotrefait» ; T : l évéemet «le test est positif». O pred u flaco au hasard et o le soumet au test. 1. Costruire u arbre podéré traduisat les iformatios de l'éocé. L'éocé ous idique que : p(c)=0,01 doc p (C)=1 p(c)=0,99 p C (T)=0,99 doc p C (T )=1 p C (T )=0,01 p C (T )=0,98 doc p C (T )=1 p C (T )=0,02 2. O appelle valeur diagostique du test la probabilité que le parfum soit cotrefait sachat que le test est positif. Détermier la valeur diagostique de ce test. Qu'e pesez-vous? La valeur diagostique du test est p T (C). p(c T ) Cette valeur 'est pas directemet lisible sur l'arbre podéré mais ous savos que p T (C)= p(t ) p(c T)= p(c) p C (T)=0,01 0,99=0,0099 p(t)= p(c T)+ p (C T)=0,0099+0,99 0,02=0,0297 p(c T ) 0,01 0,99 doc p T (C)= = p(t ) 0,01 0,99+0,99 0,02 = 0,01 0,01+0,02 =0,01 0,0 =1 La probabilité qu'u flaco soit cotrefait sachat que le test est positif est faible, seulemet %. Autremet dit 67 % des flacos ayat doé u test positif sot authetiques. Le test 'est doc pas très fiable. Partie B Détermier la valeur miimale de p pour que la valeur diagostique du test dépasse 90 % Calculos la valeur diagostique e foctio de p : p(c T ) 0,99 p p T (C)= = p(t ) (0,99 p)+(0,02(1 p)) 0,99 p Doc o cherche p tel que : (0,99 p)+(0,02(1 p)) >0,9 Page sur 6

4 0,99 p Résolvos cette iéquatio ( I ) : 0,97 p+0,02 >0,9 Le déomiateur est strictemet positif puisque p est compris etre 0 et 1, o peut doc multiplier par 0,97 p+0,02 les deux membres de l'iégalité sas chager l'ordre : ( I ) équivaut à 0,99 p>0,9(0,97 p+0,02) c'est à dire 0,99 p>0,87 p+0,018 doc 0,117 p 0,018 d'où p 0,018 0,117 = 2 1 0,154 Dès que la proportio de flacos de parfum cotrefaits sur le marché dépasse eviro 15, 4 %, la valeur diagostique du test dépasse 90 %. Le test est beaucoup plus fiable das ces coditios. Exercice : ( 8 pts). Soit la suite umérique (u ) défiie sur N par : u 0 =2 et pour tout etier aturel, u +1 = 2 u Partie 1 : Ses de variatio de la suite (u ) a. Motrer que u 1 = 7, puis calculer de même u 2, u et u 4. O e doera des valeurs approchées à 10 2 près. O remplace par 0 das la défiitio de u +1 pour obteir u 1 : u 1 = =7 2, De même : u 2 = =26 9 2,88 u = = = = ,59 u 4 = = = ,9 b. Formuler ue cojecture sur le ses de variatio de cette suite. Cette suite semble croissate. c. Démotrer que pour tout etier aturel, u +1 u = 1 (+ u ). Par défiitio u +1 = 2 u doc u +1 u = 2 u u = 2 u u doc u +1 u = 1 u o factorise par 1 pour obteir l'expressio demadée : u +1 u = 1 (+ u ) d. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u +. Iitialisatio : Pour =0 : u 0 0+ vrai car 2 Hérédité : Supposos que pour u doé, 0, o ait : u +, motros qu'alors u +1 (+1)+ Partos de otre hypothèse de récurrece : u + Multiplios par 2 : 2 u 2 +2 Page 4 sur 6

5 Ajoutos 1 +1 : 2 u Nous obteos : u +1 + doc u L'hérédité est bie vérifiée. Coclusio D'après l'axiome de récurrece, la propriété «u +» état iitialisée et héréditaire, est vraie pour tout etier aturel. e. E déduire ue validatio de la cojecture faite à la questio b. Motros que la suite (u ) est croissate e utilisat les deux questios précédetes Pour tout, u + doc 0 + u doc 0 1 (+ u ) doc 0 u u +1 Ceci prouve la croissace de la suite (u ). Partie 2 : Expressio explicite de u et limite de u O désige par (v ) la suite défiie sur N par v =u. a. Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 2. Nous devos prouver que v +1 =r v, r état ue costate idépedate de Par défiitio, pour tout : v +1 =u +1 (+1) doc v +1 =( 2 +( u doc v +1 =( 2 ( u 2. O factorise par 2 +1=( : v 2 (u ) doc v +1 =( 2 v Ceci prouve que (v ) est ue suite géométrique de raiso 2. b. E déduire que pour tout etier aturel, u =2( 2 ) + (v ) est ue suite géométrique de raiso 2 et de premier terme v 0 0=2 doc so expressio explicite est v =v 0 (r) =2 ( 2 v =u équivaut à u =v + c'est à dire u =2( 2 + c. Détermier la limite de la suite (u ). Nous avos déjà vu das l'exercice 1 : lim ( 2 =0 car 0< 2 <1 doc, par produit lim 2( D'autre part lim =+ doc par additio lim 2( La suite (u ) diverge vers + 2 =0 2 +=+ Page 5 sur 6

6 Partie : Algorithme et somme des premiers termes de la suite (u ) Pour tout etier aturel, o pose : S + +u, autremet dit S = u k a) Recopier et compléter l'algorithme suivat afi qu'il affiche S lorsque l'utilisateur saisit. Etrée : Saisir N Iitialisatio : Affecter à la variable S la valeur 2 Traitemet : Pour K allat de 1 à N, la variable S pred la valeur S +2( 2 K + K Fi Pour Sortie : Afficher S Vérifier le foctioemet de votre algorithme à la mai ou avec la calculatrice e calculat S 4. A la mai, à l'aide des valeurs obteues das la partie 1, o calcule S 4 +u +u 4 = ,21 O peut faire u tableau pour faire foctioer l'algorithme, étape après étape : N K S Commetaires 4 2 S 0 =2 Iitialisatio 1 2+2( = ( = ( = ( = L algorithme affiche S 4 = ,21 S 1 = 1 S 2 = 65 9 S +u = S 4 +u +u 4 = Traitemet Sortie b) E utilisat l'expressio explicite de u, exprimer S e foctio de,( sas symbole i...+ ) S = ( ( 2 2 k +k) =2 ( 2 k + k. O retrouve ue somme vue das l'exercice 1. S 1 ( 2 +1 =2 + (+1) d'où S 1 2 =6 6 ( (+1) 2 Page 6 sur 6

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