2 e Devoir. a d c. 6 2 b 1

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1 e Devoir I. Le but de l exercice est de déterminer les réels x, y, z, t de telle sorte que la somme des nombres d une même ligne ou d une même colonne du tableau ci-dessous donne le même nombre S. 5 x t 6 49 y z ) Calculer S. ) Déterminer x, y, z, t (valeurs exactes sous la forme la plus simple possible). 3 ) Calculer la somme des nombres de chacune des deux diagonales. On dit que le tableau ci-dessus est un carré magique additif. II. Le but de l exercice est de déterminer les réels a, b, c, d de telle sorte que le produit des nombres d une même ligne ou d une même colonne du tableau ci-dessous donne le même nombre P. 3 6 a d c 6 b ) Calculer P. ) Déterminer a, b, c, d (valeurs exactes sous la forme la plus simple possible). 3 ) Calculer le produit des nombres de chacune des deux diagonales. On dit que le tableau ci-dessus est un carré magique multiplicatif. III. On considère un rectangle BCD tel que B 9 et D 4. On note E le point du segment [B] tel que E et F le milieu du segment [BC]. ) Calculer l aire de chacun des triangles ED, EBF et CDF ; en déduire l aire du triangle. ) a) Calculer DE, EF et DF (valeurs exactes) ; en déduire que le triangle est rectangle (préciser le sommet de l angle droit). b) Retrouver par un calcul direct, en utilisant la question a), l aire du triangle. 3 ) Démontrer que les points C, D, E, F appartiennent à un même cercle C que l on précisera.

2 Corrigé du DM I. Le but de l exercice est de déterminer les réels x, y, z, t de telle sorte que la somme des nombres d une même ligne ou d une même colonne du tableau ci-dessous donne le même nombre S. 5 x t 6 49 y z ) Calculer S. 5 S 6 5 S 6 8 S S ) Déterminer x, y, z, t (valeurs exactes sous la forme la plus simple possible). 5 x 8 5 x 34 x x y y y 8

3 z 33 z z t 6 t ) Calculer la somme des nombres de chacune des deux diagonales. On dit que le tableau ci-dessus est un carré magique additif. On note : la somme des nombres de la diagonale contenant x et y ; B la somme des nombres de la diagonale contenant z B 8 B B II. Le but de l exercice est de déterminer les réels a, b, c, d de telle sorte que le produit des nombres d une même ligne ou d une même colonne du tableau ci-dessous donne le même nombre P. 3 6 a d c 6 b

4 ) Calculer P. P 3 6 P 8 3 P P ) Déterminer a, b, c, d (valeurs exactes sous la forme la plus simple possible). a a a a a 6 a 3 3 a a 3 a 3 b 6 b 6 b 3 (on reprend le résultat du calcul de a)

5 c c c c 3 c 3 d d d d d d d c 6 3

6 3 ) Calculer le produit des nombres de chacune des deux diagonales. On dit que le tableau ci-dessus est un carré magique multiplicatif. On note : le produit des nombres de la diagonale contenant, et d ; B le produit des nombres de l autre diagonale. B B 6 4 B III. On considère un rectangle BCD tel que B 9 et D 4. On note E le point du segment [B] tel que E et F le milieu du segment [BC]. On commence par faire une figure codée. D C F E B ) Calculer l aire de chacun des triangles ED, EBF et CDF ; en déduire l aire du triangle. ED ED ED ED E D 4 4 BF BE EBF 8 EBF EBF 8 EBF DC FC DCF 9 DCF DCF 9 BCD 9 4 BCD

7 9 8 9 BCD ED EBF DCF ) a) Calculer DE, EF et DF (valeurs exactes) ; en déduire que le triangle est rectangle (préciser le sommet de l angle droit). D après le théorème de Pythagore dans le triangle DE rectangle en, on a : DE D E DE 4 DE 6 DE DE 0 donc DE. D après le théorème de Pythagore dans le triangle BEF rectangle en E, on a : EF BE BF EF 8 EF 64 4 EF 68 EF 0 donc EF 68 ou encore EF (forme du résultat utile pour la question ) b)). D après le théorème de Pythagore dans le triangle CDF rectangle en C, on a : DF 9 DF 8 4 DF 85 DF 0 donc DF 85. DF CD CF Démontrons que le triangle est rectangle. D une part, on a : DF 85. D autre part, on a : EF ED On constate que EF ED DF. Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en E. b) Retrouver par un calcul direct, en utilisant la question a), l aire du triangle. EF ED Comme est rectangle en E, on a. Grâce aux calculs de EF et ED effectués à la question a), on peut écrire. On obtient immédiatement que, résultat qui correspond bien à celui trouvé à la question ).

8 3 ) Démontrer que les points C, D, E, F appartiennent à un même cercle C que l on précisera. Soit C le cercle de diamètre [DF]. C D C F E B On sait que est rectangle en E et que DFC est rectangle en C donc E On en déduit que C, D, E, F appartiennent au cercle C. C et C C.

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